专题1 代数推理-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练优质PPT课件

数学 1 2 专题一 代数推理 3 1.[2024宜宾]如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的 和，那么这个数称为完美数.例如：6的真因数是1，2，3，且 ， 则称6为完美数.下列数中为完美数的是（ ） A. 8 B. 18 C. 28 D. 32 【解析】A. 8的因数有1，2，4，8， ，8不是“完美数”，故 A错误；B.18的因数有1，2，3，6，9，18， ，18 不是“完美数”，故B错误；C.28的因数有1，2，4，7，14，28， ，28是“完美数”，故C正确；D.32的因数有1，2， 4，8，16，32， ，32不是“完美数”，故D错误. √ 4 2.[2025安徽模拟]已知实数，满足， ，则下列结 论错误的是（ ） A. B. C. D. √ 5 【解析】由条件可知 ， ，故A正确，不符合题意；由条件可知， ，，解得 ，故B正确，不符合 题意；由条件及A项可知，，， 解得 ，， ，故C错误， 符合题意；由条件及B项可知，，， ，故D正确，不符合题意. 6 3.[2025广东广州模拟]观察图中数字的排列规律.按照此规律继续排列，若 数字2 025出现在第列第行的位置，则和 的值分别是（ ） 第1列 第2列 第3列 第4列 … 第1行 1 2 9 10 … 第2行 4 3 8 11 … 第3行 5 6 7 12 … 第4行 16 15 14 13 … 第5行 17 … … … … … A. 1，45 B. 45，1 C. 44，2 D. 2，44 √ 7 【解析】由表格得，第一行的第1，3，5列的数分别为1，9，25，为奇数 所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的 第2，4，6行的数分别为4，16，36，为偶数所在行数的平方，然后向右每 一列递减1至与行数相同的列止，，且45为奇数， 数字 2 025出现在第1行第45列的位置，， . 8 4.[2025内江]对于正整数，规定函数 在平面直 角坐标系中，将点中的， 分别按照上述规定，同步进行运算得到 新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）.例如，点 经过第1次 运算得到点，经过第2次运算得到点 ，经过第3次运算得到点 ，经过有限次运算后，必进入循环圈.按上述规定，将点 经过第 2 025次运算后得到点是（ ） A. B. C. D. √ 9 【解析】根据题意可知，点经过第1次运算得到点 ，经过第2次 运算得到点，经过第3次运算得到点 ，与初始点相同，即3次一 循环，， 第2 025次运算后得到的点与第3次运算后 得到的点相同，为 . 10 5. 学习了“整式”之后,嘉淇同学有了一种创新操作：记第1项式 子为，第2项式子为 ，这样我们将第2项式子减去第1项式子 的差记为，将记为，将第2项式子加上 作为第3项式子， 将记为，将第3项式子与 相加记为第4项式子，以此类推，则 （1）____________；（用含, 的式子表示） 【解析】由题意得 ， ，，依次类 推可得 ； 11 （2）第项式子应表示为_______________.（用含， 的式子表示） 【解析】由题意可得第1项式子为 ，第2项式子为 ，第3项式子为 ，第4项式子为 ， ， 第项式子为 . 12 6.李老师正在表演一个神奇的魔术，他邀请一位同学在心里默默想一个1到 9之间的整数，接着按照一系列步骤进行计算：首先将这个数字乘以2，再 加上5，随后把得到的结果乘以50，然后加上1 775；最后用上述计算的结 果减去自己的出生年份.经过一番计算后，若这位同学报出最终运算结果是 615，则这位同学心里想的整数是___. 6 13 【解析】设这位同学心里想的整数是，他的出生年份是 ，则 ，， 是一个1到9之间的整 数， 当时， ，不符合实际出生年份， 当是小于5的整数时，都不符合实际出生年份，当 时， ，符合实际出生年份，当时， ，不符合 实际出生年份，当或9时， 的值也不符合实际出生年份， . 14 7.[2025成都]分子为1的真分数叫作“单位分数”，也叫“埃及分数”.古埃及人 在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如： . 将 拆分成两个单位分数相加的形式为___________；一般地，对于任意 奇数，将 拆分成两个不同单位分数相加的形式为_ _____________. 15 【解析】 ；由题意得，当 时，，当 时， ，当时，， ，当 时，，又， 对于任意奇数 ， . 16 8.[2025长沙]衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生 第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先 就必须遵守数学中的基本法则.例如：下面命题的推理过程所得出的错误结 论就是由于不遵守数学的基本法则导致的. 命题：如果，，为实数，且满足.那么 . 17 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有 ；① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有， ， ；② 第三步：把②代入①，可得 ；③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得 ；④ 第五步：把④两边同时除以，得 .⑤ 18 请你判断上述推理过程中，第____步是错误的，它违背了数学的基本法则. 五 【解析】等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的，等式仍然成立.对于 等式，，， 该 等式两边不能同时除以，上述推理过程中，第五步是错误的. 19 第9题图 9.[2024河北]“铺地锦”是我国 古代一种乘法运算方法，可 将多位数乘法运算转化为一 位数乘法和简单的加法运算. 淇淇受其启发，设计了如图 ①所示的“表格算法”，图① 表示 ，运算结果为 3 036.图②表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆 盖，根据图②中现有数据进行推断，正确的是（ ） 20 第9题图 A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“ ”表示5 C. 运算结果小于6 000 D. 运算结果可以表示为 √ 21 第9题解图 【解析】设一个三位数与一个两位数分别为和 ， 如解图①，则由题意得：，，，， ， 即， 当，时， 不是正整数，不符合题意，故 舍去；当，时，则，，，如解图②， .“20” 左边的数是 ，故本选项不符 合题意；B.“20”右边的“ ”表示4，故 本选项不符合题意；上面的数为 ， 如解图③， 运算结果可以表示为： ，选项符合题意， 当时，运算的结果大于 ，故C选项不符合题意. 22 10.[2025安徽]对于正整数，根据 除以3的余数，分以下三种情况得到另 一个正整数；若余数为0，则；若余数为1，则 ；若余数为 2，则.这种得到的过程称为对进行一次“变换”.对所得的数 再进行一次变换称为对进行二次变换，依此类推.例如，正整数 ， 根据4除以3的余数为1，由 知，对4进行一次变换得到的数为8； 根据8除以3的余数为2，由 知，对4进行二次变换得到的数为9； 根据9除以3的余数为0，由 知，对4进行三次变换得到的数为3. 23 （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为___； 2 【解析】，余数为0， 进行一次变换后得到的数为 ；，进行二次变换后得到的数为 ； ，余数为0， 进行三次变换后得到的数为2； 24 （2）若对正整数进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的 的值之 和为____. 11 【解析】当对正整数 进行一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则 一次变换后的数为 ，此时符合题意；当所得的数除以3的余数为 1时，则一次变换后的数为 ，此时不符合题意；当所得的数除以3的余数 为2时，一次变换后的数为 ，此时不符合题意，综上所述，一次 变换后所得的数为3，当除以3的余数为0时，则 ，符合题 意；当除以3的余数为1时，则，不符合题意；当 除以3的余数为2 时，则，符合题意， 符合题意的值是9或2， 所有满足 条件的的值之和为 . 25 11.[2024重庆B卷]一个各数位均不为0的四位自然数 ，若满足 ，则称这个四位数为“友谊数”.例如：四位数 ， ，是“友谊数”.若 是一个“友谊数”，且 ，则这个数为_______；若 是一个“友谊数”， 设，且是整数，则满足条件的 的最大值是_______. 26 【解析】是一个“友谊数”， ，又 ，，，，， 这个数为3 456； 是一个“友谊数”， ， ， ， 27 是整数，是整数，即 是整数， 是13的倍数，，，， 都是不为0的正整数，且 ，，， 当 时，， 此时不满足 是13的倍数，不符合题意；当时， ，此时不满足 是13的倍数，不符合题意；当 时， ，此时可以满足是13的倍数， ，此时，则 ，， 要使最大，则一定要 满足最大， 满足条件的 的最大值即为6 273. 12.多解法 [2024福建]已知实数，，，，满足， . （1）求证： 为非负数； 证明：解法一：， ， ， ， 则 ， ，，是实数， ， 为非负数； 29 解法二：，，， ， 与为 的两个根， ， 为非负数； 30 解法三：，， ， ， ， 为非负数； 31 （2）若，，均为奇数，， 是否可以都为整数？说明你的理由. 解：解法一：， 不可能都为整数. 理由如下：若， 都为整数，其可能情况有： ①当，都为奇数时，则 必为偶数， 又， ， 为奇数， 必为偶数，这与 为奇数矛盾； 32 ②当，中至少有一个为偶数时，则 必为偶数， 又， ， 为奇数， 必为偶数，这与 为奇数矛盾. 综上所述，， 不可能都为整数. 33 解法二：， 不可能都为整数，理由如下： 假设存在， 均为整数， ， ， ， . ，均为奇数， 为奇数， 与都为奇数， 为偶数. ， 为偶数，这与 为奇数矛盾， ， 不可能都为整数. 34 解法三：， 不可能都为整数，理由如下： 假设存在，均为整数，则， 均为整数， ，，均为奇数，， ， ，也是奇数，即， 都是奇数， ，也均为奇数， 也是奇数， 为偶数，这与 为奇数矛盾， 故， 不可能都是整数. 35 13. 下面是“智慧小组”研究性学习报告的部分内容，请仔细阅读， 并完成相应任务.#1 两连续偶数和与这两数差的平方差 学习了第一章《整式的乘除》后，我们“智慧小组”开展了以下探究活动. 【问题】 两连续偶数和与这两数差（大数-小数）的平方差是否一定能被16整除？ 36 【初步探究】 进行特例探究，选择两个具体的偶数进行验证.如选4和6，为表达方便， 设它们的和为，它们的差为，则， ，发 现 ，96能够被16整除. 继续取几组连续偶数进行验证，发现 的值都能被16整除. 【深入探究】 探究结论的一般性.设两连续偶数分别为和为整数 ，进行如 下验证： ， 续表 37 任务： （1）请你按“智慧小组”的思路完成以上结论的验证； 解：验证如下：， ， ， 为整数， 是整数， 能被16整除，即 的值能被16整除； 38 （2）进一步探究：两连续奇数和与这两数差（大数-小数）的平方差是否 一定能被一个非1的正整数整除？若能，请直接写出 的值；若不能，请 说明理由. 39 【解法提示】设两个连续的奇数为，为整数 ，设它们的 和为，差为，则 ， ，， 为整数，为整数， 能被2或 4整除，即能被2或4整除， 两连续奇数和与这两数差的平方差 一定能被正整数2或4整除. 解： 的值为2或4. 40 $