9.3 第2课时 向量坐标表示与运算-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第2课时 向量 第1关练速度10mn为准，你的时间： 1.(2024·湖南邵阳高一期中)已知向量a=(1, 1),b=(1,-2),则a+b= A.(0,3) B.(2,-1) C.(1,0) D.1 2.(2024·河北石家庄高一月考)已知点A(0, 1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC= () A.（-7,-4) B.（1,2) C.(-1,4) D.（1,4) 3.（2024·江苏淮安高一月考)已知平面向量a 与b的夹角为60°，a=(2,0),1b1=1,则 la+2b1= () A.√5 B.23 C.4 D.12 4.（多选)已知向量i=(1,0),j=(0,1),平面内 的任意向量a,下列结论中错误的有（) A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y） B.若x1,x2,y1,y2∈R,且a=(1,y)≠(x2, y2),则x1≠x2,且y1≠y2 C.若x,yeR,a=(x,y),且a≠0，则a的起点 是原点0 D.若x,y∈R,a≠0，且a的终点坐标是(x, y),则a=(x,y) 5.(2024·广东汕头高一月考)已知向量a= (-1,1),b=(-3,4),则a与a-b夹角的余弦 值为 A.526 B.-5v26 26 26 C26 13 D.-26 13 第9章 坐标表示与运算 6.（多选)(2024·河南新乡高一月考)已知向量 a=(1,2),b=(-4,2),则 () A.(a-b)⊥(a+b) B.la-bl=la+bl C.b-a在a上的投影向量是-a D.a在a+b上的投影向量是(-3,4) 7.（2024·河南郑州高一期中)如图，在直角梯 形ABCD中，AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC= 2AB=4,E为AD的中点，若CA=入C正+uDB (入，∈R),则入+u的值为 () D 6 A. B.5 8 C.2 8.(2024·山东青岛高一月考)已知向量a= (-2,1),b=(1,m),且a⊥b,那么12a+b1= 9.已知点A,B,C在正方形网格中的位置如图所 示.若网格纸上小正方形的边长为1，则AB· BC= ；点C到直线AB的距离 为 10.(2024·山东威海高一月考)已知点A(2, 3),B(5,4),C(7,10),AP=AB+入AC(入∈ R),当点P在第三象限时，入的取值范围 是 学霸013 11.（2024·安徽安庆高一期中)如图，在同一个 平面内，三个单位向量0A,0B,0C满足条件： 0A与0C的夹角为a,且tana=7,0店与0元的 夹角为45.若0C=m0A+n0B(m,n∈R), 则mn= 第2关练准确率 8题为准，你做对题 12.（2024·山东省实验中学高一月考)已知向 量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0), 入a+wb=(-1,1),则入+u= () A.-1 B.0 C.1 D.2 13.（多选)(2024·黑龙江哈尔滨高一月考)已 知向量a=(入，1)，b=(1,-2),记向量a,b 的夹角为0，则 A.入>2时，0为锐角B.入<2时，0为钝角 C.入=-2时，8为直角D.入=2时，9为平角 14.（2024·浙江台州高一期中)设0为△ABC 的内心，AB=AC=13,BC=10,A0=mAB+ nAC(m,n∈R),则m+n= () A装B局 c 15.（2024·江苏盐城高一期中)已知两个非零 向量a与b的夹角为0，我们把数量 |alIb|sin0叫作向量a与b的叉乘a×b的 模，记作laxbl,即Iaxb1=lallb|sin0.若向 量a=(2,4),b=(-3,1),则1a×b1=（) A.-14 B.14 C.-2 D.2 必修第二册·SJ学 16.（2024·江苏连云港高一期末)在梯形ABCD 中，AB∥DC,∠BAD为钝角，且AB=AD= 2DC=2,若E为线段BD上一点，AE=BE,则 BE·AC= () A B.1 C. 3 17.(2024·河北沧州高一期中)已知向量a= (1,1),b=(1,m).若H入∈(0，+∞)，(a+ b)1(a-b),则m= 8.