11.2正弦定理（题型专练）高一数学苏教版必修第二册

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11.2正弦定理 基础达标题 题型一正弦定理解三角形 题型一正弦定理判断三角形的个数 题型二正弦定理求三角形外接圆的半径 正弦定理 能力提升题 题型三正弦定理的边角互化 题型四正弦定理判断三角形的形状 题型五三角形的面积公式 拓展培优题 题型一最值取值范围问题 基础达标题 题型一正弦定理解三角形 1.(24-25高一下江苏南通海门实验学校期中)在△ABC中，若AC=V万，BC=2,B=60°，则siA的 值为( A县 c四 D.1 2.(24-25高一下江苏南通海门区部分学校·月考)已知△ABC的角A,B,C对边分别为a,b,c,若a=4 ,b=4V3,B=号，则4=() A.晋 B.胃 c.等 D. 3.(24-25高一下.江苏南京协同体十校期中)在△ABC中，AB=2√2，∠BAC=60,∠ABC=75,则 BC=() A.V2 B.V3 c.6 D.2W5 4.(24-25高一下江苏镇江·期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=45°，C=60° ，c=V6,则b的值为 5.(24-25高一下江苏常州高级中学.期末)已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 A=30°，a=1,c=V3,则角C的值为() 1/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.胃 B. c.号或 D.罗 B 能力提升题 题型一正弦定理判断三角形的个数 1.(24-25高一下.江苏无锡江阴某校·月考)在△ABC中，角AB,C所对的边分别为a,b,c,且 c=8,B=若.若△ABC有两解，则b的长的取值范围是 2.(24-25高一下江苏连云港东海县期中)在△ABC中，∠A=号，AB=2,满足条件的三角形有两个， 则BC的取值范围为() A.[1,2 B.(1,5 c.(5,2 D.(2,+∞ 3.(24-25高一下江苏镇江中学期中)在△ABC中，己知角A,B,C的对边分别为a,b,C,且a=x, b=3,B=60°，若△ABC有两解，则x的取值范围是() A.(0,3) B.(3,23) c.(2W3,+m) D.[3,2W3) 4.(24-25高一下江苏高邮期中)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=若， b=10,则使得△ABC有两组解的a的值可以为() A.10 B.8 C.5 D.4 5.(24-25高一下江苏东台·期中)（多选）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c,根据下列条件 解三角形，其中仅有一解的有() A.a=4,b=5,c=6 B.A=30°，B=45°，c=5 c.a=V5,b=2,A=45° D.a=3,b=2,C=75° 题型二正弦定理求三角形外接圆的半径 1.(24-25高一下江苏盐城期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足c=3, (2a-b)cosC=ccosB,则△ABC外接圆的半径为() A.V3 B.3 c.2W3 D.6 2.(24-25高一下江苏无锡天一中学·月考)已知0是△ABC的外心，A0.A店=2，∠ACB=牙，则△ABC 的外接圆半径R=() A.号 B.2 C.2 D.2V2 3.(23-24高一下江苏扬州第一中学调研)在△ABC中，BC=8,A=60°，则△ABC的外接圆的面积为 2/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 () A. B.64π c.2 D.256π 4.(22-23高一下江苏淮安期末)在△ABC中，边长c=V6,A=105°，B=45°，则△ABC的外接 圆的面积是() A.6T B.24π c.2W6元 D.46π 5.(24-25高一上江苏南通第一中学创新班)已知△ABC的三个内角AB,C所对的边分别是a,b,c,且 2C08 snc=2sn4+sn丽. (1)求C； (2)若a=b=2,求△ABC外接圆的半径. 题型三正弦定理的边角互化 1.(23-24高一下江苏镇江中学，)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知 V3 acosB=bsinA,则B=() A.晋 B.号 C. D.晋 2.(24-25高一下江苏镇江丹阳·期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S.若a=1 ,C=号，且2S=cosB+bcosA,则B=() A.晋 B.号 C. D. 3.(24-25高一下江苏苏州苏州大学附属中学.期中)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C对边，若 acosC+3asinc-b=0.A=() A.晋 B.晋 C. D.晋 4.(24-25高一下江苏镇江徐州七校期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2, b+c A=150°，则m8+c=（） A.2 8.2V5 C.4 D.45 5.(24-25高一下江苏无锡江阴某校·月考)在△ABC中，三个内角角A,B,C所对的边分别为a,b,c.且 3 bsinA=acosB. (1)求角B的大小： 3/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若b=3,sinC=V3sinA,求边c的长. 题型四正弦定理判断三角形的形状 1.(24-25高一下江苏南京江宁区·期末)△ABC中，a2tanB=b tanA,则(） A.△ABC是等腰三角形 B.△ABC是直角三角形 C.△ABC是等腰三角形或直角三角形D.△ABC是等腰直角三角形 2.(24-25高一下-江苏南通期末在△ABC中，若器=9器，则△ABC的形状是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 3.(24-25高一下.江苏宿迁中学等校调研)已知△ABC的三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c,则 “b=acosC"是“△ABC为直角三角形"的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(24-25高一下·江苏马坝高级中学.期中)在△ABC中，若acosB+bcosA=a,则△ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 5.(24-25高一下.江苏常州北郊高级中学.期中)在△ABC中，已知acos B-bcosA=c,则△4BC的形状是 (). A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形 题型五三角形的面积公式 1.(24-25高一下江苏宿迁中学等校调研)在△ABC中，己知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 sinA=3sinC,B=60°，b=2,则△ABC的面积是 2.(24-25高一下.江苏镇江丹阳)已知△ABC中，AB,C所对的边为a,b,c,向量万=（a+G,a-b), =(sinB,sinA-sinc),/. (1)求C的大小： (2)若D为AB中点，CD=2,且△ABC面积为V3,求边C. 3.(24-25高一下.江苏东海高级中学)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A=号， 2sinc=(1+3)sinB. 4/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明：5b=2a: 2)若△ABC的面积为3+V5,求a. 4.(24-25高一下江苏连云港灌南县期末)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边， 3 asinC+acosC=b+c. (1)求A: (2)若b=1,△ABC的面积为V3,求a. 5.(24-25高一下江苏南京师范大学附属中学期中)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已 cos2B-cos2A=2sin Bsin C (1)若B=C,求A: (2)求号的取值范围； B设D是边BC上一点，若B=吾，tan∠CAD=号，记△ABD,△ADC的面积分别为S1,S2,求 的值。 拓展培优题 题型一最值取值范围问题 1.(24-25高下江苏南通·期末)在△ABC中，c0s2A+cos2B-c0s2C=1,∠ACB的角平分线交AB于 D,CD=2V2,则△ABC面积的最小值为· 2.(24-25高一下.江苏无锡太湖高级中学，月考)（多选）在锐角△ABC中，角AB,C所对的边分别为 a,b,c,且c=b+2 bcosA,则下列结论正确的有() A.若B=C,则B= B.A的取值范围为（零，受） c.号的取值范围为（√2,3） D.盒品+2snA胸取值花图为怎，9） 3.(24-25高一下江苏无锡太湖高级中学.月考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a4,b,c,若 tanB=2tanC,b=2,则△ABC面积的最大值为() 5/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. B. c⑨ D. 4.(24-25高一下江苏江阴部分重点学校)△ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,已知c2=2a2-2b2, 则A-B的最大值为() A.晋 B.胃 c.晋 D.晋 5.(24-25高一下江苏江阴部分重点学校)记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知 (a-2c)cosC+CCosA=0,Ha>c. (1)证明：B=2C: 2若Bd=D元，AD=年，且cosB=青，求b,c: 3)若cos(A-C)+sinB存在最小值，求实数的取值范围. 6/6 11.2正弦定理 题型一 正弦定理解三角形 1．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)在中，若，则的值为（ ）. A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由正弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理得，则. 故选：C 2．(24-25高一下·江苏南通海门区部分学校·月考)已知的角A，B，C对边分别为a，b，c，若，，，则A=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由正弦定理即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得，因为，所以. 故选：A 3．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：D. 4．(24-25高一下·江苏镇江·期末)在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的值为________. 【答案】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理可得， 又，，，， 所以，解得. 故答案为：. 5．(24-25高一下·江苏常州高级中学·期末)已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先根据正弦定理得出；再根据三角形中大边对大角及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由正弦定理可得：. 因为， 所以. 又因为， 所以或. 故选：C. 题型一 正弦定理判断三角形的个数 1．(24-25高一下·江苏无锡江阴某校·月考)在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据条件，利用正弦定理判断三角形解的个数的方法，即可求解. 【详解】如图，过作垂直所以直线于， 因为，则， 又有两解，则， 故答案为：. 2．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】在中，由正弦定理和三角形有两解 ,得，且， 因此，所以的取值范围为. 故选：C 3．(24-25高一下·江苏镇江中学·期中)在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形有两解的条件确定的取值范围. 【详解】已知，，，由正弦定理可得： ，即. 因为，所以. 要使有两解，则，且，此时的取值范围是. 由，且，可得.得到. 的取值范围是， 故选：B. 4．(24-25高一下·江苏高邮·期中)已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（   ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据得到答案. 【详解】有两组解，需满足，即，， 所以a的值可以为8，B正确，ACD错误. 故选：B 5．(24-25高一下·江苏东台·期中)（多选）在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】对于A、B、D根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，即，所以， 因为，则, 因为，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 题型二 正弦定理求三角形外接圆的半径 1．(24-25高一下·江苏盐城·期末)在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】设外接圆的半径为.在中，由余弦定理及题中条件可得，再由余弦定理可得的值，进而可求的值，由正弦定理即可求解外接圆的半径. 【详解】设外接圆的半径为. 在中，由余弦定理及可得，即， 即， 即，即. ∴由余弦定理可得. ∵，∴，∴由正弦定理可得，解得. 故选：A. 2．(24-25高一下·江苏无锡天一中学·月考)已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】首先结合圆的性质可得，则，再利用正弦定理求解可得答案. 【详解】O是△ABC的外心，则在上的投影向量为， 所以，解得， 由正弦定理，∴， 故选：B. 3．(23-24高一下·江苏扬州第一中学·调研)在中，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可. 【详解】由正弦定理得的外接圆的半径， 所以的外接圆的面积． 故选:． 4．(22-23高一下·江苏淮安·期末)在中，边长，，，则的外接圆的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出角，由正弦定理可得的外接圆的半径，进而可求面积. 【详解】在中，，，所以， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，所以， 所以的外接圆的面积是. 故选：A 5．(24-25高一上·江苏南通第一中学创新班·)已知的三个内角所对的边分别是，且． (1)求； (2)若，求外接圆的半径． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意由三角恒等变换化简即可得，所以； （2）利用余弦定理可得，再由正弦定理可得外接圆半径. 【详解】（1）由题意得， 又， ， 化简得， 又 （2）在中由余弦定理得， ， 设的外接圆半径为，故， 外接圆的半径为2． 题型三 正弦定理的边角互化 1．(23-24高一下·江苏镇江中学·)在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为、，故，所以， 可得，故. 故选：B. 2．(24-25高一下·江苏镇江丹阳·期末)在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式与边角互换即可求得结果. 【详解】因为，，且，所以， 即， 由正弦定理得：, 又因为三角形中,, ， 因为,所以. 故选：C. 3．(24-25高一下·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C对边，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，又因为，所以，即可得，再根据特殊角正切值求解即可. 【详解】因为，由正弦定理得： ，因为， 所以, ，因为， 所以，即，因为，所以. 故选：A. 4．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由正弦定理得出对边长度和对角正弦值的比值，然后换元作比即可求解. 【详解】在中，由正弦定理可知：， ∴，，∴. 故选：C. 5．(24-25高一下·江苏无锡江阴某校·月考)在中，三个内角角，，所对的边分别为，，．且． (1)求角的大小； (2)若，，求边的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角转化得出，结合角的范围计算求值； （2）根据正弦定理边角转化再应用余弦定理计算求出边长即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又因为在中，所以， 所以， 所以； （2）因为，由正弦定理得， 由余弦定理得， 所以. 题型四 正弦定理判断三角形的形状 1．(24-25高一下·江苏南京江宁区·期末)中，，则（    ） A．是等腰三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形或直角三角形 D．是等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用切化弦及正弦定理边角转化，得，进而得或，即或，得解. 【详解】由，得， 由正弦定理，得，因为， 所以，则，又， 或，即或， 所以是等腰或直角三角形. 故选：C. 2．(24-25高一下·江苏南通·期末)在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】先利用正弦定理边化角，再利用两角差的正弦公式得到，最后结合正弦函数的性质得到，判断三角形形状即可. 【详解】在中，因为， 所以结合正弦定理可得， 则，可得， 由两角差的正弦公式得， 因为，，所以， 可得，解得， 即的形状是等腰三角形，故A正确. 故选：A 3．(24-25高一下·江苏宿迁中学等校·调研)已知的三个内角、、所对边分别为、、，则“”是“为直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 因为、，故， 所以，故，即为直角三角形， 所以由“”可推出“为直角三角形”. 若为直角三角形，比如， 此时，，，， 所以由“为直角三角形”不能推出“”. 综上，“”是“为直角三角形”的充分不必要条件. 故选：A. 4．(24-25高一下·江苏马坝高级中学·期中)在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简，求出，进一步求得，即可得解． 【详解】由，结合正弦定理可得：， ，可得：， ，则的形状为等腰三角形． 故选：A 5．(24-25高一下·江苏常州北郊高级中学·期中)在中，已知，则△ABC的形状是（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到，即可得到答案. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得 又因为，所以， 即，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形. 故选：B. 题型五 三角形的面积公式 1．(24-25高一下·江苏宿迁中学等校·调研)在中，已知角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是_____. 【答案】 【分析】先根据正弦定理得出边与边的关系，再结合余弦定理求出边的值，进而得到边的值，最后根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】已知，由正弦定理可得. 对于，，已知，，，代入可得： ，解得. 因为，所以. 三角形面积公式为，代入可得： . 故答案为：. 2．(24-25高一下·江苏镇江丹阳·)已知中，所对的边为，向量，，且． (1)求的大小； (2)若为中点，，且面积为，求边． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由，得到，根据由正弦定理，化简得到，结合余弦定理，即可求解； （2）由，求得，根据，利用向量的数量积的运算律，求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，， 因为，可得， 又由正弦定理得，整理得， 由余弦定理，可得， 又因为，所以． （2）解：因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 即，可得， 所以，所以． 3．(24-25高一下·江苏东海高级中学·)在中，角、、所对的边分别为、、，已知，. (1)证明：； (2)若的面积为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件变形得出，结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，再利用正弦定理可证得结论成立； （2）求出的值，有（1）得，利用三角形的面积公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】（1）因为，，可得， 即， 所以，故，即， 因为，故， 由正弦定理得，即，故. （2）因为，由（1）知， 所以，由三角形的面积公式可得，解得. 4．(24-25高一下·江苏连云港灌南县·期末)已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)求A； (2)若，的面积为，求a． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换即可求解； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 即， 即， 因为，所以， 所以，即，即， 因为，所以， 所以，解得； （2）由题意，解得， 所以由余弦定理有，解得. 5．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，内角，，的对边分别为，，．已知． (1)若，求； (2)求的取值范围； (3)设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由和差化积公式及中角之间的关系化简已知等式，可得，得，再由，，即可求出； （2）（1）知，中角之间的关系求得，利用正弦定理可得的取值范围； （3）利用已知条件和三角形的面积公式化简，即可求得的值． 【详解】（1）因为在中，， 由和差化积公式得， 又在中，，则， 因为，所以， 则， 所以或（舍去），所以， 已知，所以，则. （2）由（1）知， 在三角形中，所以，即， 则， 所以，由正弦定理， 即的取值范围为. （3） 由（1）知，又， 则，， 在中，由正弦定理得，， 所以 又， 所以. 即. 题型一 最值取值范围问题 1．(24-25高一下·江苏南通·期末)在中，，的角平分线交于，，则面积的最小值为______． 【答案】8 【分析】根据二倍角公式以及正弦定理边角转化可得为直角，由等面积法得，结合基本不等式即可求解 【详解】 设在中，角所对的边分别为. 因为，所以， 所以， 由正弦定理可得，故， 因为为的角平分线，所以. 由得， 整理得，即. 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，故面积的最小值为8. 故答案为：8. 2．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·月考)（多选）在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．A的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ABC 【分析】由正弦定理边化角、诱导公式、和差角公式计算可判断A项，结合A项、三角形内角和及锐角三角形计算可判断B项，运用正弦定理将问题转化为三角函数在区间上求值域可判断C项，运用切化弦、差角公式化简式子，由换元法将问题转化为求在上的值域，结合对勾函数的性质求解即可判断D项． 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以， 即， 整理得，即 对于A项，因为A、B、C均为锐角，所以，即， 若，则，则，故A项正确； 对于B项，因为，，所以， 因为A、B、C均为锐角，所以，即，解得， 所以A取值范围为，故B项正确， 对于C项，由正弦定理得，， 所以，所以．故C项正确． 对于D项，由A项知，，由B项知，，所以， 所以 ，， 令，则，所以，， 令，，由对勾函数性质知函数在上单调递增， 又，，所以，即范围为，故D项错误； 故选：ABC． 3．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·月考)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知等式切化弦后由三角函数恒等变换变形后由正弦定理化角为边，得边角关系表示出，由平方关系得，再由余弦定理表示，从而可得边的关系，最终三角形面积可表示一个边长函数式，结合二次函数知识可得最大值． 【详解】 ，，即，， ， 由正弦定理知，， ，即， ， 由余弦定理知，， 化简得， 面积 ， 当时，有最大值为． 故选：D． 4. (24-25高一下·江苏江阴部分重点学校·)的内角的对边分别为，已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解. 【详解】由余弦定理得①，②, 由得，, 故， 因为，所以， 由正弦定理得， 即， 所以， 则， 因为在中，不同时为， 故，所以， 又，所以， 则，故，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 故答案为：. 5．(24-25高一下·江苏江阴部分重点学校·)记锐角的内角，，的对边分别为，，.已知，且. (1)证明：； (2)若，，且，求，； (3)若存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，结合三角恒等变换可证； （2）根据三角形三个内角的关系求出的取值，再用向量法建立关于，的方程进行求解； （3）将原式中的角都转化为，确定的取值范围，构造关于的函数，再用换元法将函数化为二次函数，根据函数性质求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 所以或， 因为，所以，又，所以不可能成立， 所以. （2）由，，则， 因为，所以， 因为，所以，， 所以， 因为，则， 所以， 将其两边平方得， 所以①，由正弦定理知，， 因为，所以，所以②， 联立①②解得，. （3）因为为锐角三角形，且， 所以，即，解得， 所以，， 又， 令，则， 所以，其中对称轴为， 因为存在最小值，所以，解得， 故实数的取值范围为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $