8.5 实验：验证机械能守恒定律 讲义及课时精练 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本讲义聚焦“验证机械能守恒定律”核心知识点，系统梳理原型实验（实验原理、器材、步骤、数据处理、误差分析）与创新实验（如阿特伍德机、气垫导轨应用）的脉络，构建从基础操作到拓展探究的完整学习支架。 资料特色在于原型与创新实验结合，通过三种数据处理方案（起始点n点计算、任取两点计算、图像法）培养科学思维中的模型建构与科学论证，丰富例题强化科学探究能力，课中辅助教师实验教学，课后帮助学生巩固误差分析与数据处理，提升科学态度与责任。

8.5 实验：验证机械能守恒定律 模型一 原型实验 一、1.实验目的 验证机械能守恒定律. 2.实验原理 通过实验，求出做自由落体运动物体的　重力势能的减少量　和对应过程动能的增加量，在实验误差允许范围内，若二者相等，说明机械能守恒，从而验证机械能守恒定律. 3.实验器材 铁架台（带铁夹），电火花计时器（或电磁打点计时器），重物（带纸带夹），纸带，复写纸，导线，毫米刻度尺，交流电源. 4.实验步骤 （1）安装器材：将　打点计时器　固定在铁架台上，用导线将打点计时器与电源相连. （2）打纸带：用手竖直提起纸带，使重物停靠在打点计时器下方附近，先　接通电源　，再　释放纸带　，让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打出一系列的点，取下纸带，换上新的纸带，重打几条（3～5条）. （3）选纸带：从打出的几条纸带中选出一条点迹清晰的纸带. （4）进行数据处理并验证. 5.数据处理 方案1　利用起始点和第n点计算 代入mghn和m，如果在实验误差允许的范围内，mghn和m相等，则验证了机械能守恒定律. 方案2　任取两点计算 （1）任取两点A、B，测出hAB，算出mghAB. （2）算出m－m的值. （3）在实验误差允许的范围内，若mghAB＝m－m，则验证了机械能守恒定律. 方案3　图像法 从纸带上选取多个点，测量从第一点到其余各点的下落高度h，并计算各点速度的平方v2，然后以v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据作出v2－h图像.若在误差允许的范围内图像是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律. 6.注意事项 （1）打点计时器要竖直：安装打点计时器时要竖直架稳，使其两限位孔在同一竖直线上，以减小　摩擦阻力　. （2）重物应选用质量大、体积小的. （3）应先接通电源，让打点计时器正常工作，后释放纸带让重物下落. （4）测长度，算速度：某时刻的瞬时速度的计算应用vn＝，不能用vn＝或vn＝gt来计算. （5）此实验中不需要测量重物的质量. 7.误差分析 （1）本实验中因重物和纸带在下落过程中要克服各种阻力（空气阻力、打点计时器阻力）做功，故动能的增加量ΔEk稍小于重力势能的减少量ΔEp，即ΔEk＜ΔEp，这属于系统误差.改进的办法是调整器材的安装并选用质量大、体积小的重物，尽可能地减小阻力. （2）本实验的另一个误差来源于长度的测量，属于偶然误差.减小误差的办法是测下落距离时都从O点量起，依次将各点对应的下落高度测量完，或者多次测量取平均值. （3）打点计时器产生的误差 ①由于交流电周期变化，引起打点时间间隔变化而产生误差. ②计数点选择不好，振动片振动不均匀，纸带放置方法不正确引起摩擦，均可能造成实验误差. 装置原理图 实验步骤 注意事项 物体重力势能的减少量与对应过程动能的增加量相等 1．安装器材：将打点计时器固定在铁架台上，用导线将打点计时器与电源相连。 2．打纸带：用手竖直提起纸带，使重物停靠在打点计时器下方附近，先接通电源，再松开纸带，让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打出一系列的点，取下纸带，换上新的纸带重打几条(3～5条)。 3．选纸带：从打出的几条纸带中选出一条点迹清晰的纸带。 1．安装：打点计时器竖直安装，纸带沿竖直方向拉直。 2．重物：选密度大、质量大的金属块，且在靠近打点计时器处释放。 3．选纸带：点迹清晰。 4．速度：vn＝。 数据处理 方案一：利用起始点和第n点计算 代入mghn和，如果在实验误差允许的范围内，mghn和相等，则验证了机械能守恒定律。 方案二：任取两点计算 (1)任取两点A、B，测出hAB，算出mghAB。 (2)算出的值。 (3)在实验误差允许的范围内，若mghAB＝，则验证了机械能守恒定律。 方案三：图像法 从纸带上选取多个点，测量从第一个点到其余各点的下落高度h，并计算各点速度的平方v2，然后以v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据作出v2-h图像。若在误差允许的范围内图像是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。 误差分析 1．系统误差：本实验中因重物和纸带在下落过程中要克服各种阻力(空气阻力、打点计时器阻力)做功，故动能的增加量ΔEk稍小于重力势能的减少量ΔEp，即ΔEk<ΔEp。改进的办法是调整器材的安装，尽可能地减小阻力。 2．偶然误差：本实验在长度测量时产生的误差。减小误差的办法是测下落距离时都从0点量起，一次将各打点对应的下落高度测量完，或者多次测量取平均值。 二、误差分析 1．系统误差 本实验中因重物和纸带在下落过程中要克服各种阻力(空气阻力、打点计时器阻力)做功，故ΔEk<ΔEp，改进的方法是调整器材的安装，尽可能减小阻力。 2．偶然误差 误差来源于长度的测量，减小误差的方法是测下落距离时都从O点测量，一次将各点对应的下落高度测量完，或者多次测量取平均值。 【例题精讲】 1．（2025秋•玉溪期末）某同学用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律。已知当地重力加速度为g。 （1）下列实验器材中不必要的是 　AD　 （选填字母序号）。 A.秒表 B.交流电源 C.刻度尺 D.弹簧秤 （2）某次实验时，得到一条纸带如图乙所示。在纸带上选取连续的三个点A、B、C和另外连续的三个点D、E、F，测得A、C之间的距离为x1，D、F之间的距离为x2，B、E之间的距离为s。若重物的质量为m，交流电源频率为f，可得从B到E的过程中，重物的重力势能减少量ΔEp＝ 　mgs　 ，重物的动能增加量ΔEk＝ 　　 。（均用题中所给相关物理量的字母表示） 【答案】（1）AD；（2）mgs，。 【解析】解：（1）此实验中不需要秒表和弹簧秤，需要刻度尺和交流电源测长度和使打点计时器正常工作，故AD正确，BC错误； 故选：AD。 （2）根据重力势能表达式，从B到E重物重力势能减少量为ΔEp＝mgs；又根据匀变速直线瞬时速度和平均速度的关系，打B点时重物的速度大小为，同理可得打E点时重物的速度大小为，从B到E重物的动能增加量为，解得ΔEk。 故答案为：（1）AD；（2）mgs，。 2．（2025秋•上城区校级期末）如图1为“验证机械能守恒定律”实验装置。 （1）下列说法正确的是　BD　 （多选）。 A．图中打点计时器直接使用220V交流电源 B．打点计时器的限位孔须处于同一竖直线上 C．一定要选用第一个点迹清晰的纸带 D．实验绘出v2﹣h图像，图线有没有过原点与机械能是否守恒无关 （2）如图2所示，实验中得到一条点迹清晰的纸带。在纸带的后端选择连续的打点作为计数点，并且标上1、2、3、4、5。电源频率为50Hz。由这段纸带测出重物下落的加速度g＝　8.8　 m/s2（结果保留2位有效数字）。 （3）处理数据时，某同学利用当地的重力加速度g，计算重物从静止开始下落一定高度h时的速度v＝gt，然后得到动能增加量为Ek′，计算重力势能减小量mgh，若利用平均速度方法算出的动能增加量为Ek，试比较Ek′、Ek、mgh三者之间的大小关系为　C　 。 A．Ek′＞Ek＞mgh B．Ek′＞mgh＞Ek C．Ek′＝mgh＞Ek D．mgh＞Ek′＞Ek 【答案】（1）BD；（2）8.8；（3）C。 【解析】解：（1）A．图中打点计时器不明确，不确定是电火花打点计时器，故A错误； B．为了尽可能减小重物和纸带受到阻力的作用，保证它们竖直自由下落，打点计时器平面须处于竖直方向，且两个限位孔在同一竖直线上，故B正确； C．为了减小实验误差，应选用纸带上点迹清晰的某一部分，不一定要选用第一个点迹清晰的纸带，故C错误； D．机械能是否守恒只与图线的斜率有关，与图线有没有过原点无关，故D正确。 故选：BD。 （2）重物下落的加速度 （3）重物从静止开始下落一定高度h时的速度v＝gt， 得2gh＝v2，即mgh＝Ek′ 因为实际存在阻力，mgh＞Ek，故ABD错误，C正确。 故选：C。 故答案为：（1）BD；（2）8.8；（3）C。 3．