第6章 空间向量与立体几何 真题演练-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第6章 真题演练 考点。空间向量的运用 2.(2024·全国甲理)如图，在以A,B,C,D,E,F 1.(2024·天津)如图，已知四棱柱ABCD- 为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边 A1BC1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥ 形ADEF均为等腰梯形，EF∥AD,BC∥ CD,AA⊥平面ABCD,AD⊥AB,其中AB= AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=√10，FB= AA1=2,AD=DC=1.N是BC,的中点，M是 23,M为AD的中点. DD1的中点 (1)求证：BM∥平面CDE; (1)求证D,N∥平面CB,M; (2)求二面角F-BM-E的正弦值. (2)求平面CB,M与平面BB1CC的夹角余 弦值； (3)求点B到平面CB,M的距离， 选择性必修第二册·SJ学霸032 3.（2024·北京)如图，已知四棱锥P-ABCD,4.（2024·新课标全国Ⅱ)如图，平面 AD//BC,AB BC=1,AD=3,DE PE=2, 四边形ABCD中，AB=8,CD= 视频讲解 E是AD上一点，PE⊥AD, 3,AD=53,∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E,F (1)若F是PE中点，求证：BF∥平面PCD; (2)若AB⊥平面PED,求平面PAB与平面 满足店-花，亦=)正，将△MF沿F翻折 PCD夹角的余弦值 至△PEF,使得PC=43. (1)求证：EF⊥PD; (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角 的正弦值. 第6章学霸033IW3λI √13 √4（λ-1）2+3入2 ,整理可得912=(-1)2.因为0≤A≤1， 解得A=子，因此，线段PC上存在点M,使二面角M-AB-C的余弦 值%吾兴 5.(1)证明：连接BD,设BD与AC交于点0，连接P0,如图①.因为 PA=PC=2,所以AC⊥PO. ① 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，则AC⊥BD. 又PO∩BD=O,PO,BDC平面PBD,所以AC⊥平面PBD.因为 PDC平面PBD,所以AC⊥PD. (2)解：因为PB=PD,所以BD⊥P0,所以由(1)知P01平面 ABCD,以0为原点，O成，0元，O的方向分别为x轴、y轴、z轴正方 向，建立如图②所示空间直角坐标系， 之4 ⑨ 则A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),D(-√3,0,0)，P(0,0, ,所以花=(0,2,0)，D元=(5,1,0)，2= (号1，受)）设平面c的法向量=(.则 n·应=0,33 0即2+y+2=0令x=1,则n=(1,0,10.又平 n.At=0,y=0, 面4CD的法向量市-(0,0,5)，所以cs(m,币=A·0 1n11O 2x52,所以二面角E-4C-D为 41 (3)解：存在由(2)得C=(0,-1,5),B武=(-5,1,0)，设c市 AC=(0,-A,5),Ae[0,1],则o=0元+C=(0,1-A,5A), 所以点F到平面ABC的距离d=,l_3A,6 26,解得= 号本}本，所以 6.(1)证明：在图①中取CE的中点F,连接BF,AE, ..CE=2 ED,CD=3,AB=2,.CF=1,EF=1.AD=3,DF=AB= 2,DF∥AB,∠D=90°，.四边形ABFD为矩形，.BF⊥CD,BE= BC=√3+1=2.又CE=2,.△BCE为等边三角形.又AE=√3+1= 2,.△ABE为等边三角形.在图②中，取BE的中点G,连接AG, C1G,:△C1BE,△ABE为等边三角形，C1G⊥BE,AG⊥BE, .C1G=AG=3.又AC1=6,AG2+CG=AC,.C1G⊥AG.又 参考答案 AG∩BE=G,AG,BEC平面ABED,∴C1G⊥平面ABED.C1GC平 面BC1E,∴.平面BC1E⊥平面ABED. --G ① (2)解：以G为坐标原点，G,G成，CC的方向分别为x,y,z轴的正 方向，建立如图③所示空间直角坐标系， z个 ③ 则B0,1.0,E(0.-1,0),4(5,0.0).G1(0,05),D( 号0-(9）庙-02,0-o1 5).设棱DC1上存在点P(x,y,z)且D=ADC(0≤A≤1)满足题 〔5.5， 33 x22 x=22 =2-2, z=5A, z=W3λ， 子小萨（停宁5A）设平面E的法 向量n=(a,b,c),则 E求.n=2b=0, 令42则6=0只n(0安》 ,点C到平面PBE 3λ-√3 的距离d= IEC·nl √ 1 Inl ,解得A=弓1=(2， 0,-2).又平面ABE的法向量m=(0,0,1),cos〈m,n〉= m·N2.5又二面角P-B-A为锐二面角，二面角 1ml·1n222 P-BE-A的大小为行 第6章真题演练 1.(1)证明：取CB1的中点P,连接NP,MP,由N是B1C1的中点，可 得NP∥CC,且NP=2CC1,由M是DD,的中点，得D,M= 之0，=之cC,且D,M/cC,则有D,M/P,DM=P,故因边 形D1MPN是平行四边形，故D1N∥MP,又MPC平面CB,M, D1N￠平面CB1M,故D1N∥平面CB1M. 学霸27 (2)解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有A(0,0,0),B(2,0,0),B1(2,0,2),M(0,1,1),C(1,1,0),C1(1,1, 2),则有CB=(1,-1,2),CM=(-1,0,1),BB=(0,0,2),设平面 CB1M与平面BB1C1C的法向量分别为m=(:1,y1,1),n=(x2,y2, m·CB=x1y1+2红1=0，(n·CB1=x22+22=0 2),则有 分别取 m·Ci=-x1+1=0,(n…BB=22=0, x1=x2=1,则有y1=3,a1=1,2=1,2=0,即m=(1,3,1),n=(1,1, m·n 1+3222 0,则(，m》=mm4n1:m,故平面 CB,M与平面B,CC,的夹角余弦值为2Y2三 11 (3)解：由BB1=(0,0,2),平面CB1M的法向量为m=(1,3,1),则 有BB·m之。=立，即点B到平面CBM的距离】 为20 11 2.(1)证明：因为BC∥AD,EF=2,AD=4,M为AD的中点，所以 BC∥MD,BC=MD,四边形BCDM为平行四边形，所以BM∥CD,又 因为BM￠平面CDE,CDC平面CDE,所以BM∥平面CDE. (2)解：如图所示，作B0⊥AD交AD于O,连接OF,因为四边形 ABCD为等腰梯形，BC∥AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,结合题 (1)中BCDM为平行四边形，可得BM=CD=2,又AM=2,所以 △ABM为等边三角形，O为AM中点，所以OB=√3，又因为四边 形ADEF为等腰梯形，M为AD中点，所以EF=MD,EF∥MD,四边 形EFMD为平行四边形，FM=ED=AF=√10，所以△AFM为等腰 三角形，△ABM与△AFM底边上中点0重合，OF⊥AM,OF= √AF2-AO2=3,因为OB2+0F2=BF2,所以0B⊥OF,所以OB,OD, 0F互相垂直，以0方向为x轴正方向，0方向为y轴正方向，0 方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系0-z,F(0,0,3),B(√3， 0,0),M(0,1,0),E(0,2,3),Bi=(-5,1,0),B=(-3,0,3), B2=(-√3,2,3)，设平面BFM的法向量为m=(1,y1,a1),平面 (m·Bi=0, EMB的法向量为n=(x2,2,2),则 即 (m·B=0, -51=0令，=5，得为=3，=1，即m=(5,3,1),则 -√3x1+3z1=0, n·Bi=0,-3x2+y2=0, 即 n.B=0,(-3x2+2y2+3a2=0, 令x2=3,得y2=3,2=-1, m·n 11 即n=(5,3,-1),放c0(m,m)=m.1n3·√厉13' 11 则血（似源故二面角P-B-8的正孩值为 13 选择性必修第二册·SJ D B 3.(1)证明：取PD的中点S,连接sSF,SC,则SF∥ED,SF=2ED=1, 而ED∥BC,ED=2BC,故SF∥BC,SF=BC,故四边形SFBC为平行 四边形，故BF∥SC,而BF丈平面PCD,SCC平面PCD,所以BF∥ 平面PCD. (2)解：连接EC,因为ED=2,所以AE=1,故AE∥BC,AE=BC,故 四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB,所以CE⊥平面PAD,而 PE,EDC平面PAD,故CE⊥PE,CE⊥ED,而PE⊥ED,故建立如图 所示的空间直角坐标系， 则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),则 pi=(0,-1,-2),Pi=(1,-1,-2),P元=(1,0，-2)，Pi=(0,2, -2),设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),则由 m成=0可得 m·Pi=0 y2=0,故可取m=(0,-2,1),设平面PCD的法向量为n= (x-y-2z=0, (n.P元=0 (a,b,c),则由 0可得{0-2c=0。故可取n=(2,1,1), （n.PD=0 2b-2c=0, 故cos〈n,n〉= 5x630,故平面PMB与平面PCD夹角的余 -1√30 弦值为30 30 P 4（1)证明：由B=8,A0=5有，应=号动，市：成，得A= 25,AF=4,又∠BAD=30°，在△AEF中，由余弦定理得EF= 2a10-12+16-224,夏-2， 所以AE2+EF2=AF2,则AE⊥EF,即EF⊥AD,所以EF⊥PE,EF⊥ DE,又PE∩DE=E,PE,DEC平面PDE,所以EF⊥平面PDE,又 PDC平面PDE,故EF⊥PD. (2)解：连接CE,由LADC=90°，ED=33,CD=3,得CE2=ED2+ CD2=36,EC=6,在△PEC中，PC=43,PE=25,EC=6,得EC2+ PE2=PC2,所以PE⊥EC,由(1)知PE⊥EF,又EC∩EF=E,EC, EFC平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD,又EDC平面ABCD,所以 PE⊥ED,则PE,EF,ED两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系 E-z,则E(0,0,0),P(0,0,23),D(0,35,0),C(3,35,0), F(2,0,0),A(0,-25,0),由F是AB的中点，得B(4,25,0),所 以P元=(3,35，-23)，P7=(0,35,-25),P=(4,23, -2√3)，PF=(2,0,-23),设平面PCD和平面PBF的一个法向量 分别为n=(x1,y1,1),m=(x22,2), n·P元=3x1+35y1-23x1=0, 则 n.P币=331-231=0， mP市=4+252-25=0令=2，=万，得1=0,4-3， (m.P=2x2-25z2=0, y2=-1,2=1,所以n=(0,2,3),m=(5,-1,1),所以1cos(m, 学霸28 .6 ,设平面PCD与平面PBF所成的 1mln5.365 二面角为0，则n0=-os9-8y6,即平面PCD与平面PBF 65 所成的二面角的正弦值为8v6硕 65 重难点拨 利用空间向量计算二面角大小的两种方法： (1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然 后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实 际图形判断所求角的大小. (2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与 棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就 是二面角的大小 第6章章末检测 1.B解析：设A(x,y,z),则AB=(3-x,-1-y,-z)=(-2,-5,3),所以 (3-x=-2, (x=5, -1-y=-5,解得y=4,所以点A坐标为(5,4，-3).故选B. -z=3, z=-3, 2.A解析：因为n=(1,-1,2),A店=(-1,1，-2)，所以n=-A应，即 AB∥n,所以lLa故选A 3.B解析：因为a1c,所以2x-2+2=0=x=0,又b∥c,所以设b= 1=2入， Ac,即-1=-2x,→ =2'所以x+y=1,故选B y=2入 y=1, 4.B解析：如图，连接ON,:N是BC的中点，O成=O成+0心， 0成=2M成=号ad-成-成=2成+0成- 1 5.D解析：向量a在向量b上的投影向量为4：b.b-45 1bT16=4·(1, 0,√3)=(5,0,3).故选D. 6.C解析：由二面角的平面角的定义知(Bi,A心)=120°，.B. AC=1Bd1IAC1cos(BD,AC)=2×2×cos120°=-2，由AC⊥l,BD⊥， 得A花.BA=0,Bi.B=0,又D元=D成+BA+AC,1Dd12= (D+BA+Ad2=D+B+A衣+2D.BA+2D成.At+2BA· A花=22+22+22-2B励·A元=12-2×(-2)=16，所以1D元1=4，即 CD=4.故选C. 7.B解析：设上底面圆心为01，下底面圆心为0，连接001,01B1, O1C1,0B,OC,在下底面作OF⊥OD,以0为原点，分别以OD,OF, O01所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图： B↑z 0 0 参考答案 因为扇环对应的两个圆的半径之比为1：2,4B=1,所以B-】 0A2 得08=1,0A=2则s(mm0）,即a(分月.0） E(2ms号2m号，1），即1,1).c4(10,10,0(2.00. 成=(31，市1,0-，威=2.G=,成. G市子x1+月x0+1x(-)=分所以m(成.G- B成.C市2 1B211C12w2 ,又异面直线所成角的范围为(0,7]，故 异面直线BE与CD所成角的余弦值为径放选B 8.A解析：如图，以点A为原点，A店，A市，A分别作为x轴，y轴， z轴正方向，建立空间直角坐标系，则B(3,0,0),C(3,3,0),D(0, 3,0),P(0,0,6),G(1,0,4).所以D元=(1，-3,4)，P元=(3,3，-6)， D元=(3,0,0)，设n=(x,y,z)为直线PC和DC的公垂线的方向向 量，则有{ n·D元=x-3y+4z=0, n.Pd=3x+3y-6z=0 可取n=(1,3,2),所以异面直线 PC和DC的距高为心.m=3-3y故选L 1nl√1414 D C 9.AD解析：以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有D(0, 0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) C1(0,1,1),对A:A币=(-1,0,0)，B1C=(-1,0,0),故4市=B1C, 故A正确；对B:BD=(-1,-1,1),B1乙=(-1，-1，-1)，则BD· B1i=1+1-1=1,故B错误：对C:A店=(0,1,0)，B=(-1,-1,0), 则A成.B励=0-1+0=-1，故C错误；对D:AC=(-1,1,1),B1D= (-1,-1,0),则AC·B1D=1-1+0=0,故D正确故选AD. 10.BCD解析：对于A,若点P在直线A1D上，则x=0,则AP=yb+C, 由于A1,P,D三点共线，故y+z=1,A错误； 对于B,若点P在直线AC1上，则A市=入AC,A∈R,而AC=a+ b+c,结合A=xa+yb+zc,得x=y=z=A,B正确；对于C,若点P在 平面A1BD内，即A1,B,D,P四点共面，则由AP=xa+yb+zC,可知 x+y+z=1,C正确，对于D,若点P在平面B,BDD1内，则A= mA店+nA+sAB(m+n+s=l),则A产=mA2+nAi+s(A2+M)= (m+s)A+nAd+sAA,又A=xa+yb+zc,则x+y=m+s+n=1,D正 学霸29