河南省方城县第一高级中学2026届高三下学期一模考前适应性训练数学试题（十三）

方城县第一高级中学2026届高三下学期一模考前适应性训练数学试题（十三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（   ） A．1 B．2 C． D． 3．已知向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．人工智能的某神经元输出函数可表示为（为权重参数，为输入特征值），当输出值时会触发过滤机制.若对任意权重参数，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，若，，则（    ） A．-1 B． C． D．0 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则=（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 8．某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过0.1%，已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为：（为正的常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（   ） A．5小时 B．10小时 C．12.5小时 D．15小时 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（   ） A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B．若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是18 D．已知一组数据的平均数为4，则这组数据的方差是5 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象向左平移后，对应的新函数是偶函数 C．的图象关于点对称 D．在上的值域为 11．已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A．4为函数的一个周期 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则__________. 13．已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，若该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有一个女孩的概率为______. 14．《论球与圆柱》是古希腊数学家阿基米德的得意杰作，据传说在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图为一个圆柱与球的组合体，其中球与圆柱的侧面和上､下底面均相切，为底面圆的一条直径，，若球的半径，则球的体积与圆柱的体积之比为__________；球心到平面的距离为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 16．如图，直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，过点作与平面平行的直线，交于点. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 17．某家电售后平台为提升服务效率并控制成本，收集了过去6个月的“售后技术投入费用”（记为变量，单位：千元）与“售后商品平均单件处理时长”（记为变量，单位：小时）的对应数据，同时保留了售后商品处理方式的历史统计信息.具体数据如下表所示： 月份 一 二 三 四 五 六 售后技术投入费用（千元） 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 平均单件处理时长（小时） 5.8 5.2 4.5 4.0 3.5 3.0 该平台售后商品处理分为两种方式：自主检修（方式）和合作维修（方式）.根据历史数据，每月约有的售后商品选择方式，选择方式，处理规则如下： 方式：初始检修合格概率为，合格商品无额外成本；不合格商品中，可通过二次检修修复合格（二次检修成本为180元），剩余不合格商品需报废处理（报废成本为450元）. 方式：初始维修合格概率为，合格商品无额外成本；不合格商品直接报废（报废成本为450元）. (1)请根据表中数据，求关于的线性回归方程（精确到0.01）； (2)若该平台计划在7月份投入4.2千元的售后技术投入费用，根据（1）中所求的回归方程，预测7月份售后商品的平均单件处理时长； (3)从8月份售后商品中随机选取一件，设为该商品的处理成本（单位：元），分别求为0和450的概率. 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 18．已知椭圆的长轴长为分别为的左、右焦点． (1)求的方程与离心率； (2)设为上的动点，延长至点，使得，求动点的轨迹方程； (3)设（2）中动点的轨迹为曲线，若直线与交于，两个不同的点，且被截得的弦长为，求． 19．已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求k的取值范围. 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《方城县第一高级中学2026届高三下学期一模考前适应性训练数学试题（十三）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B A B D B ABC ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据对数函数的定义域，利用集合的交集，可得答案. 【详解】集合表示函数的定义域， 则，则. 故选：B. 2．C 【分析】根据复数的四则运算可得，进而可求模长. 【详解】因为，即， 可得，所以. 3．A 【分析】根据平面向量的坐标运算可得向量平行时的值，再结合充分条件与必要条件的概念进行判断即可得结论. 【详解】因为向量， 若可得，解得或， 所以时，可得；时，不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．B 【分析】由题意得，是关于的一次函数，若满足时恒成立，则有，，进而可求得的取值范围. 【详解】由题意得，是关于的一次函数， 且有时恒成立，则有，解得， 取交集得，因此输入特征值的取值范围是. 故选：B. 5．A 【分析】利用诱导公式及角的范围求出，再由特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】因为，，所以， 又已知，故， 因为，， 由正弦函数图像和性质可知，即， 所以. 故选：A. 6．B 【分析】利用正弦定理解三角形即可. 【详解】由正弦定理得， 则， 又，， 所以，解得． 故选：B 7．D 【分析】根据双曲线离心率转化为渐近线斜率，得到渐近线方程，利用圆心到直线的距离判断渐近线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，利用弦心距、半径、半弦长关系求解即可. 【详解】由，得， 因此，双曲线的渐近线方程为，即， 圆的圆心为，半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到渐近线的距离d为： ， ； 圆心到渐近线的距离d为： ，此时无交点， 故选：D 8．B 【分析】先根据前5个小时消除了90%的污染物这一条件求出值，进而令可求出. 【详解】由题意，前5个小时消除了90%的污染物， ，， ，即，. 由题意得， 即，得，解得. 要能够按规定排放废气，至少还需要过滤小时. 故选：B. 9．ABC 【分析】借助概率公式计算可得A；借助平均数公式计算可得B；借助百分位数定义计算可得C；借助平均数公式与方差公式计算可得D. 【详解】对A：，故某个个体被抽到的概率是0.2，故A正确； 对B：， 故数据的平均值为15，故B正确； 对C：将这组数据从小到大重新排列： 12，14，15，17，19，23，27，30， 由，故50%分位数是，故C正确； 对D：，解得，则这组数据的方差为： ， 故这组数据的方差是，故D错误. 故选：ABC. 10．ACD 【分析】对于A，利用最小正周期公式即可判断；对于B，利用图象变换得新函数即可判断；对于C，将代入函数式，判断是否满足；对于D，求出的范围，即可求出函数的值域. 【详解】对于A，由可得最小正周期为，故A正确； 对于B，的图象向左平移后， 得到， 显然不是偶函数，故B错误； 对于C，因为， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD 11．ABD 【分析】由函数为偶函数可得关于直线对称，结合奇函数可得到是周期为4的函数，接着利用对称性和周期性对每个选项进行逐个判断即可. 【详解】对于A，因为函数为偶函数，所以， 即的图像关于直线对称，因为为奇函数，所以， 则， 所以， 所以是周期为4的周期函数，故A正确； 因为关于直线对称，根据A可知是周期为4的周期函数， 所以关于直线对称，故B正确； 又因为是定义在上的奇函数，所以， 因为当时，，所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 又关于直线对称，所以函数在上单调递减， 又因为是周期为4的周期函数， 所以在上的单调性相当于在上的单调性，故此时递减，故C错误； 当时，，所以，， ，所以，，， 所以， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 12．2 【分析】根据方程求椭圆的左焦点和抛物线的准线方程，根据题意列式求解即可. 【详解】由椭圆方程可知：， 则椭圆的左焦点为， 又因为抛物线的准线方程为， 可得，解得. 故答案为：2. 13． 【分析】应用列举法及条件概率公式计算求解即可. 【详解】用X表示女孩，Y表示男孩， 则样本空间. 分别设“所选的家庭中有女孩”和“所选家庭的三个小孩中恰好有一个女孩”为事件A和事件B， 则，， 由条件概率公式得. 故答案为：. 14． 【分析】根据球与圆柱的体积公式代入计算，即可求解；再由面面垂直的判定定理可证平面平面，从而可得平面，再由勾股定理以及相似三角形可得. 【详解】 因为球的半径，所以球的体积为， 圆柱的体积为， 所以球的体积与圆柱的体积之比为， 由题易知平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 连接，则平面与平面的交线为， 所以过点在平面内作，垂足为点，则平面. 如图，易知，由勾股定理可得， 由，可知， 即，解得， 所以球心到平面的距离为. 故答案为：； 15．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义求出，进而利用与之间关系可求得数列的通项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知， 则 所以数列的前项和为. 16．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积判断线线垂直，进而证明线面垂直； （2）由（1）建立空间直角坐标系，设，由平面，可求得， 进而求得平面和平面的法向量，再结合二面角的向量求法，即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，则，， 又，即两两垂直，故可以为原点建立空间直角坐标系， 则， 因是的中点，是的中点，则 所以，，， 所以，所以， 所以，所以， 又且都在平面内， 所以平面. （2）由（1）建立空间直角坐标系，设，则， 易知，平面的一个法向量为， 又平面，则，解得， 故，所以，又， 设平面的法向量为， 则，取，得， 由（1）知，为平面的一个法向量， 所以， 由图知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 17．(1) (2)3.266小时； (3)0.78；0.172 【分析】（1）根据表中数据和回归直线方程公式求解即可； （2）根据（1）中所求的回归方程代入求解即可； （3）根据独立事件和互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， 又 ， 同理可得， 所以， 所以， 所以关于的经验回归方程为. （2）已知7月份售后技术投入费用4.2千元，根据（1）中所求的回归方程代入可得， 因此预测7月份售后商品的平均单件处理时长为3.266小时. （3）由题意可得， . 18．(1)；； (2)． (3). 【分析】（1）根据长轴长列式计算求出方程进而计算离心率即可； （2）由椭圆定义可得，，进而得出，则的轨迹是以为圆心，4为半径的圆； （3）先根据直线和椭圆的交点及圆的弦长计算求解得出直线，再联立直线和椭圆，进而应用弦长公式计算求解. 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为，所以，即，所以椭圆方程， 所以， 所以； （2）因为为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点， 延长至点，使得， 因为，，所以， 所以的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 所以动点的轨迹方程为． （3）因为直线与交于，两个不同的点， 直线被截得的弦长为， 设圆心到直线距离为，所以， 所以，所以或， 当时，直线与椭圆相切，不满足题意，舍去， 所以， 由消去得， 设，则， 因此． 19．(1) (2) 【分析】(1)利用导数的几何意义，先求切点与导函数，代入得切线斜率，然后用点斜式写出切线方程； (2)将恒成立问题转化为大于分离参数后函数的上确界，通过求导判断单调性，结合洛必达法则确定其最大值，从而求得的取值范围. 【详解】（1）当时，函数为：， 代入，得，故切点为， 而， 代入，， 由，得：，即 （2）当 时， 恒成立，即，； 由于时，则， 令（），对求导： ， 令分子为， 对求导：， 故在上单调递减，且，因此（）， 由此可知（），即在上单调递减，所以， 由洛必达法则可得， 要使对所有恒成立，则，即. 答案第12页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $