专题4 曲线型（圆）几何综合题 二阶 综合训练-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练优质PPT课件

数学 1 2 专题四 曲线型（圆）几何综合题 3 不含切线的相关证明与计算 1.[2025安徽]如图，四边形的顶点都在半圆上，是半圆 的直径， 连接， . 第1题图 （1）求证： ； 证明：， ， ， ； 4 （2）多解法 若，，求 的长. 第1题图 5 第1题解图① 解：解法一：如解图①，连接，交于点 ， 是半圆 的直径， ，即 ， ， ， ， ， ， 是 的中位线， ， 6 设半圆的半径为，则 ， 在中， ， 在中， ， 即 ， 解得，（舍去），故 . 第1题解图① 第1题解图② 解法二：如解图②，延长，交于点 . ，点为 中点， ， 是 的中位线，， ， 设，则 . 四边形内接于半圆 ， ， ， ， ， 解得 （负值已舍去）， . 8 2.[2025辽宁]如图，在中，，以为直径作，与 相 交于点.连接，与相交于点 . 第2题图 （1）如图①，连接，求 的度数； 9 第2题解图① 解：如解图①，连接 ， ，点是 的中点， ， ， ， ， ， 设， ， 在四边形 中， ， ， ； 10 （2）如图②，若点为的中点，且，求 的长. 第2题图 11 第2题解图② 解：如解图②，连接 ， ，为 中点， ， ， 为等边三角形， ， ， 的长为 . 12 3.[2024绵阳]如图，为的外接圆，弦，垂足为 ，直径 交于点，连接，.若， . 第3题图 （1）证明：四边形 为平行四边形； 13 第3题图 证明：是 的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 为平行四边形； 14 （2）求 的值； 第3题图 15 第3题图 解：设 ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ； 16 （3）求 的值. 第3题图 17 第3题解图 解：如解图，过点作于点 ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 18 ， ， ， 在中， ， 第3题解图 . 4.[2025福建]如图，四边形内接于，， 的延长线相交于点 ，，相交于点是上一点，交于点，且 ， .#1 第4题图 20 第4题图 （1）求证： ； 证明： ， ， ， . ， ； 21 （2）求证： ； 第4题图 22 第4题图 证明：， ， 由（1）知 ， ， ， ， ， ， . ， . ， ， ， ， ； 23 第4题图 （3）多解法 若，，，求 的周长. 24 解：解法一：连接并延长交于点 ，如解图①， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设，则 ， . 25 由（1）知 ， ， ， ， ， ，， ， 四边形为 的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， . 由（2）知， ， 的周长为 . 解法二：由（2）知， ， 的周长为 . 设，则， . 由（2）易得 . 又， ， 28 ， ， .又 ， ， . 如解图②，过点作，垂足为，则 . 四边形是 的内接四边形， ， 又 ， ， . 在中，，即 . ， ，， ， . 在中， ， ，解得或 （舍去）， . 的周长为 . 与切线有关的证明与计算 1.[2025湖北省卷]如图，是的外接圆， .过点 作 ，垂足为，交于点，交于点.过点作 的切线，交 的延长线于点 . 第1题图 31 第1题图 （1）求证： ； 证明：，是的切线，即 ， ，， ， ，即 是等腰直角三角形， ； 32 （2）若，，求 的半径. 第1题图 33 第1题解图 解：，， ， ， ， 即 是等腰直角三角形， . 由（1）得 ， ， 如解图，连接，设 ，则 ， 34 在中， ， 第1题图 ，解得 ， ， 的半径为 . 35 2.[2025北京]如图，过点作的两条切线，切点分别为， ，连接 ，，，取的中点，连接并延长，交于点，连接 . 第2题图 36 第2题图 （1）求证： ； 证明：，分别切于点， 点， ， ， ， ， 又， ， ； 37 （2）多解法 延长交的延长线于点.若， ，求 的长. 第2题图 38 第2题解图① 解：解法一：如解图①，延长交于点，连接 ，则 ， ，分别切于点，点， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 39 ， ， ， ， 又 ， 第2题解图① ， ， ， ， ， ， ， ， . 解法二：如解图②， 第2题解图② 由（1）得 ， 是的中点， ， ， ，即 . 由（1）得，， ， ，即 ， ， 41 ， 同解法一得，， ， ， ， 把代入中，解得 . 3.[2024辽宁]如图，是的外接圆，是的直径，点在 上，，点在的延长线上， . 第3题图 （1）如图①，求证：是 的切线； 43 证明：如解图①，连接 ， 第3题解图① ， ， ， ， ， 44 ，， ， 是的直径， ， ， ，， ， ，即 ， ， 是的半径，是 的切线； （2）如图②，若，，求 的长. 第3题图 46 解：如解图②，连接，设 ， 第3题解图② ， ， ， ， ， ， 47 是的直径， ， ，即 ， ， ，即 ， ， ，的长为 . 4.[2025南充]如图，中， ，于点，以 为 直径的交于点，交于点，为线段上一点， . 第4题图 （1）求证：是 的切线； 49 证明：连接 ，如解图①， 第4题解图① 为的直径，点在 上， ， 50 在和中， ， ， ， ， ，即 ， 又是 的半径， 是 的切线； （2）多解法 若，，求 的长. 第4题图 52 解：解法一：如解图②，连接， . 第4题解图② ， ， ， ， ， 53 ， ， 为的直径， ， 在中， ， 设，则 ， 由勾股定理得 ， ，，解得 ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ，， ， ， 在中， ， ， . 解法二：如解图②，连接， . 为的直径， ， ， 四边形是矩形， ， 在中， ， 设，则 ， ， 56 ， ，， ， 同解法一得 ， ，，是 的中位线， . 第5题图 5.[2025内江]如图，在中， ， 的平分线交于点，点是边 上一点，以 点为圆心、长为半径作圆， 恰好经过点 ，交于点 . 58 （1）求证：直线是 的切线； 第5题解图 证明：连接 ，如解图， ， ， 是 的平分线， ， 是 的半径， 恰好经过点，交于点 ， ， ， ， ， ， 又是 半径， 第5题解图 直线是 的切线； （2）若点为的中点， ，求阴影部分的面积； 第5题图 61 第5题图 解：设的半径为 ， ， 点是 的中点， ， ， 由（1）可知： ， 在中， ， ， ， ， ， 62 ， ， ， 第5题图 ； （3）多解法 连接，若，求 的值. 第5题图 64 解：解法一：如解图，是的直径， ， 在中， ， 设，则 ， ， 由勾股定理得 ， ， ， ， ， 第5题解图 65 ，， ， 由（1）可知 ， ， ， ， ， 在 中， ， 在中， . 第5题解图 解法二：如解图，是 的直径， ， 在中， ， 设，则 ， ， ， ， 第5题解图 67 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 第5题解图 ， ， ， ， 在中， . 第5题解图 6.[2025云南]如图，是五边形的外接圆，是 的直径.连接 ，，， . 第6题图 70 第6题图 （1）若，且 ，求 的度数； 解：，且 ， 是等边三角形， ； 71 （2）求证：直线是 的切线； 第6题图 72 证明：连接并延长交于点，连接 ，如解图①， 第6题解图① 是 的直径， ， ， ， ， ， ，即 ， 是 的半径， 直线是 的切线； 73 第6题图 （3）多解法 探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数， ， 使等式成立？若存在，请直接写出一个 的值 和一个的值，并证明你写出的的值和 的值，使等式 成立；若不存在，请说明理由. 74 解：存在常数，，使等式 成立， 证明如下： 解法一：如解图②，设与交于点 ， 平分， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 75 ， ， ， ， ， 得 ， ， ， ， 此时， . 存在常数， ，使等式 成立. 解法二：如解图③，延长交直线于点 . 平分， . 又 ， ， ， ， . 四边形内接于 ， 77 . 又 ， ， ， ， ， 即 ， 存在常数，，使等式 成立. $