第1讲：向量的概念、向量的加减法【七大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

第1讲：向量的概念、向量的加减法 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　向量的概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2.数量：只有大小没有方向的量称为数量. 知识点二　向量的几何表示 1.有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||. 2.向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. (2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 知识点三：.模、零向量、单位向量 向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量. 知识点四：　相等向量与共线向量 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. (1)记法：向量a与b平行，记作a∥b. (2)规定：零向量与任意向量平行. 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆. 知识点五　向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 知识点六　向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 知识点七：相反向量 1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 知识点八：向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 【题型归纳】 题型一：平面向量基础概念理解 【例1】．（24-25高一下·全国）下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【举一反三】 1．（24-25高一下·陕西·期中）以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 2．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 3．（24-25高一下·河北承德·月考）以下说法中正确的是（    ） A．两个具有公共起点的向量，一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小 C．单位向量都是共线向量 D．向量与向量的长度相等 题型二：零向量和单位向量、相等向量和平行（共线）向量 【例2】．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．若向量与是平行向量，则，，，四点不一定在同一直线上； B．若向量与平行，且，则或 C．向量的长度与向量的长度相等； D．单位向量都相等． 【举一反三】 1．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 3．（25-26高三上·甘肃天水·期末）若为任一非零向量，是模为1的向量，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（   ）. A．①④ B．③④ C．①②③ D．②③ 题型三：向量加法法则 【例3】．（24-25高一下·广东湛江·月考）化简： (1) (2) 【举一反三】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 2．（25-26高二上·河北·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东济南·月考）如图，在菱形ABCD中，，，则______． 题型四：向量减法法则 【例4】．（2025高三下·全国·专题练习）化简： （1）=__________； （2）__________． 【举一反三】 1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则__________. 2．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 题型五：向量加减法的运算律 【例5】．（24-25高一下·全国·课堂例题）设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【举一反三】 1．（24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川成都·月考）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·天津和平·月考）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 题型六：向量加减法法则的几何应用 【例6】．（2023高一·全国·课后作业）如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则等式： ①    ②    ③    ④ 其中正确的题号是________． 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知菱形的边长为2，则向量__________.    3．（20-21高一·全国·课后作业）如图，在正六边形中，与相等的向量有__. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. 题型七：向量加减法的综合问题 【例7】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，O为正六边形的中点，化简下列向量： (1)； (2)； (3)． 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简： (1)； (2). 2．（24-25高一下·广西钦州·月考）化简： (1)； (2)； (3)． 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，点分别为的三边的中点.求证：    (1)； (2). 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法错误的是（   ） A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 2．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026高一·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．向量的模都是正实数 B．与表示的意义相同 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 4．（25-26高一下·全国·课后作业）下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列等式：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列四个式子中可以化简为的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 7．（2026高一·全国·专题练习）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为（　） ①　②　③　④　⑤　⑥ A．①②⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．②③④⑤ 二、多选题 8．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（   ） A．与的模相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上 B．若向量与平行，且，则或 C．向量的长度与向量的长度相等 D．单位向量都相等 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·安徽·期末）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·江苏无锡·月考）下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的半圆中，为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则_____________． 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）给出下列命题： ①若，则或； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是___________． 15．（25-26高一下·全国·课后作业）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有____________．（将正确答案的序号填在横线上） ①；②；③；④． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）已知正方形的边长为1，，，，则为_____________． 四、解答题 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知向量、、、，求作向量，． 18．（2026高一·全国·专题练习）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量. (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)的相反向量. 19．（25-26高一上·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 20．（25-26高一·全国·课前预习）如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示向量，，． 21．（23-24高一·上海·课堂例题）已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲：向量的概念、向量的加减法 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　向量的概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2.数量：只有大小没有方向的量称为数量. 知识点二　向量的几何表示 1.有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||. 2.向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. (2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 知识点三：.模、零向量、单位向量 向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量. 知识点四：　相等向量与共线向量 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. (1)记法：向量a与b平行，记作a∥b. (2)规定：零向量与任意向量平行. 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆. 知识点五　向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 知识点六　向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 知识点七：相反向量 1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 知识点八：向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 【题型归纳】 题型一：平面向量基础概念理解 【例1】．（24-25高一下·全国）下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据向量和有向线段的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误. 【详解】选项A：若方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：向量没有固定的起点，但有向线段有起点，有向线段是向量的表示工具， 所以有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 故选：C 【举一反三】 1．（24-25高一下·陕西·期中）以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 【答案】D 【分析】根据向量、共线向量、零向量、单位向量的概念逐一判断． 【详解】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，故A错； 对于B，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，B错， 对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错； 对于D，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小， 而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确； 故选：D． 2．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·河北承德·月考）以下说法中正确的是（    ） A．两个具有公共起点的向量，一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小 C．单位向量都是共线向量 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】根据向量的定义、向量模的定义、共线向量的定义逐一判断即可. 【详解】共起点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的，故A错误； 向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，故B错误； 单位向量指的是模长为1的向量，方向有无数种情况，故C错误； 向量与向量的长度相等，故D正确. 故选：D. 题型二：零向量和单位向量、相等向量和平行（共线）向量 【例2】．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．若向量与是平行向量，则，，，四点不一定在同一直线上； B．若向量与平行，且，则或 C．向量的长度与向量的长度相等； D．单位向量都相等． 【答案】D 【分析】根据平行向量，相反向量，单位向量的定义，即可判断选项. 【详解】对于A，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以重合或平行，故A正确． 对于B，，，都是非零向量，，与方向相同或相反，或．故B正确． 对于C，向量与向量方向相反，但长度相等．故C正确． 对于D，向量相等需要长度相等且方向相同，单位向量的长度都为1，但是方向不一定相同，故D错误． 故选：D 【举一反三】 1．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等向量的概念一一判断. 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以互相平分. 对于A：与不平行，不可能相等，故A错误； 对于B：与大小相同，方向相反，故B错误； 对于C：与不平行，不可能相等，故C错误； 对于D：大小相等，方向相同．即与是相等的向量． 故选：D 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 【答案】A 【分析】根据向量及共线向量的定义判断. 【详解】由向量相等的定义知选项A正确； 向量是有方向的量，不能比较大小，选项B错误； 当时，与不一定平行，选项C不正确； 可以是但与的模不相等，选项D不正确. 故选：A. 3．（25-26高三上·甘肃天水·期末）若为任一非零向量，是模为1的向量，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（   ）. A．①④ B．③④ C．①②③ D．②③ 【答案】B 【分析】根据向量的定义依次判断即可. 【详解】在①中，的大小不能确定，故①错误， 在②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误， 在③中，为任一非零向量，则，故③正确， 在④中，由题意可知，故④正确. 故选：B. 题型三：向量加法法则 【例3】．（24-25高一下·广东湛江·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的运算律计算求解即可. 【详解】（1）根据向量加法运算律得； （2）根据向量加法运算律得； 【举一反三】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 2．（25-26高二上·河北·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的三角形法则计算即可. 【详解】. 故选：A 3．（25-26高三上·山东济南·月考）如图，在菱形ABCD中，，，则______． 【答案】 【分析】根据向量加法运算结合菱形的性质及角度，求出模长即可 【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O,． 因为，所以， 所以为等边三角形． 又，， 所以． 在中，， 所以． 故答案为: 题型四：向量减法法则 【例4】．（2025高三下·全国·专题练习）化简： （1）=__________； （2）__________． 【答案】 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）； （2）. 故答案为：①；②. 【举一反三】 1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则__________. 【答案】 【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案. 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 2．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的加减法运算即可得答案； （2）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 题型五：向量加减法的运算律 【例5】．（24-25高一下·全国·课堂例题）设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据向量的运算法则，可得. （2）解：根据向量的运算法则， 可得. （3）解：根据向量的运算法则， 可得. 【举一反三】 1．（24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 2．（23-24高一下·四川成都·月考）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 3．（22-23高一下·天津和平·月考）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A： ，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B 题型六：向量加减法法则的几何应用 【例6】．（2023高一·全国·课后作业）如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则等式： ①    ②    ③    ④ 其中正确的题号是________． 【答案】③④ 【分析】根据向量的线性运算逐项分析判断. 【详解】对于①：，故①错误； 对于②：，故②错误； 对于③：，故③正确； 对于④：，故④正确； 故答案为：③④. 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，分别是的边，，的中点，所以∥，，即∥，且.，所以四边形是平行四边形 由向量加法的三角形法则可得，，； 由向量加法的平行四边形法则可得，，. 所以A，B，C正确；D错误. 故选：D． 2．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知菱形的边长为2，则向量__________.    【答案】2 【详解】由图知.，故答案为：2 3．（20-21高一·全国·课后作业）如图，在正六边形中，与相等的向量有__. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. 【答案】①④ 【分析】根据向量加减法运算可化简为，根据相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】四边形是平行四边形，，①正确； 与方向不同，②错误；与方向不同，③错误； ，④正确； ，⑤错误；与方向不同，⑥错误； 四边形为平行四边形，，⑦错误. 故答案为：①④. 题型七：向量加减法的综合问题 【例7】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，O为正六边形的中点，化简下列向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题图知，为平行四边形， ． （2）由图知， ． （3）， ． 又，． 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量加减法运算法则计算即可. 【详解】（1）原式 . （2） . 2．（24-25高一下·广西钦州·月考）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用平面向量的加减法运算法则计算即可. 【详解】（1）易知； （2）易知； （3）易知 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，点分别为的三边的中点.求证：    (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用向量加法三角形法则计算证明； （2）应用向量加法平行四边形法则及运算律计算证明. 【详解】（1）由向量加法的三角形法则， （2）由向量加法的平行四边形法则， 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法错误的是（   ） A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 【答案】D 【分析】根据相反向量和相等向量的定义得出选项A、B，然后根据零向量的定义得出选项C、D. 【详解】向量与互为相反向量，所以向量与的模相等，故A选项正确； 如果两个相等向量的起点相同，则它们终点必相同，故B选项正确； 根据向量模的定义，只有零向量的模等于0，故C选项正确； 零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D选项不正确； 故选：D. 2．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（2026高一·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．向量的模都是正实数 B．与表示的意义相同 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：，两个向量为相反向量，模相等，方向相反，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】利用向量加减法法则逐一判断即可. 【详解】对于①，，原等式正确； 对于②，，原等式正确； 对于③，，原等式正确； 对于④，，原等式错误． 故选：C 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列等式：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据向量加减法的概念和相反向量的概念分别判断即可. 【详解】因为，又任意向量加上零向量等于这个向量， 所以，故①正确； 由相反向量的性质可得，②正确； 由相反向量的定义及向量的加法法则可得，③正确； 根据向量的加法性质可得，④正确； 根据向量的减法的定义可得，⑤正确； 根据向量减法的定义可得，⑥正确； 故选：D. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列四个式子中可以化简为的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】利用向量的加法、减法法则逐个判断即可. 【详解】依题意，，①正确； 假定，则，即，因此， 无法确保，假设是错的，②错误； 是为一组邻边的平行四边形的以点为起点的对角线所对应的向量，不等于，③错误； ，④正确. 故选：A 7．（2026高一·全国·专题练习）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为（　） ①　②　③　④　⑤　⑥ A．①②⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】利用向量的加法运算法则计算得到，再对各个结论进行分析即可. 【详解】由向量加法的结合律，可得 ， 已知是任一非零向量， 对各个结论进行判断： ①：零向量与任何向量平行，故正确； ②等式左边，右边，但，故错误； ③等式左边，右边，故正确； ④不等式左边，右边，两者相等，故不等式不成立，故错误； ⑤等式左边，右边，相等，故正确； ⑥不等式左边，右边，两者相等，故不等式不成立，故错误. 因此，正确的结论为①③⑤， 故选：C 二、多选题 8．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（   ） A．与的模相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 【答案】AD 【分析】根据单位向量，相等向量，共线向量的定义进行判断即可． 【详解】由，为两个单位向量， ，故A正确； 如果与平行，则当与同向时，； 则当与反向时，； 即如果与平行，那么或，故B错误，D正确； ，为两个单位向量，仅模长相等，但不一定共线，故C错误． 故选：AD． 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上 B．若向量与平行，且，则或 C．向量的长度与向量的长度相等 D．单位向量都相等 【答案】ABC 【分析】根据向量共线的定义即可判断A，B，根据模的定义即可判断C，根据单位向量的定义可判断D. 【详解】对于A，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以重合或平行，故A正确． 对于B， ，，都是非零向量，，与的方向相同或相反， 即或．故B正确． 对于C，向量与向量方向相反，但长度相等．故C正确． 对于D，单位向量除了长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等且方向相同．故D错误． 故选：ABC． 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意可得四边形均为平行四边形，结合平面向量加法运算和向量相等的定义逐个选项计算并判断. 【详解】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确， 由，故D错误． 故选：ABC. 11．（25-26高一上·安徽·期末）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的加减法法则，结合具体选项，逐一分析即可. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 12．（24-25高一下·江苏无锡·月考）下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用向量的线性运算，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，所以D正确， 故选：BCD. 三、填空题 13．（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的半圆中，为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则_____________． 【答案】1 【分析】根据图形特点及直角三角形中 30° 角对边是斜边一半的性质求解. 【详解】连接，由，得，又，则． 故答案为：1. 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）给出下列命题： ①若，则或； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是___________． 【答案】③ 【分析】根据向量、相等向量、共线向量的定义逐一判断. 【详解】①错误．由仅说明与模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误．的模为零． ③正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上． 故答案为：③ 15．（25-26高一下·全国·课后作业）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有____________．（将正确答案的序号填在横线上） ①；②；③；④． 【答案】①③ 【分析】根据向量线性运算可确定为零向量，由此可判断得到结果. 【详解】由条件得：， 则，，，则①③正确，②④错误. 故答案为：①③． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）已知正方形的边长为1，，，，则为_____________． 【答案】 【分析】根据向量的加法法则和模长进行计算. 【详解】. 故答案为： 四、解答题 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知向量、、、，求作向量，． 【答案】作图见解析 【分析】根据向量减法的三角形法则作出图形. 【详解】如图所示，在平面内任取一点，作，，， 则，． 18．（2026高一·全国·专题练习）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量. (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)的相反向量. 【答案】(1) (2) (3)、、、 【分析】根据向量相等，相反的定义直接求解即可. 【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相反向量为大小相等且方向相反的向量，所以、、、. 19．（25-26高一上·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. （3）. 20．（25-26高一·全国·课前预习）如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示向量，，． 【答案】，， 【分析】由平面向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】因为四边形是平行四边形，所以，， 故. 21．（23-24高一·上海·课堂例题）已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的加法法则运算求解； （2）（3）利用平面向量的加法和减法法则运算求解. 【详解】（1） 如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （2）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （3）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $