暑假作业07 三角形的中位线与中点四边形（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 三角形的中位线与中点四边形 【知识点1 三角形的中位线定义】 1. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（一个三角形共三条中位线）。 【知识点2 三角形的中位线定理】 文字语言 图形语言 符号语言 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 是的中位线 【知识点3 三角形的中位线定理重要二级结论】 1.; 2. ; 3.中点三角形：由三条中位线构成的中点三角形； 中点三角形周长原三角形周长； 中点三角形面积原三角形面积。 【知识点4 中点四边形的重要结论】 原图形 中点四边形 图形 任意四边形 平行四边形 对角线相等的四边形 菱形 对角线垂直的四边形 矩形 对角线既垂直又相等的四边形 正方形 【题型1 利用中位线定理求线段长】 1．如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由所给条件可证明四边形是平行四边形，再由可推得，，在中，，，推得． 【详解】解：，点，分别为，的中点，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 2．如图，在中，D，E分别是的中点，连接，F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G．若，则的长为______． 【答案】3 【分析】先根据中位线的判定与性质，得，，再结合F是的中点，以及对顶角相等，证明，故，即可作答． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴，， ∴ ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，、分别是的角平分线和中线，过点C作于点F，连结，则线段的长为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中位线定理，能够根据角平分线模型构造合适的辅助线是解题的关键． 延长交于点，根据题意即可证明，从而推得，根据中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴． 4．如图，中，是边上一点，连接，分别是 的中点，连接，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质得，即得，再根据三角形中位线的性质解答即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵分别是 的中点， ∴． 5．如图，在中，，点在边上，且，平分，，垂足为点，为的中点，那么的长为________． 【答案】 【分析】先通过角平分线和垂直证明三角形全等，得到和，再利用三角形中位线定理，直接求出的长度． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 为的中点， ． 【题型2 利用中位线定理证明线段相等】 6．如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质．根据三角形中位线定理得到，即可证明，结合，可得结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵E，M是的中点， ∴， 同理，， ∵， ∴． ∵， ∴. 7．如图，已知是等边三角形，点D、点E分别为的中点，延长至点F，使，连接和．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，进而证明结论． 【详解】证明：∵点D、点E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴. ∵， ∴． 8．．如图，在中，，、、分别是、、的中点．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为平行四边形是解题的关键．证、分别是的中位线，得，，则四边形是平行四边形，再由，即可得出是矩形，根据矩形的性质即可得证． 【详解】证明：，，分别是，，的中点， 、分别是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ∴． 9．如图，在四边形中， ，，，分别为，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)若 ，平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线定理、直角三角形线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题． （1）根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明结论． （2）由角平分线的定义可得，再证明，根据勾股定理可得，据此即可解决问题． 【详解】（1）证明：、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，是中点， ， ， ； （2）解：，平分， ， 由（1）可知，， ， ∵， ， ， 由（1）可知， ． 10．如图，在四边形中，，连接，且．点、分别为、的中点，连接．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由三角形中位线定理得到，根据，即可证明． 【详解】证明：∵，是的中点． ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴． 【题型3 中位线定理的实际应用】 11．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 12．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A、B间的距离为（     ）m A．52 B．13 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据题意可得，是的中位线，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的中位线，即， B选项符合题意． 13．【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形． 同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段和剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． ①图3是将剪开拼成矩形的一种方法的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为_______；与的位置关系为_________； ②如图4，请你再设计一种将剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图． 【实践与应用】 （2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形． 【答案】（1）①；；②见解析（2）见解析 【分析】（1）①根据题意可得出，，进而由全等三角形对应边和对应角相等推出为的中位线，以及，即可得出结论． ②从和的中点D、E作的垂线，垂足分别为M、N，由和得到拼接方法． （2）把四边形由对角线分为两个三角形参考（1）①中的方法，或参考题干中四边形对边中点的方法拼接平行四边形的方法，把其中一组对边连线改为由中点向另一组对边中点连线作垂线进行分割操作即可． 【详解】解：（1）①如图，根据剪切和拼接操作方法可知，，， ， 为的中位线． ． 又∵四边形是矩形． ， 和的位置关系为． 故答案为：①；； ②如图，D，E分别是的中点，，．再由可推出，，沿和从剪下和，然后拼接在和． （2）第一种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，．沿虚线和剪开四边形，把和分别拼接到①、②、③和④处即可． ． 第二种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，沿虚线和剪开四边形形成四个四边形①、②、③和④，再如图中所示拼接即可． ． 14．【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．      【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图，   ， ． 15．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【题型4中点四边形问题】 16．学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 【答案】A 【分析】根据三角形中位线，菱形的判定解答即可； 【详解】解：连接， 因为矩形操场的四条边中点各立一个篮球架， ，， 故， 故四边形是菱形； 17．如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形，根据点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，得出，是，的中位线，同理分别是的中位线，故四边形的周长为，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理得分别是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：B． 18．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是________． 【答案】④ 【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识， 先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误； ②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误； ③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误； ④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确； 故答案为：④． 19．如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：如图，连接， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形． 【分析】连接，由中位线可得，，即可证四边形是平行四边形． 【详解】略 20．【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，菱形，矩形 (3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的 (4)四边形是同形中点四边形．见解析 【分析】（1）连接，根据中位线的性质得出，．即可证明四边形是平行四边形． （2）根据平行四边形的判定，菱形、矩形的判定，结合中位线的性质，即可求解． （3）根据（2）的结论，即可求解． （4）连接，，根据正方形的性质结合中位线的性质得出，，即可得出四边形是正方形． 【详解】（1）证明：连接． 、分别是、的中点， 是的中位线． ，． 同理得 ，． ，． 四边形是平行四边形． （2）解：当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是菱形； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是矩形； （3）解：中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的． （4）解：四边形是同形中点四边形． 理由如下：连接，． 点、、、分别为正方形的四边中点， ， ， ，，，， 四边形 是正方形， ，， ， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是正方形． 【题型5 与中位线有关的最值问题】 21．如图，矩形中，，，P是边上的动点，E是边上的一动点，点M、N分别是、的中点，则线段的长度最大为 ___________________． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质定理，勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据点M、N分别是、的中点，得到是的中位线，得到，故当最大时，线段的长度最大，利用勾股定理求出，即可求线段的长度最大值． 【详解】解：∵点M、N分别是、的中点， ∴， 由题意可知：当点与点重合时，最长， 在中， 此时：， ∴， ∴线段的长度最大为； 故答案为：； 22．如图，在中，，，，动点在边上，过点作于点，连接，取的中点，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】先通过折叠构造对称点，利用平行四边形性质推出角度；再依据中位线定理，将最小值转化为最小值（时最小 ）；最后在含角的直角三角形中，结合勾股定理算出长度。 【详解】解：如图将沿对折至，延长交于点，连接．   ∵四边形为平行四边形．，，．   ， ． 又对折， ， ．   ．   又，对折线为，位于上， ，．   为中点， 又为中点， ，   当为最小值时，最小， 可知当时为最小值．   过点作交于点， ， ∵，． 在中 ．   此时与点重合， 即．   故的长为时，最小．   故答案为． 23．如图，在中，，对角线交于点O，点E为上一动点，点F是的中点，则当最短时，的长___________． 【答案】2 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线性质、含角的直角三角形的性质等知识，先证明，再证明当时，最短, 进一步求出，得到，即可得到的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，点F是的中点， ∴，， ∵E为上一动点， ∴当时，最短, 此时，在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 24．如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是______． 【答案】1 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，则是的中位线，有．进一步求得和，即可判定四边形是平行四边形，那么，．连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小，此时的点记为点，结合正方形的性质求得即可求得面积． 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵点是边的中点， 是的中位线， ． 在正方形中，， ， ， ∴ ∴四边形是平行四边形， ， ． 连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小． 将此时的点记为点，由正方形的对称性可知． ∴． 又， 则的面积为． 故答案为：1． 25．如图，中，，点E为线段上一动点，过点E作于点F，连接，点G为中点，连接．当最小时，线段的值为______． 【答案】 【分析】如图，延长到点H，使，连接，可求，进一步证是等边三角形，，为定角，由中位线定理，；当时，最小，此时，，勾股定理求得，中，． 【详解】解：如图，延长到点H，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，    当时，最小，此时，， ，解得， 中， ，， 故答案为：． 【题型6 与中位线有关的规律探究问题】 26．如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理及应用，熟练掌握三角形中位线定理，得出相应的规律是解题的关键． 由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长是，即可得到规律，从而可得第2024个小等边三角形的周长． 【详解】解：如图所示： ，、、分别为、、的中点， 、、分别为的中位线， ，，， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长是， 第n个小等边三角形的周长为 第2024个小等边三角形的周长为． 故选：A． 27．如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据顺次连接任意四边形各边中点所得到的新四边形的面积是原四边形面积的一半，由此得出面积变化的规律，代入求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， 、， 顺次连接矩形四边的中点得到四边形， ， 四边形是菱形， ， 由此得到，顺次连接任意四边形四边中点得到的新四边形，面积是原四边形的， ， ， 当时，． 28．如图，在四边形中，，且，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…按此规律进行下去．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：当时，四边形是正方形； 结论Ⅱ：当时，四边形的周长是10． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】根据中点四边形和可知四边形矩形，当时，可得即结论Ⅰ正确；求出四边形的对角线长，再根据三角形中位线的性质求得的各边长，进而求得周长，以此类推即可解答． 【详解】解：∵顺次连接四边形各边的中点，得到四边形， ∴， ∵， ∴四边形矩形， 当时， ∴ ∴四边形是正方形，即结论Ⅰ正确； 当时，， ∴, ∴,， ∴四边形的周长为20； ∴ ∴， ∴四边形的周长为14； ∴, ∴， ∴四边形的周长为10，即结论Ⅱ正确． 故选A． 29．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则_____． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的性质和判定，找出周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴． 故答案为：． 30．如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为__________为正整数． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．根据中位线的定理得出规律解答即可． 【详解】解：在中，，由点分别是边的中点，点分别是的中点，， 点分别是的中点， 可得， 故． 故答案为：． 1．如图，矩形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，若，则的长为（     ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据矩形的性质和三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，分别是，的中点，， ∴， ∴. 2．如图，在中，，，是边上的中线，是的中点，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质以及等腰三角形的判定，根据是边上的中线，是的中点，可知是三角形的中位线，则有，,利用等角对等边可得即可求解． 【详解】解：是边上的中线， 为边上的中点， 是边上的中点， 是三角形的中位线， ， ， ， ， 的周长为． 3．如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点G作于点M，连接，证明，得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理和等面积法逐步表示出，，利用三角形中位线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点G作于点M，连接 ∵在正方形中，点、点分别是边，上的中点， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点，点分别是，上的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得（负值舍去） ∴ ∴正方形的边长等于． 4．如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．不确定 【答案】A 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 5．如图1是两个小朋友玩跷跷板的实物图，图2是其示意图，支柱垂直于地面，点，分别是，的中点，，那么小朋友在游戏中，点离地面的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为垂直于地面，B点到地面的垂线也垂直于地面，所以，因为点，分别是，的中点，所以是的三角形中位线，即可建立与所求高度的数量关系． 【详解】解：由题意得，地面，地面，点A、C重合， ∴； 又点，分别是，的中点， ∴是的三角形中位线； ∴． 因此点离地面的最大高度是． 6．如图，在四边形中，，分别为，的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形中位线定理和两直线平行的性质，可以证得是等腰直角三角形,即可求解的值． 【详解】解：设为的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以，，且，， 所以，， 所以， 所以． 7．如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理，将四边形的边长与原四边形的对角线和的长度建立联系，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 点，，，分别是四边形的各边中点， ，， ， 同理可得，， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ，即， 故选：． 8．如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得且，且，且，且，易证四边形为平行四边形，再由矩形的判定，即可求解． 【详解】解：、、、分别是线段、、、的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，且，且， 则且，且， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形是矩形，则需，即， ，， 当时，，此时四边形是矩形． 9．如图，中，，分别为，的中点，，，垂足分别为，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知得是的中位线，则，再由，，得，根据对边互相平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再由两个内角为直角即可得出结论； （2）先根据中位线的性质得，由中点的定义得，由矩形的性质得，，即可由勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形； （2）解：由（1）知，是的中位线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴． 10．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论； （3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4），理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 1．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，的最小值为，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据中位线的性质可得，即最小时，最小，当时，最小，此时，根据含30度的直角三角形性质结合勾股定理求出，根据菱形的性质即可得解． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是菱形， ， 分别为的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，则的最小值为，此时， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ． 2．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则线段的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】连接，交于点O，根据E、F、G、H分别是四边形边的中点，利用三角形中位线定理，证明四边形是菱形，根据四边形面积，可求得，进而求得，根据勾股定理可求出． 【详解】解：如图：连接，交于点O， ∵E、F、G、H分别是四边形边的中点， ∴，，，，，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∵四边形面积为24，， ∴， 解得． 3．如图，在中，分别是边上的动点，连接，E为的中点，F为的中点，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作，根据三角形的中位线可知，当与重合时，取得最小值，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于I， 则， ∵E为的中点，F为的中点， ， ∴当与重合时，取得最小值，最小， ∵在中， ∴， ， ∴， ∴． 4．如图，已知，点E，F分别是边中点，若，则的长为（    ） A．7 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】分别取，的中点G，H，连接，根据三角形中位线定理可得，，，从而得到点G，H，F三点共线，进而得到，连接，，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，，进而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，分别取，的中点G，H，连接， ∵， ∴，即， ∵点E，F分别是边中点，，， ∴，，即， ∴点G，H，F三点共线， ∴， 连接，， ∵，点E为的中点，，的中点分别为G，H， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 5．如图，在中，，点，分别在边和上，且，，连接，，分别是和的中点，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，取的中点，连接，，延长线交于点，作，交延长线于点，则，由三角形的中位线定理，可得，，，，由平行线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边可得，根据勾股定理可得，即可得． 【详解】解：连接，取的中点，连接，，延长线交于点，作，交延长线于点，则， ∵是的中点，是的中点，是的中点， ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，顺次连接四边形各中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接、，根据三角形中位线定理，推出，，四边形是平行四边形，要使四边形为菱形，则，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， 顺次连接四边形各中点得四边形， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， ， 故选：D． 7．如图，在中，，E是延长线上一点，F是上一点，，，P，Q，D分别是的中点，则的长为______． 【答案】2 【分析】先说明是的中位线，是的中位线可得，易证，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，P，Q，D分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， 如图：延长交于G, 延长交于H, ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴,即 ∴． 8．如图，在中，，以为边在外作，对角线，交于点，连接．若，，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】取的中点，连接、，由平行四边形的性质可得点是的中点，从而判断是的中位线，则．由直角三角形的性质可得，结合，从而求出的最大值． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵在中，点为斜边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最大值． 9．【阅读与思考】 在《四边形》一章中，我们学习了三角形的中位线定理．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半． 下面是小明对这个定理的证明过程． 已知：如图1，在梯形中，，点分别是的中点．    求证： 证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点． ．．． (1)请根据小明的思路补全证明过程： 【拓展与应用】 (2)如图1，在梯形中，中位线，若梯形的高是，则梯形的面积是___________（用含有m和n的式子表示） (3)如图2，在梯形中，，和的平分线相交于点，且点在梯形的中位线上，若梯形的周长为，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接并延长，交的延长线于点，证明，； （2）过点A作于点H，根据，得出，根据，即可得出答案； （3）先证明，根据等腰三角形的判定得出，同理得出，从而得出，根据梯形的周长为，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点， ∵， ，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中点，， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， 综上所述，，； （2）解：过点A作于点H，如图所示： 则， 根据（1）可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ． （3）解：∵是梯形的中位线， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∵E为的中点，为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵梯形的周长为， ∴， ∴， ∴． 10．【猜想探究】 如图1，在中，、分别为、的中点，连接： 操作1．将绕点按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点，使，连接． 试探究，与有怎样的位置关系和数量关系？ (1)结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理： ． 【结论应用】 (2)如图2，四边形中，对角线、相交于点，四条边上的中点分别为、、、，依次连接、、、，得到四边形．求证：①四边形是平行四边形； ②当与满足______时，四边形是菱形，当与满足______时，四边形是矩形． ③若，，，则四边形的面积为______． 【问题解决】 (3) 如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点和点分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； (2)①证明见解析；②，；③ (3) 【分析】（1）通过旋转构造全等三角形，利用平行四边形的判定与性质推导中位线性质； （2）①根据平行四边形两边平行且相等的性质证明；②结合菱形、矩形的判定，利用中位线与对角线的关系推导；③先由中位线得边长，再由夹角求平行四边形面积； （3）构造三角形，利用中位线定理和直角三角形斜边中线性质求解． 【详解】（1）解：绕点顺时针旋转得到， ， ，， ， 是中点， ， 且， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， 综上，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （2）证明： 分别为的中点， 是的中位线， ，， 同理，是的中位线， ，， ，， 四边形是平行四边形； 解：， 当时，，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， 当时，，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形； 解：， 由，得， ． （3）解：连接，取中点，连接、， 、分别为、中点， 是中位线，，； 是中位线，，， ，， ， ， ，即是直角三角形， ． 2 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 三角形的中位线与中点四边形 【知识点1 三角形的中位线定义】 1. 定义：连接三角形 叫做三角形的中位线。（一个三角形共 条中位线）。 【知识点2 三角形的中位线定理】 文字语言 图形语言 符号语言 三角形的中位线平行于 ,并且等于第三边的 . 是的中位线 【知识点3 三角形的中位线定理重要二级结论】 1. 2. ; 3.中点三角形：由三条中位线构成的三角形； 中点三角形周长原三角形周长； 中点三角形面积原三角形面积。 【知识点4 中点四边形的重要结论】 原图形 中点四边形 图形 任意四边形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线既垂直又相等的四边形 【题型1 利用中位线定理求线段长】 1．如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 第1题 第2题 2．如图，在中，D，E分别是的中点，连接，F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G．若，则的长为______． 3．如图，在中，，，、分别是的角平分线和中线，过点C作于点F，连结，则线段的长为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 第3题 第4题 4．如图，中，是边上一点，连接，分别是 的中点，连接，，，，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点在边上，且，平分，，垂足为点，为的中点，那么的长为________． 【题型2 利用中位线定理证明线段相等】 6．如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：． 7．如图，已知是等边三角形，点D、点E分别为的中点，延长至点F，使，连接和．求证：． 8．．如图，在中，，、、分别是、、的中点．求证：； 9．如图，在四边形中， ，，，分别为，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)若 ，平分，，求的长． 10．如图，在四边形中，，连接，且．点、分别为、的中点，连接．证明：． 【题型3 中位线定理的实际应用】 11．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 第11题 第12题 12．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A、B间的距离为（     ）m A．52 B．13 C．18 D．20 13．【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形． 同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段和剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． ①图3是将剪开拼成矩形的一种方法的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为_______；与的位置关系为_________； ②如图4，请你再设计一种将剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图． 【实践与应用】 （2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形． 14．【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺   皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪   测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小． 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．      15．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【题型4中点四边形问题】 16．学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，则绳子围成的四边形的形状一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 17．如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 第17题 第18题 18．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是________． 19．如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． 20．【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【题型5 与中位线有关的最值问题】 21．如图，矩形中，，，P是边上的动点，E是边上的一动点，点M、N分别是、的中点，则线段的长度最大为 ___________________． 第21题 第22题 22．如图，在中，，，，动点在边上，过点作于点，连接，取的中点，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为___________． 23．如图，在中，，对角线交于点O，点E为上一动点，点F是的中点，则当最短时，的长___________． 第23题 第24题 24．如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是______． 25．如图，中，，点E为线段上一动点，过点E作于点F，连接，点G为中点，连接．当最小时，线段的值为______． 【题型6 与中位线有关的规律探究问题】 26．如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 27．如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 28．如图，在四边形中，，且，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…按此规律进行下去．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：当时，四边形是正方形； 结论Ⅱ：当时，四边形的周长是10． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 29．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则_____． 30．如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为__________为正整数． 1．如图，矩形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，若，则的长为（     ） A．6 B．12 C．18 D．24 2．如图，在中，，，是边上的中线，是的中点，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（     ） A． B． C． D． 第3题 第4题 4．如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．不确定 5．如图1是两个小朋友玩跷跷板的实物图，图2是其示意图，支柱垂直于地面，点，分别是，的中点，，那么小朋友在游戏中，点离地面的最大高度是（   ） A． B． C． D． 第5题 第6题 6．如图，在四边形中，，分别为，的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 第7题 第8题 8．如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，，分别为，的中点，，，垂足分别为，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 10．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 1．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，的最小值为，则长为（    ） A． B． C． D． 第1题 第2题 2．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则线段的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 3．如图，在中，分别是边上的动点，连接，E为的中点，F为的中点，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 第3题 第4题 4．如图，已知，点E，F分别是边中点，若，则的长为（    ） A．7 B． C．8 D． 5．如图，在中，，点，分别在边和上，且，，连接，，分别是和的中点，连接，则（   ） A． B． C． D． 第5题 第6题 6．如图，顺次连接四边形各中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，E是延长线上一点，F是上一点，，，P，Q，D分别是的中点，则的长为______． 第7题 第8题 8．如图，在中，，以为边在外作，对角线，交于点，连接．若，，则的最大值为_______． 9．【阅读与思考】 在《四边形》一章中，我们学习了三角形的中位线定理．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半． 下面是小明对这个定理的证明过程． 已知：如图1，在梯形中，，点分别是的中点． 求证： 证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点． ．．． (1)请根据小明的思路补全证明过程： 【拓展与应用】 (2)如图1，在梯形中，中位线，若梯形的高是，则梯形的面积是___________（用含有m和n的式子表示） (3)如图2，在梯形中，，和的平分线相交于点，且点在梯形的中位线上，若梯形的周长为，直接写出的长．    10．【猜想探究】 如图1，在中，、分别为、的中点，连接： 操作1．将绕点按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点，使，连接． 试探究，与有怎样的位置关系和数量关系？ (1)结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理： ． 【结论应用】 (2)如图2，四边形中，对角线、相交于点，四条边上的中点分别为、、、，依次连接、、、，得到四边形．求证：①四边形是平行四边形； ②当与满足______时，四边形是菱形，当与满足______时，四边形是矩形． ③若，，，则四边形的面积为______． 【问题解决】 (3) 如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点和点分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度． 13 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $