第02讲二次根式的乘法与除法2025-2026学年人教版数学八年级下册

第02讲二次根式的乘法与除法 【题型1】二次根式的乘法 例题1．计算：______． 例题2．若为正整数，且满足，则_____． 【针对训练】 1．计算：______． 2． ______． 3．计算：________． 4．化简的结果为______． 【题型2】二次根式的除法 例题1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．化简的结果是__________． 【针对训练】 1．_____． 2．计算： 3． 计算： 【题型3】二次根式的乘除混合运算 例题1.对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 例题2．计算： 【针对训练】 1．计算： (1) (2)（） 2．计算： (1) (2) 3．计算： (1)； (2)． 4．运算能力计算： (1)； (2)． 【题型4】最简二次根式的判断 1．下列根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 例题2．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．下列式子中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式是最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型5】已知最简二次根式求参数 例题1．若，则（    ） A． B． C． D． 例题2．若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【针对训练】 1．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 2．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 3．若与最简二次根式能合并，则的值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲二次根式的乘法与除法 【题型1】二次根式的乘法 例题1．计算：______． 【详解】解：． 例题2．若为正整数，且满足，则_____． 【详解】解：， 因为， 所以， 即， ， 即， 所以． 【针对训练】 1．计算：______． 【详解】解：． 2． ______． 【详解】解：根据二次根式的乘法法则，可得：． 3．计算：________． 【详解】解：． 4．化简的结果为______． 【详解】解：由二次根式的被开方数为非负数且分母不为0，得， ∴ ∴原式. 【题型2】二次根式的除法 例题1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，则，A错误； B、表示4的算术平方根，结果为非负数，则，B错误； C、，则，C正确； D、，D错误． 例题2．化简的结果是__________． 【详解】解： 由，根据题意，得， 故答案为：． 【针对训练】 1．_____． 【详解】解：． 2．计算： 【详解】解： 3．计算： 【详解】解： ． 【题型3】二次根式的乘除混合运算 例题1.对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 【详解】解： ． 例题2．计算： 【详解】解：原式. 【针对训练】 1．计算： (1) (2)（） 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．计算： (1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 3．计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．运算能力计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型4】最简二次根式的判断 1．下列根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 对选项A：∵ = = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项B：∵ = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项C：∵的被开方数是3，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式． 对选项D：∵ = = ，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式． 综上，答案选C． 例题2．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解 ：A 、是最简二次根式； B、 的被开方数含分母，不是最简二次根式； C、 的被开方数9是能开得尽方的因数，化简后为3，不是最简二次根式； D 、，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 故选A． 【针对训练】 1．下列式子中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【详解】∵最简二次根式的定义为：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式， 对选项A，=，被开方数含有分母，不是最简二次根式， 对选项C，分母含有根式，可化简为，不是最简二次根式， 对选项D，==，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 对选项B，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义， 2．下列二次根式是最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【详解】解：对于选项A：的被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于选项B：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于选项C：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于选项D：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． ∴选D． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵选项A，的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项B，，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，∴是最简二次根式，本选项符合题意； ∵选项D，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：C． 【题型5】已知最简二次根式求参数 例题1．若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由题意可得：， 例题2．若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意； D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意． 【针对训练】 1．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【详解】解：当时，，16是4的平方，因此不是最简二次根式； 当时，，23是质数，没有平方因子，因此是最简二次根式． 故最小的正整数为2． 故答案为：2． 2．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：1． 3．若与最简二次根式能合并，则的值为________． 【详解】解：， ∴被开方数为2， ∵与最简二次根式能合并， 又∵是最简二次根式， ∴的被开方数与2相同， 即，解得， 故答案为：1． 学科网（北京）股份有限公司 $