第15章 概率 章末检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第15章章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 少有1人来无锡旅游的概率为 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1 &后 D11 15 1.(2024·江苏淮安高一期末)已知某医院治疗 6.(2024·河南郑州高一期末)现有6个相同的 一种疾病的治愈率为10%，下列说法正确的是 盒子，里面均装有6张除图案外其他无区别 的卡片，第k(k=1,2,3,…,6)个盒子中有 A.患此疾病的病人被治愈的可能性为10% k张龙形图案的卡片，(6-k)张兔形图案的卡 B.医院接收10位患此疾病的病人，其中有一 片.现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子， 位病人被治愈 并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放 C.如果前9位病人都没有被治愈，第10位病 回，若第二次取出的卡片为免形图案的概率 人一定能被治愈 D.医院接收10位患此疾病的病人，其中一定 为号则 有能被治愈的 A.2 B.3 C.4 D.5 2.（2024·河北衡水高一期末)从一批羽毛球产 7.（2024·福建福州高一期末)甲和乙两位同学 品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为 准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设 0.3,质量不超过4.85g的概率为0.32，那么其 质量在[4.8,4.85]范围内的概率是（ 甲对乙每局获胜的概率都为了，比赛采取三 A.0.62B.0.38C.0.02 D.0.68 局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获 3.(2024·江苏连云港高一期末)掷一颗质地均 胜，比赛结束)，则甲获胜的概率为() 匀的骰子，观察所得的点数a,设事件A=“a A.5 为3”，B=“a为4”，C=“a为奇数”，则下列结 . c 9 论正确的是 ( 8.（2024·河北张家口高一期末)如图，某电子 A.A与B为互斥事件B.A与B为对立事件 元件由A,B,C三种部件组成，现将该电子元 C.A与C为对立事件D.A与C为互斥事件 件应用到某研发设备中，经过反复测试，A,B, 4.（2024·江苏南通高一期末)一个水果盘子里 G三种部件不能正常工作的概率分别为 有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则 选中的水果品种相同的概率为 43,各个部件是否正常工作相互独立，则该 11 B c号 电子元件能正常工作的概率是 5.(2024·江苏无锡一中高一月考)端午节是我 A B 国传统节日，甲、乙2人端午节期间来无锡旅 游的概率分别是写，号，假定2人的行动相互 B 18 、> 64 A. B C. 之间没有影响，那么甲、乙2人端午节期间至 25 25 75 75 必修第二册·SJ学霸178 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 D.甲队输一场且积分超过其余每支球队积 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 分的米为，品 选错的得0分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 9.（2024·江苏常州高一期末)已知事件A,B发 15分. 生的概率分别为P(A)=0.2,P(B)=0.4,则下 12.(2024·河北石家庄高一期末)已知P(AUB) 列结论正确的有 A.若A与B互斥，则P(A+B)=0.6 子，P(A)=,P(B)=写则P(AnB) B.若ACB,则P(AB)=0.4 C.若P(AB)=0.12,则A与B相互独立 13.（2024·江苏无锡天一中学高一期末)某人 D.若A与B相互独立，则P(A+B)=0.52 10.(2024·广东湛江高一期末)今年“五一”假 上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶 期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日 商机，积极开展各类促销活动.在某超市购 的概率为！，设该人从第1阶台阶出发，到 买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖 达第3阶台阶的概率为 活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小 14.（2024·吉林长春高一期末)冰雹猜想又称 张中奖的概率为0.2，则 考拉兹猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描 A.小王和小张都中奖的概率为0.1 述为：任一正整数x,如果是奇数就乘3再加 B.小王和小张都没有中奖的概率为0.46 1,如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将 C.小王和小张中只有一个人中奖的概率为 会得到数字1.例如：给出正整数5，则进行这 0.44 种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1， D.小王和小张中至多有一个人中奖的概率 即按照这种运算规律进行5次运算后得到 为0.92 11.（2024·江苏苏州高三月考)某区四所高中 1.若从正整数6,7,8,9,10中任取2个数按 各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙 照上述运算规律进行运算，则运算次数均为 队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛（即每 奇数的概率为 支球队都要跟其他各支球队进行一场比 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 赛)，最后按各队的积分排列名次，积分规则 文字说明、证明过程或演算步骤， 为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一 15.(13分)(2024·江苏苏州高一期末)一个袋 场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概 子中有大小和质地均相同的四个球，其中有 率都为？，则在比赛结束时 两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号 为3)，一个白球（标号为4），从袋中不放回 A.甲队积分为9分的概率为 地依次随机摸出两个球.设事件A=“第一次 27 B.四支球队的积分总和可能为15分 摸到红球”，事件B=“第二次摸到黑球”，事 件C=“摸到的两个球恰为一个红球和一个 C.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 43 白球”. 第15章学霸179 (1)用数组(x,x2)表示可能的结果，x1是第17.(15分)(2024·山东德州高一期末)已知 一次摸到的球的标号，2是第二次摸到 X,Y两组各有5位病人，他们服用某种药物 的球的标号，试用集合的形式写出试验 后的康复时间（单位：天）记录如下： 的样本空间2； X组：10,11,12,13,14 (2)分别求事件A,B,C发生的概率； Y组：12,13,15,14，a (3)求事件A,B,C中至少有一个发生的 假设所有病人的康复时间相互独立，从X,Y 概率 两组随机各选1人，X组选出的人记为甲， Y组选出的人记为乙， (1)如果a=8,求甲的康复时间比乙的康复 时间长的概率； (2)如果a=16,事件M:“甲康复时间为 11天”，事件N:“甲、乙康复时间之和为 25天”，事件M,N是否相互独立？ 16.（15分)(2024·江苏泰州高一期末)某医院 抽取了100名患者的心跳数据，分成[59.5， 69.5),[69.5,79.5),[79.5,89.5),[89.5, 99.5),[99.5,109.5]五组，得到如图所示的 频率分布直方图。 频率 组距 0.035 0.025 0.020 0.010 059.569.579.589.599.5109.5次数 (1)求心跳为89.5次的百分位数，并估算这 批患者心跳次数的平均数； (2)为进一步了解患者心跳次数的情况，从 18.（17分)(2024·江苏南京外国语学校高 高于89.5次的患者中分层抽样6人，再 一月考)如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分 从6人中任取2人，求抽中的2人心跳 别位于迷宫的A,B两处，两人同时以每分钟 次数都大于或等于99.5的概率， 一格的速度向东、西、南、北四个方向行走， 已知甲向东、西行走的概率都为4，向南、北 行走的概率分别为和p,乙向东、西、南、北 四个方向行走的概率均为q (1)求p和g的值 必修第二册·SJ学霸180 (2)问最少几分钟，甲、乙二人相遇？并求出 组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人 最短时间内可以相遇的概率 戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如 此呢？ 3 6 甲 胜者1 胜者3 乙N 7入胜者2 胜者5 冠军 2 4 丙 负者 负者3 负者2胜者4 双败赛制流程图 这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支 队伍分别为A、B、C、D,其中A对阵其他三支 队伍获胜概率均为P,另外三支队伍彼此之 间对阵时获胜概率均为？最初分组时A,B 同组，C、D同组 (若p=子，在淘达赛塞制下，A,C获得冠 19.(17分)(2024·湖北黄冈高二月考)第19届 军的概率分别为多少？ 亚运会首次增设了电子竞技项目.与传统的 (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率 淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败 (用p表示)，并据此简单分析一下双败 赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰 赛制下对队伍的影响，是否如很多人质 赛失败一场就丧失了争夺冠军的权利，而在 疑的“对强者不公平”？ 双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了 两场才会被淘汰出局，因此更有容错率假 设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛赛 制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛， 胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终 的冠军双败赛制下，两两分组，胜者进入到 胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队 伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到 败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决 的败者将直接被淘汰，胜者将跟胜者组的败 者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决 赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个 有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一 场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他 的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者 第15章学霸1816个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率 为忍名放选A 8.0055 3 解析：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5， 4n,6n,所以总数为15n,所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白 球个数为3n;乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n;丙盒 中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n.记“从三个盒子中各取 一个球，取到的球都是黑球”为事件A,所以P(A)=0.4×0.25×0.5= 0.05:记“将三个盒子混合后任取一个球，是白球”为事件B,黑球 有2n+n+3n=6n(个)，白球共有9n个，所以P(B)=5 3 答案为0.05；5 ,解析：从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有6×5×4= 120(种)，设前两个球上数字分别为a,b,第三个球上数字为c,则 atb+c atb 1 32 ≤2，故12e-(a+b)1≤3，故-3≤2c-(a+b)≤3，故 a+b-3≤2c≤a+b+3,若c=1,则-1≤a+b≤5，且a,b≠1，则(a,b)为 (2,3),(3,2),共有2种；若c=2,则1≤a+b≤7，且a,b≠2，则(a, b)为(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,1)，(4,1)，(5,1)， (6,1),(4,3),共有10种；当c=3,则3≤a+b≤9，且a,b≠3，则(a, b)为(1,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(4,5)， (2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),共有 16种， 当c=4,则5≤a+b≤11，且a,b≠4，同理共有16种， 当c=5,则7≤a+b≤13，且a,b≠5，同理共有10种， 当c=6,则9≤a+b≤15，且a,b≠6，同理共有2种， 故m与m的差的绝对值不超过？时不同的抽取方法总数为2× (2+10+16)=56.敌所求减率为120=15：放答案为7 151 107 解析：从五个活动中选三个的情况有：ABC,ABD, ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况，其中甲 选到A有6种情况：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,则甲选到A 的概率为6=3 10=59 乙选A活动有6种情况：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,其中再 选择B有3种情况：ABC,ABD,ABE,故乙选了A活动，他再选择B 活动的概率为3.1 6=2 11.12 63 解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为2 占石，甲，乙两球都不落人盒子的燕率为(-宁）×( 号）弓，则甲、乙阿球至少有-个落入盒子的概率为1 12 3-3 12.解：(1)记事件M:甲连胜四场只能是前四场全胜，则P(M)= (位)广石 (2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结 束比赛的概率P'=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4X (3) 需要进行第五场比赛的概率P=1-P'=4 3 (3)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输 记事件M:甲赢，记事件N:丙赢， 必修第二册·SJ 则甲赢的基本事件包括BCBC,ABCBC,ACBCB,BABCC,BACBC, BCACB,BCABC,BCBAC, ∴.甲赢的概率P(M)= :）广x(日)）最 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 97 :丙赢的概率P()=1-2×216 13.解：(1)由所给数据，该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率 的估计值如表： 空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值0.430.270.210.09 (2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 00×(100x20+ 300×35+500×45)=350. 14.解：(1)记“该校男生支持方案一”为事件A,“该校女生支持方案 一”为事件B,由于所有学生对活动方案是否支持相互独立，则由 题表中数据可知抽取的男生总人数为200+400=600，支持方案一 的有200人，则估计该校男生支持方案一的概率P(A)=20 600 ?抽取的女生总人数为300+100=400，支持方案一的有300人， 故估计该校女生支持方案一的概率P(B)=400=4: (2)记“从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取 1人，这3人中恰有2人支持方案一”为事件C,则事件C包含“ 名男生支持，一名男生不支持，一名女生支持”“两名男生支持， 名生不支持，由(0可知P(0=2x(1-号)）水兮× .13 (3)P0P1 第15章章末检测 1.A解析：某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，对于A,患此疾病 的病人被治愈的可能性为10%，故A正确；对于B,医院接收10位 患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为10%，不一定有一位病 人被治愈，故B错误；对于C,如果前9位病人都没有被治愈，第 10位病人不一定能被治愈，故C错误：对于D,医院接收10位患此 疾病的病人，不一定有能被治愈的，故D错误.故选A 2.C解析：记“从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于48g”为 事件A,“从一批羽毛球产品中任取一个，其质量不超过4.85g”为 事件B,“从一批羽毛球产品中任取一个，其质量在[4.8,4.85]范围 内”为事件C,则AUC=B.又事件A与事件C互斥，所以P(AU C)=P(A)+P(C)=P(B),即0.3+P(C)=0.32,所以P(C)=0.02. 故选C 3.A解析：依题意可知，事件A与B不可能同时发生，A,B互斥，但 不是对立事件；显然A与C可以同时发生，不是互斥事件，更不是 对立事件.故选A. 4.C解析：根据题意，记2个苹果分别为1和2,3个桃子编号为A, B,C,从盘中任选两个，可得(1,2)，(1，A),（1,B),(1,C),(2,A), (2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种情况 选中的水果品种相同的选法有(1,2)，(A,B),(A,C),(B,C),有 纯，所以选中的水果品种相同的概率为0=号故选 5.C解析：甲、乙2人端午节期间都没来无锡旅游的概率为1 号)小×(1子)号则甲，乙2人流午节期间至少有1人来无 縐旅游的概本为1-子子，故选心 6.A解析：第k个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到 学霸106 免形图案的卡片的概率为总<。 第一次和第二次都取到兔形图案的卡片的概率为5一x5-, 65, 所以第二次取到的卡片为兔形图案的概率P=人×6-k+- 6 ★ 6 5-k2 5=3,解得k=2.故选A 7.B解析：分三类： ①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为 1 ②甲给第一局，嘉后两局，此时甲获胜的概率为（1-了）×号× 12 3271 ③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为子×（1~ 专)对易 放甲失耀的概率为)品号子放选且 8.C解析：设上半部分正常工作为事件M,下半部分正常工作为事 件N,该电子元件能正常工作为事件A,则P(M)=（1-） (1-）3,(0-=1-pW0=1-3-号P(M=(-× 5 小(-号）品所以Pr(=1-P(0=1-8-品所以 、P(A)=1-P(W0PN)=1名×】，即该电子元件能正常工作 的概率是答放选C 9.ACD解析：已知事件A,B发生的概率分别为P(A)=0.2,P(B)= 0.4,对于A,若A与B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.2+0.4= 0.6,A选项正确；对于B,若A二B,则P(AB)=P(A)=0.2, B选项错误；对于C,若P(AB)=0.12=P(A)-P(AB)=0.2 P(AB),则P(AB)=0.08=P(A)P(B),有A与B相互独立， C选项正确：对于D,若A与B相互独立，有P(AB)=P(A)P(B)= 0.08,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.4-0.08=0.52, D选项正确.故选ACD. 10.CD解析：对于A,因为小王中奖和小张中奖相互独立，则小王和 小张都中奖的概率为0.4×0.2=0.08，故A错误；对于B,小王和小 张都没有中奖的概率为(1-0.4)×(1-0.2)=0.48，故B错误；对于 C,小王和小张中只有一个人中奖包括两种情况：①小王中奖但小 张没中奖：②小张中奖但小王没中奖.两者互斥，故小王和小张中 只有一个人中奖的概率为0.4×(1-0.2)+0.2×(1-0.4)=0.44，故 C正确：对于D,因“小王和小张中至多有一个人中奖”的对立事 件为“小王和小张都中奖”，故小王和小张中至多有一个人中奖 的概率为1-0.2×0.4=0.92，故D正确.故选CD 11.ABD解析：对于选项A:若甲队积分为9分，则甲队胜乙队、丙 队丁队，所以甲队积分为9分的概率为写×号×号=7 111 故A正确；对于选项B:四支球队共6场比赛，例如：甲队胜乙队、 丙队、丁队，而乙队、丙队、丁队之间相互为平局，则甲得9分，乙 队、丙队、丁队各得2分，所以四支球队的积分总和可能为15分， 故B正确；对于选项C:每场比赛中两队胜，平、负的概率都为了， 则甲队胜3场的概率为(3) 3 1 ,乙队胜1场即1胜1平1负或 1胜2负，其中1场输给甲队，则乙队与丙队、丁队1胜1平或 参考答案 1胜1负，乙队张丙队，平或输丁队的概率为}×号，乙队平或输 丙队胜丁队的概率为子×兮，则甲队胜3场且乙队胜1场的既 率（付）（仔子+号兮）嘉故c信银：对于法费 D:甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中 选一8队与甲队比赛，甲队输的概率为？，例如是甲队输给丙队， 若甲队与乙队、丁队的两场比赛一胜一平，则甲只得4分，这时， 丙队与乙队、丙队与丁队两场比赛中，丙队只能输，否则丙队的分 数不小于4分，在丙队输的情况下，乙队、丁队都有3分，那么它 们之间的比赛无论什么情况，乙队、丁队中至少有一队得分不小 于4分，不合题意； 若甲队对忆队，丁队全胜（率是（行）) 时，甲队得6分，则 其他3队分数最高为5分，这时丙队与乙队，丙队与丁队两场比 赛中，丙队不能胜，否则丙队的分数不小于6分，只能平或负， 1 ①诺丙队-平一负，平乙队，负丁队的概率为(3)，此时乙队 与丁队比套时，丁队不能胜，餐率为号，故此矜情况的概率为 (传)号 同建平丁队负乙队时的概率包为（兮）广子 ②若丙队两场均平，概率是 () ,乙队和丁队这场比赛无论 结果如何均符合题意； ③若两场丙队都负，概率是 (兮)°，乙队和丁队这场比赛只能 平概率是宁此带特况的概率为（兮）宁 即甲队负两队时满足题意的概率为了（行）×[x(兮)广x 子（兮）（号）广对] 同理，甲队负乙队、甲队负丁队两种情况下的概率也是，为 88 综上，概率为3×72)3，故D正确故选ABD, 12.1 6 解折：由感意得P(B)=子，由P(AUB)=P()+P(B)- 1231故答案为6 P(AOB),P(AOB)=4+346 138 解析：到达第3阶台阶的方法有两种： 第一种：每步上一个台阶，上两步，则概率为3×3=9 44-169 第二种：只上一步且上两个台阶，则概率为4 所U到达第3阶台阶的概率为。名做答案为名 16 4,0解析：按照题中运算规律，正整数6的运算过程为6→3→ 10→5→168→4+2→1，运算次数为8；正整数7的部分运算过 程为7→22→11→34→17+52→26→13→40→20→10，当运算到 10时，运算次数为10，由正整数6的运算过程可知，正整数7总 的运算次数为10+6=16：正整数8的运算次数为3；正整数9的部 分运算过程为9→28→14→7，当运算到7时，运算次数为3，由正 整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为3+16=19；正 整数10的运算次数为6：故正整数6,7,8,9,10的运算次数分别 学霸107 为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数.从正整数6,7,8,9,10中任取2个 数有(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8， 9),（8,10),(9,10),共10种，其中运算次数均为奇数的有(8， 9),共1种，故运算次数均为奇数的概率为0故答案为 15.解：(1)样本空间2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2 4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共有12个基本 事件. (2)事件A的基本事件为{(1,2)，（1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)， (2,4),共6个基本事件，所以P(A)=7 事件B的基本事件为{(1,3)，(2,3)，(4,3)}，共3个基本事件， 所以P()=子 事件C的基本事件为{(1,4)，(2,4)，(4,1)，(4,2)}，共4个基 本事件，所以P(C)=3 (3)事件A,B,C中至少有一个发生的基本事件为{(1,2)，(1， 3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共9个 基本事件，所以P(AUBUC)=4 16.解：(1)89.5的百分位数为100×[1-10×(0.02+0.01)]=70. 设心跳次数为x,则x=64.5×10×0.01+74.5×10×0.025+84.5×10× 0.035+94.5×10×0.02+104.5×10×0.01=84,所以这批患者心跳次 数的平均数为84. (2)由从高于89.5次的患者中分层抽样6人，得[89.5,99.5)抽 4人，记为A,B,C,D,[99.5,109.5]抽2人，记为E,F, 记“抽中的2人心跳次数都大于或等于99.5”为事件M 从6人中任取2人有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),（B, C),(B,D),(B,E),(B,F),（C,D),(C,E),(C,F),(D,E), (D,F),(E,F),共15种， 2人心跳次数都高于99.5的有(E,F),1种 则P()=5,即抽中的2人心跳次数都大于或等于95的概率 17.解：(1)当a=8时，从X,Y两组随机各选1人，样本空间2= {(10,12),(10,13),(10,15),(10,14),(10,8),(11,12),(11, 13),(11,15),(11,14),(11,8),(12,12),(12,13),(12,15), (12,14),(12,8),(13,12),(13,13),(13,15),(13,14),(13, 8),(14,12),(14,13),(14,15),(14,14),(14,8)},共有25种， 甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有(10,8)，(11,8) (12,8),(13,12),(13,8),(14,12),(14,13),(14,8)},共8种 即所求疑率为受 (2)当a=16时，P(M)=,事件N的情况有(10,15)，（1L, 14),(12,13),(13,12)},共4种，则P(=25 4 事件MN:“甲康复时间为11天且甲、乙康复时间之和为25天”的 情况为(11,14)，则P(MN)= 方因此P(w)P(W=与×名 25≠P(MM,所以事件M,N不相互独立. 1.1.1 1 18解：()：4+4+写p=1,p=64g=1,g=4 (2)根据方形迷官，以及甲、乙两人所 处位置可知，最少需要2分钟，甲、乙二 人可以相遇（如图，C,D,E三处为相 遇点)； 设在C,D,E三处最短时间相遇的概率西 E 东 分别为Pc,PD,PE, 则=（石x石）x(任*】 南 必修第二册·SJ 1 5761 w=2x(6x(台） PE= e060点7即所求的据率为，品 1.1.137 19.解：(1)A获得冠军：AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜 曲，4得冠军的率=+子宁× C获得冠军：CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出，C获 得冠军给率宁×2()）宁×(2）水片品 1-5 (2)淘达赛赛制下，A获得冠军的概率为px2p+p×20=p, 双败赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组， 若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军； 若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军 综上，A获得冠军的概率为p(1-p)+p3+(1-p)p3=p3(3-2p) 令fp)=p3(3-2p)-p2=p2(-2p2+3p-1)=p2(2p-1)(1-p), 若A为强队，则2印<1，故f(P)>0,所以双败赛制下对强者更 有利. 专题探究15数学文化与探究创新 1.C解析：因为A(0,1),B(2,1-22),所以A=(2,-22), 将向量沿顺时针方向旋转：，即沿逆时针旋转-牙，得到。 (2m(）(-22m()a()+(-2) m()）,化简得市(-1，-3)，所以点P坐标为(-1，-2)。 故选C. 2.AD解析：A1A=AA1A(A∈R),A1A=uA1A2(∈R), ·A1A3∥A1A2,A1A4∥A1A2,A1,A2,A3,A4四点共线. ·平面上的点C,D调和分割点A,B,A,B,C,D四点共线， 故A正确； 由题意可设A(0,0),B(1,0),C(c,0),D(d,0),则(c,0)=入(1， o.ao=41.oAed+女-2-2 对于B,者D是线段B的中点则宁，代人到上26不 存在，故B错误： 对于C,若C,D同时在线段AB上，则0≤c≤1,0≤d≤1，代入到 。+=2,可得c=d=1,此时C,D重合，与题意不符，故C错误， 1 对于D,若C,D同时在线段AB的延长线上，则c>1,d1,。+ 子2，与日2不质，故G,D不可能同时在线段40的延长线 上，故D正确.故选AD. 3.BC解析：对于A中，例如边长为整数的等边三角形是整边三角 形，但其内角都是，其正孩值为所以其正弦值为无理煮，所 以A不正确；对于B中，如图所示，设△ABC的边 长分别为AB=13,AC=14,BC=15, 14 由余弦定理，可得csA=132+14-152.5 2x13x1413,所c 学霸108