5.3.2（1）函数的极值 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版 选择性必修 第二册 5.3.2函数的极值 第五章 一元函数的导数及其应用 单调性与导数的关系 设函数y=f(x)在区间(a,b)内的导数为f′(x). 如果f′(x)>0， 如果f′(x)<0， 如果f′(x)=0， 如果f(x)在(a,b)内为增函数， 如果f(x)在(a,b)内为减函数， 则f(x)在(a,b)内为单调递增； 则f(x)在(a,b)内为单调递减； 则f(x)在(a,b)内为常数函数； 则f′(x)≥0在(a,b)内恒成立； 则f′(x)≤0在(a,b)内恒成立. 知识回顾 1.了解函数的极大值、极小值的概念； 2.会用导数求函数的极大值、极小值； 3.会根据函数的极值求参数. 学习目标 自学指导 阅读课本90--91页，完成以下问题： 问题1：极值点与极值。 问题2：函数极值的求法。 思考1 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减. 如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢? x y O a b (1) 放大t=a附近的图象, 如图(2)所示. (2) 思考2 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢? 探究 如图示，函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? y=f(x)在这些点的导数值是多少? 在这些点附近， y=f(x)的导数的正负性有什么规律? a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. x y O a b c d e 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, 且在点x=a附近的左侧f′(x)<0 (单减), 右侧f′(x)>0 (单增), f′(a)=0, 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 如图(1). 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, 且在点x=b附近的左侧f′(x)>0 (单增), 右侧f′(x)<0 (单减), f′(b)=0, 我们把b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 如图(2). (1) b (2) 教师点拨 函数的极值 练习函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f'(x)在区间(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)上有极小值点(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A 小组互助 1.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 注意：对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0; 反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点. 思考3 极大值一定大于极小值吗? O a x1 x2 x3 x4 b x y y=f(x) 思考4 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 即 f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的__________________条件. 必要不充分 (3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. 强调： (1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值； (2) 函数的极值不唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； 即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件. (4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0; 反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点. O a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) O a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) 增 f′(x) >0 f′(x) =0 f′(x) <0 极大值 减 f′(x) <0 f′(x) =0 增 减 极小值 f′(x) >0 判断f (x0)是极大值或是极小值的方法： 左正右负为极大，左负右正为极小 左增右减为极大，左减右增为极小 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例1 x y O -2 2 小组互助 求可导函数f(x)极值的步骤： (2) 求导数f ′(x)； (3) 求方程f ′(x)=0的根； (4) 把定义域划分为部分区间，并列成表格： 检查f ′(x)在方程根左右的符号： 如果左正右负（左增右减）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正（左减右增）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； (1) 确定函数的定义域； 教师点拨 小组互助 小组互助 变式2 设函数f(x)=x3+ax2-9x的导函数为f'(x),且f'(2)=15. (1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. x f′(x) f(x) 无极大值 x (－∞, －3) －3 (－3, 3) 3 (3, ＋∞) f′(x) f(x) x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞) f′(x) f(x) x (－∞, －1) －1 (－1, 1) 1 (1, ＋∞) f′(x) f(x) 小组互助 例2（424） 已知a>0,函数f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x).求函数f(x)的极值点和极值. 小组互助 例3 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求f(2)的值. 小组互助 变式3 （1）已知f(x)=x3+ax2+bx+b2在x=-1处取得极值8,则a+b=　　　　.  （2） 函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围_______________. 小组互助 小组互助 例4 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2. (1)若f(x)在x=1处有极值-1,求b,c的值; (2)在(1)的条件下,若函数y=f(x)的图象与直线y=k恰有三个不同的交点,求实数k的取值范围. 小组互助 变式5 已知a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a. (1)求函数f(x)的极值,并画出其大致图象; (2)当a为何值时,方程f(x)=0恰有两个实数根? 课后反思 1.函数极值： 2.求可导函数f(x)极值的步骤： 左正右负为极大，左负右正为极小 左增右减为极大，左减右增为极小 求导数f ′(x)； 求方程f ′(x)=0的根； 把定义域划分为部分区间，并列成表格： 检查f ′(x)在方程根左右的符号： 确定函数的定义域； 3. 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0; 反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点. 变式1 求函数f(x)=+3ln x的极值. - 变式4 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x=1与x=-均为函数f(x)的极值点. (1)求a,b的值; (2)若f(-1)=,求f(x)的单调区间和极值. $