（2024·四川成都高一期中)如图，P为矩 形ABCD边AB的中点，M,N分别在线段 EF,CD上，其中AB=4,BC=3,AE=BF=1, 若PM·PN=4,则IPM+PN1的最小值为 19.（2024·江苏无锡高一月考)已知向量a= (1,1),b=(-1,2),0为向量a,b的夹角. (1)求cos0的值； (2)若Ia-b1=I入a+bl,求实数入的值. 霸014 20.(2024·江苏苏州高一月考)已知△ABC的 顶点坐标分别为A(-5,0),B(3,-3), C(0,2),D为AB上一点. (1)若D为边AB的中点，求AD的坐标； (2)若D为边AB的三等分点，求线段CD 的长； (3)当CD取最小值时，求此时10的值 第9章 第3关练思维宽度 ）难度级别：☆☆☆☆女 21.(2024·福建泉州高一期中)已 视 知A1,A2,A3,A4,A,五个点，满 足：AnAn·An+1An+2=0(n=1,2,3), AAn·An+1An2=n(n=1,2,3),则 A4的最小值为 22.（2024·广东广州高一月考)如 图，正方形ABCD的边长为6，E 视频讲解 是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等 分点，AF与DE交于点M. (1)求∠EMF的余弦值， (2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动 到A点，在这个过程中，是否存在这样的 点P,使得EF⊥MP?若存在，求出MP 的长度，若不存在，请说明理由. 学霸015市=}戒+名花，且花=入应，市=弘花，所以市=市-花= (兮应号花成应衣-应，则（兮）店 子花-认花-=-h店+花又因为店，花不共线，所 3A=-M, 以 整理得2=1，依题意知>0，>0，所以+ 12 (3知， 寸3λ3 /1,2 。1.2μ，2λ，4 5 24=(A+2w)·（3元+)=3+3++3≥3+ 2会=3，当仅当货-头即A=1时取等号，所以 /24μ2λ 入+2μ的最小值为3. 第3关（练思维宽度） 21.D解析：设A42m的中点为A,则0)+0A2=20成=0+ 0A224=0A+0A2s-(i∈[0,2025])，所以0A+0A+0A2+…+ 042@-2025+x20=1013(a+h).故选D. 2 2.解：(1)店+成=成+店-=0，则成=2=之(-d). 2 花=3庇，则市-子花，所以成-市-成=-子+。花， 前=子应+。花=√*6衣。应元 6⑦ 6 (2市=应y花，则市-成-市=+(+写)成，D在直 线EF上，则励/成，可设励=A成，即x应+（y+号)成 分名定，得(+分（合y子）成 因为与不共线，所以x+子合y了=0，得=-3y1,则 ci=(-3y1)A店+yA花 又因为直线CD经过△ABC的垂心，所以CD⊥AB,即C市.A= (-1应+y店.花=0，即-2-9+3y=0,解得y=令，则 1 x=- 8 第2课时向量坐标表示与运算 第1关（练速度） 1.B解析：因为a=(1,1),b=(1,-2),所以a+b=(1,1)+(1,-2)= (2,-1).故选B. 2.A解析：设C(x,y),因为A亿=(-4，-3)，所以(x,y-1)=（-4, -3),所以x=-4,y-1=-3,所以x=-4,y=-2,所以C(-4,-2).所 以BC=(-4-3,-2-2)=（-7,-4).故选A 3.B解析：由a=(2,0),得1a|=2,又1b1=1,所以a·b=1a· 1b1m60P=2x1x=1,所以(a+2b)2=a2+4a6+462=4+4 4=12,所以1a+2b1=23,故选B. 4.BCD解析：由平面向量基本定理，可知A中结论正确；a=(1, 0)≠(1,3)，1=1,0≠3，故B中结论错误；因为向量可以平移，所以 a=(x,y)与a的起点是不是原点无关，故C中结论错误：当a的终 点坐标是(x,y)时，a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的，故D 中结论错误.故选BCD. 5.B解析：因为a=(-1,1),b=(-3,4),所以a-b=(2,-3),1a|= 5,la-b1=3,所以cas(a,a-b)=a（a-b） -5 lal·la-bl2x13 必修第二册·SJ 526故选B. 26 方法总结 向量a=（x1,y1)和b=(x2,y2)的夹角为0，则cos0= x1x2+y1y2 √+听√好+ 6.BC解析：由已知可得，a-b=(5,0),a+b=(-3,4). 对于A项，因为(a-b)·(a+b)=5×(-3)+0×4=-15≠0，故 A项错误；对于B项，因为1a-b1=5,1a+b1=√(-3)2+4=5，所 以a-b1=a+bl,故B项正确；对于C项，因为b-a=(-5,0),(b- a)·a=-5x1+0x2=-5,lal=√2+22=5，所以b-a在a上的投 影向量是b-a）·a.a=5,a=a,故C项正确：对于D项， lal lal 55 a·(a+b)=1x(-3)+2×4=5,la+b1=5,所以a在a+b上的投影向 量的·的子×兮(-，4=（子专)放 D项错误故选BC. 7.B解析：建立如图所示的平面直角坐标系： 则D(0,0),C(4,0),A(0,4),B(2,4),E(0,2),所以C=(-4,4), C2=(-4,2),DB=(2,4) 因为C=AC2+D(A,u∈R),所以(-4,4)=(-4,2)+(2,4)， 6 入= 则4A+2三-4，解得 5 所以入+地= 2入+4u=4, 2 故法R = 5 6 (第7题) (第9题) 8.5解析：因为向量a=(-2,1),b=(1,m),且a1b,所以a·b= -2+m=0,解得m=2,故b=(1,2),则2a+b=(-4,2)+(1,2)= (-3,4),所以12a+b1=√(-3)2+42=5，故答案为5. 9.-1 7W5 解析：以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 5 由题意知A(-2,1),B(0,0),C(1,3),所以A.B武=(2，-1)· (1,3)=2-3=-1,s∠ABC=·8t.1V2 戒5x而10，所以 血∠A8C=乙0C=沿所以点C到直线B的距商为 BC·sin LARC=√0x72_75 X0=3故答案为-1， 10.(-0,-1)解析：设P(x,y),A(2,3),B(5,4),C(7,10), A=(x-2,y-3),A店=(3,1)，A元=(5,7).A=A店+AA元， -23》=(0.1A5,70=651,170{i 舞得任=5A:点P在第三象限{任A0解得A<-1,放 (y=4+7λ. 答案为(-∞，-1). 35 1.2解析：以0为原点，0心的方向为x轴 的正方向，建立如图所示的平面直角坐标 系，则C(1,0),0元=(1,0)， 由tan&=7知a为锐角，则sina= 0 侣ma=侣则4（亮治）， 72 学霸008 (停会)（侣），=（竖号）】 成-moin成1，o-=m(侣）（停-号） [22 22722 (10m+ 2m,10m-2n六 10m+2n=1, 解得 7w22 (10m2n=0, m-5 8, n7 mn= ,7-的放答案为 32 n= 8 第2关（练准确率） 12.B解析：设a=(,),b=(,2),所以=0且 (2y1-y2=3, -2-3解得=2即a=(1,2),=(2,1).所以 (y1-2y2=0, \y1=2,y2=1, Aa+b=A(1,2)+u(2,1)=(A+2,2A+4)=（-1,1),则 A+24=1解得入=L,故Au=0,故选B. (2λ+u=1, 4=-1, 13.AD解析：向量a=(A,1),b=(1,-2),则a·b=A-2,Ial= V3+1,1b1=5,c0s0=a:b A-2一，对于A,当>2 1a11b√5(x2+1) 时，cos0>0,cos0=1时入无解，故c0s日≠1，因此0为锐角，A正 确：对于B,当A<2时，os0<0,cs0=-1时入=2<2，即A= 号时，0=180，不是纯角，B错误：对于C,当A=-2时，a:6 -4≠0,0不为直角，C错误，对于D,当入=-2时，0=-1,0 180°，故0为平角，D正确.故选AD. 14.B解析：如图，取BC的中点E,连接AE, 因为AB=AC=13,BC=10,所以AE1 Bc,4c-√B2-(分×0=12，所以 12 △ABC的内心O在线段AE上，OE为内切B E 圆的半径因为SAMc=SAM08+5SAi0C+SAc,所以2AE·BC= 20E·(MB+4C+8C),所以7×12x10=0B·(13+13+10), 解得0e-号所以40=-4-0E=12-9所U市-号正又 18 店=号（应+花，所以动=被+是衣.又已知市=m店+ 36 36 成.所以m=记所以n放选 15.B解析：a=(2,4),b=(-3,1),a·b=2×(-3)+4×1=-2,|a= √4+16=2w5,1b1=√9+1=√10，设两个非零向量a与b的夹 角为0，则cos0=a·b -2 s、② 1a1b125xio=-10,0e[0,m],所 以血0=V个o0=7径则1a01=1al61血0=2x10x 72治-14故建B 16.B解析：根据题意，取AB的中点0，因为AE=BE,所以OE⊥AB, 以AB,OE所在直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(-1,0),B(1,0),设D(x0,0),则C(+1,y0),Bi=(x0-1, y0),A=(x0+1,y0),A花=(x+2,y0),设B2=ABi,则B= (A(x0-1),yo),E(A(x-1)+1,y0),由0E⊥AB得A(x0-1)+ 1=0,即0=1，由1=2得(o+12+分=4，故成.花： 参考答案 A(x0-1)·(x0+2)+y6=入[(0-1)(x0+2)+4-(0+1)2]= A1)加A(-）1,放选 B D (第16题) (第18题) 17.-1解析：因为a=(1,1),b=(1,m),所以1a1=√2,1b1= √1+m,a·b=1+m. 因为(a+ab)上(ab),所以(a+b)·(ab）-=a2-+ (A大）加6=0，即2-(1+2)+(a-大)(1+m)-=0,整理得 (A1-m)水1n)=0,因为上式对VAe(0,+)恒成立所 以1+m=0,解得m=-1.故答案为-1. 18.25解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 可知P(2,0),M,N分别在线段EF,CD上， 设M(m,1),N(n,3)(0≤m≤4,0≤n≤4)，则PM=(m-2,1), P成=(n-2,3),所以Pi.Pi=(m-2)(n-2)+3=mm-2(m+m)+ 7=4,所以m2n3≥0，p+成=(m+n-4,4), n-2 所以1Pi+P成1=√(m+n-4)2+16= (m-4+6 2 /n2-4n+5 n-2 +16, +16≥√22+16=25，当 且仅当t=1,n=3,m=3时，取等号，所以1PM+P成1的最小值为 25.故答案为25. 19.解：(1)由a=(1,1),b=(-1,2)可得1al=√2,1b1=5,a·b=1, 所以o8bB5得 1√10 (2)由a-b=(2,-1),Aa+b=(A,A)+(-1,2)=(A-1,A+2),可得 1a-b1=√5,1Aa+b1=√(A-1)2+(A+2)7=√22+2+5，即 √22+2+5=5，解得入=0或=-1，即实数入的值为0或-1. 20.解：(1)因为A(-5,0),B(3,-3),所以A店=(8，-3).因为D为 边B的中点，所以市应=8，-3》(4，子）】 (2)因为A(-5,0),C(0,2),所以C=(-5,-2).因为D为边AB 的三等分点， 当D在靠近4点的位置时，动=号应=号(8，-3)=（氵 1）所以成-c+=(-5,-2)+(g-1)=(子3） 则-√子）3 当D在靠近B点的位置时，市=子店=子(8，-3)(5。 -2）,所以a-+市(-5,2+(，-2）（号4）则 a-√写= 学霸009 袋上，0的长为我西 3 (3)不妨设A=AA=(8入，-3入)，所以Ci=C+A市=(-5，-2)+ (8入，-3A)=(8A-5,-31-2),则1Ci12=(8-5)2+(-3A-2)2= 732-681+29,由二次函数的性质可知，当且仅当入=2X73乃 -6834 时，市2取得最小值，则CD取最小值时，A=为所以8 A芳 第3关（练思维宽度） 21.1解析：因为1AnA+11An1An21=n(n=1,2,3),所以1A1A1· 1A241=1,1A2A11A41=2,1A34411A441=3,由题意设 a1=,则ai=,2,la1=2设4，(0.0， 如图，因为求1A1A1的最小值， 则4x,o,4(,)4(,)4(,云），所以 记=22京1，且仅当产证即号 时取等号，所以1A1A1的最小值为1.故答案为1 A A B (第21题) (第22题) 22.解：如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系。 (1)由条件得D(0,6),E(3,0),A(0,0),F(6,2),.D2=(3,-6), A市=(6,2). 由于LEMF就是D成，A的夹角， 18-12√2 ∴.cos∠EMF= 9+36·V36+410∠BMF的余弦值为 0 (2)设M(a,b),DMi=(a,b-6).Di∥D正，.3(b-6)+6a= 0,.2a+b-6=0.AM=(a,b),A=(6,2),Ai∥A,.2a-6b= 0a=动7%=66=9a-9(s9）由上可 得E=(3,2) ①当点P在边AB上时，设P(x,0)(0≤x≤6)， m-(与）…30= 77 ￥ n(俘p-√(2 7 ②当点P在边BC上时，设P(6,y)(0<y≤6)， -(4）吕0y9合去 ③当点P在边CD上时，设P(x,6)(0≤x<6), (9)3号=0=与合去 ④当点P在边DA上时，设P(0,y)(0<y<6), 7 p(,号)p-√( 7 综上存在P(o,r2该者P(）w9 7 必修第二册·SJ 第3课时向量平行的坐标表示 第1关（练速度） 1.BC解析：设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b台x1y2=x2y1,2× (-603议4，做A选要精误：x(-）子×(-3)故B选项正 确；1×2=√2×2，故C选项正确，；√2×√2≠(-1)×1，故D选项错 误.故选BC. 2.ABC解析：能作为平面内的基底，须使两向量a与b不平行，若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a∥b→a1b2=a2b1,故只需判断选项中 的两向量的坐标是否满足a1b2-a2b1=0即可.：（-2)×6-3×4= -24≠0，.a与b不平行，故A选项正确；2×2-3×3=-5≠0，∴.a与 b不平行，故B选项正确；1×14-（-2)×7=28≠0，∴.a与b不平行， 故C选项正确：(-3)×(-4)-2×6=12-12=0，∴.a∥b,故D选项错 误故选ABC. 3.A解析：由题意得a+b=(2,2+m),由a∥(a+b),得-1×(2+m)= 2×2,所以m=-6.当m=-6时，a+b=(2,-4)=-2(-1,2),可得a∥ (a+b),则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件.故选A. 方法总结 已知向量a=(x1,y1)和b=(x2y2),a∥bx1y2=x2y1 4.A解析：A=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与AB同方向的单位向 (层)这人 量为e= 5.C解析：由题图可知，A(3,3),B(5,6),C(m,10),所以AB=(5- 3,6-3)=(2,3),BC=(m-5,10-6)=(m-5,4).因为A,B,C三点 23 恰好共线，所以店/B武，所以3(m-5)=2x4,解得m=了故选C. 6.A解析：因为a=(m,m2+1),b=(n,12),且a与b共线，所以 12m=n(m2+1）,所以n=12m又m>0,所以n=12m-12 m2+1' ≤ m2+1 1 m+ m 12 =6，当且仅当m=六即m=1时取等号，所以n的最 1 2√/m 大值为6.故选A. 7.D解析：因为p=(a+c,-b),9=(a+b,a-c),p∥q,所以(a+c)· (a-c)-(-b)·(a+b)=0,即-ab=a2+b2-c2,由余弦定理可得 号因为Ce(0,),所以C=故选D, 8.45解析：由a与b方向相反，故存在k<0,使a=仙，即 {m=k:解得m=3,或m=-5由<0，故m=k=-5,故a 13=km, k=5k=-3, (-√3,3)，b=(1,-√3)，则a-3b=（-25,6),Ia-√3b1= √(-23)+62=45.故答案为45. 9.(（-∞，2)U(2,+∞)解析：A,B,C三点能构成三角形，则A与A元 不共线，A=(-3,m+1),则有-3(m-1)≠-1(m+1),解得m≠2， 即实数m的取值范围为(-0,2)U(2,+0).故答案为(-0,2)U (2,+∞). 3解析：因为A(-1,2),B(1,1),C(-3,1),所以AB 的中点坐标为 (”2)()） 又A=(1,1)-(-1,2)=(2,-1),0=(1,1),0元=(-3,1)，则 m0元+0=m(-3,1)+(1,1)=(-3m+1,m+1).因为(m0元+ 0)/∥AB,则2(m+1)=-1(-3m+1),解得m=3.故答案为 (o,2)a 1.（号0)或(-5,8)解析：设P(,),则由1=21，得 A巾=2P市或A=-2P若A=2P,则(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y). 学霸010