5.3.2（2） 函数的最大（小）值课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版 选择性必修 第二册 5.3.2函数的最大（小）值 第五章 一元函数的导数及其应用 1.函数极值： 2.求可导函数f(x)极值的步骤： 左正右负为极大，左负右正为极小 左增右减为极大，左减右增为极小 求导数f ′(x)； 求方程f ′(x)=0的根； 把定义域划分为部分区间，并列成表格： 检查f ′(x)在方程根左右的符号： 确定函数的定义域； 3. 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0; 反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点. 知识回顾 1.理解函数的最值的概念； 2.了解函数的最值与极值的区别与联系； 3.会用导数求在给定区间上函数的最值. 学习目标 自学指导 阅读课本92--94页，完成以下问题： 问题1：函数在区间上的最值。 问题2：求函数在闭区间上的最值。 思考1 下图是函数y=f(x), x∈[a, b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗? 你能进一步找出函数在区间[a, b]上的最小(大)值吗？ x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 思考2 在图(1)、图(2)中，观察[a, b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a, b]上有最大值、最小值吗? 如果有，最大值和最小值分别是什么? x y O a b (1) (2) x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 一般地，如果在区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 说明： 在闭区间[a,b]上连续的函数必有最大值和最小值. 这里有两层意思： （1）给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值； （2）在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证f(x)有最大值和最小值. （1） （2） 例1 小组互助 2. 如果函数 f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么求 f(x)在[a ,b]内的最大值与最小值的步骤为： ① 求函数f(x)在(a, b)内的极值； ② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)； ③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注意区分函数的极值与最值： 函数的极值是函数的局部性质，函数的最值是函数在指定区间上的整体性质. 教师点拨 变式1（1）函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[-2,1]上的最大值、最小值分别是(　　) A.12,-8 B.1,-8 C.12,-15 D.5,-16 （2）求函数f(x)=-x4+2x2+3在区间[-3,2]上的最大值与最小值. 小组互助 A 例2 x y O 1 -1 -2 • • • 小组互助 由例2可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质. 通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象： (1) 求出函数f(x)的定义域； (2) 求导数f′(x)及函数f′(x)的零点； (3) 用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； (4) 确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5) 画出f(x)的大致图象. 教师点拨 小组互助 例3 已知函数f(x)=(x-k)ex,k为常数. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 小组互助 小组互助 例4 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实数a,b,使f(x)在区间[-1,2]上取得最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由. 小组互助 变式3 已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间; (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 小组互助 例5 当x>0时,证明不等式:1+2x<e2x. 小组互助 变式4 证明不等式ln x<x<ex(x>0). x y O 1 π 小组互助 例6 已知函数f(x)=x3- x2-2x+c,若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围. 小组互助 变式5 设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0). (1)求f(x)的最小值h(t); (2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围. 教师点拨 两个函数中的存在性、任意性问题 当x1∈[a,b],x2∈[c,d]时,f(x)和g(x)的最大值和最小值均存在. ①∀x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔[f(x)]min>[g(x)]max. ②∃x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔[f(x)]max>[g(x)]min. ③∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔[f(x)]min>[g(x)]min. ④∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔[f(x)]max>[g(x)]max. ⑤∃x1∈[a,b],当x2∈[c,d]时,f(x1)=g(x2)⇔f(x)的值域与g(x)的值域交集不为⌀. 课后反思 求 f(x)在[a ,b]内的最大值与最小值的步骤为： 1. 求函数f(x)在(a, b)内的极值； 2. 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)； 3. 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 变式2（424）已知函数f(x)=+kln x,k<,求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. $