专题3 类型4 遇到圆，咋作辅助线&类型5 遇到图形变化，咋作辅助线-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备

类型4遇到圆，咋作辅助线 作法1应用半径相等构造 1.D【解析】如解图，连接OE,OD,0OD=OB,.∠B= ∠ODB,·AB=AC,∠C=70,.∠B=∠C=70°，∠A= 40°，∴.∠C=∠ODB,.OD∥AC,..∠EOD=∠AE0,.OE= OA,∴.∠0EA=∠BAC=40°，.∠E0D=∠BAC=40°， 6=分×6=3死的长为40关32 OD=1 1803π 第1题解图 作法2应用垂径定理构造 1.58°【解析】如解图，连接0A交CD于点G,点A为CD 的中点，∴.OA⊥CD,∴.∠AGE=90°，.·OA=OB,.∠OAE= ∠OBA=32°，∴.∠CEA=90°-∠OAE=90°-32°=58°. D 第1题解图 2.A【解析】如解图，过点O作OC⊥AB于点C,连接 0A0C1极，A6=84C=子46=4，在△A0C中， 0C=√OA-AC=√5-4=3，.圆心0到AB的距离 为3. 第2题解图 3.C【解析】如解图，连接0C.PA=9,PB=4,.OA=0C= g-号0p-M-0H=9号-在u△c0r PA+PB_9+4_13 2 中，cn=v0c-0p-√2-(22=6cm=20p 2×6=12. 第3题解图 作法3应用切线性质构造 1.A【解析】如解图，连接OD,:CD与半圆O相切于点 D,.CD⊥0D,.∠D=90°，∠C=30°，CD=√3， 中考能力 一战成名目 ∠D0B=60°，.0D=CD·tan30°=1，.BD的长为 60m×1T 180=3 0 B 第1题解图 2.证明：如解图，连接OD, .·AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， :∠ACB的平分线交⊙O于点D, R 1 .∠ACD=∠BCD= 2 ∠ACB=45° 第2题解图 .∠BOD=2∠BCD=90° .·DEAB, .∠ODE=∠B0D=90°，.OD⊥DE .:0D是⊙0的半径， .DE是⊙O的切线 3.证明：如解图，连接OD,过点O作OE⊥BC于点E, ⊙0与AC相切于点D, .·.OD是⊙0的半径且OD⊥AC. C0为∠ACB的平分线， 参考答案与重 OE⊥BC,OD⊥AC, .0E=0D, 第3题解图 .0E是⊙0的半径 题解 .BC是⊙0的切线. 作法4应用圆周角定理及其推论构造 1C【解析】连接AD,如解图，：BD是⊙0的直径， ∠BAD=90°，在Rt△ABD中，∠ABD=40°，.∠D= 50°，.∠C=∠D=50° 115 第1题解图 2.D【解析】如解图，连接PB.:OC⊥AB,.AC=BC .∴.∠BPC=∠APC=29°，.∠B0C=2∠BPC=2×29°=58°. 第2题解图 第3题解图 3.A【解析】如解图，连接BC,∠B0C=90°，.BC是⊙A 的直径，点B(-4,0),点C(0,3),.0B=4,0C=3,在 Rt△B0C中，BC=√OB2+0C=√4+3=5，.sin∠CD0= 0C3 sin∠CBO= 备·数学 115 一战成名目 综合训练 1.C【解析】如解图，过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥CD于 点水，连接08,0n.则08=00=15.B=分0=10，万 DW=)CD=9.LOMP=LOMB=∠ONP=∠ONZ 90°，.0M=√0B2-BMr=√152-(102)2=5,0N= √OD2-DW=√152-9=12，由条件可知∠MPN= 90°，四边形MONP是矩形，MP=0N=12,.OP= √0M2+MP=√5+12Σ=13. 第1题解图 235 6 【解析】如解图，延长CE交⊙O于点F,连接BF.CD 是⊙O的切线，.∠DCE=90°，.：AC=CD,.∠A= CE 3 参考答案与 2D..sinA=sinDDECE=6,DE=10,A= ∠F,∴.∠F=∠D,CF是⊙O的直径，DC是⊙O的切 线，.∠F+LFCB=∠D+∠CEB=90°，·.∠FCB= ∠CEB,∴.BC=BE,.·∠ECB+∠BCD=∠D+∠CEB= 难 90°，·.∠D=∠BCD,.BD=BC,.BC=BD=BE=。DE= 2 解 CB 3 5,'.sinF sinA,.. 5.CF=25 6⊙0的半径为2 116 第2题解图 第3题解图 3.A【解析】如解图，连接AC,BC,OB,OC,.OA=0C= OB,设DA=OD=a,.CD垂直平分半径OA,∴.OA=OC= AC=2a,·△0AC是等边三角形，.∠0CA=60°，· ∠0CD=1 ∠0CA=30°，在Rt△0CD中，由勾股定理得 CD=√0C-0D=√(2a)-a=√5a,C是AB的中 点，AC=BC,0B=0C=BC=2a,.△OBC是等边三角 形，.∠BCD=∠0CB+∠0CD=60°+30°=90°，在 Rt△BCD中，CD+BC2=BD2,BD=2W7,.(5a)2+(2a)2= (27),整理得a2=4,解得a=2或a=-2(不合题意，舍 去)，∴.0A=2a=4,即该圆的半径为4. 4.解：：B是AC的中点 :AB=BC. .AB=BC=2.7 :AC是⊙0的直径， .∴.∠ABC=90°， 116 中考能力 .AC=√2AB=2√14， 如解图，过点O作OH⊥CD于点H,连接OD CH-DH-CD.OH-/5, B :0C=24C=4, .CH=√0C2-0f=√i, .CD=2CH=211, 第4题解图 AC是⊙0的直径， .∠ADC=90°， .AD=√AC-CD2=25, .DG切⊙0于点D,.DG⊥OD, ∴.∠ODG=∠ODA+∠ADG=90°， .·∠ADC=∠ODA+∠ODC=90°， ∴.∠ADG=∠ODC, .0D=0C .∠ODC=∠0CD .∠ADG=∠OCD, 又.∠G=∠G, .∴.△GAD△GDC AGAD23√3 DGDC2√T√T1 设AG=√3x,则DG=√Tx, 在Rt△ODG中，根据勾股定理得DG+0D2=OG2, 0G=0A+AG=√14+3x, .(√Tx)2+(√14)2=(14+3x)2, 解得=0（不符合题意，合去），七= 4 AG-3x=34 4 类型5遇到图形变化，咋作辅助线 1.A【解析】根据题意可知，点N在以点E为圆心，DE长为 半径的圆上运动，如解图，当点W正好落在边AD上时，DF 最短，此时△DEW是等边三角形，DF=2. D 第1题解图 第2题解图① 2. 18 5 【解析】解法一：连接BF交AE于点O,如解图①，将 △ABE沿AE折叠得到△AFE,..BE=EF,∠AEB= ∠AEF,AE垂直平分BF,.点E为BC的中点，.BE=CE= EF=3,∴.∠EC=∠ECF,.·∠BEF=∠ECF+∠EFC,∴. ∠AEB=∠ECF,.AE∥CF,·.∠BFC=∠BOE=90°，又·四 边形ABCD为矩形，∠ABE=∠BFC=90°，△ABEM BC CF △BFC,心花B“在m△ABE中，由勾股定理得AE= A+BE-=5...CF-BC BE_6X3_18 AE 55 备·数学 多解法。 解法二：如解图②，连接BF,延长CF交BA的延长线于点 G,由解法一得BF⊥CF,AE∥CF,E为BC的中点，.A 为BG的中点，.AG=AB=AF=4,在Rt△BCG中，BG= 8,BC=6,.∴.CG=10..∠BFC=∠CBG=90°，∠BCF= ∠GCB.△BCF△GCB.CC-CB CE18 Γ5 G 第2题解图② 3.A【解析】解法一：如解图①，连接BD,.·将△ABC绕点A 顺时针旋转90°得到△ADE,点B,C的对应点分别为点 D,E,点D恰好落在线段CE上，.∠BAD=90°，∠ABC= ∠ADE,∠ADE+∠ADC=180°，.∠ABC+∠ADC= 180°，.∠BCD=90°，又CD=3,BC=1,.BD= √CD+BC=√32+1下=√I0,AB=AD,.∠ABD= ∠ADB=45,AD=2BD=2 2 2 ×√0=5. 第3题解图① 第3题解图② 专题四 中 模型1一线三等角模型 例12【解析】AB=AC=4,.∠B=∠C,∠1= ∠C,∴.∠B=∠1，∠BAD+∠B=∠1+∠CDE,∴.∠BAD= ∠CDE,:AD=DE,∴.△ABD≌△DCE(AAS),.CD=BA= 4.BD=CE..BC=6...CE=BD=BC-CD=6-4=2...AE= AC-CE=4-2=2. 例2 ·【解析】解法一：如解图①，过点D作DM=DC交 BC的延长线于点M,.∠DCM=∠M,四边形ABCD是 平行四边形，.DM=CD=AB=10,AB∥CD,.∠B= ∠DCM=∠M,.·∠FEC=∠DEF+∠DEC=∠B+∠BFE, ∠B=∠DEF,.∠DEC=∠BFE,∴.△BFE∽△MED, .BF-BE6 3 DE MD 10 5 B E B 例2题解图① 例2题解图② 中考能力 一战成名目 多解法。 解法二：如解图②，过点A作AM⊥CE于点M.由旋转可 得DE=BC=1,∠CAE=90°，AC=AE,.CE=4,AM=EM= 2 CE=2.MD=1.AD=MDANF=5. 43 【解析】由题意可得，AB=BC=CD=AD=8,∠BCD 120°，如解图①，延长BC到点F,使得CF=BC,连接 NF,DF,CD=CF=8,∠DCF=60°，△CDF是等边三角 形，CD=DF=FC=8,在△BFN中，E是线段BN的中点， BC=CF,CE=2NF,当NF最大时，CE取得最大 值，将线段DM绕点D旋转，点N在以点D为圆 心，DM=5为半径的圆上运动，如解图②，当N,D,F三点共 线，并经过⊙D的直径时，NF的值最大，.NF=DN+DF= 5+8=13CE=1NF= 13 2 2 B E 参考答案与重 图① 图② 第4题解图 题解 考常考模型 多解法。 117 解法二：：∠DEF=∠B,.∠BFE+∠BEF=∠BEF+ ∠DEC,.∠BFE=∠DEC,如解图②，作CGFE交DE于点 G,∠DEF=∠ECC,.LB=LEGC,△FBEM BE CG △EGC,FEEC 四边形ABCD是平行四边形，AB= CD=10,∠B+∠BCD=180°，.∠EGC+∠DGC=180°，∠B= ∠EGC,∴.∠DGC=∠BCD,·∠EDC=∠CDG,.△DGCM △E瓷张合0合号 针对练习 15【解析】∠ABC=90°，AD⊥BD,CE⊥BD,.∠D= ∠CEB=∠ABC=90°，∴.∠ABD+∠CBE=∠ABD+∠BAD= 90°，.∠CBE=∠BAD,△ABC是等腰直角三角形， .AB=BC,.△ABD≌△BCE,.BD=CE=7,.BE= 2,.DE=BD-BE=7-2=5. 2.A【解析】在矩形ABCD中，AB=6,由折叠的性质得，CD= AB=AE=6,E是CD的中点，DE=CE=3,在Rt△ADE 中，AD=√AE2-DE=√6-32=33，由题可得，∠D= ∠C=∠AEF=∠B=90°，∴.∠AED+∠CEF=∠EFC+ 备·数学 117一战成名目 类型4遇到圆，咋作辅助线 作法①应用半径相等构造 描述 图示 结论 △OAB为等腰三角形； AB为⊙O的一条弦 ∠OAB=∠OBA 针对练习 1.[2025山西吕梁模拟]如图，在△ABC中，AB=AC=6,∠C=70°，以AB为直径作半圆，交BC于点D, 交AC于点E,则DE的长为 B. 4 不 E 3 2 C.π D. 0 专题三 作法②应用垂径定理构造 第1题图 遇弧的中点，作经过孤中点的 遇到弦，作垂直于弦的直径或 遇垂直于弦的直径，连接构 半径或直径 半径 造直角三角形 常考的辅 D D 作直径CD 作直径 线作法 或半径0C 40 CD⊥AB E B B B B C C AD=BD. CD⊥AB, AE=BE, △ADE,△AOE,△BDE均是 AE=BE 点C是AB的中，点 直角三角形 针对练习 1.[2025江西南昌模拟]如图，已知⊙0的两弦AB,CD相交于点E,且A为CD的中点，若∠OBA= 32°，则∠CEA的度数为 B 第1题图 第2题图 2.[2025湖北襄阳模拟]如图，在⊙0中，弦AB=8,⊙0的半径长为5，则圆心0到AB的距离为() A.3 B.4 C.5 D.6 14 中考能力必备·数学 一战成名目 3.[2025江苏南通模拟]如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点P,PA=9,PB=4,则CD=() A.6 B.10 C.12 D.13 第3题图 作法3应用切线性质构造 已知切线和切点，连接半径， 直线与圆公共点明确，要判定 直线与圆的公共点不明确，要判 得直角 切线，连半径，证垂直 定切线，过圆心作垂线，证相等 连接0C ?0 0 连接OC 0 0 作OC⊥AB 0 A C B A C B AC B A C B 4 B B 直线AB与⊙O相切于点C, 直线AB与⊙O相交于点C 当OC=r时，AB与⊙0相切 OC⊥AB 当OC⊥AB时，AB与⊙0相切 针对练习 专题三 1.[2025安徽滁州模拟]如图，点C在半圆O的直径AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D,CD= √5，∠C=30°，则BD的长度为 A写 B.m 常考 6 3 助 D. 0 B C 线 第1题图 2.[2025北京西城区模拟]如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点，∠ACB的平分线交⊙0于点D, 法 过点D作DE∥AB,交CA的延长线于点E.求证：DE是⊙O的切线 0 E D 第2题图 中考能力必备·数学 15 一战成名目 3.如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点O,⊙O与AC相切于点D.求证：BC是⊙0的 切线。 0 第3题图 作法④应用圆周角定理及其推论构造 专题三 构造同孤所对的圆周角或圆心角 遇90°圆周角，连接得直径 遇直径，作直径所对圆周角 连接OB 连接AG 连接AB 常考的辅 ∠AOB=2∠ACB AC是⊙O的直径 ∠ABC=90° 线作法 针对练习 1.[2025江苏苏州模拟]如图，△ABC为⊙0的内接三角形，BD是⊙O的直径，且∠ABD=40°，则∠C 的度数是 () A.40° B.45° C.50° D.60° D B B 10x 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在⊙0中，OC⊥AB,∠APC=29°，则∠B0C的度数为 A.29° B.38° C.48° D.58° 3.[2025广东东莞模拟]如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点0，交x轴于点B(-4,0),交y轴于点 C(0,3),D为第二象限内⊙A上一点，则sin∠CD0的值是 .5 3 4 B.4 C.4 0.5 16 中考能力必备·数学 一战成名目 综合训练 1.[2025安徽宿州模拟]如图，在半径为15的⊙0中，AB,CD是两条互相垂直的弦，垂足为P,且AB= 20√2，CD=18,则0P的长为 () A.12 B.√119 C.13 D.14 .0 0 D B E 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，△ABC内接于⊙O,过点C的切线交AB的延长线于点D,且AC=CD,连接CO并延长交AB 3 于点E.若simA=了，CE=6,则O0的半径为 3.[2025湖北武汉模拟]如图，在⊙0中，C是AB的中点，CD垂直平分半径OA,BD=2√7，则该圆的 半径为 () A.4 B.2 D.7 专题三 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙0的直径，BD,AC交于点E,B是AC的中点，DG切⊙O 于点D,交CA延长线于点G.若AB=2√万，点O到DC的距离为3，求AG的长 B 常考的 线作法 D 第4题图 中考能力必备·数学 17 一战成名目 类型5遇到图形变化，咋作辅助线 作法①遇到折叠，咋作辅助线 连接对应，点，对应点连线被折痕垂直平分 折痕上一点固定，作圆确定轨迹 针对练习 1.[2025广西南宁模拟]如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AD=6,点E在边CD上，且DE=4,F是 边AD上一动点，将△DEF沿直线EF折叠，点D落在点N处，当点N在四边形ABCD内部（含边 界)时，DF长的最小值是 () A.2 B.213 C.4 D.42 专题三 B 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 常考的 2.多解法[2022毕节]如图，矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE,将△ABE沿AE折叠得到 △AFE,连接CF.若AB=4,BC=6,则CF的长是 助 线 集 作法2遇到旋转，咋作辅助线 连接对应点，得等腰三角形 以旋转中心为圆心，作圆确定轨迹 D △ABD和△ACE是等腰三角形 针对练习 3.多解法[2024广元]如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,点B,C的对应点分别为点 D,E,连接CE,点D恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=1,则AD的长为 ( ) A.5 B.√10 C.2 D.22 4.[2025江苏徐州模拟]如图，在菱形ABCD中，AD=8,∠ADC=60°，点M在边DC上，且DM=5.将线 段DM绕点D旋转得到线段DN,连接BWN,E是线段BN的中点，连接CE,则旋转一周的过程中 线段CE的最大值是 18 中考能力必备·数学