专题01 平行线的判定与性质12大题型（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

专题01 平行线的判定与性质12大题型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、同位角相等两直线平行 1 题型二、内错角相等两直线平行 2 题型三、同旁内角互补两直线平行 3 题型四、两直线平行同位角相等 5 题型五、两直线平行内错角相等 6 题型六、两直线平行同旁内角互补 8 题型七、平行公理及其推论 9 题型八、根据平行线的性质探究角的关系 11 题型九、根据平行线的性质求角的度数 11 题型十、平行线的性质在生活中的应用 11 题型十一、平行线的性质与三角板结合问题 11 题型十二、平行线的判定与性质中的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、同位角相等两直线平行 1．如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当（　　）时，木条a与b平行． A． B． C． D． 2．如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件_________，使得．（只写一个） 3．如图，．与平行吗？请说明理由． 4．如图，在三角形中，D 是上一点，E 是上一点，，，． 求证：． 题型二、内错角相等两直线平行 5．如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 6．如图所示，，那么图形中的平行线有___________． 7．如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 8．如图所示，，与相交于点，，试判断，是否平行，并说明理由． 题型三、同旁内角互补两直线平行 9．如图，直线分别交直线，于点M，N．已知，．求证：． 10．如图，分别平分和，，那么与有什么关系？试说明理由． 11．如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、． (1)若，，则________． (2)猜想与的关系，并说明理由． (3)在线段上取一点，使得，连接，判断与的位置关系，并说明理由． 12．综合与实践．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中． (1)若，求的度数； (2)求证； (3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，请在备用图中画出示意图，并求出的度数． 题型四、两直线平行同位角相等 13．如图，，点在直线上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 14．如图1，三根木条a、b、c相交成，固定木条b，c，将木条a绕点A转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则木条a与木条c相交成的度数是（    ） A． B． C． D． 15．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从空气射入水中时，会发生折射，已知在空气中平行的光线射入水中时也是平行的，如图，，则___________． 16．如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，，求的度数． 题型五、两直线平行内错角相等 17．如图，，分别交、于点，，，平分交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 18．如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，已知．当时，旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 19．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为______． 20．如图，已知四边形，点 E 是射线上一点，连接交线段于点F，  若，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分， 求的大小． 题型六、两直线平行同旁内角互补 21．如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 22．如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为______． 23．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为______． 24．综合实践问题：如图①，直线，，两两相交，交点分别为点A，B，C，点在线段上，过点作交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数． 请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）． 解：． _____（   ）． ， _____（   ）． （   ）． ， ． 探究：如图②，直线，，两两相交，交点分别为点，B，C，点在线段的延长线上，过点作交于点，过点作交于点． (2)在图②中，若，求的度数并说明理由． 题型七、平行公理及其推论 25．下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 26．a，b，c是直线，且，则，理由是______________________ 27．给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④如果，，那么．其中真命题有______．（填所有真命题的序号） 28．如下图，已知直线a、点B、点C． (1)分别过点作直线a的平行直线； (2)（1）中所作的直线的位置关系是_______． 题型八、根据平行线的性质探究角的关系 29．如图，将直尺和角的三角尺叠放在一起，则和之间的关系为（   ） A． B． C． D． 30．如图，已知，连接得到，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 31．已知的两条边和的两条边互相平行，若，，则m和n满足的数量关系为__________． 32．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．      【提出问题】 小明提出：如图①，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 (1)请你帮小明解决这个问题，并说明理由． (2)如图②，求，，的数量关系，并说明理由． (3)如图③，已知，，，求的度数． 题型九、根据平行线的性质求角的度数 33．如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 34．如图是一款儿童小推车的示意图．若，，，则______°． 35．如图，，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 36．已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 题型十、平行线的性质在生活中的应用 37．如图，一条街道有两个拐角和，已知，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 38．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（    ）    A． B． C． D． 39．某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为______． 40．自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，． (1)求的度数； (2)与 平行吗？ 为什么？ 题型十一、平行线的性质与三角板结合问题 41．一把直尺和一块三角板(含，角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 42．如图，，点O在直线上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与交于A，B两点，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 43．