（2025秋•和平区期末）利用如图甲所示的实验装置，将重物由静止释放，通过对打出的纸带进行测量，可以验证机械能守恒定律。 ①关于本实验，描述正确的是 　B　 。 A.需要选取质量大、体积小的重物 B.不需要测出重物的质量即可验证机械能守恒定律 C.可以通过多次测量取平均值的方法减小由于空气阻力产生的误差 D.从手靠近打点计时器的位置释放纸带 ②测量得到多组数据后可以绘制重物速度v的平方与下落高度h的关系v2﹣h图像验证机械能守恒定律，则 　D　 。 A.若图线是过原点的直线，说明自由落体运动过程机械能守恒 B.所绘制出的图像一定通过坐标原点 C.需要打出多条纸带进行测量才能获得描点所需数据 D.通过作图像的方法，可有效减小偶然误差 ③某次实验打出的纸带如图乙所示，O点为打出的第一个点，已知相邻计数点之间的打点间隔为T，测得从合适位置开始选取的三个连续点A、B、C到O点的距离分别为h1、h2、h3；利用上述测量数据，可以验证 　OB　 段过程机械能守恒（用图中字母表示）。 【答案】 ①B；②D；③OB 【解析】解：①A.体积越大，受到的阻力越大，验证机械能守恒，需忽略阻力，故选取体积较小，质量适中的物体，故A错误； B.因为验证物体机械能守恒，比较mgh与的大小关系，故质量可以约去，不需要用天平测量物体质量，故B正确； C．可以通过多次测量取平均值的方法减小偶然误差，但不能减小由于空气阻力产生的误差，故C错误； D．重物从靠近打点计时器的位置释放纸带，以便提高纸带的利用率，故D错误。 故选：B。 ②A．若图线是过原点的直线，说明加速度恒定，而机械能不一定守恒，故A错误； B．所绘制出的图像不一定通过坐标原点（若舍弃前面比较密集的点迹），故B错误； C．从所选一条纸带进行测量获得描点所需数据，故C错误； D．通过作图的方法，可有效减小偶然误差，故D正确。 故选：D。 ③B点的瞬时速度等于AC段的平均速度，则 ， 根据机械能守恒可知 可知 即可验证重锤下落过程中机械能守恒，利用测量数据，可以验证OB段过程机械能守恒。 故答案为： ①B；②D；③OB 4．（2025秋•海淀区校级期末）用如图1所示的实验装置验证机械能守恒定律，已知当地重力加速度为g。 （1）关于该实验的操作和数据分析，以下说法正确的是　BE　 。 A.必须用天平测出重锤的质量方可实验 B.先接通电源，后释放纸带 C.将打点计时器接到8V直流电源上 D.也可以用计算重锤从静止下落h时的瞬时速度大小 E.应选择质量大、体积小的重物进行实验 （2）实验室有电磁打点计时器和电火花计时器，为减小实验误差，应优先选用　B　 。 A.电磁打点计时器 B.电火花计时器 （3）如图2所示，选取纸带上连续五个计时点A、B、C、D、E，测量出点B距运动起始点O的距离x0，点B、C间的距离为x1，点C、D间的距离为x2，若相邻两点的打点时间间隔为T，假设重锤质量为m，根据这些条件计算从打点计时器打下O点到打下C点过程中重锤的重力势能变化量ΔEp＝　mg（x0+x1）　 ，动能变化量ΔEk＝　　 ；在实际计算中发现，重锤减少的重力势能总是大于重锤增加的动能，其原因主要是　重锤下落过程中要克服受空气阻力和摩擦阻力做功　 。 （4）将测得的数据描绘图像，如图3，求得图线斜率为k，下落h时，重力势能减小量与动能增加量之间的差值为　mh（g﹣k）　 （结果用字母“m”、“h”、“k”、“g”表示）。 （5）某同学用如图4所示装置验证机械能守恒定律，将力传感器固定在天花板上，细线一端系着小球，一端连在力传感器上。将小球拉至水平位置从静止释放，到达最低点时力传感器显示的示数为F0。已知小球质量为m，当地重力加速度为g。在误差允许范围内，当满足关系式　F0＝3mg　 时，可验证机械能守恒。 【答案】（1）BE；（2）B；（3）mg（x0+x1）；；重锤下落过程中要克服受空气阻力和摩擦阻力做功；（4）mh（g﹣k）；（5）F0＝3mg。 【解析】解：（1）A.因为在“验证机械能守恒定律”的实验中，比较的是mgh和的大小关系，其中的m可以被约去，因此不需要测出重锤的质量，故A错误；B.为了充分利用纸带、先接通电源，待打点稳定后释放纸带，故B正确； C.打点计时器应该接到学生电源的“交流输出”上，故C错误； D.公式是重物做自由落体运动的基础上得到的，本身满足机械能守恒定律，因此不能用公式来计算速度，故D错误； E.为了减小空气阻力的影响，实验时应选择质量大、体积小的重物进行实验，故E正确。 故选：BE。 （2）相同情况下，电火花计时器与纸带间的阻力比电磁打点计时器纸带间的阻力小，则为减小实验误差，应优先选用电火花打点计时器，故A错误，B正确。 故选：B。 （3）从O到C点减小的重力势能ΔEp＝mghC＝mg（x0+x1） 根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，打下C点的速度为 从打点计时器打下O点到打下C点过程中，增加的动能 因为存在空气阻力和摩擦阻力，使得减少的重力势能不能完全转化为动能，所以计算出的重力势能的减少量大于动能的增加量； （4）将测得的数据描绘图像，图线斜率为 解得 下落h时，重力势能减小量与动能增加量之间的差值为 （5）设摆长为L，摆球下摆过程机械能守恒，由机械能守恒定律 在最低点，由牛顿第二定律 整理得F0＝3mg 如果F0＝3mg可以验证机械能守恒。 故答案为：（1）BE；（2）B；（3）mg（x0+x1）；；重锤下落过程中要克服受空气阻力和摩擦阻力做功；（4）mh（g﹣k）；（5）F0＝3mg。 5．（2025秋•香坊区校级期末）如图所示，打点计时器固定在铁架台上，使重物带动纸带从静止开始自由下落，利用此装置验证机械能守恒定律。 （1）对于该实验，下列操作中对减小实验误差有利的是　AB　 。 A.重物选用质量和密度较大的金属锤 B.两限位孔在同一竖直面内上下对正 C.天平测量出重物的质量 D.用手在竖直方向上提住纸带上端，撤手释放重物后再接通电源 （2）某实验小组利用上述装置将打点计时器接到频率为50Hz的交流电源上，按正确操作得到了一条完整的纸带（图中有部分未画出），如图所示。纸带上各点是打点计时器打出的计时点，其中O点为纸带上打出的第一个点，利用下列纸带上计时点间距离的测量值能完成验证机械能守恒定律的选项有　BC　 。 A.OA、AD和EG的距离 B.OC、BC和CD的距离 C.BD、CF和EG的距离 D.AC、BD和EG的距离 （3）实验结果通常为重物重力势能的减少量略　大于　 （选填“大于”或“小于”）动能的增加量，造成该系统误差的原因可能是　纸带与打点计时器之间的摩擦阻力或空气阻力　 。 【答案】（1）AB； （2）BC； （3）大于，纸带与打点计时器之间的摩擦阻力或空气阻力。 【解析】解：（1）在验证机械能守恒定律的实验中，为减小阻力影响，应选用质量和密度较大的金属锤，并将打点计时器的限位孔调整至同一竖直面内上下对正。 验证表达式为，其中质量m可约去，故无需用天平测量重物质量。实验时应先接通电源再释放纸带。 测量重力势能减少量ΔEp＝mgh和动能增加量，瞬时速度通过平均速度公式求得。故AB正确，CD错误。 故选：AB。 （2）由OC距离可得下落高度，结合BD距离可求出C点速度，从而验证从O到C的机械能守恒。由BD和EG距离可分别求出C点和F点的速度，结合CF距离可得下落高度，可验证从C到F的机械能守恒。故BC正确，AD错误。 故选：BC。 （3）由于重物下落过程中需克服空气阻力和摩擦阻力做功，导致重力势能的减少量略大于动能的增加量，系统误差主要来源于纸带与打点计时器之间的摩擦阻力或空气阻力。 故答案为：（1）AB； （2）BC； （3）大于，纸带与打点计时器之间的摩擦阻力或空气阻力。 6．（2025春•武汉期中）如左图为验证机械能守恒定律的实验装置图，右图为某次实验截取的一段纸带。 （1）图为某次实验中得到的纸带，相邻两点时间间隔为0.02s。则打B点时物体速度大小为vB＝ 　3.60　 m/s；加速度大小为a＝ 　9.75　 m/s2。（均保留三位有效数字）查得当地重力加速度大小为9.79m/s2，这也就在误差允许范围内间接验证了机械能守恒定律。 （2）即使在实验操作规范，数据测量及数据处理均正确的前提下，实验求得的重锤减小的重力势能通常略 　大于　 （选填“大于”或“小于”）增加的动能。 （3）研究小组的同学反思所做的实验后发现误差较大，操作也不便，于是在老师的指导下利用如题图甲所示的DIS实验装置对验证机械能守恒定律实验进行改进。 如图乙所示，主要由光电门与轻质摆杆组成单摆绕O点转动，实验时，质量为m的光电门从M点由静止下摆，依次经过6个宽度为d的遮光片，光电门摆至左边海绵止动阀处被卡住不再回摆。已知摆长为L，当摆杆与竖直方向的夹角为θ（θ小于90°）时，光电门经过遮光片的时间为Δt，以圆弧最低点N所在平面为参考面，则光电门的势能Ep＝ 　mg（L﹣Lcosθ）　 J，动能Ek＝ 　　 J，然后对比不同遮光片处势能和动能之和是否相等。（选用字母m、L、θ、d、Δt、g表示） 【答案】（1）3.60，9.75。（2）大于。（3）mg（L﹣Lcosθ），。 【解析】解：（1）打B点时物体速度大小为，代入数据解得vB＝3.60m/s，根据逐差法公式a，代入数据解得a＝9.75m/s2。 （2）即使在实验操作规范，数据测量及数据处理均正确的前提下，由于阻力做负功，则实验求得的重锤减小的重力势能通常略大于增加的动能。 （3）以圆弧最低点N所在平面为参考面，则光电门的势能为Ep＝mg（L﹣Lcosθ），光电门的速度v，则动能为。 故答案为：（1）3.60，9.75。（2）大于。（3）mg（L﹣Lcosθ），。 7．（2025春•重庆校级期中）如图甲所示，某同学利用打点计时器来测量重物自由落体的情况，验证机械能守恒定律。 （1）下列关于实验操作的说法正确的是　AD　 （填正确答案标号）。 A．固定打点计时器时，应使两个限位孔的中线在同一竖直线上 B．重物应使用质量和密度均较小的物体 C．该实验必须用天平测出重物的质量 D．释放纸带前，应先接通打点计时器的电源 （2）已知打点计时器所用交流电源频率为50Hz。图乙是该同学实验后选择的前两个点距离约2mm的一条纸带，由于纸带较长，图中未全部画出，省去的一部分用虚线表示。其中，O点为重物静止释放时打下的起始点，A、B、C为相邻的三个计时点，其到O点的距离标注在图中。已知重物质量为0.2kg，当地重力加速度g取9.8m/s2，则从打下O点到打下B点的过程中，重物的重力势能减少量ΔEp＝　0.96　 J，动能增加量ΔEk＝　0.94　 J（保留两位有效数字）。 （3）该同学处理实验数据后发现，重物的动能增加量ΔEk总是略小于其重力势能的减少量ΔEp，原因可能是　存在摩擦阻力，导致机械能减小　 （回答1条即可）。 【答案】（1）AD；（2）0.96；0.94；（3）存在摩擦阻力，导致机械能减小。 【解析】解：（1）A．为了减少纸带与打点计时器之间的摩擦，固定打点计时器时，应使两个限位孔的中线在同一竖直线上，故A正确； B．为了减小空气阻力的影响，应选用质量大、体积小（即密度大）的物体，故B错误； C．根据实验的原理可得要验证的表达式为：，可知等式两边的重物的质量m可以约掉，所以不必须用天平测出重物的质量，故C错误； D．实验中为了有效利用纸带，应先接通电源，再释放纸带，故D正确。 故选：AD。 （2）从打下O点到打下B点的过程中，重物的重力势能减少量为：ΔEp＝mghOB＝0.2×9.8×49.15×10﹣2J＝0.96J 打相邻计时点的时间间隔为： 由打点纸带测量速度的原理可得打B点时的速度大小为：3.0725m/s 此过程重物的动能增加量为：，解得：ΔEk＝0.94J （3）该同学处理实验数据后发现，重物的动能增加量ΔEk总是略小于其重力势能的减少量ΔEp，原因可能是存在摩擦阻力，导致机械能减小。 故答案为：（1）AD；（2）0.96；0.94；（3）存在摩擦阻力，导致机械能减小。 8．（2025春•青岛校级期中）利用图1所示的装置做“验证机械能守恒定律”实验。 （1）除图中所示的装置之外，还必须使用的器材是　B　 ； A．交流电源、天平（含砝码） B．交流电源、刻度尺 C．直流电源、天平（含砝码） D．直流电源、刻度尺 （2）实验中，先接通电源，再释放重物，得到图2所示的一条纸带．在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC，已知当地重力加速度为g，计时器打点周期为T，求出B点的速度表达式vB＝　　 ，若从O点到B点的过程中机械能守恒，应满足的关系式为　　 。 （3）大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量略大于动能的增加量，关于这个误差下列说法正确的是　D　 。 A．该误差属于偶然误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差 B．该误差属于系统误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差 C．该误差属于偶然误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差 D．该误差属于系统误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差 【答案】（1）B；（2）；；（3）D。 【解析】解：（1）打点计时器需要用到交变电流；验证动能的增加量和重力势能的减小量是否相等，两端都有质量，可以约去，不需要天平测量质量；测量点迹间的距离要用刻度尺，故B正确，ACD错误。 故选：B。 （2）重物下落过程做匀加速直线运动，由匀变速直线运动的推论可知，打B点时的速度为 若从打O点到打B点的过程中，机械能守恒，应满足的关系式为，即满足 （3）此实验因空气阻力以及摩擦力的存在，总会使减小的重力势能略大于增加的动能，这属于系统误差，是不可避免的，但想要实验结果更加准确，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差，故D正确，ABC错误。 故选：D。 故答案为：（1）B；（2）；；（3）D。 9．（2025春•天津校级期中）如图1所示，如图为在实验室中“验证机械能守恒定律”的实验装置示意图。让重物拉着纸带从高处由静止开始下落，打点计时器在纸带上打出一系列的点，通过对纸带上的点迹进行测量、分析即可验证机械能守恒定律。 （1）实验中，先接通电源，再释放重物，得到图2所示的一条纸带。在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC。已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T。设重物的质量为m。从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能减小量ΔEP＝　mghB ，动能增加量ΔEk＝　　 。 （2）大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量大于动能的增加量，原因是 　C　 。 A．利用公式v＝gt计算重物速度 B．利用公式计算重物速度 C．存在空气阻力和摩擦阻力的影响 D．没有采用多次实验取平均值的方法 （3）该同学继续应用纸带上各点到起始点O的距离h，计算出相应点对应的速度v，以h为横轴、v2为纵轴作出了如图3所示的图线，当地重力加速度为g，该图线的斜率应 　C　 。（填写正确答案的选项符号） A．略小于g B．等于g C．略小于2g D．等于2g 【答案】（1）mghB；；（2）C；（3）C。 【解析】解：（1）重力势能变化量可以由重力做功的多少来表示，则ΔEP＝mghB 打B点瞬时速度，动能的增加量 （2）在实验过程中，存在空气阻力和各种摩擦阻力，会导致重力势能减少量略大于动能增加量，故C正确，ABD错误。 故选：C。 （3）根据动能定理得，整理得， 在v2﹣h图像中，斜率为，因此小于2g，故C正确，ABD错误。 故选：C。 故答案为：（1）mghB；；（2）C；（3）C。 10．（2025春•顺义区校级期中）利用如图装置做“验证机械能守恒定律”实验。 （1）除带夹子的重物、纸带、铁架台（含铁夹）、交流电源、电磁打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的器材有　B　 。 A．秒表 B．刻度尺 C．天平（含砝码） （2）在纸带上选取多个计数点，分别测量它们到起始点O的距离为h，并计算出各计数点对应的速度v，画出如图所示v2﹣h图像。若阻力作用不可忽略且大小不变，已知当地重力加速度为g，则画出的图像应为图中的图线　2　 （选填“1”“2”或“3”），其斜率　小于　 2g（选填“小于”“大于”或“等于”）。 【答案】（1）B；（2）2；小于。 【解析】解：（1）实验时还必须使用的器材有刻度尺；打点计时器可记录重物的运动时间，所以不需要秒表；若重物的机械能守恒，则有 可知在不需要得出重力势能减少量与动能增加量的具体数据时，可以不测量质量，即不需要天平。故AC错误，B正确。 故选：B。 （2）设阻力大小恒为f，根据动能定理有 整理得 所以画出的图像应为图中的图线2，且图线的斜率 故答案为：（1）B；（2）2；小于。 模型二 创新实验 1．实验探究拓展 （1）利用机械能守恒定律确定弹簧弹性势能； （2）由平抛运动规律测量球的初速度； （3）利用平抛位移—弹簧压缩量图线处理数据 （1）小球在重力作用下做竖直上抛运动； （2）利用频闪照片获取实验数据 （1）利用钢球摆动来验证机械能守恒定律； （2）利用光电门测定摆球的瞬时速度 （1）用光电门测定小球下落到B点的速度； （2）结合－H图线验证小球下落过程中机械能守恒； （3）分析实验误差ΔEp－ΔEk随H变化的规律 （1）可以用验证系统机械能守恒代替验证单个物体的机械能守恒； （2）气垫导轨倾斜，不挂重物让滑块在导轨上运动也可以验证机械能守恒； （3）利用光电门测算滑块的瞬时速度 二、创新实验 实验原理的创新 　 1.利用钢球摆动来验证机械能守恒定律。 2.利用光电门测定摆球的瞬时速度。 实验器材的创新 　 1.小球在重力作用下做竖直上抛运动。 2.利用频闪照片获取实验数据。 实验过程的创新 1.用光电门测定小球下落到B点的速度。 2.结合­H图线判断小球下落过程中机械能守恒。 3.分析实验误差ΔEp－ΔEk随H变化的规律。 1.利用系统机械能守恒代替单个物体的机械能守恒。 2.利用光电门测算滑块的瞬时速度。 【例题精讲】 1．（2026•九龙坡区校级开学）阿特伍德机是著名的力学实验装置。如图甲所示，绕过定滑轮的细线上悬挂质量相等的重物A和重物B，在重物B下面再挂重物C时，由于速度变化不太快，便于验证规律或者测量物理量。 （1）某次实验结束后，打出的纸带如图乙所示，已知打点计时器所用交流电源的频率为50Hz，则重物A运动拖动纸带打出H点时的瞬时速度为　1.13　 m/s（结果保留三位有效数字）； （2）某同学利用本装置验证“牛顿第二定律”和“机械能守恒定律”，若重物C的质量为m，重物A、B质量均为M，已知当地的重力加速度为g，若牛顿第二定律成立，则重物A的加速度的表达式为a＝　　 ，某次实验中从纸带上测量A由静止上升H时对应计时点的速度为v，则验证系统机械能守恒定律的表达式是　　 （用上述物理量表示）。 【答案】（1）1.13；（2）； 【解析】解：（1）打点计时器所用交流电源的频率为f＝50Hz，则打点时间间隔为： 打H点时重锤A的瞬时速度等于打G、J两点间的平均速度，则有： （2）设细绳上拉力大小为T，对B、C整体由牛顿第二定律得：（M+m）g﹣T＝（M+m）a 对A由牛顿第二定律得：T﹣Mg＝Ma 联立解得： 若系统机械能守恒，则有： 解得： 故答案为：（1）1.13；（2）； 2．（2026•西宁校级二模）实验小组用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律，物块a、b用跨过定滑轮的细线连接，物块b的下端连接纸带。将物块a从高处由静止释放，打点计时器在物块b上拖着的纸带打出了一系列的点，通过对纸带上的点进行测量和分析，即可验证机械能守恒定律。已知打点计时器所用交流电源的频率为50Hz，物块a、b的质量分别为m1＝150g，m2＝100g，取重力加速度g＝9.8m/s2。据此回答下列问题： （1）某次实验得到一条点迹清晰的纸带，如图乙所示，其中O点是打点计时器打下的第一个点，每隔4点取一个1个计数点，A、B、C是相邻的3个计数点。则AC之间的距离为　7.80　 cm。 （2）通过计算可得，打点计时器打下B点时，物块的速度大小为　0.39　 m/s。（计算结果保留2位有效数字）。 （3）从打O点到B点的过程中，a和b组成的系统动能的增加量ΔEk＝　0.0190　 J，系统重力势能的减少量ΔEp＝　0.0191　 J，在实验允许的误差范围内，满足ΔEk＝ΔEp，则可验证此过程中满足机械能守恒定律。（计算结果均保留3位有效数字） （4）实验小组测出O点到不同计数点的距离h，并算出打点计时器打下该计数点时物块的速度大小v，在坐标纸上作出v2﹣h图像，若所得图像是一条过原点且斜率为　　 （用g表示）的直线，也可验证机械能守恒定律。 【答案】（1）7.80（7.79∼7.81均可）；（2）0.39；（3）0.0190；0.0191；（4）。 【解析】解：（1）刻度尺为mm刻度尺，故应估读到分度值的下一位，因此AC之间的距离为xAC＝xC﹣xA＝8.80cm﹣1.00cm＝7.80cm （2）由题可知，相邻计数点的时间间隔为t＝0.1s，打下B点时，物块的速度大小为 （3）从打O点到B点的过程中，a和b组成的系统动能的增加量 系统重力势能的减少量ΔEp＝m1ghOB﹣m2ghOB＝0.0191J （4）若系统机械能守恒，则满足 化简得 v2﹣h图像斜率为 故答案为：（1）7.80（7.79∼7.81均可）；（2）0.39；（3）0.0190；0.0191；（4）。 3．（2025秋•青岛期末）实验小组设计了如图所示的装置来验证机械能守恒定律。将质量分别为6m、4m的重物A、B（A的质量含挡光片）按照图示方式用轻绳和轻质滑轮连接，一同学用手托住物块B，另一同学测量出挡光片中心到光电门中心的竖直距离h，释放物块B，测得挡光片经过光电门的时间为Δt。已知重力加速度为g，请回答以下问题： （1）用游标卡尺测得挡光片的宽度d如图乙所示，d＝　1.035　 cm； （2）挡光片经过光电门时，物块B的速度vB＝　　 （用字母d、Δt表示）； （3）若以为纵坐标，以挡光片到光电门的竖直距离h为横坐标，做出如图丙所示的图像，当斜率k＝　　 时，即可验证系统机械能守恒。 【答案】（1）1.035；（2）；（3） 【解析】解：（1）游标卡尺的精度值为0.05mm，主尺读数为1cm，游标尺读数为7×0.05mm＝0.35mm，游标卡尺的读数为：1cm+0.35mm＝1.035cm，则用游标卡尺测得挡光片的宽度为：d＝1.035cm。 （2）根据光电门测速原理可得物块A的速度大小为：vA，物块B的速度大小为：vB＝2vA。 （3）根据机械能守恒定律可得：6mgh﹣4mgh 联立可得： 可知h图像的斜率k时，即可验证系统机械能守恒。 故答案为：（1）1.035；（2）；（3） 4．（2025秋•朝阳区校级期末）某同学用图甲所示的装置测量当地的重力加速度。用质量均为M的重物P和Q系在不可伸长的轻绳两端，使系统平衡。再在重物P上加一质量为m的砝码，系统失去平衡后从静止开始运动。P下落距离h后砝码被架在固定环形座上，用光电门（图中未画出）测出P穿过环形座后速度大小为v，然后借助缓冲器结束当次测试。 （1）本实验利用光电门测重物的速度，所应用的物理方法是　C　 。 A.控制变量法 B.理想实验法 C.极限思想法 （2）用游标卡尺测量重物的高度d，结果如图乙所示，则d＝　1.930　 cm。 （3）若忽略实验过程中的摩擦阻力和空气阻力，则从砝码被架在固定环形座上至Q接触缓冲器之前，P的运动是　匀速直线运动　 （选填“匀速直线运动”、“匀加速直线运动”或“匀减速直线运动”）。 （4）实验时，保持M不变，更换不同的m进行多次实验，得到的速度v和m的数据绘制成图像如图丙所示，已知图像的纵坐标为，则图像的横坐标为　　 （选填“m”、“m2”或“”），图像纵轴截距为b，可得当地的重力加速度为　　 （用h、b表示）。 【答案】（1）C；（2）1.930；（3）匀速直线运动；（4）；。 【解析】解：（1）很短时间内的平均速度近似认为等于瞬时速度，当时间趋向于零时的平均速度就是瞬时速度，测重物速度的方法利用了极限思想，故C正确，AB错误。 故选：C。 （2）由图示游标卡尺可知，其精度为0.05mm，读数为19mm+6×0.05mm＝19.30mm＝1.930cm。 （3）忽略实验过程中的摩擦阻力和空气阻力，从砝码被架在固定环形座上至Q接触缓冲器之前，P、Q系统所受合力处于平衡状态，P做匀速直线运动。 （4）对系统，由机械能守恒定律得mgh，整理得， 与是线性关系，则图像的横坐标为，图像的纵轴截距为b，解得g。 故答案为：（1）C；（2）1.930；（3）匀速直线运动；（4）；。 5．（2025秋•迪庆州期末）如图所示，托盘通过绕过光滑定滑轮的细线牵连静止放在气垫导轨上的滑块，将气垫导轨左端垫高与水平面夹角为θ（已知θ角，但图中未画出且不能忽略），将滑块移至光电门1左侧某处，从静止释放，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2，从数字计时器（图中未画出）上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间Δt1和Δt2；用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m；测出挡光条的宽度d；由导轨标尺读出两光电门中心间的距离s；重力加速度为g。 （1）滑块通过光电门1的速度为 　　 ； （2）m和M构成的系统增加的动能为 　　 ； （3）在误差允许范围内，若满足关系式 　　 则可认为验证了机械能守恒定律。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【解析】解：（1）根据光电门求解瞬时速度的方法，滑块通过光电门1的速度为v1； （2）根据动能的表达式，m和M构成的系统增加的动能为ΔEk（M+m）（M+m），得ΔEk； （3）在误差允许范围内，若系统满足机械能守恒定律，系统重力势能减少量等于系统动能增加量，则有。 故答案为：（1）；（2）；（3）。 6．（2025秋•麦积区期末）某同学设计了如图所示的实验装置用于验证机械能守恒定律。将表面打磨光滑的平板下端置于水平地面的固定挡板处，上部架在铁架台的横杆上，横杆的位置可在竖直杆上调节，使得平板与水平地面之间的夹角θ可变。现在平板上方某位置固定一电磁铁，下端固定一光电门，实验时，先将小铁球静置于磁铁处，然后切断电磁铁电源释放小铁球。实验时测出小铁球的直径D，小铁球中心到光电门的距离为L，当地重力加速度为g。 （1）该同学用游标卡尺测小铁球直径时，示数如图所示则D＝　1.06　 cm； （2）调节横杆的位置，改变平板与水平地面之间的夹角θ，释放小铁球，小铁球通过光电门时的遮光时间为t，重复操作，多次进行实验。以sinθ为横坐标，以　　 （选填“t”、“”或“t2”）为纵坐标建立直角坐标系，并依据数据描点连线，在误差允许的范围内，若图线是过原点的一条直线，且该直线的斜率k＝　　 （用题中已给出的字母表示），则说明小铁球在下落过程中机械能守恒。 （3）切断电磁铁电源后，由于磁滞现象，电磁铁没有立即消磁，这种情况的出现会导致实验测得小铁球的动能增加量　小于　 （选填“大于”、“小于”或“等于”）重力势能的减少量。 【答案】（1）1.06；（2），；（3）小于。 【解析】解：（1）根据游标卡尺的读数规则，图示读数为D＝10mm+6×0.1mm＝10.6mm＝1.06cm （2）根据光电门测速原理可知，小铁球通过光电门的速度为 设小球质量为m，小铁球中心到光电门的距离为L，根据机械能守恒定律，有 解得 则该直线的斜率为 （3）由于磁滞现象，磁力对小球做负功，会导致小铁球通过光电门的实际速度偏小，因此实验测得小铁球的动能增加量小于重力势能的减少量。 故答案为：（1）1.06；（2），；（3）小于。 7．（2025秋•烟台期末）图甲为利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”的实验装置。本实验需验证在滑块从A运动到B的过程中，砝码盘（含砝码）和滑块（含遮光片）组成的系统机械能守恒。已知光电门A、B之间的距离为L，重力加速度为g。 （1）关于本实验的具体操作，下列说法正确的是 　AB　 。 A.实验前将滑块置于气垫导轨上，启动气泵，调节调平螺丝，轻推滑块，观察滑块通过两光电门的时间相等，可认为气垫导轨水平。 B.用细线跨过轻质定滑轮，将滑块和砝码盘连接，调节定滑轮高度，使细线水平拉动滑块。 C.为减小实验误差，应保证滑块（含遮光片）的质量远大于砝码盘（含砝码）的总质量。 D.更换砝码重新验证机械能守恒定律时，必须重新调节气垫导轨水平。 （2）用游标卡尺测量遮光片的宽度d如图乙所示，则d＝ 　0.250　 cm。 （3）实验时释放砝码盘，滑块在细线拉动下从左边开始运动，测量出遮光片经过光电门A、B的遮光时间分别为t1、t2，用天平测量砝码盘（含砝码）的总质量为m、滑块（含遮光片）的质量为M，遮光片宽度为d，则滑块从A运动到B的过程中，验证砝码盘（含砝码）和滑块（含遮光片）组成的系统机械能守恒的表达式为 　　 （用题中给出物理量的字母表示）。 【答案】（1）AB。（2）0.250。（3）。 【解析】解：（1）A.实验前将滑块置于气垫导轨上，启动气泵，调节调平螺丝，轻推滑块，观察滑块通过两光电门的时间相等，说明滑块匀速滑动，可认为气垫导轨水平，故A正确； B.用细线跨过轻质定滑轮，将滑块和砝码盘连接，调节定滑轮高度，使细线水平拉动滑块，故B正确； C.根据验证机械能守恒定律的实验原理，该实验不需要保证滑块（含遮光片）的质量远大于砝码盘（含砝码）的总质量，故C错误； D.已经调好的水平导轨，在更换砝码重新验证机械能守恒定律时，不需要重新调节气垫导轨水平，故D错误。 故选：AB。 （2）游标卡尺的精确度为0.05mm，其读数为2mm+10×0.05mm＝2.50mm＝0.250cm。 （3）实验时释放砝码盘，滑块在细线拉动下从左边开始运动，测量出遮光片经过光电门A、B的遮光时间分别为t1、t2，用天平测量砝码盘（含砝码）的总质量为m、滑块（含遮光片）的质量为M，遮光片宽度为d，则滑块从A运动到B的过程中，如果系统机械能守恒，则满足mgL（M+m）（），而vA，vB，联立得。 故答案为：（1）AB。（2）0.250。（3）。 8．（2025秋•南宁月考）为验证机械能守恒定律，某物理兴趣小组利用气垫导轨、光电门、滑块、遮光片等组装成具有一定倾角的导轨装置，如图甲所示。测得滑块（含遮光片）的质量m＝0.3kg，当地重力加速度大小g＝9.8m/s2。 （1）用游标卡尺测得遮光片的宽度如图乙所示，则宽度d＝　10.0　 mm。 （2）安装实验器材后，测量导轨倾角θ，计算得sinθ＝0.20，某次实验中滑块从导轨顶端由静止开始释放，测得滑块静止时遮光片到光电门的距离L＝85.00cm，遮光片通过光电门的时间Δt＝5.50ms。在此过程中，滑块动能的增加量ΔEk＝　0.52　 J，重力势能的减小量ΔEp＝　0.50　 J。（结果均保留两位有效数字） 【答案】（1）10.0； （2）0.52，0.50。 【解析】解：（1）游标卡尺的读数为主尺读数与游标尺读数之和，主尺读数为10mm，游标尺上第0条刻度线与主尺对齐，该卡尺为10分度，精度为0.1mm，因此d＝10mm+0×0.1mm，解得：d＝10.0mm。 （2）滑块通过光电门的速度可用遮光片通过的平均速度近似，即，代入数据，解得：v≈1.855m/s； 滑块动能的增加量为，代入数据，解得：ΔEk≈0.52J；滑块下落高度h＝Lsinθ，重力势能减小量ΔEp＝mgh＝mgLsinθ，代入数据，解得：ΔEp≈0.50J。 故答案为：（1）10.0； （2）0.52，0.50。 9．（2025秋•辽宁期末）某学习小组在倾斜的气垫导轨上验证机械能守恒定律，实验装置如图甲所示，当地重力加速度为g，实验操作如下： （1）如图乙所示，先用游标卡尺测出遮光条的宽度d＝ 　0.515　 cm。 （2）将气垫导轨右侧适当垫高，测出光电门A、B光敏管的高度分别为hA、hB。 （3）将滑块轻放在调节好的气垫导轨右端，测出滑块经过光电门A、B的时间ΔtA、ΔtB，则滑块经过光电门A时的速度为 　　 （用题目所给的符号表示）。 （4）若满足 　2g（hA﹣hB）　 （用题目所给的符号表示），则说明滑块在光电门A、B之间运动的过程中机械能守恒。 【答案】（1）0.515；（3）；（4）2g（hA﹣hB） 【解析】解：（1）如图乙所示，游标卡尺的精度值为0.05mm，主尺读数为5mm，游标尺读数为3×0.05mm＝0.15mm，用游标卡尺测出遮光条的宽度d＝5mm+0.15mm＝0.515cm。 （3）根据光电门的测速原理，可得滑块经过光电门A时的速度大小为：vA。 （4）同理可得滑块经过光电门B时的速度大小为：vB 若滑块在光电门A、B之间运动的过程中机械能守恒，则有：mg（hA﹣hB） 整理可得：2g（hA﹣hB）。 可知若满足：2g（hA﹣hB），则说明滑块在光电门A、B之间运动的过程中机械能守恒。 故答案为：（1）0.515；（3）；（4）2g（hA﹣hB） 10．（2025秋•随州期末）“祖冲之”实验小组用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律。倾角为θ的斜面固定在水平桌面上，斜面上安装有气垫导轨，顶端固定有一轻质定滑轮，装有遮光片的小物块A通过绕过定滑轮的细线与物块B相连，小物块A与遮光片的总质量为m，物块B的质量为2m，斜面上方距离斜面底端l0处固定一光电门，当地重力加速度大小为g。 （1）先用游标卡尺测量出遮光片的宽度，示数如图乙所示，则遮光片的宽度L＝ 　1.955　 cm。 （2）由静止释放斜面底端的小物块A，小物块A通过光电门的遮光时间为Δt，则小物块A通过光电门时的速度v＝ 　　 （用测得的和已知的物理量符号表示）；当表达式 　2mgl0﹣mgl0sinθ•3m•（）2 （用已知的和求得的物理量符号表示）成立，则机械能守恒定律得到验证。 【答案】（1）1.955。（2），2mgl0﹣mgl0sinθ•3m•（）2。 【解析】解：（1）游标卡尺的精确度为0.05mm，遮光片的宽度L＝19mm+11×0.05mm＝19.55mm＝1.955cm。 （2）根据光电门求解瞬时速度的方法，则小物块A通过光电门时的速度v，如果系统机械能守恒，则有2mgl0﹣mgl0sinθ（m+2m）v2•3m•（）2。 故答案为：（1）1.955。（2），2mgl0﹣mgl0sinθ•3m•（）2。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5 实验：验证机械能守恒定律 模型一 原型实验 一、1.实验目的 验证机械能守恒定律. 2.实验原理 通过实验，求出做自由落体运动物体的　重力势能的减少量　和对应过程动能的增加量，在实验误差允许范围内，若二者相等，说明机械能守恒，从而验证机械能守恒定律. 3.实验器材 铁架台（带铁夹），电火花计时器（或电磁打点计时器），重物（带纸带夹），纸带，复写纸，导线，毫米刻度尺，交流电源. 4.实验步骤 （1）安装器材：将　打点计时器　固定在铁架台上，用导线将打点计时器与电源相连. （2）打纸带：用手竖直提起纸带，使重物停靠在打点计时器下方附近，先　接通电源　，再　释放纸带　，让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打出一系列的点，取下纸带，换上新的纸带，重打几条（3～5条）. （3）选纸带：从打出的几条纸带中选出一条点迹清晰的纸带. （4）进行数据处理并验证. 5.数据处理 方案1　利用起始点和第n点计算 代入mghn和m，如果在实验误差允许的范围内，mghn和m相等，则验证了机械能守恒定律. 方案2　任取两点计算 （1）任取两点A、B，测出hAB，算出mghAB. （2）算出m－m的值. （3）在实验误差允许的范围内，若mghAB＝m－m，则验证了机械能守恒定律. 方案3　图像法 从纸带上选取多个点，测量从第一点到其余各点的下落高度h，并计算各点速度的平方v2，然后以v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据作出v2－h图像.若在误差允许的范围内图像是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律. 6.注意事项 （1）打点计时器要竖直：安装打点计时器时要竖直架稳，使其两限位孔在同一竖直线上，以减小　摩擦阻力　. （2）重物应选用质量大、体积小的. （3）应先接通电源，让打点计时器正常工作，后释放纸带让重物下落. （4）测长度，算速度：某时刻的瞬时速度的计算应用vn＝，不能用vn＝或vn＝gt来计算. （5）此实验中不需要测量重物的质量. 7.误差分析 （1）本实验中因重物和纸带在下落过程中要克服各种阻力（空气阻力、打点计时器阻力）做功，故动能的增加量ΔEk稍小于重力势能的减少量ΔEp，即ΔEk＜ΔEp，这属于系统误差.改进的办法是调整器材的安装并选用质量大、体积小的重物，尽可能地减小阻力. （2）本实验的另一个误差来源于长度的测量，属于偶然误差.减小误差的办法是测下落距离时都从O点量起，依次将各点对应的下落高度测量完，或者多次测量取平均值. （3）打点计时器产生的误差 ①由于交流电周期变化，引起打点时间间隔变化而产生误差. ②计数点选择不好，振动片振动不均匀，纸带放置方法不正确引起摩擦，均可能造成实验误差. 装置原理图 实验步骤 注意事项 物体重力势能的减少量与对应过程动能的增加量相等 1．安装器材：将打点计时器固定在铁架台上，用导线将打点计时器与电源相连。 2．打纸带：用手竖直提起纸带，使重物停靠在打点计时器下方附近，先接通电源，再松开纸带，让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打出一系列的点，取下纸带，换上新的纸带重打几条(3～5条)。 3．选纸带：从打出的几条纸带中选出一条点迹清晰的纸带。 1．安装：打点计时器竖直安装，纸带沿竖直方向拉直。 2．重物：选密度大、质量大的金属块，且在靠近打点计时器处释放。 3．选纸带：点迹清晰。 4．速度：vn＝。 数据处理 方案一：利用起始点和第n点计算 代入mghn和，如果在实验误差允许的范围内，mghn和相等，则验证了机械能守恒定律。 方案二：任取两点计算 (1)任取两点A、B，测出hAB，算出mghAB。 (2)算出的值。 (3)在实验误差允许的范围内，若mghAB＝，则验证了机械能守恒定律。 方案三：图像法 从纸带上选取多个点，测量从第一个点到其余各点的下落高度h，并计算各点速度的平方v2，然后以v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据作出v2-h图像。若在误差允许的范围内图像是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。 误差分析 1．系统误差：本实验中因重物和纸带在下落过程中要克服各种阻力(空气阻力、打点计时器阻力)做功，故动能的增加量ΔEk稍小于重力势能的减少量ΔEp，即ΔEk<ΔEp。改进的办法是调整器材的安装，尽可能地减小阻力。 2．偶然误差：本实验在长度测量时产生的误差。减小误差的办法是测下落距离时都从0点量起，一次将各打点对应的下落高度测量完，或者多次测量取平均值。 二、误差分析 1．系统误差 本实验中因重物和纸带在下落过程中要克服各种阻力(空气阻力、打点计时器阻力)做功，故ΔEk<ΔEp，改进的方法是调整器材的安装，尽可能减小阻力。 2．偶然误差 误差来源于长度的测量，减小误差的方法是测下落距离时都从O点测量，一次将各点对应的下落高度测量完，或者多次测量取平均值。 【例题精讲】 1．（2025秋•玉溪期末）某同学用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律。已知当地重力加速度为g。 （1）下列实验器材中不必要的是 　　 （选填字母序号）。 A.秒表 B.交流电源 C.刻度尺 D.弹簧秤 （2）某次实验时，得到一条纸带如图乙所示。在纸带上选取连续的三个点A、B、C和另外连续的三个点D、E、F，测得A、C之间的距离为x1，D、F之间的距离为x2，B、E之间的距离为s。若重物的质量为m，交流电源频率为f，可得从B到E的过程中，重物的重力势能减少量ΔEp＝ 　 　 ，重物的动能增加量ΔEk＝ 　 。（均用题中所给相关物理量的字母表示） 2．（2025秋•上城区校级期末）如图1为“验证机械能守恒定律”实验装置。 （1）下列说法正确的是　 　 （多选）。 A．图中打点计时器直接使用220V交流电源 B．打点计时器的限位孔须处于同一竖直线上 C．一定要选用第一个点迹清晰的纸带 D．实验绘出v2﹣h图像，图线有没有过原点与机械能是否守恒无关 （2）如图2所示，实验中得到一条点迹清晰的纸带。在纸带的后端选择连续的打点作为计数点，并且标上1、2、3、4、5。电源频率为50Hz。由这段纸带测出重物下落的加速度g＝　 　 m/s2（结果保留2位有效数字）。 （3）处理数据时，某同学利用当地的重力加速度g，计算重物从静止开始下落一定高度h时的速度v＝gt，然后得到动能增加量为Ek′，计算重力势能减小量mgh，若利用平均速度方法算出的动能增加量为Ek，试比较Ek′、Ek、mgh三者之间的大小关系为　 　 。 A．Ek′＞Ek＞mgh B．Ek′＞mgh＞Ek C．Ek′＝mgh＞Ek D．mgh＞Ek′＞Ek 3．（2025秋•和平区期末）利用如图甲所示的实验装置，将重物由静止释放，通过对打出的纸带进行测量，可以验证机械能守恒定律。 ①关于本实验，描述正确的是 　 　 。 A.需要选取质量大、体积小的重物 B.不需要测出重物的质量即可验证机械能守恒定律 C.可以通过多次测量取平均值的方法减小由于空气阻力产生的误差 D.从手靠近打点计时器的位置释放纸带 ②测量得到多组数据后可以绘制重物速度v的平方与下落高度h的关系v2﹣h图像验证机械能守恒定律，则 　 　 。 A.若图线是过原点的直线，说明自由落体运动过程机械能守恒 B.所绘制出的图像一定通过坐标原点 C.需要打出多条纸带进行测量才能获得描点所需数据 D.通过作图像的方法，可有效减小偶然误差 ③某次实验打出的纸带如图乙所示，O点为打出的第一个点，已知相邻计数点之间的打点间隔为T，测得从合适位置开始选取的三个连续点A、B、C到O点的距离分别为h1、h2、h3；利用上述测量数据，可以验证 　 　 段过程机械能守恒（用图中字母表示）。 4．（2025秋•海淀区校级期末）用如图1所示的实验装置验证机械能守恒定律，已知当地重力加速度为g。 （1）关于该实验的操作和数据分析，以下说法正确的是　 　 。 A.必须用天平测出重锤的质量方可实验 B.先接通电源，后释放纸带 C.将打点计时器接到8V直流电源上 D.也可以用计算重锤从静止下落h时的瞬时速度大小 E.应选择质量大、体积小的重物进行实验 （2）实验室有电磁打点计时器和电火花计时器，为减小实验误差，应优先选用　 　 。 A.电磁打点计时器 B.电火花计时器 （3）如图2所示，选取纸带上连续五个计时点A、B、C、D、E，测量出点B距运动起始点O的距离x0，点B、C间的距离为x1，点C、D间的距离为x2，若相邻两点的打点时间间隔为T，假设重锤质量为m，根据这些条件计算从打点计时器打下O点到打下C点过程中重锤的重力势能变化量ΔEp＝　 　 ，动能变化量ΔEk＝　 ；在实际计算中发现，重锤减少的重力势能总是大于重锤增加的动能，其原因主要是　 　 。 （4）将测得的数据描绘图像，如图3，求得图线斜率为k，下落h时，重力势能减小量与动能增加量之间的差值为　 　 （结果用字母“m”、“h”、“k”、“g”表示）。 （5）某同学用如图4所示装置验证机械能守恒定律，将力传感器固定在天花板上，细线一端系着小球，一端连在力传感器上。将小球拉至水平位置从静止释放，到达最低点时力传感器显示的示数为F0。已知小球质量为m，当地重力加速度为g。在误差允许范围内，当满足关系式　 　 时，可验证机械能守恒。 5．（2025秋•香坊区校级期末）如图所示，打点计时器固定在铁架台上，使重物带动纸带从静止开始自由下落，利用此装置验证机械能守恒定律。 （1）对于该实验，下列操作中对减小实验误差有利的是　 　 。 A.重物选用质量和密度较大的金属锤 B.两限位孔在同一竖直面内上下对正 C.天平测量出重物的质量 D.用手在竖直方向上提住纸带上端，撤手释放重物后再接通电源 （2）某实验小组利用上述装置将打点计时器接到频率为50Hz的交流电源上，按正确操作得到了一条完整的纸带（图中有部分未画出），如图所示。纸带上各点是打点计时器打出的计时点，其中O点为纸带上打出的第一个点，利用下列纸带上计时点间距离的测量值能完成验证机械能守恒定律的选项有　 　 。 A.OA、AD和EG的距离 B.OC、BC和CD的距离 C.BD、CF和EG的距离 D.AC、BD和EG的距离 （3）实验结果通常为重物重力势能的减少量略　 　 （选填“大于”或“小于”）动能的增加量，造成该系统误差的原因可能是　 　 。 6．（2025春•武汉期中）如左图为验证机械能守恒定律的实验装置图，右图为某次实验截取的一段纸带。 （1）图为某次实验中得到的纸带，相邻两点时间间隔为0.02s。则打B点时物体速度大小为vB＝ 　 　 m/s；加速度大小为a＝ 　 　 m/s2。（均保留三位有效数字）查得当地重力加速度大小为9.79m/s2，这也就在误差允许范围内间接验证了机械能守恒定律。 （2）即使在实验操作规范，数据测量及数据处理均正确的前提下，实验求得的重锤减小的重力势能通常略 　 　 （选填“大于”或“小于”）增加的动能。 （3）研究小组的同学反思所做的实验后发现误差较大，操作也不便，于是在老师的指导下利用如题图甲所示的DIS实验装置对验证机械能守恒定律实验进行改进。 如图乙所示，主要由光电门与轻质摆杆组成单摆绕O点转动，实验时，质量为m的光电门从M点由静止下摆，依次经过6个宽度为d的遮光片，光电门摆至左边海绵止动阀处被卡住不再回摆。已知摆长为L，当摆杆与竖直方向的夹角为θ（θ小于90°）时，光电门经过遮光片的时间为Δt，以圆弧最低点N所在平面为参考面，则光电门的势能Ep＝ 　 　 J，动能Ek＝ 　 J，然后对比不同遮光片处势能和动能之和是否相等。（选用字母m、L、θ、d、Δt、g表示） 7．（2025春•重庆校级期中）如图甲所示，某同学利用打点计时器来测量重物自由落体的情况，验证机械能守恒定律。 （1）下列关于实验操作的说法正确的是　 　 （填正确答案标号）。 A．固定打点计时器时，应使两个限位孔的中线在同一竖直线上 B．重物应使用质量和密度均较小的物体 C．该实验必须用天平测出重物的质量 D．释放纸带前，应先接通打点计时器的电源 （2）已知打点计时器所用交流电源频率为50Hz。图乙是该同学实验后选择的前两个点距离约2mm的一条纸带，由于纸带较长，图中未全部画出，省去的一部分用虚线表示。其中，O点为重物静止释放时打下的起始点，A、B、C为相邻的三个计时点，其到O点的距离标注在图中。已知重物质量为0.2kg，当地重力加速度g取9.8m/s2，则从打下O点到打下B点的过程中，重物的重力势能减少量ΔEp＝　 　 J，动能增加量ΔEk＝　 　 J（保留两位有效数字）。 （3）该同学处理实验数据后发现，重物的动能增加量ΔEk总是略小于其重力势能的减少量ΔEp，原因可能是　 　 （回答1条即可）。 8．（2025春•青岛校级期中）利用图1所示的装置做“验证机械能守恒定律”实验。 （1）除图中所示的装置之外，还必须使用的器材是　 　 ； A．交流电源、天平（含砝码） B．交流电源、刻度尺 C．直流电源、天平（含砝码） D．直流电源、刻度尺 （2）实验中，先接通电源，再释放重物，得到图2所示的一条纸带．在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC，已知当地重力加速度为g，计时器打点周期为T，求出B点的速度表达式vB＝　 ，若从O点到B点的过程中机械能守恒，应满足的关系式为　 　 。 （3）大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量略大于动能的增加量，关于这个误差下列说法正确的是　 　 。 A．该误差属于偶然误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差 B．该误差属于系统误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差 C．该误差属于偶然误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差 D．该误差属于系统误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差 9．（2025春•天津校级期中）如图1所示，如图为在实验室中“验证机械能守恒定律”的实验装置示意图。让重物拉着纸带从高处由静止开始下落，打点计时器在纸带上打出一系列的点，通过对纸带上的点迹进行测量、分析即可验证机械能守恒定律。 （1）实验中，先接通电源，再释放重物，得到图2所示的一条纸带。在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC。已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T。设重物的质量为m。从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能减小量ΔEP＝　 ，动能增加量ΔEk＝　 。 （2）大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量大于动能的增加量，原因是 　 　 。 A．利用公式v＝gt计算重物速度 B．利用公式计算重物速度 C．存在空气阻力和摩擦阻力的影响 D．没有采用多次实验取平均值的方法 （3）该同学继续应用纸带上各点到起始点O的距离h，计算出相应点对应的速度v，以h为横轴、v2为纵轴作出了如图3所示的图线，当地重力加速度为g，该图线的斜率应 　 　 。（填写正确答案的选项符号） A．略小于g B．等于g C．略小于2g D．等于2g 10．（2025春•顺义区校级期中）利用如图装置做“验证机械能守恒定律”实验。 （1）除带夹子的重物、纸带、铁架台（含铁夹）、交流电源、电磁打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的器材有　 　 。 A．秒表 B．刻度尺 C．天平（含砝码） （2）在纸带上选取多个计数点，分别测量它们到起始点O的距离为h，并计算出各计数点对应的速度v，画出如图所示v2﹣h图像。若阻力作用不可忽略且大小不变，已知当地重力加速度为g，则画出的图像应为图中的图线　 　 （选填“1”“2”或“3”），其斜率　 　 2g（选填“小于”“大于”或“等于”）。 模型二 创新实验 1．实验探究拓展 （1）利用机械能守恒定律确定弹簧弹性势能； （2）由平抛运动规律测量球的初速度； （3）利用平抛位移—弹簧压缩量图线处理数据 （1）小球在重力作用下做竖直上抛运动； （2）利用频闪照片获取实验数据 （1）利用钢球摆动来验证机械能守恒定律； （2）利用光电门测定摆球的瞬时速度 （1）用光电门测定小球下落到B点的速度； （2）结合－H图线验证小球下落过程中机械能守恒； （3）分析实验误差ΔEp－ΔEk随H变化的规律 （1）可以用验证系统机械能守恒代替验证单个物体的机械能守恒； （2）气垫导轨倾斜，不挂重物让滑块在导轨上运动也可以验证机械能守恒； （3）利用光电门测算滑块的瞬时速度 二、创新实验 实验原理的创新 　 1.利用钢球摆动来验证机械能守恒定律。 2.利用光电门测定摆球的瞬时速度。 实验器材的创新 　 1.小球在重力作用下做竖直上抛运动。 2.利用频闪照片获取实验数据。 实验过程的创新 1.用光电门测定小球下落到B点的速度。 2.结合­H图线判断小球下落过程中机械能守恒。 3.分析实验误差ΔEp－ΔEk随H变化的规律。 1.利用系统机械能守恒代替单个物体的机械能守恒。 2.利用光电门测算滑块的瞬时速度。 【例题精讲】 1．（2026•九龙坡区校级开学）阿特伍德机是著名的力学实验装置。如图甲所示，绕过定滑轮的细线上悬挂质量相等的重物A和重物B，在重物B下面再挂重物C时，由于速度变化不太快，便于验证规律或者测量物理量。 （1）某次实验结束后，打出的纸带如图乙所示，已知打点计时器所用交流电源的频率为50Hz，则重物A运动拖动纸带打出H点时的瞬时速度为　 　 m/s（结果保留三位有效数字）； （2）某同学利用本装置验证“牛顿第二定律”和“机械能守恒定律”，若重物C的质量为m，重物A、B质量均为M，已知当地的重力加速度为g，若牛顿第二定律成立，则重物A的加速度的表达式为a＝　 ，某次实验中从纸带上测量A由静止上升H时对应计时点的速度为v，则验证系统机械能守恒定律的表达式是　 （用上述物理量表示）。 2．（2026•西宁校级二模）实验小组用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律，物块a、b用跨过定滑轮的细线连接，物块b的下端连接纸带。将物块a从高处由静止释放，打点计时器在物块b上拖着的纸带打出了一系列的点，通过对纸带上的点进行测量和分析，即可验证机械能守恒定律。已知打点计时器所用交流电源的频率为50Hz，物块a、b的质量分别为m1＝150g，m2＝100g，取重力加速度g＝9.8m/s2。据此回答下列问题： （1）某次实验得到一条点迹清晰的纸带，如图乙所示，其中O点是打点计时器打下的第一个点，每隔4点取一个1个计数点，A、B、C是相邻的3个计数点。则AC之间的距离为　 　 cm。 （2）通过计算可得，打点计时器打下B点时，物块的速度大小为　 　 m/s。（计算结果保留2位有效数字）。 （3）从打O点到B点的过程中，a和b组成的系统动能的增加量ΔEk＝　 　 J，系统重力势能的减少量ΔEp＝　 　 J，在实验允许的误差范围内，满足ΔEk＝ΔEp，则可验证此过程中满足机械能守恒定律。（计算结果均保留3位有效数字） （4）实验小组测出O点到不同计数点的距离h，并算出打点计时器打下该计数点时物块的速度大小v，在坐标纸上作出v2﹣h图像，若所得图像是一条过原点且斜率为　 （用g表示）的直线，也可验证机械能守恒定律。 3．（2025秋•青岛期末）实验小组设计了如图所示的装置来验证机械能守恒定律。将质量分别为6m、4m的重物A、B（A的质量含挡光片）按照图示方式用轻绳和轻质滑轮连接，一同学用手托住物块B，另一同学测量出挡光片中心到光电门中心的竖直距离h，释放物块B，测得挡光片经过光电门的时间为Δt。已知重力加速度为g，请回答以下问题： （1）用游标卡尺测得挡光片的宽度d如图乙所示，d＝　 　 cm； （2）挡光片经过光电门时，物块B的速度vB＝　 （用字母d、Δt表示）； （3）若以为纵坐标，以挡光片到光电门的竖直距离h为横坐标，做出如图丙所示的图像，当斜率k＝　 时，即可验证系统机械能守恒。 4．（2025秋•朝阳区校级期末）某同学用图甲所示的装置测量当地的重力加速度。用质量均为M的重物P和Q系在不可伸长的轻绳两端，使系统平衡。再在重物P上加一质量为m的砝码，系统失去平衡后从静止开始运动。P下落距离h后砝码被架在固定环形座上，用光电门（图中未画出）测出P穿过环形座后速度大小为v，然后借助缓冲器结束当次测试。 （1）本实验利用光电门测重物的速度，所应用的物理方法是　 　 。 A.控制变量法 B.理想实验法 C.极限思想法 （2）用游标卡尺测量重物的高度d，结果如图乙所示，则d＝　 　 cm。 （3）若忽略实验过程中的摩擦阻力和空气阻力，则从砝码被架在固定环形座上至Q接触缓冲器之前，P的运动是　 　 （选填“匀速直线运动”、“匀加速直线运动”或“匀减速直线运动”）。 （4）实验时，保持M不变，更换不同的m进行多次实验，得到的速度v和m的数据绘制成图像如图丙所示，已知图像的纵坐标为，则图像的横坐标为　 　 （选填“m”、“m2”或“”），图像纵轴截距为b，可得当地的重力加速度为　 （用h、b表示）。 5．（2025秋•迪庆州期末）如图所示，托盘通过绕过光滑定滑轮的细线牵连静止放在气垫导轨上的滑块，将气垫导轨左端垫高与水平面夹角为θ（已知θ角，但图中未画出且不能忽略），将滑块移至光电门1左侧某处，从静止释放，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2，从数字计时器（图中未画出）上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间Δt1和Δt2；用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m；测出挡光条的宽度d；由导轨标尺读出两光电门中心间的距离s；重力加速度为g。 （1）滑块通过光电门1的速度为 　 ； （2）m和M构成的系统增加的动能为 　 ； （3）在误差允许范围内，若满足关系式 　 　 则可认为验证了机械能守恒定律。 6．（2025秋•麦积区期末）某同学设计了如图所示的实验装置用于验证机械能守恒定律。将表面打磨光滑的平板下端置于水平地面的固定挡板处，上部架在铁架台的横杆上，横杆的位置可在竖直杆上调节，使得平板与水平地面之间的夹角θ可变。现在平板上方某位置固定一电磁铁，下端固定一光电门，实验时，先将小铁球静置于磁铁处，然后切断电磁铁电源释放小铁球。实验时测出小铁球的直径D，小铁球中心到光电门的距离为L，当地重力加速度为g。 （1）该同学用游标卡尺测小铁球直径时，示数如图所示则D＝　 　 cm； （2）调节横杆的位置，改变平板与水平地面之间的夹角θ，释放小铁球，小铁球通过光电门时的遮光时间为t，重复操作，多次进行实验。以sinθ为横坐标，以　 （选填“t”、“”或“t2”）为纵坐标建立直角坐标系，并依据数据描点连线，在误差允许的范围内，若图线是过原点的一条直线，且该直线的斜率k＝　 （用题中已给出的字母表示），则说明小铁球在下落过程中机械能守恒。 （3）切断电磁铁电源后，由于磁滞现象，电磁铁没有立即消磁，这种情况的出现会导致实验测得小铁球的动能增加量　 　 （选填“大于”、“小于”或“等于”）重力势能的减少量。 7．（2025秋•烟台期末）图甲为利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”的实验装置。本实验需验证在滑块从A运动到B的过程中，砝码盘（含砝码）和滑块（含遮光片）组成的系统机械能守恒。已知光电门A、B之间的距离为L，重力加速度为g。 （1）关于本实验的具体操作，下列说法正确的是 　 　 。 A.实验前将滑块置于气垫导轨上，启动气泵，调节调平螺丝，轻推滑块，观察滑块通过两光电门的时间相等，可认为气垫导轨水平。 B.用细线跨过轻质定滑轮，将滑块和砝码盘连接，调节定滑轮高度，使细线水平拉动滑块。 C.为减小实验误差，应保证滑块（含遮光片）的质量远大于砝码盘（含砝码）的总质量。 D.更换砝码重新验证机械能守恒定律时，必须重新调节气垫导轨水平。 （2）用游标卡尺测量遮光片的宽度d如图乙所示，则d＝ 　 　 cm。 （3）实验时释放砝码盘，滑块在细线拉动下从左边开始运动，测量出遮光片经过光电门A、B的遮光时间分别为t1、t2，用天平测量砝码盘（含砝码）的总质量为m、滑块（含遮光片）的质量为M，遮光片宽度为d，则滑块从A运动到B的过程中，验证砝码盘（含砝码）和滑块（含遮光片）组成的系统机械能守恒的表达式为 　 （用题中给出物理量的字母表示）。 8．（2025秋•南宁月考）为验证机械能守恒定律，某物理兴趣小组利用气垫导轨、光电门、滑块、遮光片等组装成具有一定倾角的导轨装置，如图甲所示。测得滑块（含遮光片）的质量m＝0.3kg，当地重力加速度大小g＝9.8m/s2。 （1）用游标卡尺测得遮光片的宽度如图乙所示，则宽度d＝　 　 mm。 （2）安装实验器材后，测量导轨倾角θ，计算得sinθ＝0.20，某次实验中滑块从导轨顶端由静止开始释放，测得滑块静止时遮光片到光电门的距离L＝85.00cm，遮光片通过光电门的时间Δt＝5.50ms。在此过程中，滑块动能的增加量ΔEk＝　 　 J，重力势能的减小量ΔEp＝　 　 J。（结果均保留两位有效数字） 9．（2025秋•辽宁期末）某学习小组在倾斜的气垫导轨上验证机械能守恒定律，实验装置如图甲所示，当地重力加速度为g，实验操作如下： （1）如图乙所示，先用游标卡尺测出遮光条的宽度d＝ 　 　 cm。 （2）将气垫导轨右侧适当垫高，测出光电门A、B光敏管的高度分别为hA、hB。 （3）将滑块轻放在调节好的气垫导轨右端，测出滑块经过光电门A、B的时间ΔtA、ΔtB，则滑块经过光电门A时的速度为 　 （用题目所给的符号表示）。 （4）若满足 　 （用题目所给的符号表示），则说明滑块在光电门A、B之间运动的过程中机械能守恒。 10．（2025秋•随州期末）“祖冲之”实验小组用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律。倾角为θ的斜面固定在水平桌面上，斜面上安装有气垫导轨，顶端固定有一轻质定滑轮，装有遮光片的小物块A通过绕过定滑轮的细线与物块B相连，小物块A与遮光片的总质量为m，物块B的质量为2m，斜面上方距离斜面底端l0处固定一光电门，当地重力加速度大小为g。 （1）先用游标卡尺测量出遮光片的宽度，示数如图乙所示，则遮光片的宽度L＝ 　 　 cm。 （2）由静止释放斜面底端的小物块A，小物块A通过光电门的遮光时间为Δt，则小物块A通过光电门时的速度v＝ 　　 （用测得的和已知的物理量符号表示）；当表达式 　 （用已知的和求得的物理量符号表示）成立，则机械能守恒定律得到验证。 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $