7.2 排列-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

7.2 第1关练速度 15min为准，你的时间： 1.（多选)从1,2,3,4四个数中，任选两个数做 加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这 些问题中，下列说法正确的是 A.任选两个数做加法可看作排列问题 B.任选两个数做减法可看作排列问题 C.任选两个数做乘法可看作排列问题 D.任选两个数做除法可看作排列问题 2.(2024·陕西咸阳高二月考)现有科普类读物 4本，艺术类读物3本，每本图书各不相同，若 要将这些图书摆在同一层空书架中，则不同 的摆放方法数为 A.12 B.64 C.81 D.5040 3.（2024·河北石家庄高二期中)设n∈N,且 n<19,则(19-n)·(20-n)·…·(2024-n) 等于 A.A号84- B.A号04- C.A24 D.A20 4.(2024·湖南师大附中高二期中)王大爷养了 3只鸡和2只兔子，晚上关在同一间房子里， 清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外 走，则2只兔子相邻走出房子的不同方法数有 () A.120种 B.72种 C.48种 D.36种 5.（多选)(2024·广东深圳高二月考)下列各式 中，等于n！的是 ) A.m！Ag B.An+1 C.A-1 D.nA 6.(2024·辽宁本溪高二期末)某中学举行的秋 季运动会中，有甲、乙、丙、丁四位同学参加 选择性必修第二册·S 排列 100米短跑决赛，现将四位同学安排在1,2， 3,4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学， 则甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排 方法种数为 A.12 B.14 C.16 D.18 7.(2024·河北石家庄高二月考)京剧，又称平 剧、京戏等，中国国粹之一，是中国影响最大 的戏曲剧种，分布地以北京为中心，遍及全国 各地.京剧班社有“七行七科”之说：七行即生 行、旦行（亦称占行）、净行、丑行、杂行、武行、 流行.某次京剧表演结束后7个表演者（七行 中每行1人)排成一排合影留念，其中净行、 丑行、杂行互不相邻，则不同的排法总数是 ( A.144 B.240 C.576 D.1440 8.(2024·江苏徐州高二月考)已知A2=7A24, 则n= 9.(2024·陕西咸阳高二期中)西安地铁2号线 是贯穿市区南北中轴线的核心线路，共有草 滩站、红会医院北区站、西安北站等25个站 点，则应为这25个站间准备不同的地铁票种 数为 10.(2023·重庆北碚区高二期中)7个人站成 一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的 站法种数为 11.(2024·河南南阳高二期末)某观光旅游团 计划在春节期间安排游人去某地的甲、乙、 丙、丁等六个小镇游览，每个小镇游览一天， 连续游览六天.若小镇甲不排在首末两天， 乙、丙、丁三个小镇排在相邻的三天，则不同 的游览顺序方案共有 种 学霸042 第2关练准确率 8题为准，你做对题 12.（2024·江苏连云港高二月考)小明申请了 一个电子邮箱，他打算设计密码，准备用三 个数字和三个字母组成密码，数字是从1,2， 3,4,5中选三个，字母是用x,y,z,而且字母 安排在前面，数字放在后面，则他可选用的 密码个数共有 A.Ag B.AS C.A3+A3 D.AA 13.(2023·山东枣庄八中高二月考)体育老师 把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三 个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于 其编号，则不同的放球方法有 A.8种 B.10种 C.12种 D.16种 14.(2024·山东东营高二期末)甲、乙、丙、丁、 戊5名同学进行校园厨艺总决赛，决出第 1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回 答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”对 乙说：“你和甲的名次相邻.”从这两个回答 分析，5人的名次排列情况种数为( A.54 B.48 C.42 D.36 15.(2024·安徽滁州高二月考)五声音阶是中 国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中 国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、 羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序， 若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可 排成不同音序的种数为 A.128 B.64 C.48 D.24 第7章学 16.（多选)(2024·广东深圳高二月考)用数字 0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，则 () A.可组成360个四位数 B.可组成108个是5的倍数的四位数 C.可组成各位数字之和为偶数的四位数有 180个 D.若将组成的四位数按从小到大的顺序排 列，则第88个数为2310 17.(2024·山东滨州高二月考)某小区有排成 一排的6个车位，现有3辆不同型号的车需 要停放，如果要求剩余的3个车位连在一 起，那么不同的停放方法的种数为 18.（2023·河北石家庄一中高二月考)有6个 匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能 通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥 匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣 子后，能继续用钥匙打开其余5个匣子，那 么钥匙的放法有 种 19.(2024·江苏扬州高二月考)计算下列各题： A3+Ag (1) A0-A7 (2)解方程：3Ag=4A1. 霸043 20.（2024·江苏无锡高二期中)某班级周六的 课程表要排人历史、语文、数学、物理、体育、 英语、化学共7节课 (1)如果物理和历史不能排在一起，则有多 少种不同的排法？ (2)如果第一节不排体育，最后一节不排数 学，那么共有多少种不同的排法？ (3)如果历史、语文、数学必须相邻，体育排 在物理后面（不一定相邻），共有多少种 排法？ 选择性必修第二册·S、 第了关练思维宽度难度级别：女女☆女☆ 21.(多选)对于正整数n,定义“n!”如下：当 n为偶数时，n！=n·(n-2)·（n-4)· …·6·4·2;当n为奇数时，n!！=n· (n-2)·(n-4)·…·5·3·1.则下列命题 中正确的是 A.(2024!)·(20231!)=2024! B.20241！=2102.10121 视频讲 C.20241！的个位上是0 D.2023!！的个位上是1 22.（2024·江苏南通海门中学高二月考)有 n个元素，将其中相同的元素归成一类，共有 k类，这k类元素中每类分别有T1,2,…,T 个，r1+r2+…+rk≤n,将这n个元素全部取出 的排列叫作n个不尽相异元素的全排列. (1)求上述n个不尽相异的元素的全排 列数 (2)由结论(1)，回答“1个球队与10个球队 各比赛1次，共有10场比赛，问五胜三 负二平的可能情形有多少种？” 学霸044挂彩灯，有3种方法，①若D,F挂同一种颜色的彩灯，则有2种方 法，最后挂E点有2种方法，故有4×3×2×2=48（种）：②若D,F 挂不同种颜色的彩灯，此时挂D点有2种方法，挂F点有1种方 法，最后挂E点有1种方法，故有4×3×2×1×1=24（种）.综上可 得，一共有48+24=72（种）不同的方法.故答案为72. 22.解：(1)a+n-1解析：我们定义数列{xn}满足1=a,*1= xn⊙a,则(…((a⊙a)⊙a)⊙…)⊙a)⊙a=x由于xnt1= na xn⊙a=max+1,a+1}≥xn+1>xn,故{xn}是递增数列，从而 xn≥x1=a.所以x+1=xn⊙a=mx{xn+1,a+1}=xn+1,这得到 {xn}是公差为1的等差数列，再由x1=a,得xn=a+n-l.所以 (.(a⊙a)⊙a)…)⊙a)oa=a+n-1. n个a (2)我们有(a⊙b)⊙c=max(a⊙b)+1,c+1}=max{max{a+1,b+ 1}+1,c+1}=max{maxa+2,b+2},c+1}=maxa+2,b+2,c+1}, 对集合T,记其元素个数为|T1.设正整数m≥2，定义集合A= {(a,b,c)Ia,b,ceN*,(a⊙b)⊙c≤m},则(a,b,c)∈Am,当且仅 (a≤m-2, 当(a⊙b)⊙c=max{a+2,b+2,c+1}≤m,即{b≤m-2, (c≤m-1. 从而1Am|=(m-2)2(m-1),特别地，A2=☑.故对于正整数n≥3， 使得(a⊙b)⊙c=n的(a,b,c)的个数即为1An1-14-11= (n-2)2.(n-1)-(n-3)2(n-2)=3n2-13n+14.特别地，取n=4, 知使得(a⊙b)⊙c=4的(a,b,c)的个数为10. (3)由上一问的推导，知使得(a⊙b)⊙c=n的(a,b,c)的个数为 3n2-13n+14. (4)由前面的推导可知(a⊙b)⊙c=max{a+2,b+2,c+1},但又有 a⊙(b⊙c)=max{a+1,(b⊙c)+1}=max{a+1,max{b+1,c+1}+ 1=maxa+l,max(b+2,c+2=maxa+1,6+2,c+2,a(b ⊙c)=max{a+1,b+2,c+2}.这表明(a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c)=n等 价于maxa+2,b+2,c+1}=maxa+1,b+2,c+2=n.对正整数n≥ 3,有如下结论：max{a+2,b+2,c+1}=maxa+1,b+2,c+2}=n等 a≤n-2,(a≤n-1, 价于：{b≤n-2,及{b≤n-2,且这两组条件中的每组都至少有 (c≤n-1 c≤n-2, 一个取到等号.综合两组条件可得a,b,c≤n-2,这表明c≤n-1和 a≤n-1这两个不等式两边不能取等.因此，原结论又等价于：a, b,c≤n-2,且有b=n-2或a=c=n-2.当b=n-2,a,b,c≤n-2时， 相应的(a,b,c)有(n-2)·1·(n-2)=(n2-4n+4)种；当a=c= n-2,a,b,c≤n-2时，相应的(a,b,c)有1·(n-2)·1=(n-2)种 上述两次计算中，(a,b,c)=(n-2,n-2,n-2)的情况被重复计算 了一次，其他满足条件的(a,b,c)都恰被计算一次所以满足条件 的全部的(a,b,c)的个数为(n2-4n+4)+(n-2)-1=n2-3n+1. 7.2排列 第1关（练速度） 1.BD解析：因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和 乘法时，结果与两数位置无关，故不是排列问题.而减法和除法与 两数的位置有关，故是排列问题， 2.D解析：根据题意可知，即把7本不同的书全排列，所以不同的摆 放方法数为A7=5040.故选D. 3.D解析：先确定最大数，即2024-n,再确定因数的个数，即 (2024-n)-(19-n)+1=2006,所以原式=A号.故选D. 4.C解析：将2只免子捆绑，则2只兔子相邻走出房子共有AA号= 48(种)不同方法.故选C. 5.CD解析：对选项A,m!A=m!:≠nl,故A错误对选项 (n-m) B,Aa1三(n+≠nl,放B错误对选项C,A (n-n+1nl,故C正确对选项D,nA=n·(n-1！=nl,故 参考答案 D正确.故选CD. 6.B解析：根据题意，分2种情况讨论：①若甲在4跑道上，剩下3人 任意安排在其他3个跑道上，有A?=6(种)排法，②若甲不在4跑 道上，甲的安排方法有2种，乙的安排方法也有2种，剩下2人任 意安排在其他2个跑道上，有2种安排方法，此时有2×2×2 8(种)安排方法，故共有6+8=14（种）不同的安排方法，故选B. 方法总结 “在”与“不在”的有限制条件的问题，一般都是对某个或某些元素 加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特 殊位置这一类问题通常有三种考虑途径： (1)以元素为主考虑，一設先解决特殊元素的排法问题，即先满足特 殊元素，再安排其他元素。 (2)以位置为主考虑，一殼先解决特殊位置的排法问题，即先满足特 殊位置，再考患其他位置. (3)用间接法解题，先不者虑限制条件，计算出排列总数，再减去不 符合要求的排列数. 7.D解析：先将生行、且行、武行、流行这4个表演者全排列，有A4 种，产生5个空，再将净行、丑行、杂行这3个表演者插入5个空 中，有A?种，所以不同的排法总数是A4A?=1440.故选D. 重难点拔 解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将个不同元素排成一 排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先 将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他 元素一起排列，然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，最 后利用分步乘法计数原理求解.解决不相邻问题的方法为“插空 法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻 (k≤n-k+1),求不同排法种数的方法是：先将(n-k)个元素排成一 排，然后把k个元素插入(n-k+1)个空隙中，最后利用分步乘法计 数原理求解， (n(n-1)=7(n-4)(n-5), 8.7解析：由A2=7A24,得n≥2， 且neN", 几-4≥2 解得n=7.故答案为7. 9.600解析：因为任意两个站点之间有往返两种不同的地铁票，故 应为这25个站间准备不同的地铁票种数为A=25×24=600.故答 案为600. 10.960解析：分为3步：①将甲、乙两人排成一排，有A号=2（种）情 况：②在其他5人中任选2人，安排在甲、乙之间，有A?=20(种) 情况：③将4人看成一个整体，与剩余3人全排列，有A4=24(种) 情况，则不同的站法共有2×20×24=960（种）.故答案为960. 11.72解析：分步：第一步，把乙、丙、丁三个小镇捆绑，看成一个元 素，三个小镇的游览顺序有A?=6(种)方案；第二步，将该整体与 其他三个小镇作为4个元素，依次对应4个游览位置进行安排， 中间2个位置选一个作为小镇甲的游览有C2=2(种)方案：第三 步，剩余三个元素进行全排列有A?=6(种)方案.根据分步乘法计 数原理可知，不同的游览顺序方案共有6×2×6=72（种）.故答案 为72. 第2关（练准确率） 12.D解析：由题知，先排后三个数字的位置，即从5个数字中选取 3个进行排列，有A种，再把3个字母安排在前三个位置，有 A种，因为是分步进行的，所以共有A?A个可选用的密码.故 选D. 13.B解析：首先在三个箱子中放入与编号相同的足球的个数，这样 就剩三个足球了，这三个足球随便放置，下面是一个分类计数问 题，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；第二 种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置排列， 有A?=6(种)结果：第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子 中，有3种结果，综上可知共有1+6+3=10（种）结果.故选B. 14.C解析：由题意，第一种情况：乙是冠军，则甲在第二位，剩下的 学霸33 三人安排在其他三个名次，有A=6(种)情况：第二种情况：先从 丙、丁、戊中选1人为冠军，再排甲，乙两人，再把甲和乙捆绑与其 他人排列，共有A}×A号×A号=36（种）.综上可得共有6+36= 42(种)不同的情况.故选C. 15.D解析：先将徵、羽两音阶捆绑在一起有A?种，然后与宫、商、角 进行全排列有A种，考虑到顺序问题，则可排成不同音序的种数 为4经4 =24.故选D. A 16.BCD解析：对于选项A:先安排千位上的数字，有5种：再安排百 位、十位和个位上的数字，有A种：根据分步乘法计数原理可得， 共组成5A?=300(个)四位数，故选项A错误：对于选项B:因为5 的倍数的四位数个位上为0或5，所以分为两类：当个位是0时， 有A=60(个)；当个位上5时，有4A好=48（个），所以共有60+ 48=108(个)，故选项B正确：C选项，先把各位数字之和为偶数 的数字组合列举出来，有(0,1,2,3)，(0,1,2,5)，(0,1,3,4)，(0 1,4,5),(0,2,3,5),(0,3,4,5),(1,2,3,4),(1,2,4,5),(2,3,4, 5);再将每个组合中的四个数字排列组成一个四位数共3A 6+A4×3=180(个)，故选项C正确；对于选项D:因为千位为1的 四位数有A?=60(个)；千位为2，百位为0的四位数有A?= 12(个)；千位为2，百位为1的四位数有A经=12（个）；共60+12+ 12=84:而千位为2，百位为3的四位数从小到大排列有：2301， 2304,2305,2310,…,所以第88个数为2310，故选项D正确.故 选BCD. 17.24解析：先把3辆车停好，共有A=6(种)方法：再把剩余的 3个车位看成一个整体，排在一起，插入4个空位里，共有A!= 4(种)方法.由分步乘法原理得不同的停放方法的种数为6×4= 24.故答案为24. 18.120解析：根据题意，假设6个厘子为L1,L2,L3,L4,L5,L6,要求 砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余5个匣子，即在砸开的 匣子中必放有另一个匣子的钥匙，依次类推，打开所有的厘子，则 原问题相当于由L1,L2,L3,L4,L5,L6形成一个环状排列，反过 来，对由L1,L2,L3,L4,L5,L6排成的每一种环状排列，也就可以 对应成一种相继打开各个匣子的一种放钥匙的方法，先让6个厘 子沿着圆环对号人座，再在每个匣子中放入其下方的匣子的钥 匙，这就得到一种相继打开各个匣子的放钥匙的方法.所以，可使 所有匣子相继打开的放钥匙的方法数恰与L1,L2,L3,L4,L5,L6 的环状排列数相等，由于n个元素的环状排列数为(n-1)！种， 则钥匙的放法有5！=120（种）.故答案为120 A号+A号_5Ag+A号6A号6x9X8x7X63 19.解：(1) A50-Ai05A30-A04A04×10×9×8×7×620 (2)由3A=4A1,得3×8×7×…×(11-x)×(10-x)×(9-x)=4× 9×8×…×(11-x),即3(10-x)(9-x)=4×9,即x2-19x+78=0,解 得x=6或x=13,又因为x≤8且x-1≤9，所以x=6,故3A:= 4A:1的解为x=6: 20.解：(1)先排除物理、历史外的其他5科，有A?种排法：再将物理 历史插入上述的每种排法形成的6个间隙中，有A?种排法，所以 物理、历史不能排在一起共有AA名=3600（种）排法， (2)不考虑条件限制，7节课共有A好种排法，第一节排体育有 A。种排法，最后一节排数学有A。种排法，而第一节排体有，且最 后一节排数学有A种排法，所以第一节不排体育，最后一节不排 数学，有A7-A6-A8+A=3720(种)排法. (3)将历史、语文、数学视为一个整体，与其他4门课一起排列， 有A种排法，其中体育排在物理后面的占子，历史、语文，数学 的排列有A号=6（种），所以满足条件的排法有子AA= 360(种). 选择性必修第二册·SJ 方法总结 对于排列问题： (1)简单问题直接法：利用两个计数原理，直接进行排列组合 解答. (2)特殊元素（特殊位置）优先法：优先考虑一些特殊的元素和 位置. (3)相邻问题捆绑法：先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列. (4)不相邻问题插空法：先把没有位置要求的元素排列好，再排不相 邻的元素 (5)定序问题缩倍法（等概率问题缩倍法）：先把所有的元素安排 好，再缩小一定的倍数。 (6)至少问题间接法：一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的 排法 第3关（练思维宽度） 21.ABC解析：对于A,(202411)(20231!)=2024!,正确；对于 B,202411=2024×2022×…×10×8×6×4×2=2102.10121,正 确：对于C,2024!！=2024×2022×…×10×8×6×4×2的个位上是 0,正确：对于D,202311=2023×2021×…×9×7×5×3×1的个位 上是5，错误.故选ABC 22.解：(1)假定n个不尽相异的元素的所有排列数有N种，在每种排 列中，如果把相同的元素，当成不相同的元素，则个元素的所有 排列数可增加为N·A·A号·…·A种；另一方面，n个不同的 元素的全排列有A种，所以N·A·A竖·…·A=A”,即N= n！ A9Ag…Agr！r2!…r! (2)将比赛结果的胜、负、平看作三种元素，按题意，10场比赛的 结果是五胜三负二平，即是一个不尽相异元素的全排列，由(1) 10! 知，共有513122520（种）可能情况 7.3组合 第1关（练速度） 1.AC解析：选项A.从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工 作，只需选出2人即可，无排序要求，故是组合问题.选项B.从0， 1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，选 出3个不同数字，还需对3个数字进行排序成三位数，故是排列问 题选项C.从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式， 只需选出3人即可，无排序要求，故是组合问题选项D.从全班同 学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，先从全班同 学中选出3人，再安排其职务，即需排序，故是排列问题.所以B, D项为排列问题，A,C项是组合问题故选AC. 2.D解析：C3+C3+C?=C4+C3+C3=C4+C?=C4.故选D. 3.ABD解析：对于A,根据组合数的性质可知C喷=C,故A正确； 对于B,Cm1n=mcE（m-)1（mi所以Ca三 n！ n(n-1)！ nx- (n-1)! m(m-1)!(n-m)!m(m-1)!(n-m)!m =卫xC,所以mCg= nC,故B正确；对于C,C--A二，故C错误；对于D,C+ Am m!' n! n！ c1=An-+(+)1(nr- n!(r+1+n-r） (r+1)！(n-r)! (r+1)1(n-C,故D正确故选ABD, (n+1)！ 4.C解析：方法一：若有1名男生、2名女生，则有C5C3=15(种)，若 有2名男生、1名女生，则有C2C=30(种)，所以不同的选派方法 有15+30=45（种）.方法二：从8人中任选3人的方法有C= 56(种)，没有男生的有C=1(种)，没有女生的有C=10(种)，所 以符合要求的方法有56-1-10=45（种）.故选C. 学霸34