一把直尺和一个含，角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且，那么的大小为______．    44．综合与探究：如图，一副三角板，其中，，． (1)若这副三角板如图摆放，，求的度数． (2)将一副三角板如图1所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，求所有满足条件的t的值． 题型十二、平行线的判定与性质中的新定义问题 45．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． (1)若，在，，中，的“3系数补角”是______； (2)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小． 46．定义：若是同旁内角，并且满足，则称是的内联角． (1)如图1，已知是的内联角． ① 当时， _____； ② 当直线时，求的度数． (2)如图2，已知是的内联角，点O是线段上一定点． ①是的内联角吗？请说明理由； ② 过点O的直线分别交直线于点P、Q，若且是图中某个角的内联角．请直接写出是哪个角的内联角，以及此时的度数． 47．定义：在平面内，对于和，若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如：，，有，则是的“2系数补角”． (1)若，求的“5系数补角”的度数； (2)在平面内，直线，直线在上方，直线分别交直线，于点E，F，且，点H为直线右侧一个动点，的平分线与的平分线交于点M． ①如图，若点H在直线上方，且，，求的度数； ②已知，，是的“3系数补角”，且，请直接用含m和n的式子表示x． 48．定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． 1．（24-25七年级下·北京·期末）如图，已知，增加以下的一个条件后能得到的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京昌平·期末）如图，直线，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京大兴·期末）如图，已知，若，平分交于点，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（24-25七年级下·北京顺义·期末）如图，在四边形中，在线段的延长线上，，，点、分别为四边形外部、内部的点，连接、、，交于点，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（25-26八年级上·北京延庆·期末）用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点在直线上，，，，点在同一条直线上，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·北京顺义·期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，点F，G都在边上，且，．若，，探究，，之间的数量关系．两位同学有两种不同的思路，图示如下： 则图中的①与②分别表示（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则___________． 8．（25-26七年级上·北京·期中）如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是______．（旋转度数在与之间） 9．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，已知，点E在上，平分，平分．若，则的度数为______． 10．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）为了保护视力，某公司推出了护眼灯，如图所示，右侧示意图中（台灯底座高度忽略不计），，经使用发现，当时，光线最佳．则此时_____° 11．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）将两副三角板、按如图1方式摆放，其中，、分别在直线、上，直线．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，（如图2，运动过程中，三角板任意两边所在直线均不重合）．设旋转时间为t秒，且，则经过______秒边与三角板的一条直角边平行． 12．（24-25七年级下·四川广元·期中）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有___________．（填序号） 13．（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，已知，点A，B在射线上，点C在射线上． (1)选择合适的工具，按以下要求画出图形： ①过点A画射线的垂线，垂足为D； ②画的平分线交于点E； (2)若，求证：． 请根据以下的证明过程，补全推理的依据． 证明：∵平分， ∴．（填推理的依据①：_____） ∵， ∴． ∴．（填推理的依据②：______） ∴．（填推理的依据③：_____） ∵， ∴． ∴． ∴．（填推理的依据④：_______） 14．（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知，点是直线上一个定点，点在直线上运动，设，在线段上取一点，射线上取一点，使得． (1)当时，______； (2)当时，求； (3)作的角平分线，若，直接写出的值：______． 15．（24-25七年级下·北京西城·期末）如图，点在线段上，点，在线段上，，． (1)求证：； (2)若于点，平分，，求的度数． 16．（24-25七年级下·北京·期中）如图，点E、F分别在线段和上，且于G，于H，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的大小． 17．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点，，求的度数． 18．（24-25七年级下·北京延庆·期末）如图，点A，B分别是直线上的点，连接，过点B作与互余．    (1)求证：； (2)如图2，平分交于点D，平分交于点H． ①补全图形； ②设，求的度数（用含α的式子表示）． 19．问题情境：如图1，，，，求度数. 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求. (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案) (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系. 20．（24-25七年级下·北京·期中）如图，点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线上，且点在点的右侧， ，设． (1)填空： ． (2)若的平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当 秒时，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行线的判定与性质12大题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、同位角相等两直线平行 1 题型二、内错角相等两直线平行 2 题型三、同旁内角互补两直线平行 3 题型四、两直线平行同位角相等 5 题型五、两直线平行内错角相等 6 题型六、两直线平行同旁内角互补 8 题型七、平行公理及其推论 9 题型八、根据平行线的性质探究角的关系 11 题型九、根据平行线的性质求角的度数 11 题型十、平行线的性质在生活中的应用 11 题型十一、平行线的性质与三角板结合问题 11 题型十二、平行线的判定与性质中的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、同位角相等两直线平行 1．如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当（　　）时，木条a与b平行． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 故选：A． 2．如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件_________，使得．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的三个判定定理添加即可． 【详解】解：添加， 由同位角相等两直线平行，即可得； 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，．与平行吗？请说明理由． 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行，是解题的关键．根据同位角相等，两直线平行，进行求解即可． 【详解】解：；理由如下： ∵． ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 4．如图，在三角形中，D 是上一点，E 是上一点，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等即可判断出两直线平行． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 题型二、内错角相等两直线平行 5．如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 6．如图所示，，那么图形中的平行线有___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握内错角相等，两直线平行这一判定方法是解题的关键． 根据已知角相等的条件，利用内错角相等，两直线平行的判定定理，分别判断两组直线的平行关系． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：． 7．如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 【答案】直线与平行，理由见详解 【分析】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，平角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 由垂直的定义得到，由平角的定义求出，由对顶角的性质得到，因此，推出． 【详解】解：直线与平行，理由如下： ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图所示，，与相交于点，，试判断，是否平行，并说明理由． 【答案】平行，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：①同旁内角互补，两直线平行，②两直线平行，同位角相等． 根据题意，等量代换得到，再根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：平行，理由如下： ，， ． ， ， （内错角相等，两直线平行）． 题型三、同旁内角互补两直线平行 9．如图，直线分别交直线，于点M，N．已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了对顶角相等，同旁内角互补两直线平行等知识点，解题关键是掌握上述知识． 先利用对顶角相等证明，再证明，从而可根据平行线的判定得出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 10．如图，分别平分和，，那么与有什么关系？试说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义及平行线的判定定理，解题的关键在于利用角平分线将给定角度转化为所需角度，进而通过证明同旁内角互补，最终依据平行线判定定理得出与平行的结论．运用角平分线的定义，结合图形可知，又已知，可得同旁内角和互补，从而证得． 【详解】解：与平行，理由如下： 平分平分， （角平分线定义）， ， ， （同旁内角互补，两直线平行）． 11．如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、． (1)若，，则________． (2)猜想与的关系，并说明理由． (3)在线段上取一点，使得，连接，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的判定， 对于（1），根据三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出答案； 对于（2），根据三角形内角和定理可得答案； 对于（3），根据三角形内角和定理可得，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：； （2）解：． 理由如下： ∵，， ∴， 即； （3）解：． 理由如下： ∵， ∴， ∴． 12．综合与实践．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中． (1)若，求的度数； (2)求证； (3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，请在备用图中画出示意图，并求出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定，角度的和差计算，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）依据，即可得到的度数，即可求解； （2）依据，即可得到的度数，即可得证； （3）依据平行线的判定，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， 。 （2）证明：， 。 （3）分两种情况： ①如图1所示，当时，，所以， ②如图2所示，当时，，所以， 综上所述，的度数等于或时，． 题型四、两直线平行同位角相等 13．如图，，点在直线上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质，得出的度数，再根据平角的定义求出的度数． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 14．如图1，三根木条a、b、c相交成，固定木条b，c，将木条a绕点A转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则木条a与木条c相交成的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行，同位角相等，进行求解即可． 【详解】解：， 旋转后的． 15．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从空气射入水中时，会发生折射，已知在空气中平行的光线射入水中时也是平行的，如图，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 16．如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直定义， 对于（1），先根据“两直线平行，内错角相等”得，进而得出，再根据“同位角相等，两直线平行”得出答案； 对于（2），先根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据角平分线定义得，然后根据垂直定义得，最后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 题型五、两直线平行内错角相等 17．如图，，分别交、于点，，，平分交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质．由平分可得，再由可得即可得结论． 【详解】解：平分， （角平分线的性质）， ， （两直线平行，内错角相等）． 故选：D． 18．如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，已知．当时，旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质．由旋转可知，再根据，，即可求解． 【详解】解：由旋转可知， ∵， ∴， ∴旋转角的度数为， 故选：B． 19．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为______． 【答案】55° 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键． 过点作，故可得出，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．如图，已知四边形，点 E 是射线上一点，连接交线段于点F，  若，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分， 求的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角互补，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合邻补角互补相等，则，结合可得，即可作答． （2），平分，所以，因为，则．即可作答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴． 题型六、两直线平行同旁内角互补 21．如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线定义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 22．如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定：同位角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由，得出，、为同位角，所以.由，，得出，所以 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 23．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 24．综合实践问题：如图①，直线，，两两相交，交点分别为点A，B，C，点在线段上，过点作交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数． 请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）． 解：． _____（   ）． ， _____（   ）． （   ）． ， ． 探究：如图②，直线，，两两相交，交点分别为点，B，C，点在线段的延长线上，过点作交于点，过点作交于点． (2)在图②中，若，求的度数并说明理由． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换． (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． （1）根据平行线的性质即可解答． （2）根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵， ∴，（两直线平行，同位角相等） ∴，（等量代换） ∵， ∴． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换． （2）解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴． 题型七、平行公理及其推论 25．下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键． 根据平行线的定义进行逐一判定即可． 【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意； 故选A． 26．a，b，c是直线，且，则，理由是______________________ 【答案】平行于同一直线的两条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，掌握如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行成为解题的关键． 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，据此即可解答． 【详解】解：∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：平行于同一直线的两条直线平行． 27．给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④如果，，那么．其中真命题有______．（填所有真命题的序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及余角、对顶角、补角的定义以及平行线的性质；通过举反例和定义分析即可判断． 【详解】①一个角的余角不一定大于这个角，反例：的余角是，，故①是假命题； ②如果，那么与不一定是对顶角，反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故②是假命题； ③补角的定义：如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，故③是真命题； ④根据平行线的性质，如果两条直线平行，且其中一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故④是真命题． 故答案为：③④． 28．如下图，已知直线a、点B、点C． (1)分别过点作直线a的平行直线； (2)（1）中所作的直线的位置关系是_______． 【答案】(1)见解析； (2)平行． 【分析】本题主要考查平行线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）分别过点作直线a的平行直线； （2）根据“如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作； （2）解：所作的直线的位置关系是平行，理由是：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 故答案为：平行． 题型八、根据平行线的性质探究角的关系 29．如图，将直尺和角的三角尺叠放在一起，则和之间的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，延长交于点，由平行线的性质得，进而由得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：． 30．如图，已知，连接得到，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 由得，由得，整理可得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 31．已知的两条边和的两条边互相平行，若，，则m和n满足的数量关系为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据题意可分图1和图2两种情况，根据平行线的性质讨论求解即可． 【详解】解；如图1所示，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 如图2所示，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 综上所述，或； 故答案为：或． 32．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．      【提出问题】 小明提出：如图①，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 (1)请你帮小明解决这个问题，并说明理由． (2)如图②，求，，的数量关系，并说明理由． (3)如图③，已知，，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，熟知平行线的性质与三角形外角的性质是解题的关键． （1）由平行线的性质推出，得到即可解决问题； （2）由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； （3）延长交于点L，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，与相交于点理由如下： ， ， ， ． （3）解：如图③，延长交于点L， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型九、根据平行线的性质求角的度数 33．如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，设，先根据角平分线求得，，进而求得，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 34．如图是一款儿童小推车的示意图．若，，，则______°． 【答案】70 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ， ，， ， 故答案为：70． 35．如图，，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据两直线平行，同旁内角互补，得，因为，故，即可作答． （2）先由，得，再结合平分，故，因为，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 36．已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解． 【详解】（1）解：平分， ． ， ， ： （2）解：平分，， ， ， ； （3）证明：由得， ， 平分平分， ， ， ． 题型十、平行线的性质在生活中的应用 37．如图，一条街道有两个拐角和，已知，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，由，根据两直线平行，内错角相等，可得的度数，解题的关键是将实际问题转化为数学问题求解． 【详解】∵ ∴（两直线平行，内错角相等）． 故选：D． 38．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案. 【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行，   ，. ， ，. . 故选：C. 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质. 39．某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为______． 【答案】/49度 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据某一时刻在阳光照射下的光线互相平行，可得，，再代入计算即可．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴的大小为． 故答案为：． 40．自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，． (1)求的度数； (2)与 平行吗？ 为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解； （2）先求得，进而根据，即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2），理由如下 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 题型十一、平行线的性质与三角板结合问题 41．一把直尺和一块三角板(含，角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据平行线的性质得出，然后再求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 42．如图，，点O在直线上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与交于A，B两点，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，求出是解题关键．先求出，然后根据对顶角相等即可得出． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 43．一把直尺和一个含，角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且，那么的大小为______．    【答案】/10度 【分析】根据题意得出，根据两直线平行同位角相等，得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 44．综合与探究：如图，一副三角板，其中，，． (1)若这副三角板如图摆放，，求的度数． (2)将一副三角板如图1所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，求所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)所有满足条件的t的值为15或60 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得出，再根据角的和差求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，延长交于点P，当时，延长交于点T，进而根据平行线的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）如图，由题意得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，①当时，延长交于点P，延长交于点Q， ∵， ∴， ∵，，． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵旋转速度为每秒的速， ∴秒转过的角度为， ∴， 解得； ②当时，如图，延长交于点T， ∵旋转速度为每秒的速， ∴秒转过的角度为， 根据题意得：， ∵， ∴， ∵，，． ∴， ∴，即， ∴； 综上所述：所有满足条件的t的值为15或60． 题型十二、平行线的判定与性质中的新定义问题 45．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． (1)若，在，，中，的“3系数补角”是______； (2)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小． 【答案】(1) (2)是或； 【分析】此题考查了平行线的性质、二元一次方程组的应等知识，理解新定义的含义是解题的关键． （1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）设，，再根据的位置，结合，再建立方程组，解方程组即可得到答案； 【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的“3系数补角”是； 故答案为： （2）解：设，， 如图，设与相交于点H，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即②， ∴， 联立①②得， ， 解得， 即是； 如图，当在之间时，过作，而， ∴， ∴，， ∴， ∵， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即②， 联立①②得， ， 解得， ∴； 如图，当在的下方时， 同理可得：， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即②， 联立①②得， ， 解得：， 综上：是或； 46．定义：若是同旁内角，并且满足，则称是的内联角． (1)如图1，已知是的内联角． ① 当时， _____； ② 当直线时，求的度数． (2)如图2，已知是的内联角，点O是线段上一定点． ①是的内联角吗？请说明理由； ② 过点O的直线分别交直线于点P、Q，若且是图中某个角的内联角．请直接写出是哪个角的内联角，以及此时的度数． 【答案】(1)①；② (2)①是，理由见解析；②当是的内联角时，；当是的内联角时，；当是的内联角时， 【分析】本题考查同旁内角，平行线的性质，几何图形中角度的计算，三角形的外角，掌握内联角的定义，是解题的关键： （1）①根据内联角的定义进行求解即可；②根据平行线的性质和内联角的定义，进行求解即可； （2）①根据邻补角求出和的度数，再根据内联角的定义进行判断即可；②分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵是的内联角， ∴， ∵， ∴； 故答案为：80； ②∵是的内联角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①是，理由如下： ∵是的内联角， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵是同旁内角， ∴是的内联角； ②∵是的内联角，， ∴， 当直线位于如下图所示位置时： ∴当是的内联角时，则：， 当是的内联角时，，解得： 当直线位于如下图所示位置时： ∵， ∴， ，    若是的内联角，则 ， ∵， ∴（舍去）． 若是的内联角，则 ， 得， 综上：当是的内联角时，；当是的内联角时，；当是的内联角时，． 47．定义：在平面内，对于和，若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如：，，有，则是的“2系数补角”． (1)若，求的“5系数补角”的度数； (2)在平面内，直线，直线在上方，直线分别交直线，于点E，F，且，点H为直线右侧一个动点，的平分线与的平分线交于点M． ①如图，若点H在直线上方，且，，求的度数； ②已知，，是的“3系数补角”，且，请直接用含m和n的式子表示x． 【答案】(1) (2)①；②的度数为或或 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． （1）根据“系数补角”的定义计算即可； （2）根据平行线的性质得出，根据题意求出，根据角平分线定义得出，，求出最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （3）分三种情况：当点在直线内部时，当点在直线下方时，当点在直线上方时；分别求解即可． 【详解】（1）解：， 的“5系数补角”； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ②如图，当点在直线内部时， 平分，平分， ，， ∵， ， ， ，， ， ， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线下方时， ∵， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线上方时， 同理可得， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 综上所述，的度数为或或． 48．定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为，由三角形内角和定理可得，解方程即可求解； （）由三角形内角和定理得，再分为“黄金角”、 为“黄金角”和为“黄金角”三种情况解答即可求解； （）由平行线的性质和角平分线的定义可得，进而由三角形外角性质得到，设，根据“黄金角”及“似黄金三角形”的定义分和两种情况解答即可求解； 本题考查了三角形的内角和定理和外角性质，平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，理解“黄金角”及“似黄金三角形”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为， 则， ∴， ∴这个“黄金角”的度数为， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵为“似黄金三角形”， 若为“黄金角”，则， ∴； 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴，此种情况不合题意，舍去； 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵为“似黄金三角形”， 当时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵是“似黄金三角形”， 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，此种情况不可能为“似黄金三角形”； 综上，的度数为或． 1．（24-25七年级下·北京·期末）如图，已知，增加以下的一个条件后能得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A、，根据“内错角相等，两直线平行”可判定，不能判定，不符合题意； B、，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定，不能判定，不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，符合题意； D、，不能判定，不符合题意， 故选：C． 2．（24-25七年级下·北京昌平·期末）如图，直线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题了平行线的性质． 先根据平行线的性质得出的度数，再由平角的定义即可得出结论． 【详解】解：∵， ． ， ， ． 故选：B． 3．（24-25七年级下·北京大兴·期末）如图，已知，若，平分交于点，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质，准确进行推理证明．根据平行线的性质判断即可． 【详解】解：如图， ， ， 平分， ， ，所以结论①正确； ， ， ，所以结论②正确； ， ， ， ， 平分， ， ，所以结论③不正确； ， ， ，所以结论④正确； 故选：B． 4．（24-25七年级下·北京顺义·期末）如图，在四边形中，在线段的延长线上，，，点、分别为四边形外部、内部的点，连接、、，交于点，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，根据平行线的判定和性质可判定①②③，根据对顶角相等可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∵和是对顶角， ∴，故④正确， 故选：A 5．（25-26八年级上·北京延庆·期末）用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点在直线上，，，，点在同一条直线上，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，外角的性质，内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 6．（25-26八年级上·北京顺义·期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，点F，G都在边上，且，．若，，探究，，之间的数量关系．两位同学有两种不同的思路，图示如下： 则图中的①与②分别表示（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据平行线的性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角的性质，进行作答，判断即可． 【详解】解：对于①：∵， ∴； 对于②：∵是的外角， ∴； 故选：A． 7．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质． 根据旋转的性质得到，根据平行线的性质得到，即旋转角． 【详解】解：∵，将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 即旋转角． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·北京·期中）如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是______．（旋转度数在与之间） 【答案】/30度 【分析】本题考查了平行线的判定（同位角相等，两直线平行），解题的关键是明确平行线所需的角的关系． 先确定时应满足的度数，再计算当前与该度数的差值，得到木条逆时针旋转的度数． 【详解】解：要使木条与平行，需满足同位角（或内错角）相等． 已知，当时，对应的同位角应为． 当前，因此木条逆时针旋转的度数为． 故答案为： 9．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，已知，点E在上，平分，平分．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理及其方程的思想求解是解答的关键． 设，根据三角形的内角和定理可得， 利用角平分线的定义和平行线的性质推导出，再根据的内角和定理得到，进而列方程求得x值即可解答． 【详解】解：设， ， 平分， ， ， ，平分 ， 在中，， ， 解得， ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）为了保护视力，某公司推出了护眼灯，如图所示，右侧示意图中（台灯底座高度忽略不计），，经使用发现，当时，光线最佳．则此时_____° 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角的和差等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键． 如图：过C作，则，由垂直的定义推出、，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：如图：过C作，则， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 11．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）将两副三角板、按如图1方式摆放，其中，、分别在直线、上，直线．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，（如图2，运动过程中，三角板任意两边所在直线均不重合）．设旋转时间为t秒，且，则经过______秒边与三角板的一条直角边平行． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，三角形内角和定理应用，掌握判定方法及性质是解题的关键．延长交于点，可求，进行分类讨论，当时，当时，分别画出图形，求出旋转角，再求出旋转时间即可． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ①如图，当时， 则, 此时旋转的度数为， ； ②如图，当时， 则， 此时旋转的度数为， ； 综上所述：经过或边与三角板的一条直角边平行．． 故答案为：或． 12．（24-25七年级下·四川广元·期中）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有___________．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的有关计算，求一个角的余角，对顶角的性质等；①可得，由平行线的判定方法，即可判断；②由平行线的性质得，由角平分线的定义，即可判断；③由余角的定义得，由对顶角相等，即可判断；④设，，由角平分线的定义得，即可判断； 掌握平行线的判定及性质，能熟练利用角平分线的定义求解是解题的关键． 【详解】解：①，， ， ， 故此项正确； ②， ， ， ， 平分； 故此项正确； ③的余角比大， ， ， ， ， 故此项错误； ④设，， ， 平分， ， ， ， 解得：， ， 故此项错误； 故答案为：①②． 13．（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，已知，点A，B在射线上，点C在射线上． (1)选择合适的工具，按以下要求画出图形： ①过点A画射线的垂线，垂足为D； ②画的平分线交于点E； (2)若，求证：． 请根据以下的证明过程，补全推理的依据． 证明：∵平分， ∴．（填推理的依据①：_____） ∵， ∴． ∴．（填推理的依据②：______） ∴．（填推理的依据③：_____） ∵， ∴． ∴． ∴．（填推理的依据④：_______） 【答案】(1)见解析 (2)①角平分线的定义；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；④垂线的定义 【分析】本题主要考查了画垂线，画角平分线，垂线和角平分线的定义，平行线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）用量角器量出的度数，再用量角器画交于点E，且，最后根据三角板和直尺画垂线即可； （2）根据角平分线的定义和已知条件证明，则可根据同位角相等，两直线平行证明，则可根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，结合垂线的定义可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵平分， ∴．（角平分线的定义） ∵， ∴． ∴．（同位角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，同旁内角互补 ） ∵， ∴． ∴． ∴．（垂线的定义） 14．（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知，点是直线上一个定点，点在直线上运动，设，在线段上取一点，射线上取一点，使得． (1)当时，______； (2)当时，求； (3)作的角平分线，若，直接写出的值：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）根据平行线的性质求解，即可得到答案； （2）过点作直线，根据平行线的性质，得到的度数，进而得到的度数，再利用平行线的性质，即可求出； （3）根据角平分线和平行线的性质，得到的度数，再根据平行线的性质，得到的度数，然后利用三角形内角和定理列式求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1，过点作直线， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·北京西城·期末）如图，点在线段上，点，在线段上，，． (1)求证：； (2)若于点，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质，由得到角相等关系，再结合已知，通过等量代换得出内错角相等，从而证明． （2）根据，利用平行线同旁内角互补求出，再由角平分线定义得出相关角的度数，结合，利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（24-25七年级下·北京·期中）如图，点E、F分别在线段和上，且于G，于H，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）先证明得出，从而可证得，即可由平行线的判定定理得出结论； （2）设，根据，得出，结合，，得出，，根据，得出，求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 17．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义． （1）根据平行线的性质得到，可知，即可得到； （2）根据平行线的性质得到，由角平分线的定义可知，进而可知，根据垂直的定义计算即可． 【详解】（1）解：与平行． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·北京延庆·期末）如图，点A，B分别是直线上的点，连接，过点B作与互余．    (1)求证：； (2)如图2，平分交于点D，平分交于点H． ①补全图形； ②设，求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析，② 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，同角的余角相等， 对于（1），根据“同角的余角相等”得，再根据“内错角相等，两直线平行”得出答案； 对于（2），作出图形解答①； ②作，根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质得，进而得，最后根据可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ． 与互余， ， ， ； （2）解：①如图所示； ②过点H作． 平分，平分， ． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ． （已证）， ． 19．问题情境：如图1，，，，求度数. 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求. (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案) (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系. 【答案】(1)110 (2)，理由见解析 (3)当P在延长线上时，； 当P在延长线上时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，易得，得到，进而得到； （3）分P在延长线上，和P在延长线上，两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. （2）解：，理由如下： 过点作，    ∵， ∴， ∴， ∴. （3）解：如图所示，当P在延长线上时， 过点作， ∵， ∴， ∴， ，   如图所示，当P在延长线上时， 同理可得：，， ． 20．（24-25七年级下·北京·期中）如图，点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线上，且点在点的右侧， ，设． (1)填空： ． (2)若的平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当 秒时，． 【答案】(1)90 (2)①；②20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第（2）②问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系， ②动点问题，先画出图形，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ， 故答案为：90； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； ②如图2，当射线旋转到时，旋转至,延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 未旋转前，， ， ， 解得：； 当与在直线同侧且平行时， 由，得， 故答案为：20或80． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $