19.3二次根式的加法与减法第1课时二次根式的加法与减法 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加法与减法 知识分点练 夯基础 知识点1 被开方数相同的最简二次根式 1．若与可以合并，则整数m的最小值为（    ） A．48 B．12 C．3 D．6 2．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．已知最简二次根式与可以合并，则的值是________． 知识点2 二次根式的加法与减法 4．计算：_______． 5．计算：______． 6．计算： (1) (2) 7．计算： (1)； (2)． 8．计算： (1)； (2)． 知识点3 二次根式的加法与减法的应用 9．已知长方形的长，宽． (1)求长方形的周长． (2)求长方形的面积． 能力综合练 练思维 10．一个长方形的周长为，它的一边长为，则另一边的长为（    ） A． B． C． D． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 12．先化简，再求值：已知，求的值． 13．已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 拓展探究练 提素养 14．已知实数，，满足． (1)求，，的值． (2)以，，为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，请说明理由并求出其周长；若不能构成三角形，请说明理由． 15．规定：若，则称与是关于1的“平衡数”． (1)若3与是关于1的“平衡数”，与也是关于1的“平衡数”，求，的值． (2)若，，至少有一个是有理数，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加法与减法 知识分点练 夯基础 知识点1 被开方数相同的最简二次根式 1．若与可以合并，则整数m的最小值为（    ） A．48 B．12 C．3 D．6 【答案】C 【分析】与可以合并，说明二者是同类二次根式，将化简为最简二次根式，即可求解． 【详解】解：， ∵与可以合并， ∴整数m的最小值为3． 2．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 3．已知最简二次根式与可以合并，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．由最简二次根式可以合并可知它们是同类二次根式，被开方数相同，据此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式 与 可以合并， ∴ 与 是同类二次根式， ∴ ， 解得 ． 故答案为：． 知识点2 二次根式的加法与减法 4．计算：_______． 【答案】 【分析】直接根据二次根式的加法运算计算即可． 【详解】解：． 5．计算：______． 【答案】 【分析】先将原式中各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 6．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算绝对值、算术平方根和乘方，再进行加减运算； （2）根据二次根式加减法法则，将同类二次根式的系数相加即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先计算算术平方根与立方根，再计算加减法即可； （2）先化简绝对值，再计算实数的加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 知识点3 二次根式的加法与减法的应用 9．已知长方形的长，宽． (1)求长方形的周长． (2)求长方形的面积． 【答案】(1)长方形的周长为 (2)长方形的面积为1 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据长方形周长公式列出代数式，然后进行计算即可； （2）根据长方形面积公式列出代数式，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 长方形的周长； （2）解：长方形的面积． 能力综合练 练思维 10．一个长方形的周长为，它的一边长为，则另一边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的化简，二次根式的减法运算的应用，先将二次根式化简，再通过周长公式计算出另一边的长度． 【详解】解：∵一个长方形的周长为，它的一边长为， ∴另一边的长为． 故选：C． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式化简二次根式，去括号，再合并即可； （2）原式化简二次根式，再合并即可； （3）原式化简二次根式，去括号，再合并即可； （4）原式化简二次根式，再合并即可； （5）原式化简二次根式，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 12．先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键，根据分式的性质化简，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， ， 把代入，原式． 13．已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)能围成这两个正方形 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵边长分别是，的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴能围成这两个正方形． 拓展探究练 提素养 14．已知实数，，满足． (1)求，，的值． (2)以，，为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，请说明理由并求出其周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)能，周长为，理由见解析． 【分析】本题考查的是二次根式的加减，非负数的性质，三角形的三边关系的知识，掌握算术平方根、绝对值、偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， 且， ，，， ，，． （2）解：，，， 即， 能构成三角形． 周长为：． 15.规定：若，则称与是关于1的“平衡数”． (1)若3与是关于1的“平衡数”，与也是关于1的“平衡数”，求，的值． (2)若，，至少有一个是有理数，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)不是，理由见解析 【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； （2）分两种情况，①当和均为有理数时，然后对所给的进行处理，求出，，进行验证即可；②当和中一个是有理数，另一个是无理数时，有，而此时为无理数，与“平衡数”的概念矛盾，由此可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，知，， ，． （2）解：和不是关于的“平衡数”． 理由如下：①当和均为有理数时， ，即 ，， 解得，． 当，时，， 与不是关于的“平衡数”． ②假设与是关于1的“平衡数”，则有，即， 将代入中，得：， 再根据“，至少有一个是有理数”的条件分类讨论： ①若为有理数，则也为有理数， 此时必有且，分别解得和，产生矛盾， ②若为无理数，则必为有理数， 但从来看，一个有理数等于一个无理数，产生矛盾． 综上，假设不成立． 故与不是关于1的“平衡数”． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $