12.1 复数的概念-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第12章 复数 12.1 复数的概念 第1关练速度 10min为准，你的时间： C.在复数z=x+yi(x,y∈R)中，若x≠0，则复 数z一定不是纯虚数 1.(2024·河北石家庄高一期中)复数z=1-√2i,则 D.若a,beR且a>b,则a+i>b+i ( 7.以3i-√2的虚部为实部，以32+√2i的实部为 A.z的实部为-1 B.z的虚部为-√2 虚部的复数是 () C.z的虚部为-√2i D.z的虚部为1 A.3-3i B.3+i 2.(2024·福建泉州高一期中)已知x,y∈R,且 C.-√2+√2i D.√2+√2i 3x+i=2+yi,则x,y的值分别为 8.(2024·黑龙江哈尔滨九中高一月考)设i是 A1,号 c. 虚数单位，若复数z=3+2a+(2-3a)i的实部 B.4,1 D.1,3 与虚部互为相反数，则实数a= 3.(多选)下列命题中错误的是 9.如果(x+y)i=x-1,那么实数x= A.0是实数不是复数 Y= B.实数集与复数集的交集是实数集 10.方程(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0的实数解 C.复数集与虚数集的交集是空集 x= D.若实数a与ai对应，则实数集中的元素与 11.已知集合M={1,m,3+(m2-5m-6)i},N= 纯虚数集中的元素一一对应 {-1,3},若M∩N={3},则实数 m= 4.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实 数，则实数m的值为 第2关练准确率 8题为准，你做对题 A.-2 B.3 12.(2024·湖南邵阳高二月考)“a=0”是“复 C.-3 D.±3 数z=a+bi(a,beR)为纯虚数”的（) A.充分但不必要条件 5.设全集I={复数}，R={实数}，M={纯虚 B.必要但不充分条件 数}，则 ( C.充要条件 A.MUR=I B.(CM)UR=I D.既不充分也不必要条件 C.(C,M)∩R=R D.M∩(C,R)=O 13.集合M={4,5,-3m+(m-3)i}(其中i为虚 6.(多选)下列说法中错误的有 数单位)，N={-9,3},且M∩N≠⑦，则实 A.复数由实数、虚数、纯虚数构成 数m的值为 B.若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数，则必有 A.-3 B.3 x≠0 C.3或-3 D.-1 第12章学霸065 14.（多选)下列说法中正确的有 ）20.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P= A.若a∈R,则(a+l)i是纯虚数 {-1,1,4i},若MUP=P,求实数m的值. B.若x2-1+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数 x=±1 C.若a≤0，则z=a2-b2+(a+lal)i(a,b∈R) 为实数 D.若a,b∈R,且a>b,则bi2>ai 15.（2024·湖南师大附中高一期末)已知x,y∈ C,则“x=y=1”是“x+yi=1+i”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16.(2024·福建龙岩高一月考)已知a,b∈R, 第了关练思维宽度.难度级别：女女女☆女 - 若a2-b+(a-b)i>2(i为虚数单位)，则a的 21.(2024·河南开封高一期末)已知复数 取值范围是 ( ) z1=m+(4-m2）i(m∈R),z2=2cos0+ A.a>2或a<-1 B.a>1或a<-2 (入+2sin0)i(入，0∈R),且z1=z2,则入的取 C.-1<a<2 D.-2<a<1 值范围是 17.已知关于x的方程(x2+mx)+2xi=-2-2i 22.(2023·河南平顶山高一期末)已知复 (meR)有实数根n,且z=m+ni,则复数z 数z1=t+(t2-1)i,z2=sin0+(2cos0+1)i,其 等于 中teR,0∈[0，T]. 18.设x,y,a∈R,名1=（x2-ax)+5i,z2=(x-4) (1)若a1,z2∈R且z1>a2,求t的值； (ay+4y-1)i,若对所有x,y,都有z1≠z2,则 (2)若81=z2,求0的值， a的取值范围是 19.(2024·吉林通化高一月考)已知复数z= m2-m6+(m2-2m-15)i(i是虚数单位)： m+2 (1)复数z是实数，求实数m的值； (2)复数z是虚数，求实数m的取值范围； (3)复数z是纯虚数，求实数m的值， 必修第二册·SJ学霸066在△ABD中，由正弦定理可得，BD Dsi乙iDa即D AB 8ih450 i所以BD=5v6sin45°3v6X 5w6 sin120° =10(海里) 2 (2)在△BCD中，∠CBD=180°-75°-45°=60°，BC=30海里， BD=10海里 由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BDeos CBD=900+100-2× 30x10x2=700,所以CD=10w7海里，所以需要的时间为107× 30 60=20W7≈20×2.65=53（分钟）<60分钟. 答：救援船能够在1小时内到达救授地点 AB BD 18.(1)证明：在△ABD中，由正弦定理得 sin LADB=sin∠BAD sin∠BAD 在△ABC中，由正弦定理得。AC EC sin LAEC sin L EAC=sin L EAC AC 1 3sin∠AEC sin∠EAC AC ABAB sin∠ADB 又∠BAD=∠CAE,所以 `3sin∠AEC sin∠ADB AC3sin∠AEC (2)证明：由∠BAD=∠CAE,BD=1,DE=5,EC=3, 所以a侧_2 ·AB·DA·sin∠BAD AB·DA_1 SAAEC 1 2·AC·AE·sin∠BAD AC·AE3, S△ME之·AB·AE·sin(LBAD+LDAE) 1 AB·AE63 SAACD 1 ·AC·AD·sin(LBAD+LDAE) AC·AD84, 两式相乘得4B·DA.4B·AE_AB21x31 C·AEAC·ADAC2344,所以AB AC 2 (3)解：设AB=,则AC2x,由{2C9→3<x<9,在△ABC 中，cos∠ACB=AC2+BC2-AB2_42+81- 2+27 2AC·BC 36x 12x，则 sin2∠ACB=1-cos2∠ACB=1- 2+2712 -x4+90x2-272 12x 144x2 2 (S△Bc)2= 2 AC·BC·sin∠ACB 16（-4+902-272)= 第12章 12.1复数的概念 第1关（练速度） 1.B解析：复数z=1-√2i的实部为1，虚部为-√2.故选B. 2.C解析：因为x,yeR,且3x+i=2+i,则3x=2,y=1,解得x=3, 2 y=1.故选C 3.ACD解析：A中，0是实数也是复数，A不正确；B中，实数集与复 数集的交集是实数集，B正确；C中，复数集与虚数集的交集是虚 数集，C不正确；D中，当a=0时，ai=0,所以实数0在纯虚数集中 没有对应元素，D不正确.故选ACD. 4B解析：由题知m,90,解得m=3.故选B (m+2>0, 5.C解析：根据复数、纯虚数的定 义以及它们之间的关系进行判 断.依题意，I,R,M三个集合之间 复数集I 的关系如图所示 纯虚数集 实数集 M 所以MURCI,(C,M)UR=C,M, C,M∩R=R,M∩(C,R)≠O, 必修第二册·SJ 6(x2-45)2+729,由3<x<9,得9<x2<81,当x2=45时，△ABC 面积的最大值为27. 19.证明：(1)①若0=30°，则S AABC=S△PAB+S△PBc+SAPAC=2C· APsin 0+ +7a·Bnsm0+2b.CPsn0=7n8(e·P+a,Bp &,CP)=4(e·AP+a·BP+b·CP),所以c·AP+a·Bp+6y CP=4S△ABC: 在△PAB,△PBC,△PAC中，分别由余弦定理得BP2=c2+AP2- 2c·APcos0,CP2=a2+Bp2-2a·BPcos0,Ap2=b2+Cp2-2b· CPcos 0, 三式相加整理得2cos0(c·AP+a·BP+b·CP)=a2+b2+c2,即 N5×4 S AARC=a2+b2+c2,所以a2+b2+c2=45SAA8c ②由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A,则a2+b2+c2-4V5S△ABc= 262+2c2-2bccos A-43SAABC=262+2c2-2bccos A-23 bcsin A= 2+2-4妆n(4+石）≥4c-4c=0,当且仅当6：c且 血(4+石）=1时取等号 因为4e0,m,所以4+名=（石石），所以4+=受，所 以A=号，即当且仅当6=c且A=号时取等号，即当且仅当△MC 3 为等边三角形时取等号，所以a2+b2+c2≥43S△ABc,当且仅当 △ABC为等边三角形时取等号， 又由①知a2+b2+c2=45 S AARG,所以△ABC为等边三角形， 1 (2)由(1)得Sa4c=2i血(e·AP+a·BP+b·CP),所以 c·AP+a·BP+b·CP= 2公e,因为02+B+e2=2s0(c·AP+ a·BP+b·CP),所以a2+b2+c2=2cos0· 2SahB6=2c0s0· sin 6 bcsin 20=4bc cos20. sin 6 又由余弦定理可得b2+c2=a2+2 bccos20=a2+2bc(cos20-sin20), 所以2a2+2bc(cos20-sinm20)=4 bccos20,所以a2=bc(sin20+ cos20),所以a2=bc,由正弦定理可得sin2A=sin Bsin C. 复数 故A,B,D均错误，只有C正确.故选C. 6.ABD解析：选项A,复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚 数和非纯虚数，故错误，符合题意；选项B,若复数z=x+yi(x,y∈R) 是虚数，则必有y≠0，但可以x=0,故错误，符合题意；选项C,若复 数z=x+yi(x,y∈R)是纯虚数，必有x=0,y≠0，因此只要x≠0，复 数x一定不是纯虚数，故正确，不符合题意；选项D,当a,b∈R时， a+i与b+i都是虚数，不能比较大小，故错误，符合题意.故选ABD. 7.A解析：3i-√2的虚部为3,3i2+√2i=-3+√2i的实部为-3.故选A 8.5解析：复数z=3+2a+(2-3a)i的实部与虚部互为相反数， .3+2a=-(2-3a),解得a=5.故答案为5. 91-1解折：()ix1…{101y-1故答案为 1,-1. 10.2解析：由(2x2-3x-2)+(2-5x+61=0得2-3x-20,解得 x2-5x+6=0, x=2.故答案为2. 11.3或6解析：MnN={3},.3eM且-1生M,.m≠-1,3+ (m2-5m-6)i=3或m=3,.m2-5m-6=0且m≠-1或m=3,解 得m=3或m=6,经检验符合题意. 学霸042 第2关（练准确率） 12.B解析：当复数z=a+bi(a,beR)为纯虚数时，a=0且b≠0.所以 “a=0”是“复数z=a+bi(a,beR)为纯虚数”的必要不充分条件. 故选B. 13.B解析：因为M∩N≠⑦，所以M中的-3m+(m-3)i必须为实 数，所以m=3,此时实部恰为-9，满足题意故选B. 14.CD解析：对于A,当a=-1时，(a+1)i=0不是纯虚数，所 以A错误：对于B,当x=-1时，可得x2+3x+2=0,此时x2-1+ (x2+3x+2)i=0不是纯虚数，所以B错误：对于C,当a≤0时，可 得1al+a=0,所以z=a2-b2为实数，所以C正确；对于D,由i2= -1,且a>b,所以bi2>ai2,所以D正确.故选CD. 15.A解析：当x=y=1时，x+yi=1+i显然成立，所以x=y=1是x+ i=1+i的充分条件；当x+i=1+i时，因为x,yeC,所以x和y不 一定是x+yi的实部和虚部，无法得到x=y=1,则x=y=1不是x+ yi=1+i的必要条件.故选A. 16.A解析：由题意，a2-b+(a-b)i>2,故a2-b+(a-b)i为实数， {a-b=0,a2-a-2>0,5(a-2)(a+1)>0,>2或a<-1.故 a2-b>2, 选A. 易错提醒 虚数不能比较大小，如果两个复数可以比较大小，则这两个复数都 是实数 17.3-i解析：由题意知(n2+m)+2mi=-2-2i,即+m=-2,解得 (2n=-2, {m=3,所以z=m+ni=3-i故答案为3-i n=-1 18.（-5,+0）解析：若存在xy,使得1=，则x=4, 1ay2+4y-1=-5, 则关于，y的方程a+)+4=0,有解， ay2+4y+4=0 故A1-[-（a+1)2-16≥0，解得a≤-5，赦若对所有，y都有 (△2=16-16a≥0， 1≠2，则a的取值范围是a>-5.故答案为(-5，+0). 19.解：(1)复数：是实数，则m2215=0,解得m=5或m=-3, m+2≠0， (2)复数：是虚数，则m215≠0，解得m*5且m≠-3 (m+2≠0， 且m≠-2. (m2-m-6=0, (3)复数是纯虚数，则{m+2≠0， 解得m=3. m2-2m-15≠0， 易错提醒 纯虚数要求实部为0，虚部不为0. 20.解：，MUP=P,∴.MCP, 即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i-1,得0207解得m=1 由（m2-2mtm2+m-2i=.得20，解得m=2 m2+m-2=4. 综上所述，m=1或m=2. 第3关（练思维宽度） 21【子6解新曲海204-蒲大m并量理 得A=4面0-2m6=4(血0）户-子，显搭-1≤血0s1 当血9=子时A号，当血0=-1时，A-6,所以A的取 值范围是[，6小故答案为[6小 2.屏0)因为内R,所u(010得1=1.60=-7 因为0e[0,m],所以3=i血0=V1-os0= 2;当=-1时，1< 参考答案 2,不符合条件，当t=1时，满足1>2.综上，=1. ②若=，则m0, 所以sin20-1=2cos0+1,即 -cos20=2cos0+1,所以cos20+2cos0+1=0,即(cos0+1)2=0,解 得cos0=-1.又因为0e[0,m],所以0=π. 12.2复数的运算 第1关（练速度） 1.C解析：a1-2=4-2i-(2-4i)=4-2i-2+4i=2+2i.故选C. 2.D解析：z=(2-2i)(3+i)=6+2i-6i-2i2=8-41.故选D. 2i-1(2i-1)(1-2i)2i+4-1+2i3,4 3.B解析：名=1+2i(1+2i)(1-2i) 5 5+5i故 选B. 4.ABD解析：3z1+z2=-1-2i,z1+3z2=5+2i,.z1=-1-i,32=2+ ,2=-32i,=,=-（1+）(2-i)-3故选ABD 222+i 5 5.C解标：由= 2-ai,aeR,得z2= 312 3 2 -2× ×ai+(ai)2= 2 「3 1 子2-5am图为2 13」 4 221所以 -a2=2 解得a= -√3a= 2， 选C 6.D解析：因为复数13+4(3+4)(3-4 7+i(7+i)(3-4i) =1-i,2=3+mi,所以 a1·=(1-i)(3-mi)=(3-m)-(m+3)i因为z1·z2为纯虚数，所 以3-m0解得m=3,故选D. (m+3≠0， 7.AD解析：A.若z=a+bi为实数，则b=0,那么z=a-bi也是实数， 故A正确：B.若z=i,z2=i2=-1,所以z不一定是实数，故B错误； C.若a1=i,2=2i,则1·2=-2∈R,此时z2=-2i,z1≠22，故C错 误：D.若zER,则z∈R,所以z·z∈R,故D正确.故选AD. 8.1-2解析：因为z=1-2i,z+m+b=0,所以1-2i+a(1+2i)+b=0, 所以1+a+b-(2-2a)i=0.又因为a,b为实数，所以{+a+b=0解 2a-2=0, 得=1，故答案为1，-2 lb=-2. 9.-1解析：因为i(a+i)2=-2a+(a2-1)i∈R*,所以满足条件 21=0,解得a=-1.故答案为-1. l-2a>0, 1iF1+i,所以ii=1+i,所以i=1+2i,则2 10.2-i解析：因为：1 1+21计20-2-2-i故答案为2-1 i 2 11.1解析：1+i+i2+i+…+i204=1+506(i+i2+i3+i4)=1+506(i-1- i+1)=1.故答案为1. 重难点拨 复数乘方运算的周期性：4=1 第2关（练准确率） 12.B解析：由(1+）·2=1-得：=-_1-i(%1 1+i 1+i =1+ (1-i)2 -2 (1+i)(1-i)2 =-i,故z的虚部为-1.故选B. 13.B解析：设复数z=a+bi,则z=a-bi,因为复数z满足(1-i)(3z z)=1+2i,所以(1-i)(2a+4bi)=1+2i,即2a+4b+(4b-2a)i=1+ 1 2i,则2at46=解得 a=- 4 14b-2a=2, 3 所以：=}放选B b=- 8 14.B解析：m 1-2五0-2m+Dt21-2m1因为2>0，所 m2+1 m2+1 以0。解得m=经检验，m=符合题意放选B 1 1-2m=0, 学霸043