专题03 相交线与平行线21大重要题型专训（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

专题03 相交线与平行线21大重要题型专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、命题 1 题型二、对顶角 2 题型三、垂线 3 题型四、相交线的计算 5 题型五、尺规画平行线 6 题型六、平行线间距离问题 8 题型七、平行公理 9 题型八、平行线的判定 11 题型九、平行线的性质 11 题型十、根据平行线的性质探究角的关系 11 题型十一、根据平行线的性质求角的度数 11 题型十二、平行线的性质在生活中的应用 11 题型十三、根据平行线判定与性质求角度 11 题型十四、根据平行线判定与性质证明 11 题型十五、补全平行线的判定过程 11 题型十六、平行线的性质与三角板综合 11 题型十七、平行线中的旋转角问题 11 题型十八、利用平移的性质求解 11 题型十九、利用平移解决实际问题 11 题型二十、平移作图 11 题型二十一、平移综合题 11 题型一、命题 1．可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，理解题意是解题关键 要说明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子． 【详解】A．当，时，，此时，，，即 ，不能说明命题为假命题． B．当，时，，此时，，，即 ，不能说明命题为假命题． C．当，时，，此时，，，即 ，说明“若，则”是假命题，该选项符合要求． D．当，时，，不满足，不能作为该命题的反例． 故选：C． 2．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．0 B．0.5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，根据实数的平方，实数的大小比较、假命题的概念解答即可． 【详解】解：A、当时，，不能判断命题“如果，那么”是假命题，不符合题意； B、当时，，不能判断命题“如果，那么”是假命题，不符合题意； C、当时，，不能判断命题“如果，那么”是假命题，不符合题意； D、当时，，而，能判断命题“如果，那么”是假命题，符合题意； 故选：D． 3．要证明命题“若则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理，解题的关键是通过反例的方法代入数据进行计算． 根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，分别代入数据算出即可． 【详解】解：A、，满足，但，选项不符合题意； B、，满足，但，所以选项能作为证明原命题是假命题的反例，选项正确，符合题意； C、，满足，但，选项不符合题意； D、，满足，但，选项不符合题意； 故选：B． 题型二、对顶角 4．如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂线的定义、对顶角的性质，解题的关键是掌握相关定义和性质．先根据对顶角相等得出，再由垂直的定义得出，最后根据可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 5．如图，直线，相交于点O，，，则______°． 【答案】50 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：50． 6．如图，直线相交于点O，，，．求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算及余角和补角，关键是正确利用已知条件进行求解． （1）根据已知先求出的度数，再利用，之间的关系求出的度数； （2）根据（1）求出的的度数和的度数求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴． 题型三、垂线 7．如图，直线，相交于点O，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直定义，对顶角相等，解题关键是掌握垂直定义和对顶角相等． 先根据对顶角相等和已知条件求出，再根据垂直定义求出，从而求出答案即可． 【详解】解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，点在直线上，．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义．由题意易得，，进而可求解． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9．如图，已知是直线上一点，过点作射线，且． (1)如图，的度数为__________； (2)如图，若平分，，垂足为．求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为； (3)的度数为或． 【分析】本题考查角平分线，余角，补角，解题的关键是正确理解相关定义． （1）根据补角的概念，计算即可； （2）根据角平分线可得的度数，由位置关系得出的度数，计算即可； （3）根据两角互余可得的度数，按的位置进行分类讨论，计算即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴和互为邻补角， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，平分， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， 答：的度数为． （3）解：由（2）知，， ∵与互余， ∴， ∴， 由（1）知，， 当在内部时，如图， ， 当在外部时，如图， ， 综上所述，或， 答：的度数为或． 题型四、相交线的计算 10．如图，已知直线 相交于点平分． (1)求 的度数； (2)求 的度数； (3)试说明 平分． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查对顶角相等，互余，互补的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据对顶角相等得到，根据角平分线的定义即可求解； （2）根据垂直得到，由即可求解； （3）根据题意得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴； （3）解：如图所示，延长到点， 由（2）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 平分． 11．如图，直线、相交于点，射线在内部，且．过点作． (1)若，求的度数； (2)若， 平分吗？为什么？ 【答案】(1)的度数为 (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的有关计算，熟练掌握垂直的性质，根据题意得到角与角之间的数量关系是解题的关键． （1）根据直角的性质，可得，根据补角的定义得，再由，即可求解； （2）根据，，可得，再由，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：平分，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， 平分． 12．如图，直线相交于点，平分． (1)对顶角是___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2)150° 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，角平分线的定义和几何图形中角度的计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，据此求解即可； （2）根据角平分线的定义和对顶角线段得到，设，则，根据平角的定义可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，的对顶角为； （2）解：∵平分． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴设，则． ∴． ∵， ∴   ∴．即：． ∴． 题型五、尺规画平行线 13．读下列语句，并画出图形： (1)直线垂直于，垂足是O，点P是直线上一点，直线经过点P且与直线平行； (2)直线，相交于点O，点P是直线，外的一点，直线与直线平行，且与直线相交于点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画直线，画垂线，过直线外一点画已知直线的平行线等知识． （1）按照题意画出图形即可； （2）按照题意画出图形即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： 14．如图，直线与直线相较于点． (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为，连接，比较线段与的长度，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，，理由为：垂线段最短 【分析】本题考查了作图画平行线、画垂线、垂线段最短、平行线的性质 （1）过点画，交于点即可； （2）过点画，垂足为F；根据垂线段最短即可判断与的大小． 【详解】（1）解：如图，，交于点E； （2）解：如图， 与的大小为：． 理由为：垂线段最短． 15．如图，直线与直线相交于点O，E是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题： (1)过点E画直线交于点F； (2)过点E画的垂线，垂足为点G； (3)测量点E到直线的距离约为__________．（结果精确到） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查画平行线，垂线，点到直线的距离： （1）借助直尺和三角板画出平行线即可； （2）借助三角板画出垂线即可； （3）用直尺测量的长即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）由题意，经测量点E到直线的距离为； 故答案为：； 题型六、平行线间距离问题 16．如图，在四边形中，，连接，已知，试说明．    【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线间距离处处相等，三角形面积等知识．过点作，交的延长线于点，过点作，交于点．根据平行线间距离处处相等得到．根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，交于点．    ∵， ∴． ∵， ∴． 17．在同一平面内，已知直线，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是．请画出图形，并求出直线a与c之间的距离． 【答案】图形见解析；或 【分析】本题主要考查了平行线间的距离．分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：当直线在直线，之外时，如图1， 直线，之间的距离为； 当直线在直线，之间时，如图2， 直线，之间的距离为． 综上，直线，之间的距离是或． 18．如图，直线点在直线m上，点C在直线n上，且，．求： (1)直线m与直线n的距离； (2)点A到的距离； (3)点D到的距离． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，点到直线的距离： （1）根据平行线间的距离解答，即可； （2）根据点到直线的距离解答，即可； （3）设点D到的距离为h，根据，解答即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴直线m与直线n的距离为； （2）解∶ ∵，， ∴点A到的距离为； （3）解∶设点D到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即点D到的距离为． 题型七、平行公理 19．在同一平面内，直线l的同侧有A，B，C三点，如果，，那么A，B，C三点是否在同一条直线上？画图并说明理由． 【答案】在同一条直线上，见解析，理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】此题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解：A，B，C三点在同一条直线上，如图所示． 理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 20．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． (2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为___________． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________． 【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“<”连接）． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；垂线段最短 【分析】本题考查了网格作图，涉及了平行线的 （1）作出的矩形的对角线即可； （2）根据平移特点即可完成作图； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： ，故平行于同一条直线的两条直线平行； 线段的长度是点A到直线的距离； ，故垂线段最短 故答案为：平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；垂线段最短 21．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：，， ， 故答案为：． 题型八、平行线的判定 22．已知：如图，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．由为角平分线，利用角平分线的定义得到，由已知，利用等量代换得到，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】证明：平分， ， ， ， ． 23．如图，已知平分． (1)求的度数； (2)与平行吗？为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的定义、掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据平角定义及角平分线定义求出结论即可； （2）先求出，得出，即可求出结论． 【详解】（1）解：平分， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ． 24．综合与实践．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中． (1)若，求的度数； (2)求证； (3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，请在备用图中画出示意图，并求出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定，角度的和差计算，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）依据，即可得到的度数，即可求解； （2）依据，即可得到的度数，即可得证； （3）依据平行线的判定，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， 。 （2）证明：， 。 （3）分两种情况： ①如图1所示，当时，，所以， ②如图2所示，当时，，所以， 综上所述，的度数等于或时，． 题型九、平行线的性质 25．如图，，连接，且平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 26．如图， ，，则_______． 【答案】/230度 【分析】过点作，利用平行线的性质进行求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】注意掌握“铅笔头”模型． 27．如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义，垂线的定义． （1）根据平行线的判定证明，根据平行线的性质得出，证明，最后根据平行线的判定得出结论； （2）根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出，再由平行线的性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 题型十、根据平行线的性质探究角的关系 28．如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 29．把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．若三角尺的直角顶点落在上，角的顶点落在上，则与的数量关系是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等，是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 30．【问题背景】 如图，直线与直线，相交于点，，，点是线段上的一个动点（不与，重合），点是射线上的一点．连接，的平分线与的平分线交于点． 【问题初探】 （1）与平行吗？请说明理由； （2）如图1，若，，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图2，记，，移动点，当时，求和的数量关系． 【答案】（1）平行，理由见解析（2）（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算： （1）平角的定义结合，推出，即可得出结论； （2）先求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数； （3）根据平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，即可得出结果． 【详解】解：（1）平行，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十一、根据平行线的性质求角的度数 31．如图，点，分别在线段，上，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明， ． ， ． ； （2）解：， ， 由（1）知，， 32．已知：如图，点、分别在和上，平分，，，过点作，交延长线于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据条件证明出，利用同位角相等，两直线平行即可得结论； （2）利用可得，再由可得． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴ ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 33．如图，已知，直线分别交直线，于点E，F，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质与角平分线的判定，掌握两直线平行，内错角相等、等角的余角相等是解题的关键．（1）先利用的内错角相等，得到，再结合的直角性质，用减去求出； （2）先通过平行线和已知条件推出，再利用等角的余角相等，证明，从而说明平分． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即平分． 题型十二、平行线的性质在生活中的应用 34．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据作出图形，利用平行线的性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：当第一次向右拐时 （如图1）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ，且向左拐， A、B错误； 当第一次向左拐时 （如图2）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ，且向右拐， D错误， 故选：C． 35．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则____________ ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，先由得出的度数，根据即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 36．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 题型十三、根据平行线判定与性质求角度 37．如图，已知，点在上方，连接，．，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，理解题意，作出辅助线是解题关键． 过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 38．如图，已知，，，则的度数为_______ 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，过点P作，则，再由可知，故，据此可得出结论． 【详解】解：过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 39．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十四、根据平行线判定与性质证明 40．如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据平角的定义可得，等量代换求出，然后根据平行线的判定定理得出结论； （2）先根据平行线的性质得出两组角相等，等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 41．如图，在四边形中，E、F分别是、延长线上的点，连接．分别交、于点G、H．若，．试证明 (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据对顶角相等，等量代换得到，再根据平行线的判定得出结论； （2）由推出，结合已知，等量代换得到，再根据平行线的判定得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 42．已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线， ， ①________． ， ②________． ， ③________（④________________________）． ． (2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并请用平行线的知识说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为________． 【答案】(1)；；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再由两直线平行，内错角相等得到，，据此由角的和差关系可证明结论； （2）过点G作直线，先证明，再由两直线平行，内错角相等得到，，据此由角的和差关系可证明结论； （3）先由平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，由（2）的结论可知，，据此可得答案． 【详解】（1）证明：过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （2）解：，理由如下： 过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）的结论可知，， ∵， ∴． 题型十五、补全平行线的判定过程 43．填写证明过程中的推理或根据： 如图所示，已知：．求证：． 证明：， ．（___________） ， ．（___________） ___________．（___________） 又， ．（___________） ___________． ．（___________） （垂直的定义）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等式的基本事实；；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了垂直的定义、平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线的性质和判定解题即可． 【详解】证明：， ．（垂直的定义） ， ．（同位角相等，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） 又， ．（等式的基本事实） ． ．（两直线平行，同位角相等） （垂直的定义）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等式的基本事实；；两直线平行，同位角相等． 44．如图，点在同一条直线上，已知，平分，，， 求证：．在下面“______”上补充完整推理过程，并在“（______）”内注明理由． 证明：平分（已知）， ______①（角平分线的定义）． （已知）， ______②（垂直的定义）． （已知）， ∴③______（等量代换）． ______④（等量代换）． （⑤______）． 【答案】①②③④⑤内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线判定，角平分线的定义和垂线的定义，根据角平分线的定义可得，由垂直定义得，从而得，，故可得结论． 【详解】证明：平分（已知）， ①（角平分线的定义）． （已知）， ②（垂直的定义）． （已知）， ∴③（等量代换）． ④（等量代换）． （⑤内错角相等，两直线平行.）． 故答案为：①②③④⑤内错角相等，两直线平行． 45．如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明． 解：（已知）， （_________________________）． ∵（已知）， _________________________（两直线平行，同旁内角互补）， （_________________________）． 分别是和的角平分线（_________________________）． ，（_________________________）， _________________________（等式性质）． （已知）， （_________________________）， （_________________________）， （_________________________）． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，首先由平行线的性质得到，，然后得到，然后结合角平分线的定义得到，然后由平行线的性质和判定求解即可． 【详解】解：（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（同角的补角相等）， ∵、分别是和的角平分线（已知）， ∴，（角平分线的定义）， ∴（等式性质）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 题型十六、平行线的性质与三角板综合 46．综合与探究 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动如图，将两块三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中，然后三角板不动，三角板绕点A旋转． 操作探究： (1)如图1，若，判断线段与的位置关系，并说明理由． (2)当三角板绕点A旋转到如图2所示的位置，且时，求的度数． (3)深入思考：在三角板绕点A旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角度的计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理． （1）根据平行线的判定方法进行判断即可； （2）过点A作，根据平行线的性质得出．，最后求出结果即可； （3）分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图1，过点A作， ． ， ， ， ． （3）解：或． 理由：分以下两种情况： 若在下方， 当时，， ∵， ∴， 即当时，； 若在上方， 当时，， ∴， 即当时，． 故当或时，． 47．在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你根据所学知识完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据，同时完成（2）． (1)过点作． ，， ____________， ______（           ）， 又， ， 又， ______． (2)如图2，现有含角的直角三角板，含角的直角三角板，将这一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，直角三角板的斜边与纸条一边重合，直角三角板的顶点在纸条的另一边上，点与点重合，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，根据两直线平行，内错角相等得到，，再由角的和差关系可得答案； （2）过点作，则，证明，得到，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作． ，， ， （两直线平行，内错角相等）， 又， ， 又， ； （2）解：如图，过点作， ， ， ， ， ∵， ， ． 48．如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的内部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时 ①请直接写出所有可能的值； ②任选①中的两种情况画图并作出相应的证明． 【答案】(1) (2) (3)①的值是或或或；②见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，旋转性质，是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）①分四种情况写出答案即可； ②分别对四种情况：分别和三边平行，还有，画出图形，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【详解】（1）解：如图2， ，， ， 平分， ， ， 答：此时的值是； （2）解：当旋转至的内部时，如图3， 与的数量关系是：． 理由是：由旋转得：， ，， ； （3）解：①的值是或或或； ②分四种情况： 1）当时，如图4，， ∴； 2）当时，如图5，则， ， ∴； 3）当时，如图6，则，此时， 则， ∴； 4）当时，如图7， ， ， ∴； 综上，的值是或或或． 题型十七、平行线中的旋转角问题 49．【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为 °． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 【答案】【操作拼图】；【问题探究】或；【拓展延伸】，， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确判断角的数量关系是本题解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）根据，的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）∵与直线重合， ∴， ∵， ∴ 故答案为：75； （2）三角板以每秒的速度顺时针旋转t秒后， ，， ， ； ∵， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，t的值为9或17； （3）∵三角板顺时针旋转，三角板逆时针旋转， ∴，， 当时， ∵，， 又， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得， 综上，t的值为5，10或20． 50．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①7.5；②或30 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题． （1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题． （2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题． ②分两种情形：当时，延长交于R．根据构建方程即可解决问题．当时，延长交于R．根据构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：①如图， ， ， ， ， ， ， 在旋转过程中，若边，t的值为； ②如图，当时，延长交于R， ， ， ，， ， ， ； 如图，当时，延长交于R， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，满足条件的t的值为或30． 51．如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、），，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒． (1)如图1，直接写出下列答案： ①的度数是________________； ②当旋转时间_______________秒时，射线过点． (2)如图2，若，求此时对应的旋转时间的值． (3)若两条射线和所在直线交于点， ①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）； ②若射线在的左侧，当时，求的值． 【答案】(1)①  ② (2)秒 (3)①  ② 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）①根据两直线平行，同旁内角互补，从而得到结果； ②由的度数列出方程，得到结果； （2）由，得到内错角相等，再利用三角形内角和，求出结果； （3）①由的内角和得到方程，求得结果， ②注意要根据题意，画出图形，结合条件，利用的内角和，求得结果. 【详解】（1）解：①， ， 故答案为： ； ②∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转， ∴当秒后，过点时，旋转了， ∴此时， ， ， 故答案为：； （2）解：∵射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转， ∴设， ， ， 又∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转， ∴当秒后，旋转了 即： ， ， ， ∴此时对应的旋转时间的值是秒； （3）解：① ∵根据题意有：， ， 在中，， ， ； ②∵的旋转速度要比的旋转速度快， ∴当射线在的左侧时，两条射线和所在直线交于点，如图所示， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即：， ， ． 题型十八、利用平移的性质求解 52．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为15，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故选：B． 53．如图，将长方形沿着直线平移得到长方形（其中分别对应），联结，如果平移的距离为长度的，且的面积为10，那么长方形的面积为_____． 【答案】15 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是关键；由平移得，则，由面积可求得，从而求解． 【详解】解：由平移得， ∵平移的距离为长度的， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， 即， ∴， 即长方形的面积为15． 故答案为：15． 54．数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通，如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． (1)如图1，在中；，垂直于，厘米，厘米．求涂色的面积．把点沿着向上运动，当运动到点时，形成（如图2），图2中和图1中等底（）等高（），面积相等，图2中涂色的面积图1中涂色的面积______． (2)如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，求原来长方形的周长．把线段向右平移至，向左平移至，向上平移至，向下平移至．原来长方形的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题，长方形的周长是______厘米． (3)如图4，大正方形的边长是14厘米，梯形的面积是90平方厘米，涂色正方形的面积是______平方厘米．（在图4的右侧画出示意图．） 【答案】(1)32（平方厘米） (2)22 (3)16 【分析】（1）由、，得；结合点的运动，将的面积转化为以为底、为高的三角形面积计算；利用与等底等高面积相等，推得与面积相等． （2）将两个涂色小长方形的线段平移至大长方形的边；发现大长方形周长恰好等于两个涂色小长方形周长之和，直接求和即可． （3）由对称性得另一梯形与已知梯形面积相等；计算两个梯形总面积，用大正方形面积减去该总面积，得到涂色正方形面积． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴． ∵是以为底，为高，厘米，厘米， ∴（平方厘米）， ∴图2中涂色的面积图1中涂色的面积（平方厘米）． （2）解：通过平移线段可知，原长方形的周长等于两个涂色小长方形的周长之和． 已知两个涂色长方形周长分别为14厘米和厘米， （厘米）； （3）解：当点到点时，如图， 根据平移对称性，两个梯形的总面积为 平方厘米， 涂色正方形的面积平方厘米． 示意图如下： 题型十九、利用平移解决实际问题 55．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长． 【详解】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合， 则平移后可得到草地是长为米，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米； 将路线的纵向部分平移，总长度为(米)； ∴所走路线的长度为(米)． 56．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)草地的面积为．理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． （1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形； （2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为； （3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积． 【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示． （2）解：大长方形面积：都是； 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是； 剩余面积：大长方形面积−阴影面积； ∴． 故答案为：；   ； ． （3）解：草地的面积为． 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是． 57．白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换在面积与长度计算中的应用，熟练掌握平移的性质（平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，能将不规则图形转化为规则图形 ）是解题的关键． （1）通过平移的思想，把小路平移后，草地可拼成一个新的长方形，利用长方形面积公式计算． （2）同样用平移，将两条小路平移到边缘，得到新长方形，再算面积． （3）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：把平行四边形小路平移，使草地部分拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 , ∴草地的面积为； （2）解：将两条小路分别平移到长方形空地的边缘，此时草地拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 ∴草地的面积为； （3）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 题型二十、平移作图 58．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】本题考查作图—平移变换，利用割补法求三角形面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）利用平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质进行解答即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：连接、， 由平移的性质可知：，， 故答案为：平行且相等； （3）解： 故答案为：． 59．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点作的平行线，点在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点平移到点，点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形； (3)线段与的数量关系是__________，位置关系是__________，在平移过程中线段扫过的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，20 【分析】本题主要考查了画平移图形，平移的性质，画平行线，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点M，连接，则即为所求； （2）根据点D和点A的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （3）根据平移的性质可得，在平移过程中线段扫过的面积是四边形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由平移的性质可得，在平移过程中线段扫过的面积是． 60．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)线段___________线段；（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解； (4)> 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平移的性质，垂线的定义，垂线段最短． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可； （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，则即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． ； （4）解：∵， ∴根据垂线段最短，得． 故答案为：>． 题型二十一、平移综合题 61．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到．图中标出了点C的对应点．（利用网格与无刻度直尺画图）    (1)画出平移后的； (2)利用格点，过点C画一条直线，将分成面积相等的两个三角形；（画出直线经过的格点） (3)在整个平移过程中，线段扫过的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)26 【分析】（1）利用点C和的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点即可； （2）取的中点D，则直线满足条件； （3）求平行四边形的面积得到线段扫过的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）如图，为所作； （3）解：线段扫过的面积． 故答案为26．    【点睛】本题考查了作图—平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 62．如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格）． (1)画出中AB边上的高CH（要求用铅笔作图，加黑加粗，并标出点H的位置）； (2)画出向右平移4格、向上平移2格后的（A、B、C的对应点依次为D、E、F）； (3)连接AD、BE，那么AD与BE的关系是________； (4)若点P是正方形网格内异于点B的格点，则满足和的面积相等的P点有____个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 (4)4 【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可； （3）利用平移变换的性质判断即可； （4）利用等高模型作出点P即可． 【详解】（1）如图，线段CH即为所求 （2）如图，△DEF即为所求 （3），， 故答案为：， （4）如图，满足条件的点P有4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查作图—平移变换三角形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，利用等高模型解决面积问题. 63．如图，在的正方形网格中有，点均在格点上． (1)画出点到直线的最短路径； (2)过点画出的平行线，交于点； (3)将向左平移格，再向下平移格后得到，画出． (4)判断和的数量关系______． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 (4) 【分析】（1）点到直线的最短路径，即过点作直线的垂线，由此即可求解； （2）根据过点作已知线段的平行线的方法即可求解； （3）根据平移的性质即可求解； （4）根据，即可求解． 【详解】（1）解：点到直线的最短路径，即过点作直线的垂线， 如图所示，过点作延长线，交于点， ∴垂线段是点到直线的最短路径． （2）解：如图所示，， ∴是所求直线． （3）解：如图所示， ∴即为所求图形． （4）解：，理由如下， 如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何图形的变换，平行线，垂直的综合，掌握平移的规律，平行线的作法和性质，垂线的作法和性质是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相交线与平行线21大重要题型专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、命题 1 题型二、对顶角 2 题型三、垂线 3 题型四、相交线的计算 5 题型五、尺规画平行线 6 题型六、平行线间距离问题 8 题型七、平行公理 9 题型八、平行线的判定 11 题型九、平行线的性质 11 题型十、根据平行线的性质探究角的关系 11 题型十一、根据平行线的性质求角的度数 11 题型十二、平行线的性质在生活中的应用 11 题型十三、根据平行线判定与性质求角度 11 题型十四、根据平行线判定与性质证明 11 题型十五、补全平行线的判定过程 11 题型十六、平行线的性质与三角板综合 11 题型十七、平行线中的旋转角问题 11 题型十八、利用平移的性质求解 11 题型十九、利用平移解决实际问题 11 题型二十、平移作图 11 题型二十一、平移综合题 11 题型一、命题 1．可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 2．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．0 B．0.5 C． D． 3．要证明命题“若则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（    ） A． B． C． D． 题型二、对顶角 4．如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 5．如图，直线，相交于点O，，，则______°． 6．如图，直线相交于点O，，，．求： (1)的度数； (2)的度数． 题型三、垂线 7．如图，直线，相交于点O，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．如图，点在直线上，．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知是直线上一点，过点作射线，且． (1)如图，的度数为__________； (2)如图，若平分，，垂足为．求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 题型四、相交线的计算 10．如图，已知直线 相交于点平分． (1)求 的度数； (2)求 的度数； (3)试说明 平分． 11．如图，直线、相交于点，射线在内部，且．过点作． (1)若，求的度数； (2)若， 平分吗？为什么？ 12．如图，直线相交于点，平分． (1)对顶角是___________； (2)若，求的度数． 题型五、尺规画平行线 13．读下列语句，并画出图形： (1)直线垂直于，垂足是O，点P是直线上一点，直线经过点P且与直线平行； (2)直线，相交于点O，点P是直线，外的一点，直线与直线平行，且与直线相交于点E． 14．如图，直线与直线相较于点． (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为，连接，比较线段与的长度，并说明理由． 15．如图，直线与直线相交于点O，E是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题： (1)过点E画直线交于点F； (2)过点E画的垂线，垂足为点G； (3)测量点E到直线的距离约为__________．（结果精确到） 题型六、平行线间距离问题 16．如图，在四边形中，，连接，已知，试说明．    17．在同一平面内，已知直线，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是．请画出图形，并求出直线a与c之间的距离． 18．如图，直线点在直线m上，点C在直线n上，且，．求： (1)直线m与直线n的距离； (2)点A到的距离； (3)点D到的距离． 题型七、平行公理 19．在同一平面内，直线l的同侧有A，B，C三点，如果，，那么A，B，C三点是否在同一条直线上？画图并说明理由． 20．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． (2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为___________． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________． 【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“<”连接）． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________． 21．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 题型八、平行线的判定 22．已知：如图，平分，，求证：． 23．如图，已知平分． (1)求的度数； (2)与平行吗？为什么？ 24．综合与实践．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中． (1)若，求的度数； (2)求证； (3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，请在备用图中画出示意图，并求出的度数． 题型九、平行线的性质 25．如图，，连接，且平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．如图， ，，则_______． 27．如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 题型十、根据平行线的性质探究角的关系 28．如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 29．把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．若三角尺的直角顶点落在上，角的顶点落在上，则与的数量关系是______． 30．【问题背景】 如图，直线与直线，相交于点，，，点是线段上的一个动点（不与，重合），点是射线上的一点．连接，的平分线与的平分线交于点． 【问题初探】 （1）与平行吗？请说明理由； （2）如图1，若，，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图2，记，，移动点，当时，求和的数量关系． 题型十一、根据平行线的性质求角的度数 31．如图，点，分别在线段，上，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 32．已知：如图，点、分别在和上，平分，，，过点作，交延长线于点． (1)求证：； (2)求的度数． 33．如图，已知，直线分别交直线，于点E，F，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 题型十二、平行线的性质在生活中的应用 34．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 35．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则____________ ． 36．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 题型十三、根据平行线判定与性质求角度 37．如图，已知，点在上方，连接，．，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A． B． C． D． 38．如图，已知，，，则的度数为_______ 39．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型十四、根据平行线判定与性质证明 40．如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 41．如图，在四边形中，E、F分别是、延长线上的点，连接．分别交、于点G、H．若，．试证明 (1) (2)． 42．已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线， ， ①________． ， ②________． ， ③________（④________________________）． ． (2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并请用平行线的知识说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为________． 题型十五、补全平行线的判定过程 43．填写证明过程中的推理或根据： 如图所示，已知：．求证：． 证明：， ．（___________） ， ．（___________） ___________．（___________） 又， ．（___________） ___________． ．（___________） （垂直的定义）． 44．如图，点在同一条直线上，已知，平分，，， 求证：．在下面“______”上补充完整推理过程，并在“（______）”内注明理由． 证明：平分（已知）， ______①（角平分线的定义）． （已知）， ______②（垂直的定义）． （已知）， ∴③______（等量代换）． ______④（等量代换）． （⑤______）． 45．如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明． 解：（已知）， （_________________________）． ∵（已知）， _________________________（两直线平行，同旁内角互补）， （_________________________）． 分别是和的角平分线（_________________________）． ，（_________________________）， _________________________（等式性质）． （已知）， （_________________________）， （_________________________）， （_________________________）． 题型十六、平行线的性质与三角板综合 46．综合与探究 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动如图，将两块三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中，然后三角板不动，三角板绕点A旋转． 操作探究： (1)如图1，若，判断线段与的位置关系，并说明理由． (2)当三角板绕点A旋转到如图2所示的位置，且时，求的度数． (3)深入思考：在三角板绕点A旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 47．在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你根据所学知识完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据，同时完成（2）． (1)过点作． ，， ____________， ______（           ）， 又， ， 又， ______． (2)如图2，现有含角的直角三角板，含角的直角三角板，将这一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，直角三角板的斜边与纸条一边重合，直角三角板的顶点在纸条的另一边上，点与点重合，求的度数． 48．如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的内部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时 ①请直接写出所有可能的值； ②任选①中的两种情况画图并作出相应的证明． 题型十七、平行线中的旋转角问题 49．【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为 °． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 50．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 51．如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、），，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒． (1)如图1，直接写出下列答案： ①的度数是________________； ②当旋转时间_______________秒时，射线过点． (2)如图2，若，求此时对应的旋转时间的值． (3)若两条射线和所在直线交于点， ①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）； ②若射线在的左侧，当时，求的值． 题型十八、利用平移的性质求解 52．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为15，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 53．如图，将长方形沿着直线平移得到长方形（其中分别对应），联结，如果平移的距离为长度的，且的面积为10，那么长方形的面积为_____． 54．数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通，如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． (1)如图1，在中；，垂直于，厘米，厘米．求涂色的面积．把点沿着向上运动，当运动到点时，形成（如图2），图2中和图1中等底（）等高（），面积相等，图2中涂色的面积图1中涂色的面积______． (2)如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，求原来长方形的周长．把线段向右平移至，向左平移至，向上平移至，向下平移至．原来长方形的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题，长方形的周长是______厘米． (3)如图4，大正方形的边长是14厘米，梯形的面积是90平方厘米，涂色正方形的面积是______平方厘米．（在图4的右侧画出示意图．） 题型十九、利用平移解决实际问题 55．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 56．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 57．白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 题型二十、平移作图 58．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 59．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点作的平行线，点在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点平移到点，点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形； (3)线段与的数量关系是__________，位置关系是__________，在平移过程中线段扫过的面积是__________． 60．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)线段___________线段；（填“>”“<”或“=”） 题型二十一、平移综合题 61．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到．图中标出了点C的对应点．（利用网格与无刻度直尺画图）    (1)画出平移后的； (2)利用格点，过点C画一条直线，将分成面积相等的两个三角形；（画出直线经过的格点） (3)在整个平移过程中，线段扫过的面积是________． 62．如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格）． (1)画出中AB边上的高CH（要求用铅笔作图，加黑加粗，并标出点H的位置）； (2)画出向右平移4格、向上平移2格后的（A、B、C的对应点依次为D、E、F）； (3)连接AD、BE，那么AD与BE的关系是________； (4)若点P是正方形网格内异于点B的格点，则满足和的面积相等的P点有____个． 63．如图，在的正方形网格中有，点均在格点上． (1)画出点到直线的最短路径； (2)过点画出的平行线，交于点； (3)将向左平移格，再向下平移格后得到，画出． (4)判断和的数量关系______． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $