7.4 第2课时 二项式系数的性质及应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

15A解折：因为(a+曰)广-[(*草）]'，所以(a 广°-e(+)）°+c(+）广a*e(+)八a c(）广wc(+)‘xa+c(+八xa+cw, c(x+）广的展开式的通项为cc()广 C8Cx6-3,k=0,1,2,3,4,5,6,当k=2时为常数项，常数项 为CgC2; c心(）广xa的展开式的通项为cc4(仔）广xa CgCx5-3×a,k=0,1,2,3,4,5,展开式没有常数项； c(+子）广x好的展开式尚通项为gC一 4 C2Cx4-3×a2,k=0,1,2,3,4,展开式没有常数项： 1）3 c(+)）广x的展开式的通项为c()）广x CCx3×a3,k=0,1,2,3,当k=1时为常数项，常数项为 c2Cg×a3; c(e+子)广x心的展开式的通项为cc()）xa CgC吃x2-3×a,k=0,1,2,展开式没有常数项； c(+子)x的展开式设有常数项： 又C6×a5为常数，所以常数项为C%·C2+C8·C×a3+C6×a6= 15+60a3+a5=76,所以(a3+61)(a3-1)=0.又a>0,解得a=1.故 选A. 16.A解析：因为(1+x)5的展开式的通项公式为T,+1=C5x(0≤r≤ 5,reN),(1+2x)”的展开式的通项公式为T#1=C%(2x)'(0≤ t≤n,t∈N*),所以Cg+2C.=11,得到5+2n=11,解得n=3,得到 f(x)=(1+x)5+(1+2x)3,故f(x)的展开式中x的偶次幂项的系 数之和为Cg+C?+C+C9+C号·22=29，故选A. 17.165解析：由题意可得Am,n=C1,则A1,2+A2,3+A3,4++Ag,10= C9+C3+C2+…+Cio0=C9+C3+C2+…+C0=C4+C2+…+C8o=C3+ C3+…+C10=…=C10+C0=C8,=C品=165.故答案为165， 18.(1,+∞） 帮新：因为(）的展开式中第3项第4项，第 5项之和大于25，所以c()+(）广+c2· (）八=15(e）-20>25,即+>，所以( 19.解：(1)因为二项式的展开式中共有10项，所以n=9,所以第5项 的二项式系数为C4=126. (2)由(1)知n=9,记含x的项为第(r+1)项，所以T+1= C29(-)'=C2(-1)后，取7=4，解得=8，所以)= C821(-1)8x7=18x4,故展开式中含x4的项为18x4. 易错提醒 一个二项展开式的第(k+1)项的二项式系数是C,所有的二项式系 数是一组仅与二项式的次数n有关的(n+1)个组合数，与a,b的取 值无关，且是正数；而第(k+1)项的系数则是二项式系数C与数字 系数的积，可能为负数，只有当数字系数为1时，二项式系数恰好就 是项的系数 参考答案 20解：(nm=(任)=c(日）广号，=0， 1.2,=c(）x=c·(3） 第7项为常数项，n-9=0,.n=9 ②(0海=G(日广产号02要使 T1为有理项，只需183为整数，且0≤k≤9，当k=0,24,68 时，为有理现，=·(）品5=c ,=(广=g·(）八 x9 第3关（练思维宽度） 21.90解桥：当1<时，有1 -=1-2x+4x2-…+(-2x)n+…①， 当1宁时，有=1++@.又对任 意1k分都有1-129“12- 1 1 …+anx+…,a1即为x1的系数，可取①中的(-2x)10,②中的 1;或①中(-2x)7,②中的x3;或①中的(-2x)4,②中的x6;或①中 的(-2x),②中的x°，a1=(-2)10+(-2)7+(-2)4+(-2)=910, 故答案为910. 22.证明：因为neN,n>2, 所以3”=(2+1)”展开式中至少有四项， 而(2+1)n=C82+C以2-1+C22m-2+…+C%>2+n·2m-1=(n+2)· 2-1,所以3>(n+2)2-1 第2课时 二项式系数的性质及应用 第1关（练速度） 1.B解析：因为(3 1】 的展开式中第6项与第8项的二项式系 数相等，所以C=C?,由组合数的性质可知C=Cg5,所以n-5=7, 即=12,因此二项式()） 12 展开式的第r+1项为T+1=C2· (号广=a(号广，令12-2=10，则 =1所u合：项的系数是·（号）广-4故选B 2日舞折：二项式个板)广的展开式共有7项，则二项式系数最 大的是第4项故选B. 3c第折：二项式系数和为=则a6,所以（公）广的通项 =C%·(-1)'·x6守，其中reN,r≤6，则 展开式中的有理项满足 (6)eZ,故r=0,=3,=6,共3项 故选C. 4.D解析：(2x) 的展开式中各项的二项式系数之和M=2 学霸37 对于(2x）广，令=1，则N=(2x1)】 =1.由M-N=2- 1-6品，解得n=6,所以(2子） 的展开式的通项公式为T+1= (2)(广=(-1r×26,令6-3r=0,则r=2,故 的展开式中的常数项为T3=(-1)2×24×C%=240.故 选D 5B解析：由已知可得，(：后广展开式的通项公式为1 ((厂(-2音012，所以 第5项的系数为(-2)4·C4=16C4,第3项的系数为(-2)2， C2=4C2, 由题意知 16C45 4C3 ，整理可得n2-5n-50=0,解得n=10或n=-5 (舍去)，所以n=10,T+1=(-2)'.Ci。·x5若 设第(s+1)项系数的绝对值最大，该项系数的绝对值为1(-2)· c1=2.Co则有？·C0≥21C, 2·Cio≥2-1.C6, 2· 10 10！ 即 1(10-07≥21. (s+1)！(9-s)! 整理可得 10！ 10！ 2·10≥21-w1m 3s之19所以9≤ 22 3s≤22， 3≤8≤3 又因为s∈N,所以s=7,所以展开式中系数的绝对值最大的是第 8项故选B 易错提醒 注意“系数最大”“二项式系数最大”及“系数绝对值最大”的 区别 6.A解析：逆用二项式定理得C9+2C1+22C2+23C3+…+2CA= (1+2)=243,即3”=35，所以n=5,所以C+C2+C3+…+C0=2- 1=31.故选A 7.BD解析：对A,令x=0,可得(-3)2024=ao=32024,故A错误；对B 和C,分别令x=1和x=-1,可得1=a+a1+a2+a3+…+a224, 7224=a0-a1+a2-a3+…+a2024,两式相加得1+7224=2(a0+a2+ a+nam),即aa*agtta41+720 2,故B正确；两式相 减得1-72024=2(a1+a3+a5+…+a20m）,即a1+a3+a5+…+a2023= 1-72024 上散c错误对D,令子可得w+受+受+受+叶 1故2会学+ 22223+… +22=1-a=1-3224,故D正确故 选BD. 方法总结 “赋值法”是解决二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给 字母所取的不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关 系，令x=0可得常数项，令x=1可得所有项系数之和，令x=-1可 得奇次项系数之和与偶次项系数之和的差，而当二项展开式中含负 数时，令x=-1则可得各项系数绝对值之和. 8.10-120解析：由题意得C5是唯一的最大值，故n=10,而所 有项系数和为0，令x=1,得(a-1)0=0,得a=1,则T+1= cw(） =(-1)'C10x10-,令10-r-r=4,得r=3,故含 x4项的系数为C0·(-1)3=-120.故答案为10；-120. 选择性必修第二册·SJ 9.6艺解析：三项式(1+：@0y0)的展开式中各项系数 之和为64，则令x=y=1,得2”=64，解得n=6;所以三项式 (1+xcos20+ysin20)n的展开式中y项的系数为Ccos20· Cs sin20=30 cos20 sin20 30 90-兰.当且议当 2 cos20=sin20=- 时等号成立，即可项系数的最大值为苧故答案 2 5 为6；2 10.2187解析：根据题意，得(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x3,则 (1+2x)7=la0l+a1lx+|a2|x2+…+|a7|x3,令x=1,得1a01+ 1a11+1a2|+…+1a7l=37=2187.故答案为2187. 11.7解析：555=(56-1)5=C95·565-C55·564+…+Cg·56 C3=8×7×(C95·564-C55·5653+-C3·56+C)-1=8×7× (C9·564-C55·5653+-C号·56+C)-8+7,所以555被8除 所得的余数是7.故答案为7. 第2关（练准确率） 12.C解析：取x=1代入，得(1+2-1)n=64,解得n=6,则原式=(1+ 2x-x2)6=C8(1+2x)6+Cg1+2x)5(-x2)+…+C8(-x2)6,其中只 有前两项包含x3项 (1+2x)6=C(2x)6+Cg(2x)3+…+C6(2x)0,其中x3项的系数为 Cg·23=160; (1+2x)5=C(2x)5+C吲(2x)4+…+C3(2x)°，其中x项的系数为 Cg·2=10. 故原式展开式中的x3项的系数为C0×160+C2×10×(-1)=100.故 选C. 13.B解析：1.026=(1+0.02)6=1+Cg×0.02+C2×0.022+C2×0.023+ …+0.026≈1+0.12+0.006≈1.13.故选B. 14.C解析：由题意知，2=512，n=9,T6=C2(ax)5,T5= C2(ax)4,T,=C$23(ax)6.第6项的系数最大， cg24a5≥C62a4 lcg24a3≥C823a6, 则2≤a≤3.故选C. 15.D解析：由题意可得x=C2n,y=C2n+1或C2*1,故11C2n=6C2n+1 -1i20a-6x.2tl51-6s2 n！·n！ +,解得n=5故 选D. 16.CD解析：对于A:C+C+…+C=C4+C+C3+…+C-C4=C4+ C3+…+C8-C4=C4+…+C3-C4=C4+C3-C4=C10-C4=209, 故A错误；对于B:第2025行中的数为(x+1)2025的展开式的 二项式系数，则从左往右第1011个数为C2,第1012个数为 C腮，C品≠C以朏，故B错误；对于C:第n行的第i个数为a:= n+1 n+1 c1,则g31a=g31c1=3c9+3lcg+32C++3C= (1+3)=4”,故C正确：对于D:第20行中的数为(x+1)20的展开 式的二项式系数，则从左往右第12个数为C0,第13个数为C品， A3o 赠念恶微9号引号-子放D正魂故 C品C0A0 81 选CD 17.-12解析：对(2x-3)6=ao+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x+a6x6两 边求导，得12(2x-3)5=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x+6a6x5,取 x=1,则-12=a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6,故答案为-12. 1 18.5 解析令=1，可得o,=5-2,学=an(号）广，设= 血(x≥1)，则r()=1-h,令∫'()=0，得x=e,当x(1,e） x2 时f'(x)>0,函数f(x)单调递增；当x∈(e,+)时，f'(x)<0,函 学霸38 数)单调递减，则≤。<=h,山子，故对任意的n≥ 1,故0n(号)<1，故a-l1，即[学]- 1-[号][学]学]-12a=则 a-P4(60户的儿何意义为点(。空）aeN)到点u, 3-2)的面离的平方，最小值即点(，2）(aeN~)到y 1 3-2x的距离的平方.易得y=之(-)与=3-2x的交点横坐标 =百-3.1,2，且点（1,0到直线y=3-2x的距离4= 2 2-3=,点(2,1)到直线)=3-2x的距离，=4+1-3 √22+12W5 √22+12 （a-)2+(6,如)2的最小值为写故答案为号 2 19.解：(1)依题意，Cg+C+C=56,即1+n+n,1=56,整理得m2+ 2 n-110=0,而n∈N*,所以n=10. (②)①由()知，二厦式（会+）展开式的通项为 10 c(）()/=acn2”,reN,≤10，由-20= 0得7=8因此C-号，即5-号而o0,所以a=行 1 ②由①知，T+1=510C5ox20,reN*,r≤10，依题意，得5-10. 101 10！ c=6·5"c哈，即5·110-6·(-14m-n则 5(11-k)=6k,解得k=5,所以k=5. 20解：(1)=项式（店 的通项公式为T,1=Cg()8· 系数为c(日)° ,第二项的系数为C(日）广1，第 三项的系数为©（）广-由于前三项的系数成等袋列。 所以2· 8 =1 28 解得a=2或a=14(舍去)，所以二项式 通项公式为=℃（仔）广片，根据题在，得 16-3r1 ,解得r=5,因此，展开式中含x的项为T。= 71 4 (合)≥（分八： (2)设第k项的系数最大，故 c.(3) c(） 即 8！ (k-1)！(9-k)刀 8! (k-1)！(9-k)！ 11 9-k产2k, 即 解得3≤k≤4.因为k∈N,所以k=3或k= 1 2(k-1)10-k 参考答案 4,故系数最大的项为T3=7x7或T4=7x. 第3关（练思维宽度） 21.A解析：因为(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n,在(1+x)2n中x”的系数 为C2n,又因为(1+x)n(1+x)"=(C9+Chx+C2x2+…+C%x)(C8+ Cx+C2x2+…+Cx“),这个式子中x的系数可由前一个括号中 一项乘后一个括号中的相应项得出，即CC:+C.CA1+C2Cg-2+ …+CnC0,两个式子中x”的系数应相等，所以CCn+CC-1+…+ CC0=C5n故选A. 22.(1)解：由题意知g(x)=(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)10,所以g(x) 中含x项的系数为C+C经+C+…+Co=C4+C2+C?+…+C30= C41=330. (2)解：(x)=(1+x)=么c,两边求导得n(1+x)-1= 含4C,令x=1,得到n21=含C又因为c以+6g++0 2"-1,且所求式子的通项为(k+1)Ck=kCk+C,1≤k≤n,所以 2C+3C2+4C3+…+(n+1)C0=n·2m-1+2n-1. (3)证明：当n=1时，C=1,m+1)X1+1.C=l,左边=右边； m+2 当n≥2时，设h(x)=(1+x)m+2(1+x)m+1+…+n(1+x)mtn-1①， 则函数h(x)中含xm项的系数为Cm+2xCm+1+…+nCm+a-1· 因为(1+x)h(x)=(1+x)m+1+2(1+x)m+2+…+n(1+x)m+n②， ①-②，得-xh(x)=(1+x)m+(1+x)m+1+(1+x)m2+…+(1+ 1-n（1+）n,即-h(x）=1x)[1-1+)]-n（1+ 1-(1+x) x)n,所以(x)=1+)-（1+)mn+x(1+x)n x2 所以函数h(x)中含x”项的系数为-C轻+nCm从= (m+n)！ n(m+n)！ (m+2)！(n-2)!(m+1)！(n-1) ,==(n-l)+n(m+2）× m+2 (mtn)!(m1)ntlc (m+1)！(n-1)1 m+2 所以Cg+2Ca1+3Ca2t…+nCn1=（m+1n+1ca m+2 专题探究04计数原理与概率的综合应用 1.C解析：记“该人尝试两次但都拨不对电话号码”为事件A,则 P(A)=点=(，则该人尝试两次但都拔不对电话号码的概率为 子故选C 、事W乖冲痒理明明2买#由"吃#Y少S4智 60(种)，其中甲、乙两人相邻的情况有A4=24(种)，故所求概率为 24_2故选 60-5 3.BCD解析：对于A选项：设A=“从袋中随机摸出一个球是黑 C221 球，侧则P()=C后了，所以A选项错误：对于B楼项：设 B=“从袋中随机一次摸出2个球，2个球都是黑球”，则P(B)= 5,所以B远项正确：对于C选项：设C=从袋中随机一个 C 1 一个不放回地摸出2个球，2个球都是黑球”，则P(C)= c2C吲 CaC 右×了5，所以C选项正确：对于D选项：设D=“从袋中随机 211 一个一个有放回地摸出2个球，2个球都是黑球”，则P(D)= c了X了)，所以D选项正确故选BCD, C2111 学霸39第2课时 二项式系数的性质及应用 第1关练速度5mm为准，你的时间： 最大的是 A.第6项 B.第8项 1.(224.江苏无锡高二期中)已知()】 的 C.第9项 D.第11项 展开式中第6项与第8项的二项式系数相 6.(2024·河南郑州高二期中)已知C。+ 等，则含x1项的系数是 2C1+22C2+23C3+…+2"Cm=243,则C1+C2+ A.4 B.-4 C3+…+C%= () Q.91 A.31 B.32 9 D.91 C.15 D.16 2.（2024·辽宁朝阳高三月考)在二项式 7.(多选)(2024·河北张家口高二期中)若 (4x-3)2024=a+a1x+a2x2+a3x3+…+a24x2024 的展开式中，二项式系数最大的是 (x∈R),则 () A.a0=-32023 A.第3项 B.第4项 1+72024 B.a0+a2+a4+…+a2024= 2 C.第5项 D.第3项和第4项 72024-1 3.(2024·黑龙江牡丹江高二期中)(-)）】 展 C.a1+a3+a5+…+a2023= 2 开式的二项式系数和为64，则展开式中的有 D. 2+222 22024=1-32024 a1,a2.a3,,a2024 十…十 理项个数为 8.（2024·天津滨海新区高二月考)在 A.1 B.2 的展开式中，只有第6项的二项式 C.3 D.4 4.（2024·福建莆田一中高二期中)已知 系数最大，则n= ;并且所有项的系 数之和为0，则含x项的系数为 2) 的展开式中各项的二项式系数之 (用数字作答)： 和为M,各项的系数之和为N,若M-N=63, 9.(2024·重庆一中高二月考)若关于x,y的 则展开式中的常数项为 三项式(1+xcos20+ysin20)”的展开式中各项 A.180 B.60 系数之和为64，则n= ;其中y项系 C.280 数的最大值为 D.240 10.(2024·山东青岛高二期中)已知(1-2x)7= 5.(2023·江苏淮安高二期中)已知在（ ao+a1x+a2x2+…+ax3,则|aol+|a11+la2l+ 2 的展开式中，第5项的系数与第3项的 …+la2l= .(用数字作答)》 3 11.(2024·安徽阜阳高二月考)利用二项式定 系数之比是56：3，则展开式中系数的绝对值 理，求555被8除所得的余数为 选择性必修第二册·SJ学霸050 第2关练准确率 8题为准，你做对题 《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了 12.（2023·安徽六安高二期中)(1+2x-x2)”展 二项式系数在三角形数表中的一种几何排 开式中各项系数的和为64，则该展开式中的 列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的 x3项的系数为 结论正确的是 （) A.-60 B.-30 杨辉三角 第0行 第1行 11 C.100 D.160 第2行 121 第3行 1331 13.（2024·湖北武汉高二月考)1.02的近似值 第4行 14641 第5行 15101051 (精确到0.01)为 第6行 1615201561 第7行172135352171 第8行18285670562881 A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.20 A.C3+C+…+Cg=210 B.第2025行中从左往右第1011个数与第 14.若(2+ax)"(a≠0)的展开式中各项的二项式 1012个数相等 系数之和为512，且第6项的系数最大，则a 的取值范围为 C.记第n行的第i个数为4，则空3a,=4 D.第20行中第12个数与第13个数之比为 A.(-∞，0)U[2,3] 4:3 R(-,0u[5」 17.(2023·江苏南京高二月考)已知(1+x)”= C.[2,3] 1+Cx+C2x2+C3x3+…+Cx”,对等式两边求 D哈打 导，可得n(1+x)-1=C+2C2x+3C2x2+…+ nCx”-1,类比上面的方法，若有(2x-3)6= 15.(2024·江苏盐城中学高二期中)设n∈N*， ao+ax+azx2+a3x+asx+asxs+asx, (a+b)m展开式中二项式系数的最大值为x, a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6= (a+b)2n+1展开式中二项式系数的最大值为 18.(2024·福建福州八中高二期中)设n∈N*, y,若11x=6y,则n= an为(2x+3)n-(x+1)n的展开式的各项系 A.2 B.3 数之和，c=2-3,teR,6=[9]+[]+ C.4 D.5 16.（多选)(2024·河南郑州高二期中)“杨辉 +[g][]表示不起过实数x的最大整 三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最 数)，则(n-t)2+(bn+c)2的最小 早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的 值为 第7章学霸051 19.(2024.江苏南京高二期中)已知(+)广” 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆☆☆ 21.（2024·广东东莞高二月考)组 (a>0,n∈N*)的展开式中，前3项的二项式 合恒等式C%1=C+C,可以利 频讲解 系数之和等于56. 用“算两次”的方法证明：分别求(1+x)”+1和 (1)求n的值 (1+x)(1+x)”的展开式中xm的系数.前者 (1+x)+的展开式中xm的系数为Cm1;后者 (2)若展开式中的常数项为 (1+x)(1+x)"的展开式(1+x)(C0+Cx+…+ ①求a的值； Cmxm-1+Cxm+…+Cx)中xm的系数为1× ②第k+1项的系数是第k项系数的 Cm+1×Cm-1.因为(1+x)+1=(1+x)(1+x)”, 6倍，求k的值. 所以两个展开式中x”的系数相等，即C1= Cm+Cm1.请用“算两次”的方法化简式子 C9C+ClC-+…+CC8= () A.C2 B.Ca C.C2 D.C 22.（2023·江苏扬州高二期中)已知fn(x)= (1+x)"(x≠0且x≠-1，n∈N). (1)设g(x)=f5(x)+f4(x)+…+fo(x),求 g(x)中含x项的系数； (2)化简：2C1+3C2+4C++(n+1)C; (3)证明：Cm+2C%+1+3C%+2+…+nCm+n-1= 20.（2024·江苏连云港高二期中)在 (m+1)n+1cm m+2 m+n' (+ 的展开式中，前三项的系数成 avx 视频讲解 等差数列，且第二项的系数大于1. (1)求展开式中含x的项； (2)求展开式中系数最大的项， 选择性必修第二册·SJ学霸052