第13章 专题探究07 空间几何体中的截面问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

专题探究07空间 题组一多面体的截面问题 1.(2024·陕西西安交大附中高一期中)有一封 闭透明的正方体容器，装有容积一半的有色 溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形 状不可能是 () A.三角形 B.正方形 C.菱形 D.正六边形 2.(2024·河北保定高一月考)《九章算术》中， 将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑. 在如图所示的鳖臑A-BCD中，AB⊥ 平面BCD,BD⊥CD,E,F分别为BC,AD的中 点，过EF的截面a与AC交于点G,与BD交 于点H,AB=1,若AB∥截面a,且CD∥截面a, 四边形GEHF是正方形，则CD= 3 .2 B.1 C. D.2 (第2题) (第3题) 3.(2024·重庆长寿区高一期中)如图所示， 在正四棱台ABCD-AB,C,D1中，上底面边长 为4，下底面边长为6，体积为7622 3,点E 为AD中点，过点E的平面α与平 面D,AC平行，且与正四棱台相交得到截面多 边形，则该截面多边形的周长为 ( A.43 B.3√2 C.2√3+3√2 D.4√3+32 第13章 儿何体中的截面问题 4.(2024·福建宁德高一月考)已 知正三棱柱木料ABC-A,B,C1 各棱长都为2，如图所示，01， 0 O分别为△AB,C1和△ABC 的中心，Q为线段O,0上的 旦08》过4，B,0三点的截面把该 点，且 木料截成两部分，则截面面积为 题组三球的截面问题 5.(2024·天津和平区高一期中)棱长为a的正 方体ABCD-A,B,C,D1的8个顶点都在球O 的表面上，点E,F分别是棱AA1,DD1的中点， 则过点E,F的直线被球O截得的线段长为 A.√3a B.2a C.2a 0② 6.（2024·江苏无锡高一月考)在正六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，A41=2AB=2,0为 棱AA1的中点，则以0为球心，2为半径的球 面与该正六棱柱各面的交线总长为() A(5)m B.) c.() n.12:2 7.(2024·湖北武汉高一月考) 如图，正三棱锥O-ABC的三 条侧棱OA,OB,OC两两垂直， 且侧棱长OA=OB=OC=√2， 以点0为球心作一个半径为2 的球，则该球 3 被平面ABC所截的圆面的面积为 学霸115 专题探究08空间儿何 题组。空间几何体的内切球 1.(2024·安徽安庆高一期中)在封闭的等边圆 锥（轴截面为等边三角形）内放人一个球，若 球的最大半径为1，则该圆锥的体积为 A.3π B.6T C.9π D.12π 2.（2024·江苏南通高一期中)如图，圆台的上、 下底面半径分别为r1,r2,半径为r的球与圆 台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积 为25T,则T1+r2= A.5 B.5m C.10 D.10m 3.（2024·天津北辰区高一月考)在三棱 柱ABC-A,B,C1中，上下底面均为等腰直角三 角形，且AB=√2BC=√2，AA1⊥平面ABC,若 该三棱柱存在内切球，则AA,= A.2 B.2-√2 C.2+√2 D.√2 4.（2024·陕西渭南高一期末)正三棱锥 S-ABC的底面是面积为√5的正三角形，高 为22，则其内切球的表面积为 B.8T 3 C. D. 5.如图，已知圆锥P0的底面 半径OA的长度为1，母线 PA的长度为2，半径为R 0 的球O,与圆锥的侧面相 B 切，并与底面相切于点0， 若球O2与球O1、圆锥的底面和侧面均相切， 则球0，的表面积为 必修第二册·S 体的内切球与外接球问题 题组已空间几何体的外接球 6.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，四边 形ABB'A'是边长为1的正方形，AD=√7，则 该长方体的外接球表面积是 () π N.2 B.9 2 C.36π D.9T 7.在三棱锥S-ABC中，SA=BC=5,SB=AC= √41，SC=AB=√34，则该三棱锥的外接球表 面积是 （) A.50m B.100πC.150π D.200m 8.把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖 上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面 和侧面相切，则该球称为圆柱的内切球；如果 一个圆柱的上、下底面圆上的点均在同一个 球上，则该球称为圆柱的外接球若一个圆柱 的表面积为S,内切球的表面积为S2,外接球 的表面积为S3,则S1:S2:S3为 ) A.1:2:2 B.1:1:1 C.3:2:4 D.2:3:3 9.(2024·湖南益阳高一月考)A 如图，在边长为2的正方 形ABCD中，E,F分别是AB, BC的中点，将△AED,△BEF,B △DCF分别沿DE,EF,DF折起，使得A,B,C 三点重合于点A',若三棱锥A'-EFD的所有 顶点均在球O的球面上，则球0的体积为 ( ) A. 3 36 πC.6mD.46n 3 学霸116的平面角为∠4，A,即∠A,A=号，所以m∠A,A- AA AH 3w5 3治=m子=5，所以M=3,所以Sw=子C0·AM= 2x 3=3,SaMc=了SACD=1,所以SaD=4, 所以四棱柱ABCD-A1B1C,D1的体积V=SARCD·AA1=4×3V3= 123,所以三棱台PBC=A4AD的体积Vpc40=36=2 3 专题探究06计算几何体体积的常用方法 1.B解析：根据圆台体积公式可得，子（3”m+52m+3云·5m)× 4≈205(cm3),那么该壶的容积约为200cm3.故选B. 4 2.A解析：设球的半径为，则球的体积V=了m己，由题中条件可 知正三棱锥的底面积S=52,=2,所以正三棱锥的体积，= 4 1√3 3 子所 6 V185m故选八 V231 重难点拨 体积的计算是本节的重点，熟记各种筒单几何体的体积公式是基础，将 复杂几何体合理分割与补形是常用方法，具体问题具体分析，灵活转化 是解题策略.几何体体积的计算在实际生活中经常遇到，在计算中应注 意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、 锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等平面图形的应用. 3.B解析：设点P到平面ABCD的距离为d,所以点E到平面ABCD 的距离为了4因为8=子c0,所以肥=子而as SABCD 1 飞放'：了a03×专写放 VP-ABCD VP-ABCD 3 XdxSABcD 选B. 4.A解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AD,M1的中 点，则A,D∥EF,而EFC平面BEF,A1D丈平面BEF,所以AD∥ 平面BEF,又因为P是线段A,D上的动点，因此点P到平面BEF 的距离等于点A1到平面BEF的距离，连接A1E,所以三棱锥P 1 BEF的体积V三棱推-BEP=V三被锥A1-BEF=V三棱锥B-A1EP=3 ××2x24=号放选A 11 S△M,BF·AB=- 重难点拨 等积变换法也称等积变形法或等积转换法，它是通过选择合适的底 面来求几何体体积的一种方法，求三棱锥的体积时可采用此方法 5.C解析：过点E作EG⊥平面ABCD,垂足为G, 过点F作FH⊥平面ABCD,垂足为H,过点G作 PQ∥AD,交AB于点Q,交CD于点P,过点H C 作MN∥BC,交AB于点N,交CD于点M,如图所 示.因为四边形ABCD是矩形，棱EF∥AB,AB=4,AQNB EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，所以四边形 PMNQ是边长为2的正方形，EQ=√22-12=√3，EG= √（万）2-1P=√2，所以这个几何体的体积V=V-0Pm+ wm+W-mw=号x1x2xx2+7x2x万x2=4 4w2 +2= 105故选C 3 6.D解析：设内切圆半径为r,两圆锥的体积都为V,= 32h 3 m×12x2=2 6 必修第二册·SJ 、故该正方体剩余部分的体积为V=2-2xW+V2=8-3+6=8- 6放选D 7 专题探究07空间几何体中的截面问题 1.A解析：正方体容器中盛有一半容积的有色溶液，无论怎样转动， 其液面总是过正方体的中心.对于B,当过正方体一面上相对两边 的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，即静止 时液面如图①，故B正确：对于C,当过正方体一面上一边的中点 和此边外的一个顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为 菱形，即静止时液面如图②，故C正确：对于D,当过正方体一面上 相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六 边形，即静止时液面如图③，故D正确故选A ① ② 2.B解析：如图所示，过EF的截面α与AC交于 点G,与BD交于点H,则截面α即为四边形 GEHF,因为AB∥截面a,ABC平面ABC,平面 ABCn平面=GE,ABC平面ABD,平面ABD∩B 平面a=HF,所以AB∥GE∥HF.又因为CD∥截 面a,同理可得，CD∥GF∥EH.因为在△ABC中， E为线段BC的中点，所以线段GE是△ABC的中位线.因为在 △ABD中，F为线段AD的中点，所以线段HF是△ABD的中位线， 所以E,H分别是线段BC,BD的中点，所以线段EH是△BCD的中 位线，所以CD=2EH.又因为四边形GEHF是正方形，所以CD= 2EH=2GE=AB=1.故选B. 3.D解析：如图①所示，过点A1作A1H⊥AC于点H,因为A,C1=42, AC=62,所以AH=√2，则四棱台的高为A,H,则四棱台的体积为 3×(4+62+4x6)x4,H=76V2 ,解得A1H=√22，所以侧棱长 3 为AA1=√22+2=2W6. D ② 如图②所示，过点D1作D1F⊥AD于点F,过点A1作A1G⊥AD于 点G,连接AD1,由对称性可知，DP=4G=61,GP=4D,=4,所 以AF=6-1=5.因为DD1=AA1=26,所以D1F=√24-1=√23 所以AD1=√25+23=4W5.同理CD1=AD1=45,如图①，分别在棱 CD,DD1上取中点M,N,连接EN,EM,MN,则平面EMN即为平面 NE=MN=】AD=25,ME=)AC=35,所以截面多边形的 长为43+32.故选D. 4.3⑩ 解析：如图，连接C0,C01,延长分别 交AB,A1B1于点D,D1,易知CD∥C1D1,连接DQ 并延长交C,D1于点P,过点P作EF∥A,B,交 B,C1,A1C1于点E,F,连接BE,AF因为EF∥ AB1,所以EF∥AB,故梯形ABEF为过A,B,Q三 D 点把正三棱柱ABC-AB1C1截成两部分的截面. 因为01,0分别为△A,B,C,和△ABC的中心，1Q02 101Q11 又因为cD/C,D1,所以0，P=)0D=}0,D. 2 2 学霸074 又因为△41BC,是等边三角形，所以0D,=号D,G, 故D1P=2D1C1,即P是D,C1的中点，所以EF=24B1, 易知四边形ABEF为等腰梯形，所以PD为等腰梯形的高 又因为正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都为2，所以EF=1,BE= T5.m-T8-Er-√5-(。 √19 1 ,所以Sa=Z(IAB1+EF)XIPD1=Z X3x931四 2 4 故答案为3 4 5.C解析：因为正方体内接于球，所以2R= a+a2+a,R=5。 a,过球心0和点E,F的大 圆的截面图如图所示，则直线被球截得的线段Q 为QT,过点0作OP⊥QT于点P,易知EF=a, 所以在△00中，0m=20p=2,√-（） =√2a.故 选C. 6.D解析：因为球0的半径为2，所以球0不 与侧面ABB,A1及侧面AFF,A1相交，连接 0C1,A1C1,0E1,A1E1,如图，由题得0A1= 1,A1C1=A1E1=√5，所以0C1=2,所以球0 与侧面BCCB1交于点C1,C,与侧面 EFFE1交于点E1,E.在正六边形 A1B1C1D1E1F1中，易得A1C11C1D1.因为 CC1⊥平面AB1CD1E1F1,A1C1C平 面A1B1C1D1E1F1,所以CC1⊥A1C1.又因为 CD1nCC1=C1,CD1,CC1C平面 B CDD1C1,所以A1C1⊥平面CDD1C1,即OG⊥平面CDD1C1,且OG= 3,又√22-(3)2=1,0H=0C1=0C=2,所以球0与侧面 CDD1C1的交线为以CC1为直径的半圆，同理可得球O与侧面 ED0E,的交线为以B,为直径的半圆由题易得∠B,AC1=号， 则球O与上底面A1B1C,D1E1F1及下底面ABCDEF的交线均为 6个半径为5的圆，所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为2× 2mx厅=(22）故选D, T×1+2x1 ,解析：正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA, OB,OC两两垂直，过点O作O01⊥平面ABC于 点O1,且侧棱长OA=OB=0C=√2，正三棱锥 O-ABC的三个侧面都是以0为直角顶点的等腰 直角三角形，得AB=BC=AC=2,所以O01=A( 11 3V三枚锥0-AB6= √6 作OD⊥AB S△ABC 2xvV2-17 1 3 交B于点D,则0=2x号1因为球的半径满是.O01<2 √2=OA,所以以O为球心的球被平面ABC所截的圆面如图所示， 其中0E=0F=0G=0M=0N=0r=25因为o0,⊥平面ABC,所以 0,E=V0-00=气，故所求截面的面积为mx0,2:× ()三故爷案为 专题探究08空间几何体的内切球与 外接球问题 1.A解析：由题意得，等边三角形的内切圆的圆心也是三角形的重 参考答案 心，所以得高h=3,设底面半径为，由已知得r=h an60。V3,故体 积V=}rh=3n放选A 2.A解析：由题意得，圆台的母线长l=r1+r2,而π(r1+r2)l=25T,因 此(1+r2)2=25,因为1+r2=5.故选A 3.B解析：由题可知，△ABC为等腰直角三角形，因为AB=√2BC= √2，所以AB=√2，BC=AC=1,所以△ABC内切圆的半径r= BC+AC-AB_2一-巨因为三棱柱存在内切球，所以内切球的半径 2 2 2-√ R=r=2 ，所以棱柱的高h=2R=2-√2.因为AA1⊥平面ABC,所 以该三棱柱为直三棱柱，所以AA1=h=2-√2.故选B. 4.C解析：由题可知，正三棱锥S-ABC的顶 点S在底面ABC的投影为△ABC的中心O, 如图，设底面边长为a,侧棱长为b,其内切球 的半径为，由题意可得， 1 3 A:二 2 -×a×a× =√3， (a=2, 2 解得 2W7由三 2 -(后】 =2w2, 1b= 按锥的体积可得，行×5x22:宁(a+3x了2√） 解得r= 号，所以其内切球的表面积为-罗放选C √ 5. 27T解析：由题意得，△PAB为边长为2的等边三角形，故R,= 4 33=3 1 3,则40=23，而A01=A02+02么，即23 3=2R2+R2+ 3 解得风=写球0，的表面积S=4阳-行故答案为务 3 6.D解析：由题可知，长方体ABCD-A'BC'D'的体对角线AC'= √P+1+(=3,故该长方体外接球的半径为子，该长方体的 外接球表面积为4π× 3）2 2 =9π.故选D. 7.A 解析：因为SA=BC=5,SB=AC= √4I,SC=AB=√34，所以可将三棱锥S-ABCS 放置于一个长方体中，如图所示，设长方体的 a2+b2=41, 长、宽、高分别为a,b,c,则有{a2+c2=25,整 (b2+c2=34, 理得a2+b2+c2=50,则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球 的半径，所以a2+62+e2=50=(2R)2R=5 ,所以所求的外接球 2 表面积S=4πR2=4XT× 52)2 2=50m故选A 8.C解析：设圆柱的母线长为1，内切球的半径为r,外接球的半径为 R,则其轴截面如图所示，则1=2r,R=√2r,则S1=2ml+2m2= 6m2,S2=4m2,S3=4mR2=8mr2,所以S1:S2:S3=6m2:4m2: 8πr2=3:2:4.故选C. (第8题) (第9题) 9.C解析：因为在正方形ABCD中，BE⊥BF,AE⊥AD,CF⊥CD,所以 在三棱锥A'-EFD中A'D,A'E,A'F两两垂直，且A'D=2,A'E= 学霸075