19.1 二次根式及其性质 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第01讲二次根式及其性质 【题型1】二次根式的识别 例题1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式； D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 例题2．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 【针对训练】 1．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A选项：的根指数为2，被开方数，满足二次根式定义，一定是二次根式； B选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； C选项：的根指数为3，不是二次根式； D选项：当时，无意义，不一定是二次根式． 2．在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 【详解】解：∵二次根式的定义为形如的式子， ∴A选项是负整数，不符合二次根式的形式； B选项是整数，不符合二次根式的形式； C选项是无理数，不符合二次根式的形式； D选项满足的形式，是二次根式． 3．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A选项：，被开方数为负数，式子无意义，不是二次根式，故A不符合题意； B选项：的根指数为2（省略不写），被开方数，符合二次根式定义，是二次根式，故B符合题意； C选项：的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，故C不符合题意； D选项：，，，被开方数为负，式子无意义，不是二次根式，故D不符合题意． 【题型2】二次根式有意义的条件 例题1．若在实数范围内有意义，则的值可以是（    ） A．－2 B．3 C．－1 D．0 【详解】解：由二次根式有意义的条件得， 解得 ． B选项符合题意． 例题2．若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数满足， 解不等式得． 【针对训练】 1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【详解】代数式有意义， ，， 且， 则实数x的取值范围是且． 2.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上的表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴，解得， ∴解集在数轴上表示，如图， 故选：C． 3．若代数式有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【详解】∵二次根式有意义， ∴需满足， 解，得， 解，得， ∴的取值范围是且， 【题型3】二次根式的性质 例题1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴A错误. ∵，，与不是同类项，不能合并， ∴B错误. ∵， ∴C正确. ∵， ∴D错误. 例题2．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 【详解】因为，， 所以原式． 【针对训练】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A选项，根据积的乘方的运算法则，可得：，故A选项正确； B选项：根据同底数幂的乘法法则，可得：，故B选项错误； C选项：根据平方根的定义，可得：，故C选项错误； D选项：根据合并同类项的法则，可得：，故D选项错误． 2．如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 3．已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 【题型4】求二次根式的值 例题1．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 例题2．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：A． 【针对训练】 1．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：当时， ． 故选：B． 2．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【详解】解： 3．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【详解】解：当时， ． 答：肉眼能看到的地面最远距离大约是． 【题型5】求二次根式中的参数 例题1．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【详解】解：， ∵是整数，且n是正整数， ∴正整数的最小值是21． 例题2．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 【针对训练】 1．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 2．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 3.若二次根式的值为0，则的值为________． 【详解】解：∵二次根式 的值为， ∴被开方数 ， 解得 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲二次根式及其性质 【题型1】二次根式的识别 例题1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 例题2．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【针对训练】 1．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 3．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】二次根式有意义的条件 例题1．若在实数范围内有意义，则的值可以是（    ） A．－2 B．3 C．－1 D．0 例题2．若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上的表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若代数式有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【题型3】二次根式的性质 例题1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 例题2．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 【针对训练】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 3．已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【题型4】求二次根式的值 例题1．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 例题2．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 【针对训练】 1．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 3．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【题型5】求二次根式中的参数 例题1．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 例题2．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 3.若二次根式的值为0，则的值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $