9.3 第1课时 平面向量基本定理-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

2a+62g46又5A=25,所以(t6=25， 2a 解得a=6,所以AB=25,AC=2,故BC=√AB2+AC=4,A店 A花=0， c两味衣底，亦-影花院 BC (4)成+（任，则〔花+(1应· [(成+（ξ应]（女+(2成 *(1-(-4)d.+(1-)(至x）=162-28x+ 15=16(子)广°+，当x=子时，应.亦敢得最小值，且为 头故选B 22.解：(1)设向量A店+2A元与向量2A店+A花的夹角为0，cos0= +2》(2*2,令1应1=1花1=a,0 1A+2A心·12Ai+A心 2a2+2a24 5a·5a5 (2）A1=A心1=√2，.1A1=1.设1O1=x,则101=1-x,而 0i+0元=20M,.0i.0i+0元.0i=0i.(0i+0d)=20i· -224(1加2-2s2(）广 当且仅当：=号时，成，0应+0成.0可的最小值是 （3)设∠CP=a,则∠P:牙a,位.衣-2，本.店=1， 耐=221成sa=2解得花1。同理，21。 一（行女小1，解得11。衣部-恋 花+应+2应.花+2花.市+2花市： ,1 -+4+2+ cos2a 4 sin2a 4sintcosintcosincoa45 ≥ 4 sin2a cos2a 4 sin2a 4 2a华学-号器品甲 ma=经时，庙花=子 7 9.3向量基本定理及坐标表示 第1课时平面向量基本定理 第1关（练速度） 1D潮折：因为与4不共线所以627每每行故 (y=4. 选D. 2BD解折：对于A,由于24-=之(-401+2)，散2-6， -4e1+2e2共线，不可以作为基底； 对于B,2e1-e2,2e2不共线，可以作为基底； 1 对于C,由于e1e,=2(2e,-2e2),所以e1-e2,2e2,共线，故 不可以作为基底； 对于D,e1-e2,e1+e2不共线，可以作为基底，故选BD. 3.A解析：由题意得，a=3e1+e2,b=e1+4e2,故a-b=3e1+e2-(e1+ 4e2)=2e1-3e2.故选A. 必修第二册·SJ 4.BC解析：由已知可得B武=A花-A店=b-a,故D错误；因为P,Q,R 分别是△ABC的三边AB,BC,CA的四等分点，所以Q市=B市-B或= 威成(o-e）=,故A蜡误，成-成 4 成-成亦-衣应=子+6，放c正确微选C 4 5.C解斩F为E的中点，成=}硫店=市-成=- 破：成=2成成=号成=兮应成=成+成=破+ 号=成+兮（床成）兮市+成放选c 6 6.A解析：因为c与d同向共线，所以存在u(u>0)使得c=ud,即 Aa+b=u[a+(2A-1)b]=ua+u(2A-1)b,又向量a,b不共线，所以 {什2A-1),解得A=（合去)或A=1故选九 (入=， 7.D解析：如图，过D作DM⊥AB,DW⊥BC,故B励=C BM+B成，由于∠ABD=30°，AB=1,BC=√3，不妨设 BN=a,则BM=3a,放励=城+成=1 'IBAI 1B ---D BC=5a+B成，结合励= 3 M (AeR)可得A=3a,u=合，故A-3业=0，故选D. 3 8子宁解折：因为动-2成，所以市-花-=2店-动，所以 市子+子+，放答案为+ 21 方法总结 向量的定比分点公式：若A元=AC,则对于直线AB外任一点0，都 0di成 9.子-子b解析：设6+6=m+nb(m,meR),心a=61+2, b=-e1te2,∴.e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=（m-n)e1+(2m+ 2 n)e2e1,e2不共线， m-n=1,解得 m23' 2 (2m+n=1, 1 .=3a- n=-3 10.7解析：因为成=A戒-市=x成-y花，由P成/成，可设戒： 1 A成，即y市-A(破-=（店+动）合破+ 1 市，所以=2入则之=人 y=-λ， 1.号解斩：方法-：由AB=子D,DF=AC得成=号动，亦 成产应从面有动+耐-动+中破，破-诚-店 1+入 号市-应因为：流，所以在高高(）小 高动onw应所u威-花应市r[o小 A因为E,G,B三点共线，所以存在实数u使得B武=u配，即 亦[]-（兮动-应）台亦破因为 学霸006 = 1 A,A成不共线，所以 103, 解得 2 3λ 9 故答案为之 10(1+)1=4, 方法二：由A证=之ED,DP=APC得市=3花，亦：☆成- 成从面有矿-亦亦-正应因为花所以 花高品（证合）品恋r应网为Ec 日三放关类线，所以品0动1，部得A=子放容案为宁 重难点拔 0为直线AB外一点，A,B,C三点共线→0元=入OA+μO(A+μ=1). 第2关（练准确率） 12.C解析：如图，延长AP与BC交于D点，根据重心的性质，D为 BC的中点，且AP=2PD,于是由d=号（成+心）=2办，可得 市}（动.故选c (第12题) (第14题) 13.B解析：因为aBi+(b-2c)B武+cAd=0,所以(a-c)Bi+(b-c)· B元=0.因为B,BC不共线，所以a-c=0,b-c=0,所以a=b=c,所以 △ABC为等边三角形.故选B. 14.AC解析：如图，设AB=a,AD=b,则1a1=4,1b1=2,a·b=4× 2Xs60=4,对于A项，正=动+成-动+成=+应 故A项正确；对于B项，由A项可得，店=b,两边取平方，得 =(分-子心ab+=子x16+44=12,则 =2,故B项错误对于C项，因为应-之b,励=-+b, 所以.励（分+b）·(a+b）2子b+b 16×4+4=-6,放C项正确：对于D项，市在上的投 影有量为店店：应店故D项错误故选AC A12 16 15.A解析：如图，连接AE,因为C,D是以AB的长为直径的半圆上 的两个三等分点，所以AB∥CD,且AB=2CD.又E为线段CD的中 点，F为E的中点，所以市：子（店+）=应+- 2 子（配++证+}市+分应=花+， D (第15题) (第16题) 16.B解析：如图所示，建立以e1,e2为一组基底的基向量，其中 1e1|=le2|=1且e1,e2的夹角为60°， 参考答案 Ai=2e1+4e2,Cd=4e1+2e2,…A店.Ci=(2e1+4e2)·(4e1+ 20,)=8e号+80号+20e1·6=8+8+20x1x1×2=26.故选B 17.[0,1]解析：由题意，设A=tAM(0≤t≤1)，如图， 当=0时，=0，所以A店+μA花=0，所以A=u=0,从而有A+ u=0; 当0<≤1时，因为A=入AB+uAC(x,A∈R),所以tAM=AA+ u花，即成=入店+仁花，因为M,B,C三点共线，故存在实数 使得威=成又威=成-砧=（什1+二花，成=花 店，故（入1+女成=（花-）=-+花因为，d 入-1=-k, 不共线，所以{ 解得=1-)，所以Au=E(0,1]. k, =k, t 综上，A+μ的取值范围是[0,1].故答案为[0,1]. D (第17题) (第18题) 18子b2解折：如图，由已知，耐=衣-号应-（动+ 成成-市成店-动子×应-动： 子e-b设∠0M8=0,即a与b的夹角为6，武=威+动+成= -子应子+市-a+b,若上成，则m 成-0(a-b）小(2a+b）=gc2+a…b-b= g1a1+子alb1cm0-1b12=0. 叉：1a1>0,1b1>0,cos0=1a12+81b2=1al+81b1 61al1b161b1+61a≥ √8-29当且仅当-胎1a=2a1时。 2√61b'61a3 等号成立赦答案为-b,2号 h22 19.解：()因为成=3动，所以励=威动=成+；武 因为心=5D成，所以成=励+D成=励+}D成=励+号(B成 励=成励成号（厨}成）威+成 (2)设A市=uA花，则B亦=BA+μ(B武-B)=uBC+(1-μ)BA,由(1) 知破号威配，因为耐A眩，所以子Ai名A成， 7、 以3：解得x9 则{ 15 1u=5, 20.解：(1)在△ABD中，由A市=A店+B币，又币=2D心，所以B励= 子成，所以市-+励=+子成=+子（花-=- 子成+花破2花 (2)因为D,E,F三点共线，所以存在实数k使得E=kE京因为 学霸007 市=}戒+名花，且花=入应，市=弘花，所以市=市-花= (兮应号花成应衣-应，则（兮）店 子花-认花-=-h店+花又因为店，花不共线，所 3A=-M, 以 整理得2=1，依题意知>0，>0，所以+ 12 (3知， 寸3λ3 /1,2 。1.2μ，2λ，4 5 24=(A+2w)·（3元+)=3+3++3≥3+ 2会=3，当仅当货-头即A=1时取等号，所以 /24μ2λ 入+2μ的最小值为3. 第3关（练思维宽度） 21.D解析：设A42m的中点为A,则0)+0A2=20成=0+ 0A224=0A+0A2s-(i∈[0,2025])，所以0A+0A+0A2+…+ 042@-2025+x20=1013(a+h).故选D. 2 2.解：(1)店+成=成+店-=0，则成=2=之(-d). 2 花=3庇，则市-子花，所以成-市-成=-子+。花， 前=子应+。花=√*6衣。应元 6⑦ 6 (2市=应y花，则市-成-市=+(+写)成，D在直 线EF上，则励/成，可设励=A成，即x应+（y+号)成 分名定，得(+分（合y子）成 因为与不共线，所以x+子合y了=0，得=-3y1,则 ci=(-3y1)A店+yA花 又因为直线CD经过△ABC的垂心，所以CD⊥AB,即C市.A= (-1应+y店.花=0，即-2-9+3y=0,解得y=令，则 1 x=- 8 第2课时向量坐标表示与运算 第1关（练速度） 1.B解析：因为a=(1,1),b=(1,-2),所以a+b=(1,1)+(1,-2)= (2,-1).故选B. 2.A解析：设C(x,y),因为A亿=(-4，-3)，所以(x,y-1)=（-4, -3),所以x=-4,y-1=-3,所以x=-4,y=-2,所以C(-4,-2).所 以BC=(-4-3,-2-2)=（-7,-4).故选A 3.B解析：由a=(2,0),得1a|=2,又1b1=1,所以a·b=1a· 1b1m60P=2x1x=1,所以(a+2b)2=a2+4a6+462=4+4 4=12,所以1a+2b1=23,故选B. 4.BCD解析：由平面向量基本定理，可知A中结论正确；a=(1, 0)≠(1,3)，1=1,0≠3，故B中结论错误；因为向量可以平移，所以 a=(x,y)与a的起点是不是原点无关，故C中结论错误：当a的终 点坐标是(x,y)时，a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的，故D 中结论错误.故选BCD. 5.B解析：因为a=(-1,1),b=(-3,4),所以a-b=(2,-3),1a|= 5,la-b1=3,所以cas(a,a-b)=a（a-b） -5 lal·la-bl2x13 必修第二册·SJ 526故选B. 26 方法总结 向量a=（x1,y1)和b=(x2,y2)的夹角为0，则cos0= x1x2+y1y2 √+听√好+ 6.BC解析：由已知可得，a-b=(5,0),a+b=(-3,4). 对于A项，因为(a-b)·(a+b)=5×(-3)+0×4=-15≠0，故 A项错误；对于B项，因为1a-b1=5,1a+b1=√(-3)2+4=5，所 以a-b1=a+bl,故B项正确；对于C项，因为b-a=(-5,0),(b- a)·a=-5x1+0x2=-5,lal=√2+22=5，所以b-a在a上的投 影向量是b-a）·a.a=5,a=a,故C项正确：对于D项， lal lal 55 a·(a+b)=1x(-3)+2×4=5,la+b1=5,所以a在a+b上的投影向 量的·的子×兮(-，4=（子专)放 D项错误故选BC. 7.B解析：建立如图所示的平面直角坐标系： 则D(0,0),C(4,0),A(0,4),B(2,4),E(0,2),所以C=(-4,4), C2=(-4,2),DB=(2,4) 因为C=AC2+D(A,u∈R),所以(-4,4)=(-4,2)+(2,4)， 6 入= 则4A+2三-4，解得 5 所以入+地= 2入+4u=4, 2 故法R = 5 6 (第7题) (第9题) 8.5解析：因为向量a=(-2,1),b=(1,m),且a1b,所以a·b= -2+m=0,解得m=2,故b=(1,2),则2a+b=(-4,2)+(1,2)= (-3,4),所以12a+b1=√(-3)2+42=5，故答案为5. 9.-1 7W5 解析：以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 5 由题意知A(-2,1),B(0,0),C(1,3),所以A.B武=(2，-1)· (1,3)=2-3=-1,s∠ABC=·8t.1V2 戒5x而10，所以 血∠A8C=乙0C=沿所以点C到直线B的距商为 BC·sin LARC=√0x72_75 X0=3故答案为-1， 10.(-0,-1)解析：设P(x,y),A(2,3),B(5,4),C(7,10), A=(x-2,y-3),A店=(3,1)，A元=(5,7).A=A店+AA元， -23》=(0.1A5,70=651,170{i 舞得任=5A:点P在第三象限{任A0解得A<-1,放 (y=4+7λ. 答案为(-∞，-1). 35 1.2解析：以0为原点，0心的方向为x轴 的正方向，建立如图所示的平面直角坐标 系，则C(1,0),0元=(1,0)， 由tan&=7知a为锐角，则sina= 0 侣ma=侣则4（亮治）， 72 学霸0089.3向量基本定理及坐标表示 第1课时 平面向量基本定理 第1关练速度 10min为准，你的时间： 5.（2024·安徽铜陵高一期中)如图，四边形 1.设向量e1与e2不共线，若3xe1+(10-y)e2= ABCD为平行四边形，DE=2EC,F为线段BE (4y-7)e,+2xe2,则实数x,y的值分别为 的中点，若以A户，B配为基底表示向量B配，则 BC= () A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4 证 2.（多选)(2024·江苏无锡高一期中)已知e1, e2是平面内的一组基底，则下列也是平面内 6 31 一组基底的是 A.2e1-e2,-4e1+2e2B.2e1-e2,2e2 C.e1-e2,2e1-2e2 D.e1-e2,e1+e2 3.(2024·福建泉州高一期中)如图所示，a-b= D (第5题) (第8题) 6.(2024·江苏盐城高一月考)已知向量a,b不 共线，且c=入a+b,d=a+(2入-1)b,若c与d 同向共线，则实数入的值为 () A.1 A.2e1-3e2 B.-2e1+3e2 C.3e1-2e2 D.-3e1+2e2 c1度月 D1或} 4.（多选)(2024·湖南常德高一月考)如图所 7.(2024·山东威海高一月考)在Rt△ABC中， 示，已知P,Q,R分别是△ABC的三边AB, ∠ABC=90°，AB=1,BC=√3，D是△ABC内一 BC,CA的四等分点，如果AB=a,AC=b,以下 向量表示正确的是 ) 点，LABD=30°，设BD=入BA+uBC(X,A∈ R),则 () A.入+3μ=0 B.“=3 C.w=3 D.A-3u=0 A.Qp=-31 8.(2024·江苏宿迁高一月考)如图，在△ABC 2 B.Q=-3」 2 中，已知D是BC上的点，且CD=2BD, C.P=-143 4+ D.BC=a-b 设AB=a,AC=b,则AD=·(用a,b 表示) 必修第二册·SJ学霸010 9.设e1,e2是平面内一组基底，且a=e1+2e2, C.A正.BD=-6 b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为以a,b 为基底的线性组合，即e1+e2= D.A心在A正上的投影向量为。A正 10.已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点， 15.（2024·江西宜春高一月考)如图，C,D是 A证=yAD,A0=xAB,其中x,y∈R,且均不 以AB的长为直径的半圆上的两个三等分 为0若P∥B,则x= 点，E为线段CD的中点，F为BE的中点，设 2 AB=a,AC=b,则AF= () 11.（2024·广东肇庆高一月考)如图，在平行四 边形ABCD中，点E在AD边上，点F在CD 边上，且AE=2ED,DF=AFC,AF与BE相交 于点C,若示-花，则实数 51 51 A. a+2 B. D 4+2 51 51 C. 8atjb 16.图①是某晶体的阴阳离子单层排列的平面 第2关练准确率 8题为准，你做对 题 示意图.其阴离子排列如图②所示，图②中 12.（2024·浙江绍兴高一月考)已知点P是 圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A,B, △ABC的重心，则 ( C,D是其中四个圆的圆心，则AB·CD= A.亦=花+A花 6 B.4正-+4C c-+正D.-+兮d 13.(2024·四川成都七中高一月考)在△ABC ① ② 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 A.14 B.26 C.38 D.42 aBA+(b-2c)BC+cAC=0,则△ABC的形状是 17.(2024·福建泉州高一月考)在△ABC中，M ( 为BC边上任意一点，N为线段AM上任意 A.等腰三角形 B.等边三角形 一点，若AN=AAB+wAC(入，4∈R),则入+u C.等腰直角三角形D.钝角三角形 的取值范围是 14.（多选)(2024·江苏扬州高一期中)在平行 四边形ABCD中，AB=4,AD=2,∠BAD= 18.(2024·山东烟台高一月考)在梯形ABCD 60°，E是CD的中点，则 中，AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别为线段 DC和AB的中点，若AB=a,AD=b,用a,b表 A花-+0 示MN= 若MN⊥BC,则∠DAB余弦 B.IAEI =12 值的最小值为 第9章学霸011 19.（2024·陕西西安高一月考)如图，在直角梯 第3关练思维宽度难度级别：女女女女女 形ABCD中，BC=3AD,D元=5D正，AB1BC, 21.(2024·陕西咸阳高一月考)如图所示，0为 BE与AC交于点F 线段AA2s外一点，若A0,A1,A2,A, (1)用B和BC表示BD,B; …,A225中任意相邻两点间的距离相等， (2)设BF=入BE,求入的值， 0A0=a,0A22s=b,则用a,b表示0A+0A1+ 0A++0A25,其结果为 202 A.2025(a+b) B.2026(a+b) C.1012(a+b) D.1013(a+b) 22.(2024·辽宁沈阳高一月考)在△ABC中，点 E,F是△ABC所在平面内的两点，AB= 20.（2024·江西宜春高一月考)如图所示，在 △ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC: 3,AC=2,∠BMC=2+=0,4d=3元 过D点的直线EF与直线AB相交于E点， (1)以A,A元为基底表示向量E,并 与直线AC相交于F点(E,F两，点不重合) 求IE; (1)用AB,AC表示AD; (2)D为直线EF上的一点，设CD=xAB+ (2)若A正=入AB,A=uA元，求入+2μ的最 yAC(x,y是实数)，若直线CD经过 小值. △ABC的垂心，求x,y的值. 必修第二册·SJ学霸012