专题5 直线型（三角形四边形、多边形）几何综合题 二阶 角度4 折叠类几何综合题-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练优质PPT课件

数学 1 2 专题五 直线型（三角形四边形、多边 形）几何综合题 3 折叠类几何综合题 1.[2025山东省卷]【图形感知】如图①，在四边形 中，已知 ，， . （1）求 的长； 解： ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ； 4 【探究发现】 老师指导同学们对图①所示的纸片进行了折叠探究. 在线段上取一点，连接.将四边形沿 翻折得到四边形 ，其中，分别是， 的对应点. （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： 5 ①甲：点恰好落在边上，延长交于点 ，如图②.判断四边形 的形状，并说明理由； 解：四边形 是矩形，理由如下： 由折叠的性质得 ， ， ， ， ， 四边形 是矩形； 6 ②乙：点恰好落在边上，如图③.求 的长； 解：如解图①，延长和相交于点，连接 ， 第1题解图① 由折叠的性质得 ，， ， 7 点恰好落在边上， ， 四边形 是矩形， ， 矩形是正方形， ， ， ，点在对角线 上， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ； （3）如图④，连接交于点，连接.当点在线段 上运动时， 线段 是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由. 解：存在.的最小值为 . 9 【解法提示】由折叠的性质得是线段 的垂直平分线， ， 点在以为直径的上，如解图②，连接 ， ，，当且仅当，， 共线时，等号成立，此时线段 存在最小值，的半径为 ， ， 线段 的最小值为 . 第1题解图② 10 2.[2025山西]综合与探究 问题情境：如图①，在纸片中，，点在边 上， .沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与 平行， 且折痕与边交于点，得到 ，然后展平. 11 猜想证明： （1）判断四边形 的形状，并说明理由； 解：四边形 是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ， ， ， ， ， ， 四边形 是菱形； 12 拓展延伸： （2）如图②，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点 落在射 线上，且折痕与边交于点，然后展平.连接交边于点 ，连 接 . 13 ①若，判断与 的位置关系，并说明理由； 解： ，理由如下： 由（1）知， . 由折叠的性质得到 ， 又，， 点是 的中点， ，， ， 在中， ， ， ， 即 ， ； 14 ②若 ，，，当是以 为腰的等腰三角形 时，请直接写出 的长. 解：的长为5或 . 15 【解法提示】 ，， ， ，当是以和为腰， 为底的等腰 三角形时，如解图①，延长交于点，设与的交点为 ，则 ，， ， ， ，由折叠的性质得， ， ， ， ， ， ， ， 16 ，，，， ， ，设，则， ，，， ， ，即，， ， ， ， ， ， ，，，解得或 （舍去），；当是以和为腰， 为底的等 腰三角形时，如解图②，延长交于点，设与的交点为 ， 则， 同理得， ，，， ， ， 设， ，， ， ，， ，即， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，，，解得 或 （舍去），.综上，的长为5或 . 3.[2025成都]如图，在中，点在边上，点关于直线 的对称 点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线 交边于点 . 【特例感知】 第3题图 20 证明：由对称的性质得：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ； （1）如图①，当时，点在延长线上，求证： ； 21 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求 的长； 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 由对称的性质得 ， 四边形是平行四边形， ， ， ，解得， ， ； 22 【拓展延伸】 （3）如图②，当时，点在边上，若，求 的值. （用含 的代数式表示） 23 ，，， ，， ，， ， 四边形 是平行四边形， ，即， ， ，即， ， 根据题意得 ， ， ， 解：如解图，延长，交于点 ， 第3题解图 设， ， 24 ，， ， ，， ，又， ，，即， ， ， ， ，，解得 ， ， 第3题解图 又， ， . 4.[2025广州]宽与长的比是（约为 ）的矩形叫作黄金矩形.现有一 张黄金矩形纸片，长.如图①，折叠纸片，点 落 在上的点处，折痕为，连接 .然后将纸片展开. （1）求 的长； 解：，矩形 是黄金矩形， ， ； 26 （2）求证：四边形 是黄金矩形； 证明： 折叠黄金矩形纸片， 点落在上的点 处， ， ，又 四边形 是矩形， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， 四边形 是正方形， 27 ， 由（1）可知， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， 四边形 是黄金矩形； （3）如图②，点为的中点，连接，折叠纸片，点落在 上的点处，折痕为，过点作于点.四边形 是否为黄金 矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由. 29 解：四边形 是黄金矩形，证明如下： ，四边形 是正方形， ， ， 四边形 是矩形， 为 的中点， ， 在中， ， 30 如解图，连接，由折叠可得， ， ， 第4题解图 设，则 ， ， ， 解得， ， ， 四边形 是黄金矩形. 5.[2024宿迁]在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探 究活动. 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕 ， 把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点 落在正方形内部， 得到折痕 ； 32 根据以上操作，得____ . 45 操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边 重合， 得到折痕 . 把正方形纸片展平，得图④，折痕，与的交点分别为， . 33 【解法提示】如解图①，由题意可得， ， ， ， . 第5题解图① 34 （1）多解法 如图⑤，连接，试判断 的形状并证明； 解： 为等腰直角三角形，证明如下： 解法一：由题意可得 ， 四边形 是正方形， ， ， ， 又 ， 【探究证明】 35 ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形； 解法二： ， ，，， 四点共圆， ， ， ， 为等腰直角三角形； 37 （2）如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交，， 于点 ，，.求证： . 证明：由（1）得 ， ， ， ， ， ， , ， 38 ， 由题意得 ， ， 根据折叠的性质可知， ， ， ， . ， ， ， ； 【深入研究】 多解法 若，请求出的值（用含 的代数式表示）. 解：解法一：将绕点顺时针旋转 得到，连接 ，如 解图②， 第5题解图② 40 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 41 ， 又 ， ， ， ， 由（2）知，四边形 为矩形， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， 由得， ， . 解法二：由题意得， ， 设，则 ， ， ， 如解图③，延长交的延长线于点， 则， ， 第5题解图③ 44 由（2）知为的中点， ， 为的中点，即 ， ， 易得 . ， ， ， ， ， . 45 $