19.2二次根式的乘法与除法第3课时最简二次根式 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

19.2二次根式的乘法与除法 第3课时最简二次根式 知识分点练 夯基础 知识点1 最简二次根式 1．下列根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）． 知识点2 化简二次根式 3．把下列各式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 4．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 知识点3 二次根式的含参数问题 6．若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 7．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 8．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 知识点4 二次根式的应用 9．如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷，若绳子的长度是，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？ 能力综合练 练思维 10．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 11．小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为________． 12．化简： （1）__________． （2）__________． （3）__________． 13．计算： (1)； (2)； (3)． 14．已知一个底面积为的长方体纸盒，长、宽、高的比为． (1)这个长方体纸盒的体积是多少？ (2)若再做一个长方体纸盒，高和体积不变，底面为正方形，则这个纸盒的底面边长是多少？ 拓展探究练 提素养 15．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地时需经过C地沿折线行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，，隧道开通后，汽车从A地到B地行驶的直线距离为多少千米?    16．观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并给出证明过程． 17.如图甲，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，体积为． (1)这个魔方的棱长为 （用代数式表示）； (2)当魔方体积时， ①这个魔方的棱长为 ； ②图甲中阴影部分是一个正方形，则正方形的边长为 ； ③把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则点D在数轴上表示的数为 ； ④请在图乙中的数轴上准确画出表示实数的点E的位置（保留作图痕迹）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2二次根式的乘法与除法 第3课时最简二次根式 知识分点练 夯基础 知识点1 最简二次根式 1．下列根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断各选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 对选项A：∵ = = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项B：∵ = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项C：∵的被开方数是3，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式． 对选项D：∵ = = ，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式． 综上，答案选C． 2．下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式． 【详解】解：①的被开方数为分数，不是整数，不是最简二次根式； ②的被开方数为质数，且分母无根号，是最简二次根式； ③的被开方数含完全平方因式，不是最简二次根式； ④的被开方数含完全平方因数，不是最简二次根式； ⑤的被开方数为质数，是最简二次根式． 故答案为：②⑤． 知识点2 化简二次根式 3．把下列各式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将写成，然后利用进行化简即可； （2）先将写成，然后利用进行化简即可； （3）先将写成，然后利用进行化简即可； 本题主要考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 4．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式． 把二次根式中能开得尽方的因数开出来，即可得到最简二次根式； 把二次根式分母有理化，即可得到最简二次根式； 把根号下的化为分数，再进行分母有理化； 把二次根式分母有理化． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 5．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 知识点3 二次根式的含参数问题 6．若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【答案】C 【分析】二次根式的被开方式中不含分母，且不含一个数或式的平方因式，就叫作最简二次根式． 【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意； D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意． 7．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简． 先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得：． 故选：C． 8．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最简二次根式定义，二次根式性质，根据最简二次根式的定义，被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式，即 不能是平方数或含有平方因子，尝试最小的正整数，从开始验证． 【详解】解：当时，，16是4的平方，因此不是最简二次根式； 当时，，23是质数，没有平方因子，因此是最简二次根式． 故最小的正整数为2． 故答案为：2． 知识点4 二次根式的应用 9．如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷，若绳子的长度是，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？ 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的公式．由题意可得的长，，然后根据勾股定理求出的长度即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，， ∴由勾股定理得：， 答：帐篷支撑竿的高是． 能力综合练 练思维 10．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 11．小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算与化简，掌握好相关知识是关键． 先计算长方形的面积，再根据正方形面积相等求边长． 【详解】解：长方形的面积为， ∵正方形的面积与长方形相等， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 12．化简： （1）__________． （2）__________． （3）__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．正确化简二次根式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （2）先将被开方数化为正分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （3）先将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简． 【详解】解：（1）∵ = ，而 ，， ∴原式 = . 故答案为： . （2）， . 故答案为：． （3）， . 故答案为：． 13．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的乘法法则，先将系数与被开方数分别相乘，再化简结果； （2）将除法转化为乘法，结合二次根式的性质化简，再进行约分计算； （3）按照从左到右的顺序，依次运用二次根式乘除运算法则，结合幂的运算性质化简，最终得到结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 14．已知一个底面积为的长方体纸盒，长、宽、高的比为． (1)这个长方体纸盒的体积是多少？ (2)若再做一个长方体纸盒，高和体积不变，底面为正方形，则这个纸盒的底面边长是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查长方体的体积，二次根式的化简， （1）设长、宽、高分别为：，，，求出，得出长、宽、高分别为：，，，进而求出体积即可； （2）先求出底面为正方形的面积为：，进而求出边长． 【详解】（1）解：设长、宽、高分别为：，，， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴长、宽、高分别为：，，， ∴长方体纸盒的体积是； （2）解：∵高和体积不变， ∴底面为正方形的面积为：， ∴底面边长为． 拓展探究练 提素养 15．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地时需经过C地沿折线行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，，隧道开通后，汽车从A地到B地行驶的直线距离为多少千米?    【答案】汽车从A地到B地比原来少走千米 【分析】过C作于D，在中，根据，，解直角三角形求出、的长度，然后在中，求出、的长度，用即可求解． 【详解】解：过C作于D，如图所示：    在中， ∵，， ∴，， 在中， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 则． 答：汽车从A地到B地比原来少走． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形． 16．观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并给出证明过程． 【答案】(1)第5个等式： (2)第n个等式为：（n为正整数），证明见解析； 【分析】（1）由前面4个等式可得被开方数为1与一个分数的和，这个分数的分母是序号加1的平方，分子是一列从5开始的奇数，右边是分数，分母为序号加1，分子比分母大1，从而可得第5个等式； （2）由（1）归纳出第n个等式，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． （2）由（1）可得：第n个等式为：（n为正整数） 证明如下： 左边 右边． 【点睛】本题考查的是二次根式的规律探究，掌握探究方法并总结规律是解本题的关键． 17.如图甲，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，体积为． (1)这个魔方的棱长为 （用代数式表示）； (2)当魔方体积时， ①这个魔方的棱长为 ； ②图甲中阴影部分是一个正方形，则正方形的边长为 ； ③把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则点D在数轴上表示的数为 ； ④请在图乙中的数轴上准确画出表示实数的点E的位置（保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)①4；②；③；④见解析． 【分析】本题考查数轴表示数，立方根，掌握立方根的意义以及数轴表示的方法是解决问题的关键． （1）根据体积的计算方法，可表示其棱长， （2）①由魔方体积，可求出魔方的棱长； ②求出每个小立方体的棱长，再根据勾股定理可求出答案； ③求出点D所表示数的绝对值，再得出点D所表示的数； ④利用勾股定理求出长度为的线段，再在数轴上确定的位置． 【详解】（1）因为拼成的魔方体积为． 所以正方形的边长为， 故答案为：； （2）当魔方体积时， ①∵， ∴， 所以这个魔方的棱长为； 故答案为：4； ②因为魔方的棱长为； 所以每个小立方体的棱长为， 所以阴影部分正方形的边长为， 答：阴影部分正方形的边长为， 故答案为：； ③点D到原点的距离为：， 又因为点D在原点的左侧， 所以点D所表示的数为， 故答案为：； ④如图，作一个长为2，宽为1的矩形，使以原点为一个顶点，长为2的边在数轴的负半轴，再以矩形的对角线的长为半径，原点为圆心画弧，与数轴的负半轴相交于点E，点E所表示的数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $