第二十九章投影与视图讲义2025-2026学年 人教版数学九年级下册

该初中数学“投影与视图”单元复习讲义通过分类体系、对比表格和口诀系统构建知识网络，梳理了投影的分类（平行、中心、正投影）、三视图的规则（长对正、高平齐、宽相等）及常见几何体视图特征，突出正投影与三视图的内在联系和重难点分布。 讲义亮点在于“考点-策略-易错点”三位一体设计，如小正方体堆叠问题用“俯视图标层数”法，投影与相似综合题构造“8字型”相似模型，培养空间观念和推理意识。例题变式分层设置，基础题巩固规则，综合题提升应用能力，助力学生自主复习，也为教师提供精准教学支持。

投影与视图 1. 投影的基础认知 定义：物体在光线的照射下，会在某个平面（称为投影面）上留下影子，这种现象即为投影。 构成要素：光源、物体、投影面。 分类体系： 平行投影： 来源：由平行光线（如太阳光）形成。 特征： 同一时刻，不同物体的物高与影长成正比。 若物体平行于投影面，其投影与原物体全等。 若物体垂直于投影面，其投影为一条线段。 中心投影： 来源：由同一点（点光源，如路灯、手电筒）发出的光线形成。 特征： 光线交于一点（光源）。 等高物体离光源越近，影子越短；离光源越远，影子越长。 影子的大小随物体距离光源的远近而变化（近大远小）。 正投影： 定义：投影线垂直于投影面的平行投影。 地位：三视图的绘制基础。 2. 三视图的定义与规则 三个视角： 主视图：从物体正面向后观察得到的图形。 俯视图：从物体上面向下观察得到的图形。 左视图：从物体左面向右观察得到的图形。 位置布局： 主视图在左上角。 俯视图位于主视图的正下方。 左视图位于主视图的正右方。 绘图三大原则（九字口诀）： 长对正：主视图与俯视图的长度必须对齐且相等。 高平齐：主视图与左视图的高度必须平齐且相等。 宽相等：俯视图与左视图的宽度必须相等（通常通过45°辅助线或圆规转移宽度）。 线条规范： 实线：表示看得见的轮廓线。 虚线：表示被遮挡、看不见的轮廓线。 常见几何体的视图特征 几何体 主视图 左视图 俯视图 备注 正方体/长方体 矩形 矩形 矩形 正方体三视图均为正方形 圆柱 矩形 矩形 圆 视线方向需垂直于底面 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆（含圆心） 圆心代表顶点投影，需画实点 球 圆 圆 圆 三个方向视图完全相同 棱柱/棱锥 多边形/三角形组合 多边形/三角形组合 多边形（含对角线） 需注意侧棱的虚实 高频考点与解题策略 考点一：判断简单几何体的三视图 策略：想象自己站在物体的正面、左面和上面，将立体图形“压扁”成平面图形。 注意：特别关注凹槽、孔洞等内部结构，看不见的棱务必画成虚线。 考点二：由三视图还原几何体 步骤： 看主视图和左视图，确定物体的高度和大致形状（柱、锥、台）。 看俯视图，确定底面形状及长宽分布。 综合三个视图，构建空间模型。 技巧：若俯视图是圆，主/左视图是三角形，则为圆锥；若主/左视图是矩形，则为圆柱。 考点三：根据三视图计算几何量 类型：求表面积、体积、侧面积。 方法： 从视图中提取关键数据（长、宽、高、半径、母线长）。 还原几何体形状。 代入对应公式计算（注意单位统一）。 考点四：小正方体堆叠问题 数个数 方法：在俯视图的每个小正方形上标注该位置小立方体的层数（由主视图和左视图限制决定）。 求表面积 公式： 。 特例：若有重叠面隐藏或底部不计算，需相应减去。 考点五：投影的实际应用（相似三角形） 场景：测量旗杆高度、计算人影长度、路灯下的影子变化。 模型： 平行投影：利用 列比例式。 中心投影：构造“8字型”或“A字型”相似三角形。 设人高为 ，影长为 ，灯高为 ，人到灯的水平距离为 。 关系式： 。 第四部分：易错点警示 虚实线混淆： 错误：画图时忽略被遮挡的棱，全部画成实线。 纠正：仔细分析视线遮挡关系，内部不可见轮廓必须用虚线表示。 视图方向搞反： 错误：左视图画成了右视图，或者俯视图的长宽对应错误。 纠正：严格遵循“长对正、高平齐、宽相等”，注意俯视图的“宽”对应左视图的“宽”。 圆锥俯视图漏点： 错误：画圆锥俯视图时只画了一个圆。 纠正：圆锥顶点在底面的投影是圆心，必须画出圆心点（实点）。 考点一： 投影与相似综合 例题 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为　 　m． 如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯O看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点B处．图2为示意图，其中于点A，于点B，点O，C，D在一条直线上，已知．    (1)求女孩的影子的长． (2)若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（取3.14） 变式 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（    ） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米 考点二： 三视图 例题 如图所示的几何体从上面看到的形状图是（　　） A． B． C． D． 变式 如图所示几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 如图所示几何体的主视图是（    ）   A．   B．   C．   D．   考点三： 画三视图 例题 画出下面立体图形的三视图． 变式 如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体．    (1)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图． (2)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭_______个小立方体． 考点四： 由三视图还原几何体 例题 如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．球 C．三棱柱 D．长方体 变式 如图是一个几何体的三视图，该几何体是（    ） A．球 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥 下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（    ）    A．   B．   C．  D．   考点五： 已知三视图求边长、侧面积或表面积、体积 例题 如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸（单位：mm），计算出这个立体图形的体积和表面积． 变式 如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 课堂练习 1.如图所示，从上面看该几何体的形状图为（　　） A． B． C． D． 2.几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　） A． B． C． D． 3.下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（　　） A．A⇒B⇒C⇒D B．D⇒B⇒C⇒A C．C⇒D⇒A⇒B D．A⇒C⇒B⇒D 4.如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（　　） A．越大 B．越小 C．不变 D．无法确定 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是　 ． 6.如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的侧面积为　 　cm2． 7.如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的侧面积为　36　cm2． 8.小明家的客厅有一张直径为1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是　 　． 9.圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（　　） A．2πm2 B．3π m2 C．6π m2 D．12π m2 10.如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米） （1）标出王琳站在P处在路灯B下的影子； （2）计算王琳站在Q处在路灯A下的影长； （3）计算路灯A的高度． 课后作业 1.如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 2，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为    3.如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 4.实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 5.数学活动课上，小宇、小辉一起测量学校升旗台上旗杆的高度，如图，旗杆立在水平的升旗台上，小宇测得旗杆底端到升旗台边沿的距离为，升旗台的台阶所在的斜坡长为，坡角为，小辉测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面上的部分的长为，同一时刻，小宇测得直立于水平地面上长的标杆的影长为，请你帮他们求出旗杆的高度. （结果保留一位小数，参考数据：）    答案 投影与视图 1. 投影的基础认知 定义：物体在光线的照射下，会在某个平面（称为投影面）上留下影子，这种现象即为投影。 构成要素：光源、物体、投影面。 分类体系： 平行投影： 来源：由平行光线（如太阳光）形成。 特征： 同一时刻，不同物体的物高与影长成正比。 若物体平行于投影面，其投影与原物体全等。 若物体垂直于投影面，其投影为一条线段。 中心投影： 来源：由同一点（点光源，如路灯、手电筒）发出的光线形成。 特征： 光线交于一点（光源）。 等高物体离光源越近，影子越短；离光源越远，影子越长。 影子的大小随物体距离光源的远近而变化（近大远小）。 正投影： 定义：投影线垂直于投影面的平行投影。 地位：三视图的绘制基础。 2. 三视图的定义与规则 三个视角： 主视图：从物体正面向后观察得到的图形。 俯视图：从物体上面向下观察得到的图形。 左视图：从物体左面向右观察得到的图形。 位置布局： 主视图在左上角。 俯视图位于主视图的正下方。 左视图位于主视图的正右方。 绘图三大原则（九字口诀）： 长对正：主视图与俯视图的长度必须对齐且相等。 高平齐：主视图与左视图的高度必须平齐且相等。 宽相等：俯视图与左视图的宽度必须相等（通常通过45°辅助线或圆规转移宽度）。 线条规范： 实线：表示看得见的轮廓线。 虚线：表示被遮挡、看不见的轮廓线。 常见几何体的视图特征 几何体 主视图 左视图 俯视图 备注 正方体/长方体 矩形 矩形 矩形 正方体三视图均为正方形 圆柱 矩形 矩形 圆 视线方向需垂直于底面 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆（含圆心） 圆心代表顶点投影，需画实点 球 圆 圆 圆 三个方向视图完全相同 棱柱/棱锥 多边形/三角形组合 多边形/三角形组合 多边形（含对角线） 需注意侧棱的虚实 高频考点与解题策略 考点一：判断简单几何体的三视图 策略：想象自己站在物体的正面、左面和上面，将立体图形“压扁”成平面图形。 注意：特别关注凹槽、孔洞等内部结构，看不见的棱务必画成虚线。 考点二：由三视图还原几何体 步骤： 看主视图和左视图，确定物体的高度和大致形状（柱、锥、台）。 看俯视图，确定底面形状及长宽分布。 综合三个视图，构建空间模型。 技巧：若俯视图是圆，主/左视图是三角形，则为圆锥；若主/左视图是矩形，则为圆柱。 考点三：根据三视图计算几何量 类型：求表面积、体积、侧面积。 方法： 从视图中提取关键数据（长、宽、高、半径、母线长）。 还原几何体形状。 代入对应公式计算（注意单位统一）。 考点四：小正方体堆叠问题 数个数 方法：在俯视图的每个小正方形上标注该位置小立方体的层数（由主视图和左视图限制决定）。 求表面积 公式： 。 特例：若有重叠面隐藏或底部不计算，需相应减去。 考点五：投影的实际应用（相似三角形） 场景：测量旗杆高度、计算人影长度、路灯下的影子变化。 模型： 平行投影：利用 列比例式。 中心投影：构造“8字型”或“A字型”相似三角形。 设人高为 ，影长为 ，灯高为 ，人到灯的水平距离为 。 关系式： 。 第四部分：易错点警示 虚实线混淆： 错误：画图时忽略被遮挡的棱，全部画成实线。 纠正：仔细分析视线遮挡关系，内部不可见轮廓必须用虚线表示。 视图方向搞反： 错误：左视图画成了右视图，或者俯视图的长宽对应错误。 纠正：严格遵循“长对正、高平齐、宽相等”，注意俯视图的“宽”对应左视图的“宽”。 圆锥俯视图漏点： 错误：画圆锥俯视图时只画了一个圆。 纠正：圆锥顶点在底面的投影是圆心，必须画出圆心点（实点）。 考点一： 投影与相似综合 例题 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为　 　m． 【解答】解：∵AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴＝，即＝， ∴OP＝（m）． 故答案为． 如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯O看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点B处．图2为示意图，其中于点A，于点B，点O，C，D在一条直线上，已知．    (1)求女孩的影子的长． (2)若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（取3.14） 【答案】(1)女孩的影子的长为1米 (2)平方米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理得到的长，即可得出答案． （2）根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， 答：女孩的影子的长为1米； （2）解：∵女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点）， ∴人影扫过的图形的面积平方米． 变式 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（    ） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ，， ∴，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， ， 即，，， ∴，则， ∴米， ∴光源与小明的距离应增加米， 故选：C． 考点二： 三视图 例题 如图所示的几何体从上面看到的形状图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形． 故选：D． 变式 如图所示几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】 解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有符合题意． 故选：C． 如图所示几何体的主视图是（    ）   A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案． 【详解】解：如图所示的几何体的主视图如下：    故选：D． 【点睛】此题主要考查了三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 考点三： 画三视图 例题 画出下面立体图形的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查实物体的三视图．观察实物图，按照三视图的要求画图即可． 【详解】画出的三视图如下: 变式 如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体．    (1)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图． (2)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭_______个小立方体． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据物体形状即可画出左视图有三列以及主视图、俯视图都有三列，进而画出图形； （2）可在最左侧前端放两个，后面再放一个，即可得出答案． 【详解】（1）解：画出图如图所示：   ； （2）解：保持主视图和俯视图不变，可在最左侧前端放两个，后面再放一个，最多还可以再搭3块小正方体， 故答案为：3． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 考点四： 由三视图还原几何体 例题 如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．球 C．三棱柱 D．长方体 【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形， 故该几何体是一个柱体， 又∵俯视图是一个圆， 故该几何体是一个圆柱． 故选：A． 变式 如图是一个几何体的三视图，该几何体是（    ） A．球 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，结合三视图与原几何体的关系即可解决问题 【详解】解：由所给三视图可知，该几何体为圆锥， 故选：D 下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（    ）    A．   B．   C．  D．   【答案】C 【分析】认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可． 【详解】解：结合三视图发现：该几何体为圆柱和长方体的结合体， 故选：C． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有足够的空间想象能力，掌握三视图的定义 考点五： 已知三视图求边长、侧面积或表面积、体积 例题 如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸（单位：mm），计算出这个立体图形的体积和表面积． 【解答】解：根据三视图可得：上面的长方体长4mm，高4mm，宽2mm， 下面的长方体长8mm，宽6mm，高2mm， ∴立体图形的体积是：4×4×2+6×8×2＝128（mm3）， ∴立体图形的表面积是：4×4×2+4×2×2+4×2+6×2×2+8×2×2+6×8×2﹣4×2＝200（mm2）． 变式 如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、勾股数的应用等知识点，根据左视图的形状，求得左视图的宽成为解题的关键． 根据主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，求得左视图为长方形，其长为6，再根据底面运用等面积法求得长方形的长即可． 【详解】解：如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5， ∴俯视图为直角三角形，且斜边为5， ∴斜边上的高为 ∴左视图为长方形，其长为6，宽为，即． 故选：Ａ． 一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三视图还原出几何体，再利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式计算即可． 【详解】根据三视图可知，该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，该几何体的表面积为： ． 故选B． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图以及圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式，根据三视图还原出几何体是解决问题的关键． 课堂练习 1.如图所示，从上面看该几何体的形状图为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示， 从上面看到的是矩形，且有看不见的轮廓线， 因此选项C中的图形符合题意； 故选：C． 2.几何体的三视图如图所示，这个几何体是（C　　） A． B． C． D． 3.下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（　　） A．A⇒B⇒C⇒D B．D⇒B⇒C⇒A C．C⇒D⇒A⇒B D．A⇒C⇒B⇒D 【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知，C，D是上午，A，B是下午， 根据影子的长度可知先后为C→D→A→B． 故选：C． 4.如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（　　） A．越大 B．越小 C．不变 D．无法确定 【解答】解：白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；相反当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子变大． 故选：A． 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是　48π+64　． 【解答】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）， 由题意可知，圆柱的高为8，底面圆的半径为4， 故其表面积为S＝42π+4π×8+8×8＝48π+64． 故答案为：48π+64． 6.如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的侧面积为　36　cm2． 【解答】解：这个正六角螺母的侧面积为：6×S长方形＝6×3×2＝36（cm2）． 答：该正六角螺母的侧面积为36cm2． 故答案为：36． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是　48π+64　． 【解答】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）， 由题意可知，圆柱的高为8，底面圆的半径为4， 故其表面积为S＝42π+4π×8+8×8＝48π+64． 故答案为：48π+64． 7.如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的侧面积为　36　cm2． 【解答】解：这个正六角螺母的侧面积为：6×S长方形＝6×3×2＝36（cm2）． 答：该正六角螺母的侧面积为36cm2． 故答案为：36． 8.小明家的客厅有一张直径为1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是　（3.6，0）　． 【解答】解：过点B作BF⊥x轴，垂足为F，由题意得，BF＝0.75米，BC＝1米， ∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝＝， 即：＝， 解得：DE＝1.6（米）， ∴OE＝2+1.6＝3.6（米）， ∴E（3.6，0）， 故答案为：（3.6，0）． 9.圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（　　） A．2πm2 B．3π m2 C．6π m2 D．12π m2 【解答】解：如图所示： ∵AC⊥OB，BD⊥OB， ∴△AOC∽△BOD， ∴＝，即＝， 解得：BD＝2m， 同理可得：AC′＝m，则BD′＝1m， ∴S圆环形阴影＝22π﹣12π＝3π（m2）． 故选：B． 10.如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米） （1）标出王琳站在P处在路灯B下的影子； （2）计算王琳站在Q处在路灯A下的影长； （3）计算路灯A的高度． 【解答】解：（1）线段CP为王琳在站在P处路灯B下的影子； （2）由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD， ∴， ∴， 解得：QD＝1.5米； （3）∵Rt△DFQ∽Rt△DAC， ∴， ∴， 解得：AC＝12米． 答：路灯A的高度为12米． 课后作业 1.如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三视图，俯视图，从上面看到的平面图形，注意能看到的棱都要画成实线，不能看到的线画成虚线． 【详解】解：从上面看这个几何体看到的是三个长方形， 所以俯视图是： 故选C 2，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为    【答案】 【分析】根据三视图，该几何体是圆柱，进而计算表面积． 【详解】解：根据三视图，该几何体是圆柱，圆柱底面圆的半径是2， ∴ ∴该几何体的表面积为； 故答案为：． 【点睛】本题考查三视图和圆柱的表面积，根据三视图还原几何体是关键． 3.如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图， ∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）． ∴PD＝1，PE＝2，AB＝3， ∵AB∥A′B′， ∴△PAB∽△PA′B′， ∴＝，即＝， ∴A′B′＝6， 故选：C． 4.实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm 【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题． （2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得； （3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB. 【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm， 由题意可得：， 解得：x=120， 经检验：x=120是分式方程的解， 王诗嬑的影子长为120cm； （2）正确， 因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直， 则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直， 而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直， ∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内； （3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子， 过点F作FG⊥CE于点G， 由题意可得：BC=100，CF=100， ∵斜坡坡度， ∴， ∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中， ， 解得：m=20， ∴CG=60，FG=80， ∴BG=BC+CG=160， 过点F作FH⊥AB于点H， ∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm， FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB， 可知四边形HBGF为矩形， ∴， ∴AH==200， ∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280， 故高圆柱的高度为280cm. 【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型． 5.数学活动课上，小宇、小辉一起测量学校升旗台上旗杆的高度，如图，旗杆立在水平的升旗台上，小宇测得旗杆底端到升旗台边沿的距离为，升旗台的台阶所在的斜坡长为，坡角为，小辉测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面上的部分的长为，同一时刻，小宇测得直立于水平地面上长的标杆的影长为，请你帮他们求出旗杆的高度. （结果保留一位小数，参考数据：）    【答案】 【分析】延长交于点，过做于，根据矩形的性质及含有角的直角三角形的性质得到，，最后根据同一时刻物高和影长成正比即可解答． 【详解】解：延长交于点，过做于， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵同一时刻，物高和影长成正比， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度.为．    【点睛】本题考查了解直角三角形—坡度坡角的问题，平行投影，掌握同一时刻物高和影长成正比是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $