北京市第二中学2025-2026学年高二第三学段考试数学试卷

北京二中2025—2026学年度第三学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修第二册 命题人：傅靖 审核人：鲁智虎 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 在等差数列中，若，，则（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 2. 二项式 展开式中， 常数项为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 3. 从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有（　　） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 4. “”是“直线与直线垂直”的 A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为 A. 2 B. C. D. 6. 某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 720种 7. 已知为正方形，若椭圆与双曲线都以为焦点，且图像都过点，则椭圆与双曲线的离心率之积为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 设抛物线的焦点为，点是的准线与的对称轴的交点，点在上.若，则（ ） A. B. C. D. 9. 等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的前10项和为　　 A. 65 B. 75 C. 90 D. 110 10. 已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，.记.下列四个结论正确的是（ ） A. 可能为等差数列 B. 中最大项为 C. 存在最大值 D. 的最小值为36 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题纸上） 11. 若抛物线焦点坐标为，则____；准线方程为_____. 12. 书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为_______，从第层各取1本书，不同的取法种数为_______． 13. 已知双曲线，焦点在轴上，若焦距4，则等于________. 14. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME—7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知为直角顶点，设，，，…，构成数列，令，为数列的前n项和，则 ___________． 15. 已知曲线.①若为曲线上一点，则；②曲线在处切线斜率为0；③，与曲线有四个交点；④直线与曲线C无公共点当且仅当.其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 16. 记为数列的前项和，已知. （1）求，； （2）证明：数列是等比数列； （3）设，求数列前项和. 17. 已知抛物线，其焦点为，是上的一点. （1）求； （2）直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 18. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求多面体的体积. 20. 已知椭圆的离心率为，短轴长为4； （1）求C的方程； （2）过点作两条相互垂直的直线上和，直线与C相交于两个不同点A，B，在线段上取点Q，满足，直线交y轴于点R，求面积的最小值． 21. 对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数 列具有“性质”． 不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同 时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”． （I）设数列的前项和，证明数列具有“性质”； （II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由； （III）对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时， 数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”． 北京二中2025—2026学年度第三学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修第二册 命题人：傅靖 审核人：鲁智虎 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题纸上） 【11题答案】 【答案】2， 【12题答案】 【答案】 ①. 15 ②. 120 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】8 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 【16题答案】 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【17题答案】 【答案】（1）； （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1）； （2）1. 【21题答案】 【答案】（I）证明见解析．（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，数列为3，2，1，5，4．数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”理由见详解；（III）证明见解析． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $