专题14 解直角三角形的最值模型之胡不归模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级下册

专题14 解直角三角形的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.胡不归模型（最值模型） 4 13 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （25-26九年级上·吉林长校考期中）【模型认知】如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图；（2）补全解题过程中缺失部分； 【模型应用】如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（2025·辽宁盘锦·校考二模）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使． ②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点． ③作射线交于点F．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是（     ） A． B． C． D．2 例2（24-25下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 例3（25-26·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是 ． 例4（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为 ．    例5（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 例6（25-26上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    例8（24-25八年级下·云南临沧·期中）如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上一动点，为上一定点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 例9（2025·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例10（25-26·山东·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 1．（2025·安徽安庆·校考一模）如图，为正方形内一点，且，过作于，为线段上的一动点，若正方形的边长为4，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在矩形中，，E，P分别是边和对角线上的动点，连接，记，若，则的最小值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是的直径，切于点交的延长线于点．设点是弦上任意一点（不含端点），若，，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 4．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在中，，，，，点E、F、G分别是、、上的动点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）已知：如图等腰中，，是边上的高，，是上一动点，则的最小值为 ． 6．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，中，，，，，点E、F、G分别是AD、BD、BC上的动点，且，则的最小值为 ． 7．（24-25九年级下·湖北咸宁·月考）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使． ②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M． ③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 8．（25-26九年级下·广东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A点，且与轴的正半轴交于点，点为该抛物线对称轴上一点，则的最小值为 ． 9．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为，若为线段上一动点，则的最小值是 ． 10．（25-26·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，E是上一个动点，连接，过点C作的垂线l，过点D作交l于点F，过点D作于点G，，点H是中点，连接，则的最小值为 ． 11．（25-26·湖南九年级期中）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD． (1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值． 12．（2025·广东江门·一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB关于AB的对称图形为△AEB．(1)求证：四边形AEBO是菱形；(2)连接CE，若AB=6cm，CB=cm．　①求sin∠ECB的值；　 ②若点P为线段CE上一动点（不与点C重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以2.5cm/s的速度沿线段PC匀速运动到点C，到达点C后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点C所需要的时间最短时，求CP的长和点Q走完全程所需的时间． 13．（24-25九年级下·重庆·月考）如图，抛物线与坐标轴分别交于A、B、D三点，其中点坐标为，．(1)求抛物线解析式；(2)点P是直线下方抛物线上的一动点，点Q是x轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； 14．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知正方形，边长是6，是边上一点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，过作于点，试探究线段与之间有怎样的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得，为直线上一动点，连接，当面积最大时，求的最小值． 15．（2025·重庆·一模）如图，抛物线 （）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； 16．（24-25九年级上·重庆巴南·月考）如图，中，，，点D是射线上一点，连接，过点C作于点E，过点A作交于点F． (1)如图1，点D在线段上，，，求的面积； (2)如图2，点D在延长线上，若，过点F作于点H，连接，求证：； (3)如图3，点D在的延长线上，，，点N在的延长线上，点M在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 解直角三角形的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.胡不归模型（最值模型） 4 13 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （25-26九年级上·吉林长校考期中）【模型认知】如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图；（2）补全解题过程中缺失部分； 【模型应用】如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】模型认知：垂线段最短；模型探究：（1）见解析；（2）；模型应用：6 【详解】解：模型认知：由题意得，“▲”处应填写的推理依据为垂线段最短； 模型探究：（1）如图所示，即为所求； （2）过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∵， ∴当最小时，有最小值，此时、、三点在同一条直线上， ∴此时是等腰直角三角形，∴，，∴的最小值为； 模型应用：如图所示，作，过点C作于D，则； 在中，当时，，当时，， ∴，∴，∴，， ∴，∴；∵， ∴当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线， 在中，，∴的最小值为6． 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（2025·辽宁盘锦·校考二模）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使． ②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点． ③作射线交于点F．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：由作图可知，是的平分线， ，如图，作于， ，， 当、、三点共线，且时，的值最小，最小值为，故选：A． 例2（24-25下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长，过点B作交于点P， ∵四边形为平行四边形，∴，∴， ∵，∴，则，则， 同理可得：，∴， ∴当点E、P、B在同一条直线上时，的值最小， ∵，∴．故选：A．    例3（25-26·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，作∠OCE=120°， ∵∠OCB=60°，则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，过点P作PG⊥CE于点G，如图： 在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC， ∴AP+PC= AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小， 延长AG交y轴于点F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°，∴CF=2CG，GF=CF， 在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，∴AF=2OA=6，OF=， ∴CF=OF-OC=，∴GF=()=， ∴AG=AF-FG=，即AP+PC的最小值为．故答案为：． 例4（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为 ．    【答案】 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示：    ，在中，设，则，由勾股定理可得， ，即，， 延长到，使，连接，如图所示： ， ，，是等腰直角三角形，则， 在中，，，由辅助圆-定弦定角模型，作的外接圆，如图所示：   由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示： 是的直径，，，是等腰直角三角形， ，，则由勾股定理可得，即的最大值为， 故答案为：． 例5（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 【答案】6 【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P， ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD）， ， 此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6． 例6（25-26上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，∴， 在线段下方作，过点作于点，连接，      ∴，∴， 当、、三点共线时，的值最小， 此时，∴，∴，， ∴，∴的最小值为：， ∴的最小值为．故答案为：． 例8（24-25八年级下·云南临沧·期中）如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上一动点，为上一定点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作，交延长线于，过作，交延长线于，连接，则， ∵四边形为平行四边形，，，，， ，，是直角三角形，， 四边形为平行四边形，， ，，， ∽，，， ， ，四边形是矩形，， 当是与交点时，， 故的最小值为，故选：B． 例9（2025·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 例10（25-26·山东·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②和 走完全程所需时间为 ． 【详解】（1） 四边形 是矩形， ， 与 交于点O,且 关于 对称， ，， 四边形 是菱形； （2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ， 关于 的对称图形为 ， ， 在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点， 为 的中位线 ，   ，同理可得： 为 的中点， ，   ， ； ②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s， 由①可得，， 点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A， 即：， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小. 如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.， 在 中，设， ， ，解得： ， ，和 走完全程所需时间为． 1．（2025·安徽安庆·校考一模）如图，为正方形内一点，且，过作于，为线段上的一动点，若正方形的边长为4，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵为正方形内一点，， ∴，∴点在边的中垂线上， 又∵，∴是边的中垂线，∴，，， 过点A作交于点E，则，在上取点F，使得，并连接， ∴，，∵，∴，则， ∴，∴， ∴，∴是等边三角形，∴是的垂直平分线， ∴，∴是等边三角形，∴， 过点P作交于点M，并连接，∴，∴， 当三点共线时，最小，且最小值为，此时， ∴，故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在矩形中，，E，P分别是边和对角线上的动点，连接，记，若，则的最小值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【详解】解：过点P作于点H，交于点G，    ∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∴，∴， 当点E与点G重合时，有最小值，最小值为的长， ∵，∴的最小值为3，故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是的直径，切于点交的延长线于点．设点是弦上任意一点（不含端点），若，，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作的角平分线，交于，连接、、，过点作于，如图：∵，∴，    又∵，∴，∴， ∵平分，则， ∵，，∴，即， 又∵，，∴，∴，即圆的半径为， ∵，，∴、是等边三角形， ∴，∴四边形是菱形，∴平分，∴， 又∵，，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，∴．若使的值最小，即的值最小， 当、、三点共线时，，此时的值最小，即时，的值最小， 此时，，，故选：D． 4．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在中，，，，，点E、F、G分别是、、上的动点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴为等腰直角三角形， 取中点H，连接、，如图所示， ∴（等腰三角形三线合一），， ∵在和中，，∴，∴，， ∵，∴，即为等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，过点H作交于点， 此时最小等于，∵，H为的中点，∴， ∴，，∴的最小值为，故选：B． 5．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）已知：如图等腰中，，是边上的高，，是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】8 【详解】解：过点作，如图所示： 在等腰中，是边上的高，在中，，，则，由勾股定理可得，， 在中，，则，， 如图所示，当三点共线，且时，有最小值，为， 由等面积可知，则，故答案为：8． 6．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，中，，，，，点E、F、G分别是AD、BD、BC上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴△ABD为等腰直角三角形， 取AB中点H，连接EH、FH，如图所示， ∴（等腰三角形三线合一），， ∵在△DHE和△BHF中，∴△DHE≌△BHF（SAS）∴EH＝FH，∠EHD＝∠FHB， ∵∠FHB＋∠DHF＝∠DHB＝90°，∴∠EHD＋∠DHF＝90°，即△EHF为等腰直角三角形，∴∠HEF＝45°， ∵，∴，∴， 过点H作交BD于点，此时最小等于， ∵，H为BD的中点，∴BH＝1，∴，， ∴的最小值为，故答案为：． 7．（24-25九年级下·湖北咸宁·月考）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使． ②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M． ③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：由作图可知，是的平分线， ∴，如图，作于， ∴，∴，∴当三点共线，且时， 的值最小，最小值为，故答案为：． 8．（25-26九年级下·广东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A点，且与轴的正半轴交于点，点为该抛物线对称轴上一点，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】解：连接、，，作于，于，如图， 时，，解得，，的坐标为，， ，的坐标为，，， ，为等边三角形，，，， 垂直平分，，， 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， ，的最小值为6，故答案为：6． 9．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为，若为线段上一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作直线交轴于点，使，过点作，交于点，    在中，，，设，则， ，即，解得，，，， 在中，，，， 当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，是直角三角形，，，，，， 在中，，， 的值最小值是，故答案为：． 10．（25-26·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，E是上一个动点，连接，过点C作的垂线l，过点D作交l于点F，过点D作于点G，，点H是中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在矩形中，，∴， ∵于点C，∴，∴． ∴．同理可证，∴，∴， ∵，∴，∴，∵于点G，∴， ∵，∴，∴，即， ∵，∴，∴，∴． 如图，作的垂直平分线，交的延长线于点T，连接，过点E作于点Q， ∴，∴，即． ∴．∴，∴求的最小值，即为求的最小值， 过点H作于点J，HJ即为所求最小值．设，则， 在中，由勾股定理可知，，解得，∴． 如图，连接，，∵点H是的中点，∴， ∵，∴， 即，解得．故答案为：． 11．（25-26·湖南九年级期中）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD． (1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值． 【答案】(1)直线AD是△ABC的自相似分割线； (2)当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；(3)∠QAC的正弦值为 【解析】（1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC = 108°∴∠B =∠C =（180°-∠BAC）= 36° ∵DE垂直平分AB∴AD = BD∴∠B =∠BAD = 36°∴∠C =∠BAD 又∵∠B =∠B∴△DBA∽△ABC∴直线AD是△ABC的自相似分割线． （2）如图，连接，， 垂直平分AB， 当点与重合时，,此时最小， ， 设，则 解得： PA+PC= 当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时； （3）如图，过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点， ，由（2）知， 平分 点落在上时，点与点重合，即此时的值最小，最小值为 ∠QAC的正弦值为 12．（2025·广东江门·一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB关于AB的对称图形为△AEB．(1)求证：四边形AEBO是菱形；(2)连接CE，若AB=6cm，CB=cm．　①求sin∠ECB的值；　 ②若点P为线段CE上一动点（不与点C重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以2.5cm/s的速度沿线段PC匀速运动到点C，到达点C后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点C所需要的时间最短时，求CP的长和点Q走完全程所需的时间． 【答案】(1)见解析；(2)①sin∠ECB；②CP的长为cm，点Q走完全程所需的时间为3s． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．∴OD=OB=OC=OA， ∵△AEB和△AOB关于AB对称，∴AE=BO，BE=AO，∴AE=BE=OA=OB，∴四边形AEBO是菱形； （2）解：①设AE交CD于K， ∵四边形AEBO是菱形，∴BE∥AC，BE=OC=OA，∴△BKE∽△AKC，∴， ∵AB=CD=6，∴BK=2，AK=4，在Rt△BCK中，CK==，∴sin∠ECB=； ②作PF⊥AD于F，∴PF=CP•sin∠ECB=CP，∵点Q的运动时间t=+=OP+CP=OP+PF， ∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF恰是△ABC的中位线， ∴OF=AB=3，CF=BC=，PF=BK=1，CP=CK=，OP=AK=2， ∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，CP的长为cm，点Q走完全程所需的时间为3s． 13．（24-25九年级下·重庆·月考）如图，抛物线与坐标轴分别交于A、B、D三点，其中点坐标为，． (1)求抛物线解析式；(2)点P是直线下方抛物线上的一动点，点Q是x轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； 【答案】(1)(2)12 【详解】（1）解：令，则，∴，，∵，∴，∴， 把，代入得，解得，∴抛物线解析式； （2）解：过作轴于，交于， ∵，∴设直线解析式为， 把代入得，解得，∴直线解析式为， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，此时， 过在轴上方找一点，使，，连接，设交轴于， ∴，， ∴，，即，点在直线上移动， ∴，即， ∴当在上时，最小，设直线解析式为， 把代入得，解得，∴直线解析式为， ∴设，∴， ∴当时，最小，即，∴的最小值； 14．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知正方形，边长是6，是边上一点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，过作于点，试探究线段与之间有怎样的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得，为直线上一动点，连接，当面积最大时，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵正方形，边长是6， ∴，， ∵，∴，∵，∴，即， ∵，，∴，∴； （2）解：，证明如下：连接， ∵正方形，边长是6，∴，，∴， ∵，∴、、、四点共圆，且为直径，∴， ∵，∴，， ∴，，， ∴，∴，∴，∴； （3）解：取中点，连接，过作于，则， ∵，∴，∴，∴， ∴当、重合时，最大，此时，，∴，， ∵将沿翻折得，∴，， 在左边作等腰直角三角形，使，过作于， ∴，，， ∴，， ∵，∴、、三点共线，∴， ∵， ∴当、都在上时，最小． 15．（2025·重庆·一模）如图，抛物线 （）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； 【答案】(1)(2)，的最小值为 【详解】（1）解：令，则，∴， ∵，，∴，，∴，， 上述两点坐标分别代入抛物线， 得：，解得：，∴； （2）解：如图，过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点， ∵，∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为，将，代入， 得：，解得：，∴直线的解析式为， ∵，，∴， ∵轴，，∴，， ∴，∴，即，∴， 设，则，则，， 则， ∵，∴当时，最大，此时，则此时， ∵， ，∴，∴， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点， 由，得，，∴， ∵，，∴，∴， ∴，，∵，∴， ∴，即最小值为； 16．（24-25九年级上·重庆巴南·月考）如图，中，，，点D是射线上一点，连接，过点C作于点E，过点A作交于点F． (1)如图1，点D在线段上，，，求的面积； (2)如图2，点D在延长线上，若，过点F作于点H，连接，求证：； (3)如图3，点D在的延长线上，，，点N在的延长线上，点M在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ∵，，， ，，∴，∴， 在中，，，∴，∴， 在中，，∴， ，∴； （2）证明：如图2，过点作交延长线于点， ∵，，， ，，， ，，∴，， ∵，∴，∵，∴，， ∵，，∵， ∵，，∴， ，， ∴，，， ∵，∴，，即． （3）解：如图3，取，作，． ，，，，∴， ，，，，， ，，，， 如图4，当，重合时，取最小值，此时， ∵，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴，， ∴，过作于点，∵，∴， ∵，∴，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $