6.2排列组合综合应用-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

排列、组合的综合应用（一）作业答案 1．【C】由题意知本题是一个分步乘法问题，首先每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，每项冠军有4种可能结果，3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果. 2．【96】第一类：最后一棒是甲，再从乙、丙中选1人在第一棒，其余人在剩余位置全排，有（种）；第二类：最后一棒是乙，再从甲、丙中选1人在第一棒，其余人在剩余位置全排，有（种）．因此，共有48＋48＝96（种）方法． 3．【C】任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：①3条横线上的4个点，其组数为；②4条竖线上的3个点，其组数为；③4条对角线上的3个点，其组数为．所以可以构成三角形的组数为． 4．【D】根据题意，8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，4名能胜任电脑软件设计工作，其中有1人能胜任两种工作，设这个人为A，分3种情况讨论： ①不选派A的方法数：；②A被选为英语翻译工作的方法数：； ③A被选为电脑软件设计工作的方法数．故不同的选法种数为42． 5．（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个). （2）分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法. 故所求三位数共有5×6×6＝180(个). （3）分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法.所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个). 6．（1）法一：从特殊位置入手(直接法)　第一步，排个位，从1，3，5三个数字中选1个，有A种排法；第二步，排十万位，有A种排法；第三步，排其他位，有A种排法．故组成无重复数字的六位奇数共有AAA＝288(个)． 法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A种排法；从1，3，5中任选一个排在个位上，有A种排法，其他数字全排列有A种排法.故组成无重复数字的六位奇数共有AAA＝288(个)． （2）法一：需分两类：第一类，当个位上排0时，有A种排法；第二类，当个位上不排0时，有A·A·A种排法.故符合题意的六位数有A＋A·A·A＝504(个)． 法二(间接法)：6个数字的全排列有A个；0在十万位上的排列有A个；5在个位上的排列有A个．0在十万位上且5在个位上的排列有A个．故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)． （3）①当千位上排1，3时，有A·A·A种排法；②当千位上排2时，有A·A种排法； ③当千位上排4时，形如40□□，42□□的各有A种排法，形如41□□的有A·A种排法，形如43□□的只有4 310和4 302这2个数.故共有A·A·A＋A·A＋2A＋A·A＋2＝110(个)符合条件的四位偶数． 7．（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而每一种排法中，3个女生间又有A种排法．因此共有AA＝4 320(种)不同排法． （2）（插空法）先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法.因此共有AA＝14 400(种)不同排法． （3）法一（位置分析法）因为两端不排女生，所以只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法.因此共有AA＝14 400(种)不同排法． 法二（元素分析法）从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法． 因此共有AA＝14 400(种)不同排法． （4）甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A种，其余6人全排列，有A种， 所以共有AA＝1 440(种)不同排法． （5）法一（直接法）甲在最右边时，其他的可全排列，有A种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任意一个上，有A种，其余人全排列，共有AAA＝25 920(种)．由分类加法计数原理共有A＋AAA＝30 960(种)． 法二（间接法）8个人全排列，共有A种.其中，不符合条件的有甲在最左边时A种，乙在最右边时A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，共A种．所以共有A－2A＋A＝30 960(种)． 8．【AD】3男3女排成一排共计有A＝720(种)；男生甲排在两端的共有2A＝240(种)； 男生甲、乙相邻的排法总数为AA＝240(种)；男女生相间排法总数2AA＝72(种)． 9．（1）甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法． （2）甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的，故有＝840(种)不同的排法． 10．先排I，II，III共有种，IV有种不同的着色方法数有 种． 11．区域A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同． 若颜色都不相同，则有720种，若只有A，C颜色相同，则有360种， 若只有B，D颜色相同，则有360种，若AC，BD同时颜色相同，则有120种， 则共有720+360+360+120＝1560种． 学科网（北京）股份有限公司 $ 排列、组合的综合应用（一）作业 【知识梳理】 1、两个计数原理的简单运用：分清楚何时分类，何时分步，做到分类标准清晰，分步层次清楚，不重不漏． 2、特殊元素（位置）优先考虑，直接法或间接法（正难则反）． 3、捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列． 4、插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中． 5、定序问题：可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． 6、排数字问题：可画出数位，往数位上依次填入数字即可． ①若供选择的数字中有0，则0不能排最高位，故常先用其它数字把最高位排了； ②若要求排出的数是奇数或偶数，则考虑最低位的数字为奇数数字或偶数数字； ③若要求排出的数字比某数大或比某数小，则先排最高位的数字，因为最高位对数的大小影响最重． 7、染色问题：常用“跳格分类”的方法处理． 【巩固练习】 1．4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（    ） A．（34，34） B．（43，34） C．（34，43） D．（A43，A43） 2．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种．(用数字作答) 3．如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个顶点作为 一组．其中可以构成三角形的组数为(　　) A．208 B．204 C．200 D．196 4．现有8名青年，其中5名能任英语翻译工作，4名能胜任电脑软件设计工作，且每人至少能胜这两项工作中的一项，现从中选5人，承担一项任务，其中3人从事英语翻译工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方法有 A．60种 B．54种 C．30种 D．42种 5． 用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？ （3）可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？ 6．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的 （1）六位奇数？ （2）个位数字不是5的六位数？ （3）不大于4 310的四位偶数？ 7．3个女生和5个男生排成一排. （1）如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ （2）如果女生互不相邻，有多少种不同排法？ （3）如果女生不站两端，有多少种不同排法？ （4）如果甲、乙两人必须站两端，有多少种不同排法？ （5）如果甲不站左端，乙不站右端，有多少种不同排法？ 8．(多选)若3男3女排成一排，则下列说法正确的是(　　) A．共计有720种不同的排法 B．男生甲排在两端的共有120种排法 C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D．男女生相间排法总数为72种 9．7人站成一排. （1）甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ （2）甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？ 10．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有多少种不同的着色方法？ 11．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有 　 　 种．（用数字作答） 学科网（北京）股份有限公司 $