第11章 解三角形 真题演练-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第11章真题演练 1.(2023·全国乙文)在△ABC中，内角A,B,C5.(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A, 的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且 B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+ G则8 ( √3cosA=2. (1)求A; A.o C.3m 10 D.2m (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求△ABC的 2.（2024·全国甲理)在△ABC中，内角A,B,C 周长 所对的边分别为a,6,c,若B=60°，62=9。 则sinA+sinC= A. B.√2 .分 2 九③ 2 3.(2023·全国甲理)在△ABC中， 视频讲解 6.（2024·北京)在△ABC中，内角A,B,C的对 ∠BAC=60°，AB=2,BC=√6，∠BAC 边分别为a,b,c,A为钝角，a=7,sin2B= 的平分线交BC于点D,则AD= √ 7bcos B. 4.(2024·新课标全国I)记△ABC的内角A, (1)求A; B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=√2cosB, (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中 a2+b2-c2=√2ab. 选择一个作为已知，使得△ABC存在，求 (1)求B; △ABC的面积， (2)若△ABC的面积为3+√3，求c. 条件①：6=7方条件②：mB=是：条件 ③，s04a 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分 讲解 必修第二册·SJ学霸060 第11章章末检测 （时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.6.（2024·江苏无锡一中高一期末)如图，曲柄 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连 题目要求的 杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄 1.(2024·江苏盐城高一期中)在△ABC中，内 在CB。位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆 角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足 的端点A在A,处.设连杆AB长100mm,曲柄 a:b:c=3:4:6,则cosA的值为( CB长35mm,则曲柄自CB,按顺时针方向旋 B. c 转53.2时，活塞移动的距离（即连杆的端，点A 移动的距离A,A)约为（结果保留整数）（参考 2.(2024·江苏准安高一期中)已知a,b,c分别 数据：sin53.2°≈0.8) 为△ABC内角A,B,C的对边，△ABC的面 积S=a2+b2-c2 4,则c= A.90° B.60° C.45° D.30° 3.(2024·江苏无锡高一月考)在△ABC中， 角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=5√2，c= A.17 mm B.18 mm 10,A=30°，则B是 ( C.19mm D.20 mm A.135° B.105°或15 7.（2024·江苏扬州高一月考)在△ABC中， C.45°或135° D.15 ∠BAC= ，∠BAC的平分线AD交BC边于 2T 4.(2024·江苏连云港高一期中)在△ABC中， 点D,△ABD的面积是△ADC面积的2倍，则 “A>B”是“sinA>sinB”的 ( tan B= () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 53 A.3 B.3 2 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 c. 3 D.23 3 5.(2024·江苏南京师大附中高一期中)在 8.(2024·江苏淮安高一期末)在△ABC中， △ABC中，D为边BC上一点，AD=6,BD=3, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=√3， ∠ABC=45°，则sin∠ADC的值为 A.2+3 B.1+2 且，√3cosB+sinB=c,则△ABC的周长的取值 3 4 范围为 () 3 A.(3,2√3] B.[√3,23] D. 4 C.(25,35] D.[23,33] 第11章学霸0612sB=4sB2B-14(msB+）△Mc为能角三角 形，①当C为鲍角时，{行<2B<,0cm-3B<号-<B<号 则m(分竖)4（合）广-营4（停）尸 -1kg21 ②当A为钝角时， -0<B<8则cBe(1）, (2<m-3B<m 1+125 综上，实数的取值范围为(1，万+1)U(2+5,5).故答案为(1， √2+1)U(2+√3,5)： 6.解：(1)由题意得，AM=2km,在△AM0中，由余弦定理得，OM2= 02+h-204:ABco A=-94-23x2x号-7，则0M=7km 所以cs∠AOM=0M2+0M2-AM_9+7-427 20A·0M2x3x√77 在△OAW中，sin∠AN0=sin(∠A+∠AOW)=sin(∠A+∠NOM+ ∠10W)=n(LA0M+90)=cs∠A0M=27,所以在△OMN中， 由正弦定理得，30n4NO,得MW=0,咖30 MN OM = sin∠ANO 27-4（m),即点M,N之间的距离为7km 4 7 (2)因为LA0M=0,0<8<3,所以在△AM0中，由正弦定理得， OM OA 33 sn∠OAMi2Oa,所以0M=2sn60+9在△A0中，由正 ON OA 3W3 弦定理得，n∠0Awn∠ON所以0N=2 2OMN- 20M.0Nsim30°= 35 ,35127 2×2sin60°+0×2co99×2=16× 1 27 1 3.1 +4cs2016g1, .因为0<0< 4t4in24 42in(204m 牙.所以号<29：<，所以当20+号受.即0= T时，△OMN 的面积最小，最小值为54-275km2 4 第11章真题演练 1.C解析：由题意结合正弦定理可得sin Acos B-sin Bcos A=sinC, 即sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,整理可 得sin Bcos A=0,由于Be(0,T),故sinB>0,据此可得cosA= 0A受则8=-Ce年号号行放这C 2C解析：因为B=60,62=?e,则由正弦定理得如A如C 由余弦定理可得62=a2+c2-ac= 4ac,即a2+c2=13 4 ac. 根据正弦定理得6im2A+in2C=3 sin Asin C= 13 4 2 7 所以(sinA+sinC)2=in2A+sin2C+2 sin Asin C=4 参考答案 因为A,C为三角形内角，则sinA+si血C>0,则imA+imC= .故 选C. 3.2解析：如图所示，记AB=c,AC=b,BC=a. 方法一：由余弦定理可得22+b2-2×2×b× cos60°=6.因为b>0,解得b=1+√3.由 SAMc=SAARD+-SCD可得)X2 xbxsin60°= 2 1 2×2×AD×sin30°+2×AD×b×sin300 解得AD=5625(1+3)-2故答案为2 3+√5 方法二：由余弦定理可得22+b2-2×2×b×c0s60°=6.因为b>0,所以 b=1+√5. 由正弦定理可得6-6.2 m60BnC解得血B=6+2 4 因为1+√3>√6>2，所以C=45°，B=180°-60°-45°=75°. 又∠BAD=30°，所以∠ADB=75°，所以AD=AB=2.故答案为2. 4.解：(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2abc0sC,对比已知a2+b2-c2= V2a6,可得cosC=2+2-c2=2ab2 2ab-2ab-2’ 因为C∈(0，T),所以sinC>0,从而sinC=√1-cos2C= 因为sinC=√2cosB,即cosB= ,又因为B∈(0，m),所以B= 1 3 (2)由(1)可得B=”,c 3,cos C= ，Ce(0,m),从面G=牙4=m √2 34-12' 5π 而inA=gin 4 、由正弦定理有“5元= =6:c,从而a=6+5.2e: T 4 sin 12 sin 3 sin 4 2 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为S△ABc= mc=.6.53w5, 22c2·2=89 由已知△ABG的面积为3+3，可得3+3=3+3，所以。=22 5.解：1)由inA+3cosA=2可得2sin4+3 2c0sA=1, 即血(4+)）1， 由于Ae0,m)A+号e(于智)放4号子解得4=石 (2)由题设条件和正弦定理得√∑bsin C=csin2B√万sin Bsin C= 2sin Csin Bcos B, 又B,C6(0,),则血Bc40,进而sB=号得到8=不，于 2 7π 是C=T-A-B=2,simC=sim(m-A-B)=i血(A+B)=s血AosB+ 26,由正孩定塞可得总品日点c即 sin Bcos A= -=c,解得b=22,c=6+2,故△ABC的周长 7π1 sin 6 sin 4 sin 12 学霸039 为2+√6+32. 6.解：(1)由题意得2sinB0sB= 7bc0sB,因为A为纯角， 7 所以wB≠0，则2如B=6,则品B后解 7 得血4因为4为纯角，则4 14“*7=3 (2)选择①6=7，则sinB=5b-5× 因为4=西所以B为 锐角则B=号， 此时A+B=T,不合题意，舍弃 选择②侧B=片，因为日为三角形内角，则血日 代入2如8=得2×-停解得63， 2 ()源源 则9aw=7C=×7x3x5百-155 2 144 选择③inA=)3,则有cX2◆23，解得c5 则由正弦定理得“ nC解得如c=55 c即 14 2 因为G为三角形内角，则mG-√小一（管丁-共 则如B=n(4+c)=s血(+C）=血mG+om 2 3sin C= ()源 wcinxx15 则= 2 1441 第11章章末检测 1.C解析：a:b:c=3:4:6,不妨设a=3k,b=4,c=6k,k>0,由余 弦定理，osAB+c2-a2_162+36k2-9g243】 2bc 48k2 48故选c 2.C解析：由余弦定理得a2+b2-c2=2 abcos C,由三角形面积公式 得S=2dsnc,故abin C=2qC,因为>0，b>0,故nC 4 cos C 1,即tanC=1,又因为C∈(0，π)，故C=45°.故选C. ini放2.0 3.B解析：由正弦定理可得a=c nc故smG 2 ,而30°<C<150,故C=45°或C=135,故B=105°或B=15.故 √2 选B. 4.C解析：因为A>B,由大角对大边可得a>b,由正弦定理得 sin 4= nB且A,Be(0,m),mA>0,sinB>0,所以si咖A>sinB,充分性 h 成立；同理当sinA>sinB时，A,B∈(0，T),sinA>0,sinB>0,由正 imAB,可得a>b,由大边对大角可得A>B,必要性成 弦定理得.。 立.综上，在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.故选C. 必修第二册·SJ 5.C解析：如图所示，在△ABD中，由正弦定理得inZABD AD BD ,即6 3 n之BAD即n45PB故sin /BAD=-2又因为∠AD<】 4 ∠ABC,故∠BAD只能是锐角，故m∠BD=乐，所以 √2√2 sin∠ADC=sin(∠BAD+∠ABD)=sin(∠BAD+45)= 4 2 ,号故途c B D (第5题) (第7题) 6.B解析：在△ABC中，AB=100mm,BC=35mm,LACB=53.2°，因 为sin53.2°≈0.8，所以cos53.2°≈0.6.由余弦定理得AB2=CB2+ CA2-2CA·CB·cos53.2°，所以1002=352+CA2-2CA×35×0.6→ CA2-42CA-8775=0曰→CA=117或CA=-75(舍去). 因为AC=100+35=135(mm),所以AA=AC-AC=135-117= 18(mm).故选B. 7C解析：如图，因为∠MC=,LBAC的平分线D交C边于点 D,所以LBAD-LC40所以a2·ABsn 3_B=2 S△ADG 2AD·ACsin-3 由正弦定理可得纪-出合2，放血G=2血8，故如（行-B） 2sinB,故号co3B-2imB=2sinB,故3cosB=5sinB→tanB9 3 故选C 8.C解析：方法一：设△ABC的外接圆半径为R,则 b sin A sin B snC2R,因为5cosB+sinB=c,a=5,所以aosB+sinB=e,可 2Rsin Acos B+sin B=2Rsin C=2Rsin(A+B),E 2Rsin Acos B+ sinB=2 Rsin Acos B+2 Rcos Asin B,可得sinB=2 Rcos Asin B.因为 B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以2 Rcos A=1,结合2 Rsin A=a=√3， 可得amA=万，又Ae(0,m),所以A=号，可得A sin A sin B sinC2,则△ABC的周长为1=a+b+e=月+2sinB+2sinC=V3+ 2sin BsininBco Bin 5 in 石)因为8e(,号)所以<8+则血( 君)-（行，可得1e(2,3].散△c的周长的取值他 围为(25,35].故选C 方法二：由b+c>a,a=√3可知△ABC周长>2W3,排除ABD.故选C. 9.BC解析：因为2,7，x是三角形的三边，则2+x>7且2+7>x,得5< x<9,设这个三角形中长为7，x的边所对角分别为α，B,显然长为2 的边所对角必为锐角，而这个三角形为锐角三角形，则由余弦定理 22+x2-72 cos a= >0, 得 2×2×x +72_2即，’解得35<x<√53，所以实数 x2<53, cos B=2x2x7>0, 的取值范围是(3√5，√53)，故BC正确，AD错误.故选BC. 学霸040