7.3.2离散型随机变量的方差 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学选择性必修第三册 导学 第七章 随机变量及其分布 §7.3.2 离散型随机变量的方差【导学】【解析】 【导学目标】1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义. 2.会求离散型随机变量的方差、标准差. 3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 【导学重点】会求离散型随机变量的方差、标准差. 【导学难点】能熟练掌握离散型随机变量的方差、标准差的求法. 【知识要点】 知识点一：离散型随机变量取值的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X).称为随机变量X的标准差。 知识点二：离散型随机变量ξ的期望与方差的性质 名词 数学期望 方 差 定义 E(ξ)=ξ1p1+ξ2p2+…+ξnpn D(ξ)=[ξ1-E(ξ)]2p1+[ξ2-E(ξ)]2p2+…+[ξn-E(ξ)]2pn 性质 (1)E(a)=a(a为常数) (2)E(aξ)=aE(ξ)(a≠0) (3)E(aξ+b)=aE(ξ)+b(a,b为常数,且a≠0) (1)D(a)=0(a为常数) (2)D(aξ)=a2D(ξ)(a≠0) (3)D(aξ+b)=a2D(ξ)(a,b为常数,且a≠0) 数学 意义 E(ξ)是一个常数,它反映了随机变量取值的平均水平,亦称均值 D(ξ)是一个常数,它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度 【问题探究】 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” .因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？ X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 表1 表2 X 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03 探究2.某人射击10次，所得环数分别是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？ 【解析】 X 1 2 3 4 P 探究3.某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则这组数据的方差是多少？ 方差： 【方法归纳】求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 【典型例题】 题型一、概念的理解 【例1-1】给出下列四个命题： ①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值； ②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平； ③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平； ④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度． 则正确命题应该是(　　) A． ①④　 B．②③ C．①② D．③④ 【例1-2】把下面X的分布列填写完整：并完成问题 其中p∈(0,1)，则E(X)＝________，D(X)＝________. X 0 1 P P 题型二：求离散型随机变量的方差 【例2-1】设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．， D．， 【例2-2】已知离散型随机变量X的分布列为下表且，则（ ） X 0 1 P A．1 B． C． D． 【例2-3】已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 P m 3m n 若，则（    ） A．0.2 B．1.4 C．0.44 D．0.4 【利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤】 1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高. 2.在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定. 3.下结论.依据均值和方差做出结论. 【例2-4】已知随机变量的分布列是 0 2 随机变量的分布列是 3 5 7 下列选项中正确的是（    ） A． B． C．当增大时，递增 D．当增大时，递减 题型三：方差的性质 【例3-1】已知离散型随机变量的方差为2，则（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【例3-2】已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3-3】若随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 A． B．2 C． D． 【例3-4】已知随机变量X的分布为 1 2 3 求的最大值． 题型四：离散型随机变量的均值与方差的综合应用 【例4-1】某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个白球和2个红球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为， (1)求的概率即 (2)求取出白球的数学期望和方差 【例4-2】本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率； (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值、方差 . 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学选择性必修第三册 导学 第七章 随机变量及其分布 §7.3.2 离散型随机变量的方差【导学】【解析】 【导学目标】1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义. 2.会求离散型随机变量的方差、标准差. 3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 【导学重点】会求离散型随机变量的方差、标准差. 【导学难点】能熟练掌握离散型随机变量的方差、标准差的求法. 【知识要点】 知识点一：离散型随机变量取值的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X).称为随机变量X的标准差。 知识点二：离散型随机变量ξ的期望与方差的性质 名词 数学期望 方 差 定义 E(ξ)=ξ1p1+ξ2p2+…+ξnpn D(ξ)=[ξ1-E(ξ)]2p1+[ξ2-E(ξ)]2p2+…+[ξn-E(ξ)]2pn 性质 (1)E(a)=a(a为常数) (2)E(aξ)=aE(ξ)(a≠0) (3)E(aξ+b)=aE(ξ)+b(a,b为常数,且a≠0) (1)D(a)=0(a为常数) (2)D(aξ)=a2D(ξ)(a≠0) (3)D(aξ+b)=a2D(ξ)(a,b为常数,且a≠0) 数学 意义 E(ξ)是一个常数,它反映了随机变量取值的平均水平,亦称均值 D(ξ)是一个常数,它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度 【问题探究】 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” .因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？ X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 表1 表2 X 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03 探究2.某人射击10次，所得环数分别是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？ 【解析】 X 1 2 3 4 P 探究3.某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则这组数据的方差是多少？ 方差： 【方法归纳】求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 【典型例题】 题型一、概念的理解 【例1-1】给出下列四个命题： ①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值； ②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平； ③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平； ④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度． 则正确命题应该是(　　) A． ①④　 B．②③ C．①② D．③④ 【答案】A 【例1-2】把下面X的分布列填写完整：并完成问题 其中p∈(0,1)，则E(X)＝________，D(X)＝________. X 0 1 P P 【答案】P, P(1-P) 题型二：求离散型随机变量的方差 【例2-1】设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．， D．， 【解析】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确， 又， ， 所以选项B错误，选项C正确， 对于选项D，因为，所以，，所以选项D正确， 故选：B. 【例2-2】已知离散型随机变量X的分布列为下表且，则（ ） X 0 1 P A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由X的分布列得， 则， 因为，则. 故选：D. 【例2-3】已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 P m 3m n 若，则（    ） A．0.2 B．1.4 C．0.44 D．0.4 【答案】D 【解析】由题可得，又，解得， 则． 故选：D 【利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤】 1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高. 2.在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定. 3.下结论.依据均值和方差做出结论. 【例2-4】已知随机变量的分布列是 0 2 随机变量的分布列是 3 5 7 下列选项中正确的是（    ） A． B． C．当增大时，递增 D．当增大时，递减 【答案】C 【解析】对于A，由题意知：，，所以A错误； 对于B，因为，， 即，故B错误； 对于C，，所以当增大时，也增大，故C正确； 对于D,由， 因为，所以当增大时，增大，可知D错误. 故选：C. 题型三：方差的性质 【例3-1】已知离散型随机变量的方差为2，则（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】D 【解析】因为离散型随机变量的方差为2，所以. 故选：D. 【例3-2】已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 解得.故选：B 【例3-3】若随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，，，所以， 所以， 所以， 所以， 故选：D. 【例3-4】已知随机变量X的分布为 1 2 3 求的最大值． 【答案】6 【解析】，只需求的最大值即可， 根据题意：，， ， 所以 ， 当时，其最大值为，故的最大值为． 故答案为：6． 题型四：离散型随机变量的均值与方差的综合应用 【例4-1】某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个白球和2个红球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为， (1)求的概率即 (2)求取出白球的数学期望和方差 【答案】(1)；(2)， 【解析】（1）因为，所以； （2）依题意的可能取值为、、， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以， . 【例4-2】本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率； (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值、方差 【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析 【解析】（1）由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，， 设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； （2）若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元， 则分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车， 或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况， 甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为； （3）X的可能取值为0，2，4，6，8， ， ，， 分布列如下表： X 0 2 4 6 8 P 数学期望， . 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $