9.2 第2课时向量的数乘 -【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

0ADB,设0D,AB交于点E,可得OD=20E=2√OA2-AE=√3， 则a+b=Oi+0=0,因为1a+b-cl=10i-cl=1,取c的起点为 0,可知c的终点C的轨迹为以点D为圆心，半径为r=1的圆，如 图，当点C为OD的延长线与圆C的交点C2时，Ic的最大值M= OD+r=√万+1：当点C为线段OD与圆C的交点C1时，IcI的最小 值m=0D-r=√3-1，所以M+m=(3+1)+(5-1)=25.故选A. 22.解：当a,b不共线时，有1la|-b1川<Ia+b1<Ial+Ib1,理由如下： 如图①， ① 设a=Oi,b=O,以0A,OB为邻边作平行四边形OACB,则Od= a+b, 在△OAC中，.IA0-AC1<OC,.1aI-Ib1I<1a+bl. OC<AO+AC,.'.la+bl<lal+1bl, .Ilal-lbll<la+bl<lal+1b1. 当a,b同向时，有1a+b1=1a+Ib1,如图②， a大b 0 aA bB 0a+6方6月 ② ③ a=OA,b=AB,a+b=OB..OA+AB=OB,..la+bl=lal+Ibl. 当a,b反向时，有1a+b1=11a-b11,如图③，设a=0A,b=AB a+b=OA+AB=OB..OA-BA=OB,..la+bl=Ilal-1b11. 第2课时向量的数乘 第1关（练速度） 1.C解析：当入<0时，I入a|=Alal不成立，A错误；I入al是一个非负 实数，而1入Ia是一个向量，B错误；当入=0或a=0时，I入a|=0, D错误故选C. 2.AB解析：由向量数乘的运算律，得A,B均正确；对于C,若m=0, 则ma=mb=0,未必一定有a=b,错误；对于D,若a=0,由ma=na, 未必一定有m=n,错误故选AB 易错提醒 在向量共线相关的概念辨析题中，需要格外注意零向量的情况 3.ABD解析：A项，(-3)·2a=-6a,A正确. B项，2(a+b)-(2b-a)=2a+2h-2b+a=3a,B正确. C项，(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,C错误. D项，2(3a-b)=6a-2b,D正确.故选ABD. 4A解折：成=++成a+b=b子4，故选 1 5A解析：由于a=a1a,因比台白a=1放法人 6.C解析：因为e1和e2是两个不共线的向量，a=e1-2e2,b= 2e1+ke2,a与b是共线向量，设b=Aa,AeR,所以2e1+ke2=入(e1 -2λ-k 2,),则(2-A)e1=(-2A-k)e,若2-入≠0，则e=2-入e2,此 时6共线，与题设条件子盾，改仁2入心部得{2故 选C. 7.B解析：因为C=Pi+Pi=C成-P市=APi=C市=AP,所以点P 在AC边所在的直线上，故选B. 8引a号6+7c解折：2(-号a）号(b+e-3x)+h=0, 2x-2a-1b-1ct3 7 1 1 之x五三①，-·之32么本 9.3解析：因为向量a,b不共线，由(y-2)a+(x-1)b=0得(y-2)a= 参考答案 (1-x)b,若y-2≠0，则a=1b,此时a,b共线，与题设条件矛盾， y-2 故仁0脚)2所以3故答案为2 10.2子（市-）解析：由向量加法的平行因边形法则蜘知+ A=A元，又：0是AC的中点，AC=2A0,.AC=2Ad,故A+ 市=2市A-2动励之（市-。 1是解折：因为市-应+成，设成=入威，所以市-+以威因 为成：号花，所以：花又成=-应，所以矿花 应，所：+（花-应）=(1-A)应+花又亦： 破m花，即(1-A破+子花+m花，即（祭-A） 应=（子）尼，若A0,则=8 衣，此时AB,G三 -入 11 8-λ=0， 8 入= 点共线，与题设条件矛盾，所以 11’ 入 解得了2 所 m4=0, m=11' 以m=品故答案为品 第2关（练准确率） 12.C解析：四边形0ADB是以向量O=a,O=b为边的平行四 边形，BM=3Bc,CN=子cD,M成=0成-0成=0元+1ot-O成- 6威号oi-成-6(o耐-：i6i:24 1 b.故选C. 13.D解析：当a=0时，无意义，A错误；当a=0时，BCD均正 确；当a≠0时，由a∥e知a与e同向或反向，知BC不全面，D正 确.故选D. 14.C解析：如图，作BD∥OC,CD∥OB,连 接OD,OD与BC相交于点G,则BG=CG (平行四边形对角线互相平分)，0+ 0元=0i,又0i+0+0元=0，可得0成+ 0元=-0i,.0i=-0i,.A,0,G在一条B 直线上，可得AG是BC边上的中线，同 理，B0,C0也在△ABC的中线上，，点O 为△ABC的重心.故选C. 重难点拨 平面向量中，三角形ABC重心G的常用结论：花=号（店+花）， Gi+G+c元=0. 15,AB解析：对于A,可解得a=弓e,b=,放a与b共线： 8 对于B,由于入≠4，故入，4不全为0，不妨设入≠0，则由入a-b=0 得a=失b,故a与b共线； 对于C,当x=y=0时，a与b不一定共线： 对于D,梯形中没有条件AB∥CD,可能AD∥BC,故a与b不一定 共线.故选AB. 16.B解析：由0i-40i+30元=0，得0i-0=3(0-0心)，即B= 3成，所以d-成+威号威，所以1=}d,即 c 子，故选B 学霸003 17.2√5+4解析：因为点D是边BC上（不包含端点）的动点，所以 B⑦∥B元，即B币=ABC(0<A<1),即A⑦-AB=A(AC-AB),所以AD= AA花+(1-A)A成.又已知A⑦=xAB+yA花，得入A元+(1-A)AB=xAB+ yA花，即(-y)A花=(x+以-1)成若X-y≠0，则花-+A-应，此 入-y 时A8,C三点共线，与感设条件不质，所以公0.部得 {任=1-A所以xy=1.又由0<A<1得0<<1,0<y<1,所以1 （y=入， -(2）1（日2）*+4 2任受4=2+4，当型，3时取等号放管案 2,y= 2 为25+4. 18.1:2解析：如图，设D为AC的中点，连 接BD,则B+B武=2B励，因为Bi+B武= 4B,所以B品=2BM,所以M为BD的 中点，所以SAABM=S△ADM=S△BCw= S△cDM,所以S△ABW:S△ACw=1:2,故答 案为1：2. 19.解：(1)3(2a-b)-2(4a-3b)=6a-3b-8a+6b=-2a+3b. (2)e+0)子a-b)0号b3+宁b0=名a 4 31」 3 (3)2(3a-4h+c)-3(2a+b-3c)=6a-8b+2c-6a-3b+9c= -11b+11c. 20.(1)证明：因为A=0i-0i=3a+b-2a+b=a+2b,又B元=0元-0i= a-3b-3a-b=-2a-4b,所以B元=-2A店.又B武与AB有公共点B,所 以A,B,C三点共线. (2)解：AC=A+BC=3a-2b,Ci=2a-b.因为A,C,D三点共线， 所以A元=xCi,即3a-2b=2Aa-kMb,即(3-2λ)a=(2-kM)b,若 3-2A≠0，则a=,此时a,b共线，与a,b是不共线的两个非 3 A= 零向量矛盾，所以3-2A=0,解得 2 2-k入=0， 综上，k的值为手 3 第3关（练思雏宽度） 21.(2,4)解析：由M=入M正-M成=D AM市+Mi,得M证-M=入M应，即A市= G AM应，即AP与ME平行.过点A 作AK∥ME,分别交EH,EF于点N K,可知点P在线段NK上运动（不含 端点). 过点N作NQ∥AB,交ME的延长线于点Q,过点K作KL∥AB, 交ME的延长线于点L,如图， 当点P与点N重合时，A巾=Md=2M正，可知A=2 当点P与点K重合时，AP=M=4M应，可知A=4 故入的取值范围为(2,4).故答案为(2,4). 2.解：(1)因为G为△M5GC的重心，所以衣：号×（店+恋- 号破号花所以=亭矿+子成，则=花-成=（信 3 1)成+子成因为M,C,N三点共线，所以必然存在实数入使得 =A,即（子-1+子成=A=(成-矿)，则 (行1u)网-（号）区者10则号 必修第二册·SJ A,此时A,M,N三点共线，与题设条件矛盾，所以 3 解得任二3(1-A即y=3. A-=0, (y=3λ， 3 (x>1, (2)由题意可知{y>1,→ 2且-1y-11,所以 1<y<2, (x+y=3 2哥3，当且仅当骨即1 y-1 2(x-1）时取等号，又因为x+y=3,所以x=2,y=3-2时，一 二取得最小值为3+2瓦 第3课时向量的数量积 第1关（练速度） 1.B解折：设a与B的夹角为9，由题知o0:流兴了结 合向量夹角范围知0=号，则a与b的夹角为号放选B 2.ABC解析：由向量数量积的运算律可知ABC正确.对于D,令m= a·b,n=b·c,则(a·b)·c=mc,而a·(b·c)=na,a,c均为任 意向量，所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故选ABC. 3.B解析：因为1a=2,1b1=5,且a与b的夹角为石，所以(a+ o)(2a-b)=2a2+ab-62=21a12+1a1·b1os石-lb12=2x 2+2x5x（5}2=放选R 4.C解析：la-2b12=(a-2h)2=a2-4a·b+4b2=16-41al·Ib1cos60°+ 4=16-4×4cos60°+4=12，故1a-2b1=2W3.故选C. 方法总结 【a2=a2,因此求向量模的运算常常转化为向量的平方进行计算. 5.AB解析：对于A,由1a+b1=Ia-b1平方可得a2+b2+2a·b=a2+ b2-2a·b→a·b=0台a⊥b,故A正确： 对于B,若1al=1b1,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=la2-lb2=0,所 以(a+b)⊥(a-b),故B正确； 对于C,若a·c=b·c,则(a-b)·c=0→(a-b)=0或(a-b)⊥c 或c=0(舍去)，故a-b可能与c垂直，故C错误； 对于D,[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)a·c-(a·c)b·c= (b·c)(a·c)-(a·c)(b·c)=0,所以[(b·c)a-(a·c)b]⊥c, 故D错误，故选AB. 6B解折：a(a+动)=a-b+ab-0即ab子aP① 1a-2b1=13a-b1,.a2-4a·b+4b2=9a2-6a·b+b2,即8a2- 2a·b-3h2=0,代入①可得9a2=3b2,即51al=lb1.又a,b为非零 向量，设a与b的夹角为0，则c0s0=ab三 a 故 lallbl lalx/3lal 6 选B. 7.C解折：由题图可得，成-心应，动-砧+}成=子应+}花. 市.戒-（子+4花)（花-）=4恋+2花.店 子aAB=3,40=2,∠4C=60,.成-4+x2x 3x子x=?枚选C 24 学霸004第2课时 第1关练速度 10min为准，你的时间： 1.已知入∈R,则下列结论正确的是 () A.Iλal=入lal B.Iλal=I入la C.Iλal=|λIlal D.Iλal>0 2.（多选)(2024·广东东莞高一月考)对于实 数m,n和向量a,b,下列结论中正确的有 A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=bD.若ma=na,则m=n 3.（多选)(2023·安徽淮北高一月考)下列运 算正确的有 () A.（-3)·2a=-6aB.2(a+b)-(2b-a)=3a C.(a+2b)-(2b+a)=0D.2(3a-b)=6a-2b 4.（2024·四川内江高一月考)如图，在平行四 边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB=a, AD=b,则BE= 1 A.b-20B.b+20C.a+2b D.a-。b (第4题) (第10题) 5.已知非零向量a,则向量合的模为( A.1 B.2 C.lal D. 6.(2024·山东聊城高一期中)已知e1,e2是两个 不共线的向量，a=e1-2e2,b=2e1+ke2若a与 b是共线向量，则实数k的值为 A.-6B.-5 C.-4D.-3 7.已知P是△ABC所在平面内一点，若CB= 入PA+PB,其中入∈R,则点P一定在（)》 A.△ABC的内部B.AC边所在的直线上 C.AB边所在的直线上D.BC边所在的直线上 必修第二册·S、 向量的数乘 8.若2(cx3a）2(b+c-3x+b=0,其中a,6c 为已知向量，则向量x= 9.(2024·福建厦门高一期中)已知x,y是实 数，向量a,b不共线，若(y-2)a+(x-1)b=0, 则x+y= 10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O,AB+AD=入AO,则入= BO= (用AB,AD表示). 11.（2024·陕西宝鸡高一期中)如图，在△ABC 中，=}心，P是BN上的一点，若 m心，则实数m的值为 (第11题) (第12题) 第2关练准确率 8题为准，你做对题 12.（2024·江苏盐城高一期中)如图，四边形 OADB是以向量OA=a,OB=b为边的平行四 边形，又BM=6C,cN-c0,则用a,b表 示M= () 15 A.Gat 2 6 B.3(a+b) C.za-d 13.（2023·陕西商洛高一月考)设a是任意向 量，e是单位向量，且a∥e,则下列表示形式 中，正确的是 （) A.e=a B.a=lale 1a1 C.a=-lale D.a=±lale 学霸006 14.(2024·江苏南通高一月考)已知0是 △ABC所在平面上的一点，若OA+OB+0元= 0,则点O是△ABC的 A.外心B.内心C.重心D.垂心 15.（多选)已知向量a,b是两个非零向量，在下列 四个条件中，一定能使α，b共线的有（) A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数入，u,使入a-b=0 C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0) D.已知梯形ABCD,其中AB=a,C⑦=b 16.（2024·天津西青区高一月考)已知平面上 不共线的四点0，A,B,C,若0A-40B+ 30元=0，则M1等于 ICAI 1 A.3 B.4 2 n 17.(2024·江苏南京师大附中高一期中)在 △ABC中，点D是边BC上（不包含端，点）的 动点，若实数x,y满足AD=xAB+yA,则+ 3的最小值为 18.（2024·江苏南京外国语学校高一期末) 若M是△ABC内一点，且满足BA+BC= 4BM,则△ABM与△ACM的面积之比为 19.(2024·福建泉州高一月考)化简下列各式： (1)3(2a-b)-2(4a-3b); (2)号(4a+3b)(3a-b)b; (3)2(3a-4b+c)-3(2a+b-3c). 第9章 20.（2024·广东深圳高一月考)设a,b是不共 线的两个非零向量， (1)若0A=2a-b,0B=3a+b,0C=a-3b,求 证：A,B,C三点共线； (2)AB=a+b,BC=2a-3b,CD=2a-kb, 且A,C,D三点共线，求k的值 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆☆☆ 21.（2024·重庆九龙坡区高D G 一月考)我国汉代数学家赵 爽为了证明勾股定理，创制 了一幅“勾股圆方图”，后人4 称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等 的直角三角形与一个小正方形拼成的一个 大正方形.已知HE=2EB,M为线段AB的中 点，设P为中间小正方形EFGH 内一点（不含边界）.若M亦= 入ME-MB,则入的取值范围为 22.(2024·辽宁大连高一期末)如图所示，已知 点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与 边AB,AC交于M,N两点（点M,N与，点B,C 不重合)，设AB=xAM,AC=y, (1)求x+y的值； 《2)求，弓的最小位，并球比时y 的值 学霸007