导数与函数零点、不等式同步讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

导数与函数零点、不等式问题 一．重点知识点梳理 1.利用导数研究方程的解与函数零点个数问题 （1）数形结合法：直接构造函数，利用导数研究其在定义域上的单调性、极值与最值，画出函数的大致图像，再根据极值或最值的正负讨论交点个数。 （2）分离参数法：有些时候直接研究含参函数性质时需要分类讨论会比较麻烦，这个时候我们看能否对其进行参数分离，转化成的形式，然后研究无参函数的图像，在讨论与图像交点个数。 2.利用导数证明不等式 (1)构造函数：h(x)=f(x)-g(x)。 (2)问题转化为证明：f(x)-g(x)≥0，即证h(x)≥0即可。 (3)讨论单调性：根据h'(x)与0的大小关系确定函数h(x)的单调性。 (4)求最值：由函数h(x)的单调性确定最值，并确认h(x)≥h(x)min≥0即可。 注：有些时候在证明不等式的时候需要做一定的变形处理，才能顺利按照正常的做法完成证明，常见的处理类型有以下两种： ①幂函数与的积商形式 对于这类函数,一般来说，每次求导数，多项式的次数就降低一次，但最终的导数形式需化成不含的式子，如，需两次求导才能化成不含的式子，如果把分离出来，只需一次求导就可化成不含的式子，所以，在解决这类问题时，方法是：尽可能把分离出来. ②幂函数、与的混合形式 对于同时含有幂函数、与的形式，一般的处理方法或思路是： 1）把与含幂函数形式的代数式配对，把与含幂函数形式的代数式配对，构造凹、凸函数，然后证明凹函数的最小值大于凸函数的最大值，称为凹凸反转方法。 2）同构构造 3.恒成立与存在性问题求参数范围 （1）直接构造函数求解恒成立、存在性问题，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值，因含有参数，大多要分类讨论。 恒成立问题最值转化 ① ∀x∈D，均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A； ② ∀x∈D，均有f(x) >g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) >0，则 F(x)min >0； ③ ∀x1∈D， ∀x2∈E，均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)max； 存在性问题最值转化 ①，使得成立，则； ②，使得成立，设，则； ③， ， 使得成立，则； ④, ,均使得成立，则，（其中、 ） (2)利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立、存在性问题中参数的取值范围的基本步骤: ①将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式； ②求在上的最大（或最小）值； ③解不等式(或)，得的取值范围. 4.“隐零点”问题 求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点.我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题．我们称这类问题为“隐零点”问题．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法： 第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f ′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到等等；至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围。 第2步：以零点为分界点，说明导函数f ′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键。 第3步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小，导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可。 二．典例分类分析 （一）导数与函数的零点问题 1．判断函数的零点个数。 【详解】易知的定义域为，， 令，解得或，∴在和上单调递减， 令，解得或，∴在和上单调递增， 当时，取得极大值，易知在上没有零点； 当时，取得极小值，且，， 可知在上有2个零点．综上所述，的零点个数为2． 2．已知函数，求证：存在唯一零点； 【详解】，. 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减； 所以，即. 所以在上单调递增，. 则在上，存在，使得，即存在唯一零点； 3．已知函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围。 【详解】函数 有2个极值点等价于 有2个零点， 令 ， ，令 ， ，当 时 ，当 时， 是增函数， 当 时， 是减函数， ，当x趋于0时， 趋于 ， 当 时， ， ，当x趋于 时 趋于0， 的图像大致如下： 所以a的取值范围是 ； 故答案为：. 4．已知函数区间内有唯一零点，求的取范围 【详解】令，可得，令，可得， 令，恒成立，函数在区间是单调增函数， 所以，所以，在区间是单调增函数， 所以有， 函数在区间内有唯一零点， ，则的可能取值为：. 故答案为： 5．已知函数存在唯一的零点，求实数a的取值范围。 【详解】定义域为R，， 当时，恒成立，故在R上单调递减， 又，， 由零点存在性定理得：存在唯一的使得：，故满足要求， 当时，由得或， 由得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 当时，， 所以函数存在唯一的零点，只需， 解得：，与取交集后得到， 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 6.已知函数在上有零点，求a的取值范围 【详解】：函数在上有零点， 等价于关于的方程在上有解， 即在上有解. 令，则 由，得；由，得. 则在上单调递增，在上单调递减. 因为，， 所以，则， 即. 7.已知函数有两个零点，求实数a的取值范围。 【详解】：由题意，函数的定义域为， 令，即， 当，可得， 设，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 又由，且当时，，时，， 要使得函数有两个零点，则和的图象有两个交点， 如图所示，结合图象，可得， 即实数a的取值范围. 8. 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线，求a的取值范围． 【详解】：，则在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得， 则，整理得， 令，则，令，解得或， 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 9．已知函数. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围. 【详解】（Ⅰ） 当，则当时，；当时，. 所以f（x）在单调递减，在单调递增. 当，由得x=1或x=ln（-2a）. ①若，则，所以在单调递增. ②若，则ln（-2a）＜1,故当时，； 当时，，所以在单调递增，在单调递减. ③若，则，故当时，， 当时，，所以在单调递增，在单调递减. （Ⅱ）当，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增. 又，取b满足b＜0且， 则，所以有两个零点. 当a=0，则，所以只有一个零点. 当a＜0，若，则由（Ⅰ）知，在单调递增. 又当时，＜0，故不存在两个零点； 若，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.又当时＜0，故不存在两个零点. 综上，a的取值范围为. （二）不等式证明 1.函数f(x)=x+ax2+bln x的图象在点P(1,0)处的切线斜率为2。 (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)≤2x-2对任意正实数x恒成立. 【详解】:(1)由题设可知f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1+2ax+, ∵y=f(x)在点P(1,0)处切线的斜率为2, ∴f(1)=1+a=0,f'(1)=1+2a+b=2, 解得a=-1,b=3. (2)证明:由(1)知f(x)=x-x2+3ln x(x>0), 则转化为证明2-x-x2+3ln x≤0对任意正实数x恒成立,设g(x)=2-x-x2+3ln x,x>0, 则g'(x)=-1-2x+, ∴当0<x<1时,g'(x)>0; 当x>1时,g'(x)<0.∴g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴g(x)在x=1处有最大值g(1)=0, ∴g(x)≤0对任意正实数x恒成立, 即2-x-x2+3ln x≤0对任意正实数x恒成立, 即f(x)≤2x-2对任意正实数x恒成立,原命题得证. 2.已知函数，求证：当时，； 【详解】要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. 3.已知函数,证明： 【详解】:∵ ∴当x∈(0,e)时，f '(x)>0；当x∈(e，+∞)时，f '(x)<0。 ∴函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞), ∴ 设 则 ∴当时,g'(x)<0; 当x∈时,g'(x)>0, ∴函数g(x)的单调递减区间为,单调递增区间为, ∴g(x)min= ∵ ∴g(x)min>0. 又f(x)≤f(x)max=0, ∴ 4.设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 【详解】（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； （2）由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以． 综合（ⅰ）（ⅱ）有． 5．已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 （三）已知不等式问题求参数范围 1.已知函数，若，求a的取值范围； 【详解】：的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 2.已知函数，若对任意的恒成立，求a的取值范围. 【详解】：对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立. 设，其中，则， 由，得；由，得. 则在上单调递增，在上单调递减. 从而，故，即a的取值范围是. 3.已知. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围. 【详解】（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是. 4．已知函数（）． (1)讨论的单调性；[来源:学科网ZXXK] (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）； 【详解】：（1） , 当时，的单调增区间为，单调减区间为； 当时，的单调增区间为，单调减区间为； （2）令 若,, 是增函数, 无解. 若,，,是减函数;, 是增函数 , . 若，， 是减函数, ， 综上所述： 5．已知函数，当时，，求的取值范围． 【详解】：， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 6.已知函数f（x）＝ex﹣ax+x． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）当x＞0时，f（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围． 【详解】：（1）f ′（x）＝ex﹣a+1， 当﹣a+1≥0，即a≤1时，f ′（x）＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立， 所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增， 当﹣a+1＜0，即a＞1时， 在（ln（a﹣1），+∞）上，f ′（x）＞0，f（x）单调递增， 在（﹣∞，ln（a﹣1））上，f ′（x）＜0，f（x）单调递减， （2）因为当x＞0时，f（x）≥x2+1恒成立， 所以当x＞0时，ex﹣ax+x≥x2+1恒成立， 所以当x＞0时，恒成立， 令， 令h（x）＝ex﹣x﹣1， h′（x）＝ex﹣1， 当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减， 所以h（x）≥h（0）＝0， 所以当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 所以g（x）min＝g（1）＝e﹣1， 所以a≤e﹣1， 故a的取值范围（﹣∞，e﹣1]． （四）“隐零”点问题 1.求证：函数的图象在x轴上方. 【详解】：， ，易知单调递增， 又，， ∴在上存在一个， 使得：，即：，且， 当，有单调递减； 当，有单调递增. ∴， ∴， ∴函数的图象在x轴上方. 2.已知函数，若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：． 【详解】设，则，    设，则， 因为在上递增， 所以当时，，当时， 所以在上递减，在上递增， 所以，    令，则 所以在递减， 因为， 所以，所以． 3．已知，若对恒成立，求整数a的最小值． 【详解】由，可得：， ∵，∴原命题等价于对恒成立． 令，∴， 令，∴，∴在上单调递增． 又， 故存在唯一的，使得． 当时，，∴， ∴在上单调递增， 当时，，∴， ∴在上单调递减． ∴， ∴时，恒成立． ∴，又，∴a的最小整数值为2． 4．已知函数．证明：当时，． 【详解】：因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，所以． 设，则． 所以在区间内单调递减，故，即成立． 5.设函数. （1）讨论的导函数的零点的个数； （2）证明：当时. 【详解】：（1）的定义域为，. 当时,，没有零点； 当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点. （2）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，; 当时，. 故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为. 由于，所以. 故当时，. 6．已知函数，若不等式恒成立，求a的取值范围． 【详解】,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数与函数零点、不等式问题 一．重点知识点梳理 1.利用导数研究方程的解与函数零点个数问题 （1）数形结合法：直接构造函数，利用导数研究其在定义域上的单调性、极值与最值，画出函数的大致图像，再根据极值或最值的正负讨论交点个数。 （2）分离参数法：有些时候直接研究含参函数性质时需要分类讨论会比较麻烦，这个时候我们看能否对其进行参数分离，转化成的形式，然后研究无参函数的图像，在讨论与图像交点个数。 2.利用导数证明不等式 (1)构造函数：h(x)=f(x)-g(x)。 (2)问题转化为证明：f(x)-g(x)≥0，即证h(x)≥0即可。 (3)讨论单调性：根据h'(x)与0的大小关系确定函数h(x)的单调性。 (4)求最值：由函数h(x)的单调性确定最值，并确认h(x)≥h(x)min≥0即可。 注：有些时候在证明不等式的时候需要做一定的变形处理，才能顺利按照正常的做法完成证明，常见的处理类型有以下两种： ①幂函数与的积商形式 对于这类函数,一般来说，每次求导数，多项式的次数就降低一次，但最终的导数形式需化成不含的式子，如，需两次求导才能化成不含的式子，如果把分离出来，只需一次求导就可化成不含的式子，所以，在解决这类问题时，方法是：尽可能把分离出来. ②幂函数、与的混合形式 对于同时含有幂函数、与的形式，一般的处理方法或思路是： 1）把与含幂函数形式的代数式配对，把与含幂函数形式的代数式配对，构造凹、凸函数，然后证明凹函数的最小值大于凸函数的最大值，称为凹凸反转方法。 2）同构构造 3.恒成立与存在性问题求参数范围 （1）直接构造函数求解恒成立、存在性问题，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值，因含有参数，大多要分类讨论。 恒成立问题最值转化 ① ∀x∈D，均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A； ② ∀x∈D，均有f(x) >g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) >0，则 F(x)min >0； ③ ∀x1∈D， ∀x2∈E，均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)max； 存在性问题最值转化 ①，使得成立，则； ②，使得成立，设，则； ③， ， 使得成立，则； ④, ,均使得成立，则，（其中、 ） (2)利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立、存在性问题中参数的取值范围的基本步骤: ①将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式； ②求在上的最大（或最小）值； ③解不等式(或)，得的取值范围. 4.“隐零点”问题 求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点.我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题．我们称这类问题为“隐零点”问题．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法： 第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f ′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到等等；至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围。 第2步：以零点为分界点，说明导函数f ′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键。 第3步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小，导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可。 二．典例分类分析 （一）导数与函数的零点问题 1．判断函数的零点个数。 2．已知函数，求证：存在唯一零点； 3．已知函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围。 4．已知函数区间内有唯一零点，求的取范围 5．已知函数存在唯一的零点，求实数a的取值范围。 6.已知函数在上有零点，求a的取值范围 7.已知函数有两个零点，求实数a的取值范围。 8. 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线，求a的取值范围． 9．已知函数. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围. （二）不等式证明 1.函数f(x)=x+ax2+bln x的图象在点P(1,0)处的切线斜率为2。 (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)≤2x-2对任意正实数x恒成立. 2.已知函数，求证：当时，； 3.已知函数,证明： 4.设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 5．已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． （三）已知不等式问题求参数范围 1.已知函数，若，求a的取值范围； 2.已知函数，若对任意的恒成立，求a的取值范围. 3.已知. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围. 4．已知函数（）． (1)讨论的单调性；[来源:学科网ZXXK] (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）； 5．已知函数，当时，，求的取值范围． 6.已知函数f（x）＝ex﹣ax+x． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）当x＞0时，f（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围． （四）“隐零”点问题 1.求证：函数的图象在x轴上方. 2.已知函数，若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：． 3．已知，若对恒成立，求整数a的最小值． 4．已知函数．证明：当时，． 5.设函数. （1）讨论的导函数的零点的个数； （2）证明：当时. 6．已知函数，若不等式恒成立，求a的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $