6.2.1 排列-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“排列”核心知识点，系统阐述排列的概念（从n个不同元素取m个按顺序排成一列）及两个排列相同的充要条件（元素完全相同且顺序相同）。通过问题初探、实例探究、典例辨析等学习支架，承接计数原理，为组合学习奠基，构建从具体到抽象的认知脉络。 资料以篮球赛冠亚季军列举、地图着色等真实情境实例驱动教学，引导学生用数学眼光抽象排列本质，借助树状图法培养逻辑推理能力。典例分类清晰，分层作业设计合理，课中助力教师引导探究，课后帮助学生巩固提升，有效落实数学抽象与逻辑推理核心素养。

6.2　排列与组合 6.2.1　排列 [学习目标]　1．理解并掌握排列的概念．(数学抽象) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(逻辑推理) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．排列的含义是什么？ 问题2．两个排列相同的充要条件是什么？ (对应学生用书第7页) 探究1　排列概念的理解 问题1　为了提高学生的身体素质，学校举行运动会，最后由高二(A班)、高二(B班)、高二(C班)进行篮球冠亚季军争夺赛，试按名次顺序列举所有可能的结果． [提示]　ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA． 问题2　思考下列三个问题，指出它们有什么样的共同特征： (1)从红、黄、蓝三种颜色中选出两种给地图上的北京市和天津市上色，有多少种不同的着色方案？ (2)从1，2，3，4，5这五个数字中，选出三个不同的数字排成一个三位数，一共可以得到多少个不同的三位数？ (3)6名同学站成一排照相，有多少种不同的排法？ [提示]　从不同的元素中选出几个元素，按照一定的顺序排成一列． [新知生成] 1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．两个排列相同的充要条件 (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序相同． 【教用·微提醒】　排列定义中的两层含义：一是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素；二是按一定顺序排列． [典例讲评]　1．判断下列问题是不是排列问题． (1)会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人入座，又有多少种方法？ (2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个表示焦点在x轴上的椭圆的方程＋＝1？可以得到多少个表示焦点在x轴上的双曲线的方程－＝1? (3)从1，3，5，7，9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复数字的三位数，又有多少种方法？ [解]　(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人入座是排列问题． (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在方程－＝1中，不管a>b还是a<b，该方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题． (3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成没有重复数字的三位数，则与顺序有关． 　判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑 (1)“取”，检验取出的m个元素是否重复． (2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序，其方法是交换两个元素的位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． [学以致用]　1．(多选)下列问题是排列问题的有(　　) A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C．从a，b，c，d中选出三个字母 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出两个数字组成一个两位数 AD　[参加物理和数学兴趣小组是不同的，存在顺序问题，是排列问题，A正确；B，C不存在顺序问题；D中两位数与顺序有关，是排列问题．] 探究2　画树状图写排列 [典例讲评]　【链接教材P14问题1、问题2】 2．四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？请写出所有坐法． [解]　按照A→B→C→D的顺序安排位置，A有4种坐法，B有3种坐法，C有2种坐法，D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1＝24(种)坐法．画出树状图． 由“树状图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DABC，DACB，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA． [母题探究]　本例中，写出A不坐在两端的所有可能坐法． [解]　由题意作“树状图”，如图． 故所有可能的坐法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB． 　利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的解题方式． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后按树状图写出所有排列． [学以致用]　【链接教材P16练习T1】 2．(1)若直线Ax＋By＝0的系数A，B可以从2，3，5，7中取不同的数值，则可以构成的不同直线的条数是(　　) A．12　　　 B．9　　 C．8　　　 D．4 (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． (1)A　[画“树状图”如图： 故共有12条不同的直线．] (2)[解]　由题意作“树状图”，如图． 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb． 【教材原题·P16练习T1】 写出： (1)用0～4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数； (2)从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列． [解]　(1)10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43． (2)ab，ba，ac，ca，ad，da，bc，cb，bd，db，cd，dc． 探究3　简单的排列问题 [典例讲评]　【链接教材P16例1、例2】 3．用具体数字表示下列问题． (1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； (2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数． [解]　(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99＝9 900(个)． (2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”． 故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字，因此共有3×2×1＝6(个)． (3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，故共有5×4×3×2＝120(个)分配方案． 【教材原题·P16例1、例2】 例1　某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？ [分析]　每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列． [解]　可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为6×5＝30． 例2　(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ (2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ [分析]　3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置(给3名同学)的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列． [解]　(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙．按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×4×3＝60． (2)可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法．按分步乘法计数原理，不同的选法种数为5×5×5＝125． 　对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解． [学以致用]　3．(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票． (2)3盆不同品种的花排成一排，共有________种不同的排法． (1)12　(2)6　[(1)从A到B的机票与从B到A的机票不同，因为每张机票对应一个起点机场和一个终点机场，因此，每张机票对应从4个不同元素(机场)中取出2个不同元素的一个排列，故不同的机票有4×3＝12(种)． (2)共有3×2×1＝6(种)不同的排法．] (对应学生用书第9页) 1．(多选)下列问题不是排列问题的是(　　) A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．10个人互相通信一次，共写了多少封信 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 ACD　[对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题； 对于B，10个人互相通信，涉及顺序问题，是排列问题； 对于C，5个点中任取2点，不涉及顺序问题，不是排列问题； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序，不是排列问题．] 2．(教材P16练习T1(2)改编)从1，2，3中任取两个数字组成无重复数字的两位数的个数是(　　) A．4　　　 B．5 C．6　　　 D．7 C　[12，13，21，23，31，32，共6个．] 3．现有3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法数为(　　) A．3　　　 B．24 C．34　　　 D．43 B　[3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2＝24．] 4．有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有________种不同的种法． 1 680　[将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里，即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5＝1 680(种)．] 1．知识链： 2．方法链：树状图法、直接法． 3．警示牌：不能正确理解排列的定义致误． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何理解排列的定义？ [提示]　无重复性、有顺序性． 2．两个排列相同的充要条件是什么？ [提示]　两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同． 课时分层作业(三)　排列 (对应学生用书第115页) 一、选择题 1．(多选)下列问题是排列问题的是(　　) A．北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同) B．选2个小组分别去植树和种菜 C．选10人组成一个学习小组 D．选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员 BD　[三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格，不存在顺序问题，所以A选项不是排列问题；植树和种菜是不同的，存在顺序问题，所以B选项是排列问题；C选项中不存在顺序问题，所以不是排列问题；每个人的职务不同，例如甲当班长和当学习委员是不同的，存在顺序问题，所以D选项是排列问题．] 2．幼儿园老师将3个不同的玩具分给三个小朋友，每人一个，则共有分法(　　) A．3种　　 B．4种　　 C．5种　　 D．6种 D　[3个不同的玩具和3个小朋友，每个小朋友分一个玩具， 第一个小朋友有3种选择，第二个小朋友有2种选择，第三个小朋友有1种选择， 总的分配方案就是3×2×1＝6种． 故选D．] 3．由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数有(　　) A．9个 　 B．12个 C．15个 　 D．18个 B　[本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树状图表示为 由此可知共有12个．故选B．] 4．(多选)用一颗骰子连掷两次，投掷出的数字按顺序排成一个两位数，则(　　) A．可以排出30个不同的两位数 B．可以排出36个不同的两位数 C．可以排出30个无重复数字的两位数 D．可以排出36个无重复数字的两位数 BC　[对于A，B选项，两位数中每位上的数字均为1，2，3，4，5，6六个数字中的一个，共有这样的两位数6×6＝36(个)． 对于C，D选项，两位数中每位上的数字均为1，2，3，4，5，6六个数字中的一个．第一步，得十位数字，有6种不同结果，第二步，得个位数字，有5种不同结果，故可得无重复数字的两位数共6×5＝30(个)．故选BC．] 5．某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有(　　) A．10种 　 B．20种 C．30种 　 D．60种 C　[因为原来有4个广告，所以这4个广告之间以及两端共有5个空位插入第一个公益广告，则有5种方法； 插入第一个公益广告之后，此时包括原来的4个广告和已经插入的第一个公益广告，共5个元素， 它们之间以及两端共有6个空位可以插入第二个公益广告，则有6种方法． 故将两个公益广告插入的方式有5×6＝30(种)． 故选C．] 二、填空题 6．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是_____________________________________________________． 12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed　[画出树状图，如图． 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed．] 7．车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为________． 60　[由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．] 8．某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程．现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有________种． 75　[要求每个学生都必须选择其中的一门课程，其中小明不选篮球和足球， 则不同的选课方法共有5×5×3＝75(种)．] 三、解答题 9．写出下列问题的所有排列： (1)从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数．若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个？写出这些三位数． (2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？ [解]　(1)直接画出树状图： 由树状图知，符合条件的三位数有8个：201，210，230，231，301，302，310，312． (2)因为A不排第一，则排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树状图如下： 所以符合题意的所有排列是BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种． 10．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是(　　) A．8 　 B．12 C．16 　 D．24 B　[设车站数为n，则n(n－1)＝132， 解得n＝12．故选B．] 11．甲、乙等5人去观看新上映的三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看的方法有(　　) A．243种 　 B．162种 C．72种 　 D．36种 B　[先安排甲、乙两人，有3×2＝6(种)方法， 再安排其余3人，每人有3种安排方法， 故共有6×3×3×3＝162(种)方法． 故选B．] 12．小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数e≈2.718 28…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为(　　) A．24 　 B．16 C．12 　 D．10 B　[由题意，将2，7，1，8，2，8进行排列，要求相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字， 则满足题意的排列有282817，282871，128287，728281，172828，712828，828217，828271，182827，782821，178282，718282，212878，272818，818272，878212，共16种．] 13．在编号为1，2，3，4的四块土地上试种编号为1，2，3，4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有________种不同的试种方案． 11　[画出树状图，如图所示： 由树状图可知，共有11种不同的试种方案．] 14．一颗骰子连掷三次，投掷出的数字按顺序排成一个三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的三位数？ [解]　(1)三位数的每位上数字均为1，2，3，4，5，6之一． 第一步，得百位数字，有6种不同结果； 第二步，得十位数字，有5种不同结果； 第三步，得个位数字，有4种不同结果． 故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)． (2)每位上数字均可从1，2，3，4，5，6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216(个)． 15．在1，2，3，4的排列a1a2a3a4中，满足a1>a2，a3>a2，a3>a4的排列个数为________． 5　[首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树状图进行筛选．满足a1>a2的树状图是 其次满足a3>a2的树状图是 再满足a3>a4的排列有2143，3142，3241，4132，4231，共5个．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $