6.4.3.3·正余弦定理的实际应用【4个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.4.3.3·正余弦定理的实际应用】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：距离测量问题】 【练方法】 知识梳理 核心场景：测量不可直接到达的两点间距离（如河宽、海岛距离） 核心工具：正弦定理、余弦定理 常见模型： 两点间可视但不可达：构造一个三角形，测两角一边（ASA/AAS） 两点都不可达：构造两个三角形，测基线长及多个角度（如“两岸相望”模型） 解题方法 1.建模：根据题意画出示意图，将实际距离转化为三角形的边 2.选定理： 已知两角一边（ASA/AAS）：用正弦定理求未知边 已知两边及夹角（SAS）：用余弦定理求第三边 已知三边（SSS）：用余弦定理求角度，再求其他边 3.计算：代入公式求解，注意单位统一 4.检验：验证结果是否符合实际意义（如距离为正） 名师点睛 口诀：“可视不可达，先测角再算边；两点都不可达，先测基线再算距” 建模是关键，必须准确画出示意图，标注已知角度和边长 河宽问题常转化为“直角三角形+斜三角形”组合，优先用正弦定理 注意仰角、俯角、方位角的定义，避免角度读错 （2026高一下·上海·专题练习）如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段和四分之一圆弧构成，为一海岛，在的正北方向，且、相距千米，在的北偏西方向，在的北偏东方向，在的南偏东方向．经典例题1例题 (1)若沿修建观光道，计算该观光道的长度(精确到千米)； (2)现规划在该海岸线上选取一处，修建从直通的公路桥．已知、相距千米，求公路桥的最短长度(精确到千米)． （25-26高三下·上海·开学考试）若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为___________m经典例题2例题 （2026高一·全国·专题练习）如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m.小试牛刀1 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距的C，D两点，并测得，，，（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离（注：，）．小试牛刀2 （2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.小试牛刀3    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 【题型2：高度测量问题】 【练方法】 知识梳理 核心场景：测量建筑物、山峰、旗杆等高度（底部不可到达或可到达） 核心工具：直角三角形三角函数、正弦定理、余弦定理 常见模型： 底部可到达：直接用仰角+直角三角形（） 底部不可到达：构造两个直角三角形，测两个仰角及两点间距离（如“双仰角测高”模型） 解题方法 1.建模：画出高度、观测点、仰角构成的直角三角形/斜三角形 2.选方法： 底部可到达：（为水平距离，为仰角） 底部不可到达：设高度为，列方程（为两观测点水平距离，为仰角） 3.解方程：求出，注意单位统一 4.检验：验证结果是否符合实际高度范围 名师点睛 口诀：“底部可达，仰角乘水平距；底部不可达，双仰角列方程” 仰角是从水平线向上到视线的角，俯角是从水平线向下到视线的角，不要混淆 高度问题常结合“同一水平面上的两点”，注意水平距离的计算 若涉及山坡、斜坡，需先分解为水平和竖直分量，再计算 （25-26高三上·安徽六安·期末）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据六安市（北纬32°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知六安市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（    ）（已知，）经典例题1例题 A．3.26米 B．4.73米 C．5.37米 D．6.31米 （2026高一·全国·专题练习）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·全国·课堂例题）某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达D处，又测得山顶的仰角为，则山的高度为____________m（注：）小试牛刀1 （2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ）小试牛刀2 A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 （2026高三·全国·专题练习）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为________．（精确到1）小试牛刀3 【题型3：角度测量问题】 【练方法】 知识梳理 核心场景：测量方位角、方向角、仰角/俯角、视角等 核心工具：正弦定理、余弦定理、三角函数定义 常见模型： 方位角：从正北方向顺时针到目标方向的角（如“北偏东30°”） 视角：从观测点看物体两端的夹角 解题方法 1.建模：根据方位角/视角画出三角形，标注已知边和角 2.选定理： 已知两边及夹角（SAS）：用余弦定理求第三边，再用正弦定理求角度 已知三边（SSS）：用余弦定理求目标角 已知两角一边（ASA/AAS）：用正弦定理求未知边，再求角度 3.计算：代入公式求解，注意角度范围（） 4.检验：验证角度是否符合实际方向（如方位角在之间） 名师点睛 口诀：“方位角看正北，视角看两边，余弦定理求角最稳妥” 方位角必须以正北为基准，“北偏东”≠“东偏北”，不要读错方向 视角问题本质是“求三角形内角”，优先用余弦定理，避免正弦定理的多解 注意角度的实际意义，如方位角不能超过，仰角不能超过 （24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一下·海南海口·月考）如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，.经典例题2例题 (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. （22-23高一下·云南昭通·月考）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．小试牛刀1 (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） （23-24高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ）小试牛刀2 A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 （23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕．小试牛刀3 (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【题型4：实际应用中的最值问题】 【练方法】 知识梳理 核心场景：在实际问题中求距离、高度、面积、时间等的最值（如“最短航线”“最大面积”“最省材料”） 核心工具：正余弦定理、基本不等式、三角函数值域、函数单调性 约束条件：三角形存在条件（两边之和大于第三边）、实际意义（如长度>0、角度范围） 解题方法 1.建模：将实际问题转化为三角形问题，设变量（如边长、角度） 2.列函数：用正余弦定理将目标量（如距离、面积）表示为变量的函数 3.求最值： 若为三角函数：利用的有界性求值域 若为代数式：用基本不等式（）或二次函数求最值 若为复杂函数：用导数（高中阶段可简化为单调性分析） 4.验证：验证等号成立时是否满足三角形存在条件及实际意义 名师点睛 口诀：“先建模，再函数，后最值，勿忘验等号” 最值问题常出现在“等腰三角形”或“直角三角形”临界状态，优先考虑对称情况 基本不等式是求最值的核心工具，注意“一正二定三相等”的条件 实际问题中，若等号取不到，需说明“当时，最值趋近于” 此类问题常作为高考解答题，需完整写出建模、函数、求最值、验证的过程 （23-24高一下·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．经典例题1例题 (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ （25-26高一上·上海·期末）公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点.经典例题2例题    (1)求扇形花卉景观的半径，以及面积； (2)为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长. （25-26高二上·上海·开学考试）某旅游度假村拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，在边修建观赏步道，在对角线修建隔离防护栏，其中米，米，．小试牛刀1    (1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形（是钝角），那么需要修建多长的隔离防护栏？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时花卉观赏区的面积及的长度． （24-25高一下·江苏盐城·期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．小试牛刀2 (1)若，求； (2)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值． （24-25高一下·河北邯郸·期末）为了增强游客体验，某景区拟在一块半径为100m的圆形空地内建造一个内接四边形区域作为游客漫时光体验区.如图所示，在四边形ABCD区域中，将区域设计成花卉观赏区，区域设计成漫时光DIY区，边修建观赏步道，边AC修建隔离栏，其中.小试牛刀3 (1)求漫时光DIY区（即）面积的最小值； (2)为使总的观赏步道尽可能长，则应如何设计四边形？请给出设计方案. 课后针对训练 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 2．（25-26高一下·全国·期中）一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 3．（贵州省黔东南州2026届高三模拟统测数学试卷）一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（   ） A．30千米 B．千米 C．千米 D．千米 二、填空题 4．（25-26高三上·河北保定·月考）甲沿一条东西走向的公路由东向西骑行（公路可看成一条线），当甲骑行到点时测得某地标建筑物在其北偏西45°的方向上，再骑行100米到达点时测得在其北偏西15°方向上，则此时甲与的距离______________米. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 6．（25-26高一下·全国·月考）江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距__________m． 7．（2026高一下·全国·专题练习）为改善居民生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心处，为居民小区，的距离为米，按照设计要求，以居民小区和圆弧上点作线段向半圆外作等腰直角三角形为直角顶点），使改造后的公园成四边形，如图所示，当取得最大值时，________． 三、解答题 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图所示，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进米后到达点，又从点测得斜度为，建筑物的高为米.求此山对于地平面的倾斜角的余弦值. 9．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 10．（23-24高一下·河南郑州·月考）某日，中国海军护航编队太原舰在A处收到某商船在航行中发出的求救信号后，立即测出该商船在方位角（是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为、距离A处为的C处，并测得该商船正沿方位角为的方向，以的速度航行，太原舰立即以的速度前去营救. (1)太原舰最少需要多少小时才能靠近商船？ (2)在营救时间最少的前提下，太原舰航行的方位角约是多少？ （角度精确到，参考数据：，，.） 11．（23-24高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 12．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 13．（24-25高一下·四川巴中·期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）    (1)求，两点之间的距离； (2)求，两点之间的距离. 14．（25-26高二上·北京·期中）A市为进一步缓解交通压力，现经过甲公路和乙公路，分别修建新地铁线和快速通道，如图已知S小区在两条公路汇合处，两条公路夹角为60°，为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站P，并分别在两条公路边上建两个中转站M、N（异于点S），要求（单位：千米）．设． (1)用表示SN并写出的范围； (2)当搅拌站P与小区S的距离最远时，求的值． 15．（25-26高三上·福建福州·期中）某公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道、、、以及两条排水沟、，其中、、分别为边、、的中点． (1)若，求的余弦值； (2)若，求排水沟的长； (3)若，试用表示4条人行道的总长度，并求出它的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.4.3.3·正余弦定理的实际应用】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：距离测量问题】 【练方法】 知识梳理 核心场景：测量不可直接到达的两点间距离（如河宽、海岛距离） 核心工具：正弦定理、余弦定理 常见模型： 两点间可视但不可达：构造一个三角形，测两角一边（ASA/AAS） 两点都不可达：构造两个三角形，测基线长及多个角度（如“两岸相望”模型） 解题方法 1.建模：根据题意画出示意图，将实际距离转化为三角形的边 2.选定理： 已知两角一边（ASA/AAS）：用正弦定理求未知边 已知两边及夹角（SAS）：用余弦定理求第三边 已知三边（SSS）：用余弦定理求角度，再求其他边 3.计算：代入公式求解，注意单位统一 4.检验：验证结果是否符合实际意义（如距离为正） 名师点睛 口诀：“可视不可达，先测角再算边；两点都不可达，先测基线再算距” 建模是关键，必须准确画出示意图，标注已知角度和边长 河宽问题常转化为“直角三角形+斜三角形”组合，优先用正弦定理 注意仰角、俯角、方位角的定义，避免角度读错 （2026高一下·上海·专题练习）如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段和四分之一圆弧构成，为一海岛，在的正北方向，且、相距千米，在的北偏西方向，在的北偏东方向，在的南偏东方向．经典例题1例题 (1)若沿修建观光道，计算该观光道的长度(精确到千米)； (2)现规划在该海岸线上选取一处，修建从直通的公路桥．已知、相距千米，求公路桥的最短长度(精确到千米)． 【答案】(1)千米； (2)千米 【分析】（1）在直角三角形中先算出边BC，再在扇形用利用勾股定理求出所在圆的半径，然后用弧长公式计算； （2）先算出点D到AB的距离DH，比较DH与DC的大小，其中较小的即公路桥DE的最短长度. 【详解】（1）在中，， ． 由所在圆的半径为，得的长度为千米． （2）在中，． 在中，由正弦定理，得， 于是，可得，． 过作的垂线，垂足为，在Rt△中，． 因为，且到上任意一点的距离均大于等于， 所以到海岸线的最短距离为千米． （25-26高三下·上海·开学考试）若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为___________m经典例题2例题 【答案】 【分析】分析出与均为等腰三角形，结合余弦定理求解长即可. 【详解】如图，设与的交点为，则由题知为等腰三角形，所以， 又因为，所以，为等腰三角形，则， 又,所以，所以. 设，因为，所以，所以， 在中，由正弦定理可知，解得， 在中，由余弦定理可得, 代入、，有，代入 化简可得. （2026高一·全国·专题练习）如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m.小试牛刀1 【答案】 ， 【详解】在中，， 由正弦定理得，得． 在中，，，∴． 在中，， 由余弦定理得， ∴． 因此，P，Q两棵树之间的距离为，A，P两棵树之间的距离为． （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距的C，D两点，并测得，，，（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离（注：，）．小试牛刀2 【答案】． 【分析】先在中利用等角对等边求出，再在中用正弦定理求出，最后在中用余弦定理算出的长度. 【详解】在中，，， ． ． 在中，． 在中，由正弦定理，得 ． 则在中，由余弦定理，得 ． ． ∴两目标A，B之间的距离为． （2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.小试牛刀3    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出； 【详解】（1）由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 【题型2：高度测量问题】 【练方法】 知识梳理 核心场景：测量建筑物、山峰、旗杆等高度（底部不可到达或可到达） 核心工具：直角三角形三角函数、正弦定理、余弦定理 常见模型： 底部可到达：直接用仰角+直角三角形（） 底部不可到达：构造两个直角三角形，测两个仰角及两点间距离（如“双仰角测高”模型） 解题方法 1.建模：画出高度、观测点、仰角构成的直角三角形/斜三角形 2.选方法： 底部可到达：（为水平距离，为仰角） 底部不可到达：设高度为，列方程（为两观测点水平距离，为仰角） 3.解方程：求出，注意单位统一 4.检验：验证结果是否符合实际高度范围 名师点睛 口诀：“底部可达，仰角乘水平距；底部不可达，双仰角列方程” 仰角是从水平线向上到视线的角，俯角是从水平线向下到视线的角，不要混淆 高度问题常结合“同一水平面上的两点”，注意水平距离的计算 若涉及山坡、斜坡，需先分解为水平和竖直分量，再计算 （25-26高三上·安徽六安·期末）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据六安市（北纬32°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知六安市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（    ）（已知，）经典例题1例题 A．3.26米 B．4.73米 C．5.37米 D．6.31米 【答案】C 【分析】利用表高表示出冬至和夏至时圭面上的影长 CB 和 CD，根据两者之差 BD=7米列出方程，解出 表高。 【详解】设表高，在中，，， 在中，，， 已知冬至线和夏至线之间的距离米，所以，解得， 因此，表高约为米， 故选：C. （2026高一·全国·专题练习）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中用表示出，然后在中利用正弦定理求出，再在中用表示出，即可得解. 【详解】由题意知，，， ∴． 在中，． 在中，由正弦定理得， ∴． 在中，． （25-26高一下·全国·课堂例题）某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达D处，又测得山顶的仰角为，则山的高度为____________m（注：）小试牛刀1 【答案】 【分析】过点D作交于E，可得，进而利用正弦定理可得，求得，进而可求得. 【详解】过点D作交于E，因为，故． 于是． 又，故， 由正弦定理得 ． 所以在中，． 故答案为：. （2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ）小试牛刀2 A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 【答案】C 【详解】在中，由正弦定理得， 所以米， 由，得米. 所以天汉楼主体高度约为69米. （2026高三·全国·专题练习）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为________．（精确到1）小试牛刀3 【答案】373 【分析】过C作，过B作，由已知得，再在中，由正弦定理求得即可得. 【详解】如图，过C作，过B作， 故， 由题易知为等腰直角三角形，所以． 所以. 因为，所以. 在中，由正弦定理得， ， 而， 所以， 所以. 故答案为：373. 【题型3：角度测量问题】 【练方法】 知识梳理 核心场景：测量方位角、方向角、仰角/俯角、视角等 核心工具：正弦定理、余弦定理、三角函数定义 常见模型： 方位角：从正北方向顺时针到目标方向的角（如“北偏东30°”） 视角：从观测点看物体两端的夹角 解题方法 1.建模：根据方位角/视角画出三角形，标注已知边和角 2.选定理： 已知两边及夹角（SAS）：用余弦定理求第三边，再用正弦定理求角度 已知三边（SSS）：用余弦定理求目标角 已知两角一边（ASA/AAS）：用正弦定理求未知边，再求角度 3.计算：代入公式求解，注意角度范围（） 4.检验：验证角度是否符合实际方向（如方位角在之间） 名师点睛 口诀：“方位角看正北，视角看两边，余弦定理求角最稳妥” 方位角必须以正北为基准，“北偏东”≠“东偏北”，不要读错方向 视角问题本质是“求三角形内角”，优先用余弦定理，避免正弦定理的多解 注意角度的实际意义，如方位角不能超过，仰角不能超过 （24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. （24-25高一下·海南海口·月考）如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，.经典例题2例题 (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合可得出的长； （2）求出、、、的长，然后利用余弦定理可求得的值，即为所求. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 因为，所以. 又两处相距米，故，所以的长为米. （2）在中，由在处测得树干顶端处的仰角为， 可得，则. 由（1）知，由，得， 由，得. 在中，由，得. 在中，由余弦定理得. 故在处观测到、两点的夹角的余弦值为. （22-23高一下·云南昭通·月考）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．小试牛刀1 (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 【答案】(1)30（海里） (2)救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°，1.75小时． 【分析】（1）由题意可得三角形的角与边，根据正弦定理，可得答案； （2）由余弦定理，建立方程，可得答案. 【详解】（1）在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． （2）在中，，由余弦定理 ， ，（小时）， ，D为锐角， 所以，， 救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°． （23-24高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ）小试牛刀2 A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. （23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕．小试牛刀3 (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【分析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 【题型4：实际应用中的最值问题】 【练方法】 知识梳理 核心场景：在实际问题中求距离、高度、面积、时间等的最值（如“最短航线”“最大面积”“最省材料”） 核心工具：正余弦定理、基本不等式、三角函数值域、函数单调性 约束条件：三角形存在条件（两边之和大于第三边）、实际意义（如长度>0、角度范围） 解题方法 1.建模：将实际问题转化为三角形问题，设变量（如边长、角度） 2.列函数：用正余弦定理将目标量（如距离、面积）表示为变量的函数 3.求最值： 若为三角函数：利用的有界性求值域 若为代数式：用基本不等式（）或二次函数求最值 若为复杂函数：用导数（高中阶段可简化为单调性分析） 4.验证：验证等号成立时是否满足三角形存在条件及实际意义 名师点睛 口诀：“先建模，再函数，后最值，勿忘验等号” 最值问题常出现在“等腰三角形”或“直角三角形”临界状态，优先考虑对称情况 基本不等式是求最值的核心工具，注意“一正二定三相等”的条件 实际问题中，若等号取不到，需说明“当时，最值趋近于” 此类问题常作为高考解答题，需完整写出建模、函数、求最值、验证的过程 （23-24高一下·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．经典例题1例题 (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)米 (3)米，米， 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理即可求解； （3）由三角形面积公式，正弦定理，三角恒等变换得面积表达式，再结合余弦函数的性质即可求最大值． 【详解】（1）由余弦定理得，． （2），解得， 又为钝角，所以， 由余弦定理得， 米． （3），当且仅当时等号成立， 此时，， 设， 在中，由正弦定理得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以应设计米，米，． （25-26高一上·上海·期末）公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点.经典例题2例题    (1)求扇形花卉景观的半径，以及面积； (2)为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据余弦定理求出的长度，再根据扇形弧与相切，借助等面积法求解； （2）假设，利用余弦定理得到，然后表示出三角形的面积，最后使用基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）在中， 由余弦定理，所以， 因为弧与相切于点，所以， 所以， 所以，； （2）设， 则由余弦定理可得， 所以， 因为，所以， 即，所以，即， 当且仅当时，取最小值为256． 所以当时，三角形占地面积最小，为． （25-26高二上·上海·开学考试）某旅游度假村拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，在边修建观赏步道，在对角线修建隔离防护栏，其中米，米，．小试牛刀1    (1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形（是钝角），那么需要修建多长的隔离防护栏？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时花卉观赏区的面积及的长度． 【答案】(1)米 (2)平方米，米 【分析】（1）由三角形的面积公式解得，进而求得，再利用余弦定理即可求解； （2）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得和，代入三角形面积公式利用三角函数性质即可求解． 【详解】（1）由，解得， 由是钝角，得， 由余弦定理得， 所以需要修建米的隔离防护栏． （2）由题意，， 当且仅当时取到等号，此时， 设， 在中，， 则 ， 由，则，当， 即时，取得最大值平方米， 此时米． （24-25高一下·江苏盐城·期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．小试牛刀2 (1)若，求； (2)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)验证见解析，1 (3)14 【分析】（1）在中，由余弦定理求得,结合，得是等边三角形，即可求出； （2）在与中，分别用余弦定理表示，即可证明； （3）分别表示出，则，由（2）知：，代入消去角，利用三角函数求最值即可． 【详解】（1）由，．， 在中，由余弦定理得, 所以. 又，所以是等边三角形， 所以； （2）在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理得， ∴ 所以为定值； （3）， 则， 由（2）知：，∴ 代入上式得：， 配方得：， ∵ 又, 所以当时，取到最大值14． （24-25高一下·河北邯郸·期末）为了增强游客体验，某景区拟在一块半径为100m的圆形空地内建造一个内接四边形区域作为游客漫时光体验区.如图所示，在四边形ABCD区域中，将区域设计成花卉观赏区，区域设计成漫时光DIY区，边修建观赏步道，边AC修建隔离栏，其中.小试牛刀3 (1)求漫时光DIY区（即）面积的最小值； (2)为使总的观赏步道尽可能长，则应如何设计四边形？请给出设计方案. 【答案】(1)（） (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理求出，分两种情况讨论，分别求出面积，比较大小，即得答案； （2）结合额（1）分两种情况讨论，结合三角恒等变换分别求出的表达式，结合三角函数性质求出其最大值，比较即可得答案. 【详解】（1）由于，故, 则， ，故或，， 当时，，此时（）； 当时，，此时（）， 即漫时光DIY区（即）面积的最小值为（）； （2）由（1）知当时，，此时， 设，则， 故 ， 由于，故，则最大值为200，此时， 则此时步道长为（m）； 当时，，此时， 设，则， 故 ， 由于，故，则最大值为，此时， 则此时步道长为（m）； 由于， 故为使总的观赏步道尽可能长，则应使得， 即设计方案为：四边形中，使得为等腰三角形， D点在另一侧的圆弧上，为等边三角形. 课后针对训练 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理即可求解. 【详解】 如图，当台风中心向西北方向移动到达点时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响， 设小时后该城市所在地开始受到影响, 台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km, 又台风中心向西北方向移动，所以, 由余弦定理可得， 解得或（舍）， 则开始受到影响在之后. 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·期中）一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设此铁塔高，在直角中，可得，再在中，利用正弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】设此铁塔高，根据题意，可得， 在直角中，可得， 在中，由，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 故选：A. 3．（贵州省黔东南州2026届高三模拟统测数学试卷）一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（   ） A．30千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【详解】如图，由题意可知千米，，， 则由正弦定理知千米. 二、填空题 4．（25-26高三上·河北保定·月考）甲沿一条东西走向的公路由东向西骑行（公路可看成一条线），当甲骑行到点时测得某地标建筑物在其北偏西45°的方向上，再骑行100米到达点时测得在其北偏西15°方向上，则此时甲与的距离______________米. 【答案】 【分析】利用三角形内角和与正弦定理来求解甲与的距离. 【详解】如图所示，在中，，，，米. 由正弦定理可得，解得米.   . 故答案为：. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 【答案】500 【分析】根据题意，设塔高，可得出； 在中，由，则可得出； 在中，结合余弦定理可得出方程，计算即可求出值. 【详解】设塔高，在中，，则， 在中，，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：500. 6．（25-26高一下·全国·月考）江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距__________m． 【答案】30 【分析】先将俯角转化为直角三角形的内角，利用正切函数求出两船到炮台底部的距离，再在两船与炮台底部构成的三角形中应用余弦定理，计算出两船之间的距离. 【详解】设炮台顶部为点，炮台底部（在水面上）为点，水面上的两条船分别为点、； 由题意：炮台高度，且水面（即，）； 由看的俯角为，故（根据平行线性质，俯角等于仰角）； 由看的俯角为，故（根据平行线性质，俯角等于仰角）； 两船与炮台底部的夹角； 中，，代入已知条件：，因，故：， 在中，，代入已知条件：， 因，故：， 在中，已知，，， 由余弦定理：， 代入数值计算：， 因距离为正，故：， 两条船之间的距离为. 故答案为： 7．（2026高一下·全国·专题练习）为改善居民生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心处，为居民小区，的距离为米，按照设计要求，以居民小区和圆弧上点作线段向半圆外作等腰直角三角形为直角顶点），使改造后的公园成四边形，如图所示，当取得最大值时，________． 【答案】 【分析】不妨设，利用Ptolemy不等式，进而得到，即时取等． 【详解】不妨设，则有， 由Ptolemy不等式知， 即有， 当且仅当四点共圆即时取等． 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图所示，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进米后到达点，又从点测得斜度为，建筑物的高为米.求此山对于地平面的倾斜角的余弦值. 【答案】. 【分析】在中利用正弦定理求出，在中利用正弦定理计算可得. 【详解】在中，，米，. 根据正弦定理，即，∴， 又在中，，，，， 根据正弦定理，即， 即，解得. 其中 ， 所以此山对于地平面的倾斜角的余弦值为. 9．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，，由余弦定理得到，得到答案； （2）由余弦定理求出B的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或（舍去）， ∴ （2）由（1）知，，. ∴. 10．（23-24高一下·河南郑州·月考）某日，中国海军护航编队太原舰在A处收到某商船在航行中发出的求救信号后，立即测出该商船在方位角（是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为、距离A处为的C处，并测得该商船正沿方位角为的方向，以的速度航行，太原舰立即以的速度前去营救. (1)太原舰最少需要多少小时才能靠近商船？ (2)在营救时间最少的前提下，太原舰航行的方位角约是多少？ （角度精确到，参考数据：，，.） 【答案】(1)太原舰最少需要才能靠近商船 (2) 【分析】（1）设未知数，利用余弦定理得到方程，解出即可； （2）方法一：利用余弦定理求出即可；方法二：利用正弦定理求出即可. 【详解】（1）由题意知太原舰沿直线航行时所需时间最少， 如图，设太原舰在B处靠近商船，连接AB，设从A处到靠近商船所用的时间为， 则，， ， 根据余弦定理，得， 即，得， 解得，（舍去）. 故太原舰最少需要才能靠近商船. （2）方法一：由（1）知（n mile），（n mile）， 由余弦定理可得. 又，， 故太原舰航行的方位角约为. 方法二：由（1）知（n mile），（n mile）， 由正弦定理， 得， ， 故太原舰航行的方位角约为. 11．（23-24高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【答案】(1)1小时 (2)3小时 【分析】（1）根据含直角三角形的性质即可得到路程，再除以速度即可； （2）设t小时后恰与货船在C处相遇，在中利用余弦定理即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意知，在中，，，，则 于是，而加油船的速度为60海里/小时， 所以加油船从港口A到小岛B的航行时间为1小时； （2）由（1）知，加油船从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合， 为使航行的时间最少，加油船从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与货船在C处相遇， 在中，，，， 所以，而在中，，，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得或，故． 即加油船驶离港口A后，最少经过3小时能和货船相遇． 12．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 【答案】(1) (2)沿北偏东方向航行即可到达C处 【分析】（1）先计算出，由余弦定理求出； （2）由余弦定理求出，从而得到答案. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得： ，解得 （2）在中，由余弦定理得： ， 所以，又， 因此应沿北偏东方向航行即可到达C处. 13．（24-25高一下·四川巴中·期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）    (1)求，两点之间的距离； (2)求，两点之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，应用正弦定理求解即可； （2）在中，应用正弦定理，求出，再在中,由余弦定理求得答案. 【详解】（1）由题意知,在中,. 由正弦定理得. （2）在中, ，由正弦定理得， 在中,由余弦定理得， ∴ 14．（25-26高二上·北京·期中）A市为进一步缓解交通压力，现经过甲公路和乙公路，分别修建新地铁线和快速通道，如图已知S小区在两条公路汇合处，两条公路夹角为60°，为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站P，并分别在两条公路边上建两个中转站M、N（异于点S），要求（单位：千米）．设． (1)用表示SN并写出的范围； (2)当搅拌站P与小区S的距离最远时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理即可； （2）在中利用余弦定理，再利用辅助角公式和二倍角公式化简，结合三角函数的最值求解. 【详解】（1）在中利用正弦定理可得，， 因，，，则， 则，； （2）因，，则， 在中利用余弦定理可得， ， 因，则， 则当，即时，有最大值，有最大值千米， 故当搅拌站P与小区S的距离最远时. 15．（25-26高三上·福建福州·期中）某公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道、、、以及两条排水沟、，其中、、分别为边、、的中点． (1)若，求的余弦值； (2)若，求排水沟的长； (3)若，试用表示4条人行道的总长度，并求出它的取值范围． 【答案】(1) (2)百米 (3)，， 【分析】（1）结合几何图像和已知条件，利用两角和的余弦公式求解； （2）结合（1）结论，利用余弦定理求解； （3）结合几何图像及性质，利用余弦定理、正弦定理，两角和与差的三角函数公式，结合正弦函数性质求解． 【详解】（1）百米，百米，， 在直角三角形中，百米， ，， 又，，百米， 在等腰直角三角形中，百米，，， ． 的余弦值为． （2）由（1）知，当时，，， 在中，， （百米）． 排水沟的长为百米． （3）设，，，、、分别为边、、的中点， ，百米，， ，百米，， 在中，由余弦定理得， 由正弦定理，得，， 连接，，，为边的中点， ，， 在中，， 由余弦定理得 ， 在中，， 由余弦定理得 ， ，. 令 在单调递增， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $