专题12 解直角三角形的最值模型之胡不归模型（几何模型讲义）数学人教版九年级下册

该初中数学讲义以“胡不归模型”为核心，通过“模型来源-真题解析-模型提炼-应用拓展”的逻辑框架系统梳理知识，结合构造射线转化线段的步骤图，清晰呈现“BC+k·AC最小值”问题的转化思路，突出转化与化归思想及垂线段最短的核心依据。 讲义亮点在于真题与模型深度结合，例题涵盖菱形、矩形、二次函数等背景，练习题分层设计，引导学生通过构造三角函数转化线段，培养推理能力与模型意识。每个模型配有步骤解析和易错提醒，帮助不同层次学生掌握方法，为教师实施精准教学提供支持。

专题12 解直角三角形的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.胡不归模型（最值模型） 4 14 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （25-26九年级上·吉林长校考期中）【模型认知】如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图；（2）补全解题过程中缺失部分； 【模型应用】如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（24-25八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点．（1） ；（2）的最小值为 ． 例2（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．①四边形是正方形吗？请说明理由；②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 例3（24-25·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ． 例4（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（      ）    A． B． C． D．10 例5（24-25九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 例6（25-26上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    例7（24-25·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 例8（24-25八年级下·云南临沧·期中）如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上一动点，为上一定点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 例9（2025·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例10（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________． (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接、．若的面积，求点P的坐标． (3)设E为线段上任意一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．    1．（25-26.广西九年级期中）如图，是圆的直径，，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为　　 A． B． C． D． 2．（25-26·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为　　 A．4 B．5 C． D． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，四边形内接于，为的直径，，，D为弧的中点，M是弦上任意一点（不与端点A、C重合），连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 4．（25-26上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为 ． 5．（25-26·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ． 6．（25-26上·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰中，，，，点是直线上一点，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接，则的最小值为 （用含的代数式表示）．    7．（25-26·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___． 8．（2019·江苏南通·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于 ． 9．（2025九年级下·甘肃张掖·学业考试）如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1） ；（2）的最小值为 ． 10．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，．点是在边上的动点，则的最小值是 ． 11．（25-26九年级上·湖北·期末）在等边中，是射线上的点． (1)如图1，点在边上，以为边在左侧作等边三角形，求证：； (2)如图2，点在边的延长线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若为的中点，猜想：与之间的位置关系是________，数量关系是________，请证明你的结论； (3)在（2）的条件下，连接，若，直接写出的最小值为________． 12.（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积；(3)若，求的最小值． 13．（2025·江苏苏州·二模）如图，抛物线的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，其中点坐标，点坐标．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点为轴上一个动点，则最小值为_______． 14．（2025·广东广州·校考二模）如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，．(1)求的长；(2)连接，若，求证：；(3)若，试求的最小值．    15．（24-25九年级上·重庆巴南·月考）如图，中，，，点D是射线上一点，连接，过点C作于点E，过点A作交于点F． (1)如图1，点D在线段上，，，求的面积； (2)如图2，点D在延长线上，若，过点F作于点H，连接，求证：； (3)如图3，点D在的延长线上，，，点N在的延长线上，点M在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 16．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为． （1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 解直角三角形的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.胡不归模型（最值模型） 4 14 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （25-26九年级上·吉林长校考期中）【模型认知】如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图；（2）补全解题过程中缺失部分； 【模型应用】如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】模型认知：垂线段最短；模型探究：（1）见解析；（2）；模型应用：6 【详解】解：模型认知：由题意得，“▲”处应填写的推理依据为垂线段最短； 模型探究：（1）如图所示，即为所求； （2）过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∵， ∴当最小时，有最小值，此时、、三点在同一条直线上， ∴此时是等腰直角三角形，∴，，∴的最小值为； 模型应用：如图所示，作，过点C作于D，则； 在中，当时，，当时，， ∴，∴，∴，， ∴，∴；∵， ∴当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线， 在中，，∴的最小值为6． 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（24-25八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点．（1） ；（2）的最小值为 ． 【答案】 30 【详解】解：（1）∵菱形，∴，， 又，∴是等边三角形，∴， ∴，故答案为：30； （2）过P作于Q，过M作于H， ∵，∴，∴， ∴当M、P、Q三点共线，即Q和H重合时，最小，最小值为， ∵是等边三角形，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴，故答案为：． 例2（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．①四边形是正方形吗？请说明理由；②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 【答案】①是，理由见解析；② 【详解】解：①如图3，连接， 由（2）的结论可知，， 四边形是正方形，是正方形的对角线，，， ，，，， 由折叠可知，，，，， ，，，， ，四边形是菱形，，菱形是正方形； ②如图4，作交的延长线于点，作于点， ，由上知四边形是正方形， ，，，， ，，，； ，，是等腰直角三角形，， ，，，； 如图4，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点， 则是等腰直角三角形，，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长．，， ，，，， ，即的最小值为．故答案为：． 例3（24-25·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点F作于点G，如图， ∵四边形为矩形，∴，，∵，∴为等边三角形， ∴，，∴，． ∵，∴，，∴， 当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值， ∵点E是的中点，∴，则， ∵，∴，∴，∴，解得：， 综上：的最小值为，故答案为：． 例4（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（      ）    A． B． C． D．10 【答案】B 【详解】解：如图，作于，于．    ，，，设，， 则有：，，解得（舍去），∴， ，，，则∴， ，，，， ，当C、D、H三点共线时，，的最小值为． 故选：B． 例5（24-25九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则， ∴， ∴ ． 即的最小值为6．故选B． 例6（25-26上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，∴， 在线段下方作，过点作于点，连接，      ∴，∴， 当、、三点共线时，的值最小， 此时，∴，∴，， ∴，∴的最小值为：， ∴的最小值为．故答案为：． 例7（24-25·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 例8（24-25八年级下·云南临沧·期中）如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上一动点，为上一定点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作，交延长线于，过作，交延长线于，连接，则， ∵四边形为平行四边形，，，，， ，，是直角三角形，， 四边形为平行四边形，， ，，， ∽，，， ， ，四边形是矩形，， 当是与交点时，， 故的最小值为，故选：B． 例9（2025·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 例10（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________． (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接、．若的面积，求点P的坐标． (3)设E为线段上任意一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．    【答案】(1)，(2)或或(3)点M的运动时间的最小值为7秒 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得：，，故答案为：，； （2）解：设x轴上点D，使得的面积，，解得：， ，，则可求直线解析式为：，故点D坐标为或， 当D坐标为时，过点D平行于的直线l与抛物线交点为满足条件的P， 则可求得直线l的解析式为：， 求直线l与抛物线交点得：，解得：，， 则P点坐标为或，同理当点D坐标为时，直线l的解析式为， 求直线l与抛物线交点得：，解得：（舍弃），， 则点P坐标为，综上满足条件P点坐标为：或或； （3）解：如图，在x轴上取一点G，连接CG，使得，作于N．作于交BC于．      ，，， ，直线的解析式为， 点M的运动时间， ，点M的运动时间， 根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与重合，点E与重合时，点M的运动时间最少． 由题意，，，点M的运动时间的最小值为7秒，此时． 1．（25-26.广西九年级期中）如图，是圆的直径，，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：的度数为，，是直径，， ，作，于，于，连接． ，，在中，，， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为， ，，在中，，， ，的最小值为，故选：． 2．（25-26·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为　　 A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【解答】如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点． 四边形是菱形，， ，，， ，，， ，，， ，，的最小值为4，故选：． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，四边形内接于，为的直径，，，D为弧的中点，M是弦上任意一点（不与端点A、C重合），连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：过点作于，过点作于，连接， 为的直径，，，， ，，， ，的最小值为的长， 为弧的中点，， 在中，， ，的最小值为，故选：A． 4．（25-26上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为 ． 【答案】12 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵，∴，过点P作于点E，如图所示： ∴，∴，∴当取最小时，即为最小， ∴当点B、P、E三点共线时且时最小，如图所示： ∵为等边三角形，∴，∴最小值为；故答案为：12． 5．（25-26·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点F作于点G，如图， ∵四边形为矩形，∴，，∵，∴为等边三角形， ∴，，∴，． ∵，∴，，∴， 当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值， ∵点E是的中点，∴，则， ∵，∴，∴，∴，解得：， 综上：的最小值为，故答案为：． 6．（25-26上·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰中，，，，点是直线上一点，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接，则的最小值为 （用含的代数式表示）．    【答案】 【详解】解：如图所示，过点作，过点作，延长交于点，    ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，， ∵，∴，在中，，， ∴，，∴，∴， 当点三点共线时，的值最小，∴当点三点共线时， ∵，∴点于点重合，如图所示， 在中，，则，∵，∴， 在中，，∴，∴， ∵，∴是等腰三角形，， ∴为的中点，且，，∴， 在中，，∴， ∴，故答案为：． 7．（25-26·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___． 【答案】4 答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点， 令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3， 又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD， ∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD）， 当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长， 此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4， ∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值为，∴PC+PB的最小值为4，故答案为：4． 8．（2019·江苏南通·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为，故答案为：3. 9．（2025九年级下·甘肃张掖·学业考试）如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1） ；（2）的最小值为 ． 【答案】 30 【详解】解析：（1）四边形是菱形，，； （2）过点作于点，连接，，过点作于点，，， 的垂直平分线交于点，交于点，， ，的最小值为， ，，，的最小值为． 10．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，．点是在边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作交于的延长线于点， ，，， 当时，，此时，取最小值， ∵，，设，则， 根据勾股定理可得：，即，解得：（舍）， ，，，，故答案为：． 11．（25-26九年级上·湖北·期末）在等边中，是射线上的点． (1)如图1，点在边上，以为边在左侧作等边三角形，求证：； (2)如图2，点在边的延长线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若为的中点，猜想：与之间的位置关系是________，数量关系是________，请证明你的结论； (3)在（2）的条件下，连接，若，直接写出的最小值为________． 【答案】(1)见解析(2)，，证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵等边，，∴， ∴，即， ∵，∴，∴； （2）解：如图2，以为边在左侧作等边三角形，连接，同理（1），， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴三点共线， ∵等边三角形，，∴，∴，，解得，； （3）解：由（2）可知，，∴， 如图3，作于，连接，由（2）可知，， ∵等边，，∴，，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∴点在过点且与夹角为的直线上运动，如图3，延长交于，， ∴，， 如图3，作关于的对称点，连接交于，连接，则， ∴，， ∴当三点共线时，最小，最小值为， 如图3，作于，则，，解得，， ∴，，由勾股定理得，， ∴的最小值为，故答案为：． 12.（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积；(3)若，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图1：连接，四边形是菱形，． ，，. 是的垂直平分线，，； （2）解：如图1：过点作于点， ，，即．，． ∵四边形是菱形，，． ，， ，，过点A作于点， 在中，，∴ 根据勾股定理，得，； （3）解：如图：连接，， ，，当点A、、三点共线时（如图）， 即时，取得最小值，在中，由（2）得：，的最小值为． 13．（2025·江苏苏州·二模）如图，抛物线的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，其中点坐标，点坐标．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点为轴上一个动点，则最小值为_______． 【答案】(1)(2)(3)12 【详解】（1）解：将、代入可得， ，解得，抛物线的解析式是 （2）解：当时，，∴，连接，过O作于H，并延长至点M，使，作直线交抛物线于G，过M作于N， ∴，∴，即， ∵，，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，即，解得，，∴， 设直线解析式为，则，解得，∴， 联立方程组，整理得，解得，（舍去）， ∴，∴∴存在点，使； （3）解：取点，作直线，过Q作于H，过B作于M， 则，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴要求的最小值，只需求的最小， 当B、Q、H三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，，∴， ∴，即，解得，∴的最小值为 ∴的最小值为． 14．（2025·广东广州·校考二模）如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，．(1)求的长；(2)连接，若，求证：；(3)若，试求的最小值．    【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵菱形中，，∴， ∵，∴是等边三角形，又∵，∴； （2）解：如图所示，延长至，使得，在上取，连接，    在与中，∴∴， ∵是等边三角形，∴，， ∴，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴， ∵，设，则 在中，， ∴，∴ ∵∴， ∴ 在中， ∴，∴，∴； （3）如图所示，连接，过点作于点，    将绕点逆时针旋转得到，连接，则， 当三点共线时，，此时取得最小值， ∵是等腰直角三角形，∴，∵三点共线∴，∴， ∵为的中点，当为的中点时，∴，，则，∴，， ∵∴，∵∴ 又，∴，∴， ∴当是的中点时，三点共线，过点作于点， ∴，，∴， 在中，， ∵，∴，即的最小值为． 15．（24-25九年级上·重庆巴南·月考）如图，中，，，点D是射线上一点，连接，过点C作于点E，过点A作交于点F． (1)如图1，点D在线段上，，，求的面积； (2)如图2，点D在延长线上，若，过点F作于点H，连接，求证：； (3)如图3，点D在的延长线上，，，点N在的延长线上，点M在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ∵，，， ，，∴，∴， 在中，，，∴，∴， 在中，，∴， ，∴； （2）证明：如图2，过点作交延长线于点， ∵，，， ，，， ，，∴，， ∵，∴，∵，∴，， ∵，，∵， ∵，，∴， ，， ∴，，， ∵，∴，，即． （3）解：如图3，取，作，． ，，，，∴， ，，，，， ，，，， 如图4，当，重合时，取最小值，此时， ∵，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴，， ∴，过作于点，∵，∴， ∵，∴，． 16．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为． （1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 【答案】（1）；（2）或；（3）F． 解：（1）抛物线，令，解得或，，． 直线经过点，，解得， 直线解析式为：．当时，，，． 点，在抛物线上，，． 抛物线的函数表达式为：．即． （2）由抛物线解析式，令，得，，． 因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角． 因此若两个三角形相似，只可能是或． ①若，则有，如答图所示． 设，过点作轴于点，则，． ，即：，．，代入抛物线解析式， 得，整理得：，解得：或（与点重合，舍去），． ，，即，解得：． ②若，则有，如答图所示． 设，过点作轴于点，则，． ，即：，． ，代入抛物线解析式，得，整理得：， 解得：或（与点重合，舍去），． ，，，解得， ，，综上所述，或． （3）方法一：如答图3，由（1）知：，，如答图，过点作轴于点， 则，，，，． 过点作轴，则．过点作于点，则． 由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：， ，即运动的时间值等于折线的长度值． 由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段． 过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点． 点横坐标为，直线解析式为：， ，，． 综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少． 方法二：作，，交直线于点， ，，， 当且仅当时，最小，点在整个运动中用时为：， ，， 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $