2.1 直线与圆的位置关系 题型专练 2025--2026学年浙教版九年级数学下册

浙教版（2024）九年级下册 2.1 直线与圆的位置关系 题型专练（参考答案） 【题型1】判断直线与圆的位置关系 【典例】已知平面内有⊙O与直线AB，⊙O的半径为3cm，点O到直线AB的距离为3cm，则直线AB与⊙O的位置关系是（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.不能判断 【答案】A 【解析】根据点O到直线AB的距离与圆的半径大小作比较即可． ∵点O到直线AB的距离为3cm，且⊙O的半径为3cm， ∴3cm＝3cm，即直线AB与⊙O的位置关系是相切， 故选：A． 【强化训练1】在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（5，6），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是（　　） A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 【答案】A 【解析】由题意易得⊙P的圆心到x的距离为6，半径为5，进而可根据直线与圆的位置关系可求解． ∵⊙P的圆心坐标为（5，6）， ∴⊙P的圆心到x的距离为d＝6， ∵⊙P的半径为r＝5， ∴6＞5，即d＞r， ∴x轴与⊙P的位置关系是相离； 故选：A． 【强化训练2】圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是d，那么（　　） A.若d＝4.5cm时；则直线与圆相离 B.若d＝5cm时；则直线与圆相切 C.若d＝8时；则直线与圆相交 D.若d＝10cm时；则直线与圆相切 【答案】B 【解析】求圆与直线的交点个数，即确定直线与圆的位置关系，关键是把d与半径5cm进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．（d为圆心距，r为圆的半径）． 已知圆的直径为10cm，则半径为5cm， 当d＝5cm时，直线与圆相切，d＜5cm直线与圆相交，d＞5cm直线与圆相离， 故A、C、D错误，B正确， 故选：B． 【强化训练3】在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（3，5），半径是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是 　 　，⊙A与y轴的位置关系是 　  　． 【答案】相切，相交 【解析】解方程x2﹣2x﹣15＝0得到⊙A的半径为5，于是得到⊙A的半径＝圆心A到x轴的距离，即可得到结论． 解方程x2﹣2x﹣15＝0得，x1＝5，x2＝﹣3， ∴⊙A的半径为5， ∵⊙A的圆心坐标为（3，5）， ∴点A到x轴的距离为5，点A到y轴的距离为3， ∴⊙A的半径＝圆心A到x轴的距离，⊙A的半径＞圆心A到y轴的距离， ∴⊙A与x轴的位置关系是相切，⊙A与y轴的位置关系是相交， 故答案为：相切，相交． 【强化训练4】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，BO＝m，⊙O的半径r＝，问m在什么范围内取值时，BC与⊙O： （1）相离； （2）相切； （3）相交． 【答案】解：根据题意画出图形，过O作OD⊥AC， ∴OD∥BC， ∴∠AOD＝∠B＝30°， 在Rt△AOD中，OA＝m，∠AOD＝30°， ∴OD＝OAcos30°＝m， （1）若圆O与直线BC相离，则有OD＞r，即m＞， 解得：m＞， 则当m＞时，圆O与AC相离； （2）若圆O与直线BC相切，则有OD＝r，即m＝， 解得：m＝， 则当m＝时，圆O与AC相切； （3）若圆O与直线BC相交，则有0＜OD＜r，即0＜m＜， 解得：0＜m＜， 则当0＜m＜时，圆O与AC相交． 【强化训练5】在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定⊙A与直线BC的位置关系．（1）6；（2）8；（3）12． 【答案】解：作AD⊥BC于点D． ∵AB＝AC＝10， 又∵AD⊥BC，BC＝12， ∴BD＝6， 在Rt△ABD中，根据勾股定理：AD＝＝． AD＝8为圆心到直线的距离d， （1）当r＝6时，即d＞r，则直线和圆相离； （2）当r＝8时，即d＝r，则直线和圆相切； （3）当r＝12时，即d＜r，则直线和圆相交． 【题型2】根据直线与圆的位置关系求半径 【典例】如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有两个交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案． ∵∠C＝90°，， ∴＝， 设AC＝x，BC＝2x， ∴AB＝＝x＝5， ∴x＝， ∴AC＝，BC＝2， 过点C作CD⊥AB于点D， ∴CD＝＝2， ∵⊙C与线段AB有两个交点， ∴2＜R≤， 故选：A． 【强化训练1】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（ 　） A.5≤r≤12或 B.5＜r＜12 C. D. 【答案】D 【解析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB＝13，再利用面积法计算出CD＝，然后根据直线与圆的位置关系得到当≤r≤12时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点． 作CD⊥AB于D，如图， ∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB＝＝13， ∵CD•AB＝BC•AC， ∴CD＝， ∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为≤r≤12． 故选：D． 【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若⊙C与直线AB相交，则⊙C半径r的值或取值范围为（　　） A.0＜r＜2.4 B.r＝2.4 C.r＞2.4 D.2.4＜r＜4 【答案】C 【解析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理得到AB＝10cm，再根据三角形的面积公式得到CD的长，然后根据圆心到AB的距离与半径的关系即可得到结论． 过C作CD⊥AB于D， ∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝＝5， ∴CD＝＝2.4， ∵直线AB与⊙C相交，则r的取值范围是r＞2.4． 故选：C． 【强化训练3】矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，联结AC，若以B为圆心，r为半径的圆与线段AC，AD，CD都有公共点，则r的取值是　 　． 【答案】r＝4 【解析】当⊙B经过点C时，满足条件． 如图，当r＜BC时，和CD无交点， 当r＞BC时，和AC无交点， ∴r＝BC＝4时，以B为圆心，r为半径的圆与线段AC，AD，CD都有公共点． 故答案为：r＝4． 【强化训练4】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，以C为圆心作⊙C． （1）若⊙C与AB相切，求⊙C的半径； （2）若⊙C与直线AB相交，求⊙C半径r的取值范围； （3）若⊙C与线段AB有两个交点，求⊙C半径r的取值范围． 【答案】解：如图所示：过点C作CD⊥AB，垂足为D， （1）∵∠C＝90°，AC＝5，AB＝13， ∴BC＝12， ∴CD×AB＝AC×BC， ∴CD＝＝， 故⊙C与AB相切，⊙C的半径为：； （2）由（1）得：⊙C与直线AB相交，⊙C半径r的取值范围是：r＞； （3）当⊙C与线段AB有两个交点，则＜r≤5． 【强化训练5】已知点A的坐标为（3，1），⊙A与坐标轴有三个公共点．在如图所示的平面直角坐标系中画出⊙A，并求⊙A的半径． 【答案】解：如图1，当圆心在（3，1）与经过原点时，r＝； 如图2，当圆心在（3，1）且与y轴相切时，r＝3， 【题型3】根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 【典例】已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　） A.4 B.5 C.6 D.10 【答案】A 【解析】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，即可判断． ∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交， ∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5， 故选：A． 【强化训练1】已知⊙O的直径为15cm，若直线l与⊙O只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（　　） A.7cm B.7.5cm C.8cm D.10cm 【答案】B 【解析】根据已知直线l与⊙O有唯一的一个交点得出直线与圆相切，即可得出d与r的关系． 圆心O到直线l的距离为dcm， ∵直线l与⊙O有唯一的一个交点， ∴直线与圆相切， ∵⊙O的直径为15cm， ∴半径为7.5cm， ∴d＝r＝7.5cm． 故选：B． 【强化训练2】已知⊙O的半径为5cm，直线l和点O的距离为dcm，若直线l与⊙O有公共点，则（　　） A.d＞5 B.d＝5 C.d＜5 D.0≤d≤5 【答案】D 【解析】根据⊙O与直线有公共点，可得直线与圆相切或相交，从而得出点O到直线L的距离小于或等于圆的半径即可得到问题答案． ∵⊙O与直线有公共点， ∴直线L与圆相切或相交， ∴点O到直线L的距离小于或等于圆的半径， 即d≤5， ∵d≥0， ∴0≤d≤5． 故选：D． 【强化训练3】已知⊙O的弦AB＝1.6，优弧上的点到AB的最大距离为1.6，直线l⊥AB，若⊙O上有4个不同的点到l的距离等于0.4，则点O到l的距离d的范围为 　   　． 【答案】0≤d＜0.6 【解析】过点O作DO⊥AB交于点D，在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO2＝（1.6﹣OA）2+0.82，求出AO＝1，再由题意可得0≤d＜0.6． 过点O作DO⊥AB交于点D， ∵AB＝1.6， ∴AD＝0.8， ∵优弧上的点到AB的最大距离为1.6， ∴OD＝1.6﹣AO， 在Rt△AOD中，AO2＝OD2+AD2， ∴AO2＝（1.6﹣OA）2+0.82， 解得AO＝1， ∵⊙O上有4个不同的点到l的距离等于0.4， ∴0≤d＜0.6， 故答案为：0≤d＜0.6． 【强化训练4】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，5个单位为半径画圆．直线MN经过x轴上一动点P（m，0）且垂直于x轴，当P点在x轴上移动时，直线MN也随着平行移动．按下面条件求m的值或范围． （1）如果⊙O上任何一点到直线MN的距离都不等于3； （2）如果⊙O上有且只有一点到直线MN的距离等于3； （3）如果⊙O上有且只有二点到直线MN的距离等于3； （4）随着m的变化，⊙O上到直线MN距离等于3的点的个数还有哪些变化？请说明所有各种情形及对应的m值或范围． 【答案】解：（1）m＜﹣8或m＞8时⊙O上任何一点到直线MN的距离都不等于3； （2）m＝﹣8或m＝8时⊙O上有且只有一点到直线MN的距离等于3； （3）﹣8＜m＜﹣2或2＜m＜8时⊙O上有且只有二点到直线MN的距离等于3； （4）当m＝﹣2或m＝2时⊙O上有且只有三个点到直线MN的距离等于3； 当﹣2＜m＜2时⊙O上有且只有四个点到直线MN的距离等于3． 【强化训练5】已知⊙O的半径是5，圆心O到直线AB的距离为2，则⊙O上有且只有几 个点到直线AB的距离为3． 【答案】解：过O点作OC⊥AB，交⊙O于P，如图， ∴OC＝2， 而OA＝5， ∴PC＝3，即点P到直线AB的距离为3； 在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为7，而圆为对称图形， ∴在直线AB的这边，还有两个点M，N到直线AB的距离为3． 【题型4】直线与圆的公共点个数问题 【典例】在△ABC中∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心以2.4cm长为半径作⊙C，则⊙C与△ABC的三边的交点个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，再和⊙C的半径比较即可得出结果． 过C作CD⊥AB于D，如图所示： 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝5（cm）， 由三角形面积公式得：×3×4＝×5×CD， 解得：CD＝2.4cm， 即C到AB的距离等于⊙C的半径长， ∴⊙C和AB的位置关系是相相切， ∴⊙C与△ABC的三边的交点个数为3个， 故选：D． 【强化训练1】已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.无法确定 【答案】A 【解析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． ∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和⊙O相离， ∴直线l与⊙O没有公共点． 故选：A． 【强化训练2】已知⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，直线l与⊙O的公共点个数为（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.以上都不对 【答案】A 【解析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． ∵⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和⊙O相离， ∴直线l与⊙O没有公共点． 故选：A． 【强化训练3】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，1），若⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为　  　． 【答案】或3 【解析】由已知A（3，1），可以知道圆心A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，到原点的距离为，由此可以确定，⊙A与坐标轴共有三个公共点时圆的半径是和3． 设⊙A的半径为r， 当1＜r＜3时，⊙A与坐标轴共有2个公共点， 当半径等于3时，如图1，⊙A与y轴相切且与x轴有2个交点，共有3个公共点， 当半径r等于A到原点的距离＝时，如图2，共有3个公共点， 当半径r大于时，⊙A与坐标轴共有4个公共点． 即⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为或3． 故答案为：或3． 【强化训练4】在△ABC中，∠A＝90，AB＝2，AC＝4，O是AC的中点且当⊙O与边BC只有一个公共点时，求⊙O的半径R的取值范围． 【答案】解：如图，过A作AD⊥BC于D，OE⊥BC于E，连接BO， ∴AD∥OE， ∵∠A＝90°，AB＝2，AC＝4， ∴BC＝＝2， ∴AD＝＝， ∵O是AC的中点， ∴AO＝CO＝AC＝2，∵AD∥OE， ∴OE＝＝， ∵AB＝AO＝2， ∴BO＝2， ∴当R＝或2＜R≤2时，⊙O与边BC只有一个公共点， ∴⊙O的半径R的取值范围是：R＝或2＜R≤2． 【题型5】切线的定义及证明 【典例】下列说法中，正确的是（　　） A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.经过半径外端的直线是圆的切线 C.经过切点的直线是圆的切线 D.圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 【答案】D 【解析】由①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线；③与圆有1个公共点的直线是圆的切线，即可求得答案． A、与圆有且只有1个公共点的直线是圆的切线，故A选项不符合题意； B、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故B选项不符合题意； C、经过切点且垂直于过切点半径的直线是圆的切线，故C选项不符合题意； D、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，故D选项符合题意； 故选：D． 【强化训练1】如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，延长OD，与直线BC相交于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系是（　　） A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 【答案】C 【解析】先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出∠BOC＝2∠A＝50°，再求，∠OBC＝180°﹣50°﹣40°＝90°，可得结论． 直线BC与⊙O相切， 理由：∵∠BOC＝2∠A＝50°，∠OCB＝40°， ∴∠OBC＝180°﹣50°﹣40°＝90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴直线BC与⊙O相切． 故选：C． 【强化训练2】如图，CD为等边三角形ABC的高，点O在DC的延长线上，且OD＝11，CD＝6，⊙O的半径为1，若将⊙O绕点C按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A.3次 B.4次 C.5次 D.6次 【答案】C 【解析】延长CO交⊙O于点，先根据OD＝11，CD＝6得出OC＝5，故CE＝6，再根据△ABC是等边三角形可知BC＝AC，BC＞CD，根据直线与圆的位置关系即可得出结论． 延长CO交⊙O于点， ∵OD＝11，CD＝6， ∴OC＝5， ∴CE＝6． ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，BC＞CD， ∴在旋转过程中⊙O与BC边只有一个公共点时有两次，与AB边有一次，与AC边有2次． ∴⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现5次． 故选：C． 【强化训练3】如图，△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B＝∠EAC，根据弦AB的位置变化，试探究直线EF与⊙O的位置关系． 甲：如图（1），当弦AB过点O时，EF与⊙O相切； 乙：如图（2），当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切． 你认为 　   　的判断正确． 【答案】甲、乙 【解析】甲、根据直径推出∠CAB+∠B＝90°，推出∠EAC+∠CAB＝90°，根据切线判定推出即可； 乙、作直径AM，连接CM，推出∠M＝∠B＝∠EAC，求出∠EAC+∠CAM＝90°，根据切线的判定推出即可． 甲、∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∵∠EAC＝∠B， ∴∠EAC+∠CAB＝90°， ∴EF⊥AB， ∵OA是半径， ∴EF是⊙O的切线； 乙、作直径AM，连接CM， 即∠B＝∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）， ∵∠EAC＝∠B， ∴∠EAC＝∠M， ∵AM是⊙O的直径， ∴∠ACM＝90°， ∴∠CAM+∠M＝90°， ∴∠EAC+∠CAM＝90°， ∴EF⊥AM， ∵OA是半径， ∴EF是⊙O的切线． 故甲、乙正确， 故答案为：甲、乙． 【强化训练4】如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t＝0（s）时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm． （1）当t＝0（s）时，点A在半圆O　　，当t＝8（s）时，点A在半圆O　　； （2）当t为何值时，△ABC的边AC与半圆O相切？ （3）当t为何值时，△ABC的边AB与半圆O相切？ 【答案】解：（1）当t＝0（s）时，点A在半圆O外． ∵AC＞6， ∴当t＝8时，点A在半圆O外． （2）①如图1，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，AC与半圆O所在的圆相切， 此时点O运动了2cm， 所求运动时间为t＝＝2（s）； ②如图2，当点D与点C重合时，AC⊥OD，OC＝OD＝6cm，AC与半圆O所在的圆相切， 此时点O运动了14cm，所求运动时间为t＝＝14（s） 答：当t等于2s或14s时，AC与半圆O所在的圆相切． （3）③如图3，过C点作CF⊥AB，交AB于F点； ∵∠ABC＝30°，BC＝12cm， ∴FO＝6cm； 当半圆O与△ABC的边AB相切时， 又圆心O到AB的距离等于6cm， 且圆心O又在直线BC上， ∴O与C重合， 即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切； 此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝＝8（s）． 答：当t等于8s时，AB与半圆O所在的圆相切． 【强化训练5】如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠ABC＝∠CAD． （1）若∠ABC＝40°，则∠OCA的度数为　　°； （2）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由． 【答案】解：（1）连接OA， ∵∠ABC＝40°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝80°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝； 故答案为：50； （2）相切． 理由如下：法一：连接OA， 则∠ABC＝∠AOC， 在等腰△AOC中，∠OAC＝90°﹣∠AOC， ∴∠OAC＝90°﹣∠ABC． ∵∠ABC＝∠CAD， ∴∠OAD＝∠OAC+∠CAD＝90°﹣∠ABC+∠ABC＝90°， 即OA⊥AD，而点A在⊙O上， ∴直线AD与⊙O相切． 法二：连接OA，并延长AO与⊙O相交于点E，连接EC． ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ECA＝90°， ∴∠EAC+∠AEC＝90°． 又∵∠ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD， ∴∠EAC+∠CAD＝90°． 即OA⊥AD，而点A在⊙O上， ∴直线AD与⊙O相切． 【题型6】直线与圆的位置关系的实际应用 【典例】“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.平行 【答案】B 【解析】根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：B． 【强化训练1】巴金的《海上日出》中，有这样一段描写“果然，过了一会儿，那里出现了太阳的小半边脸，红是红得很，却没有亮光．太阳像负着什么重担似的，慢慢儿，一纵一纵地，使劲儿向上升．到了最后，它终于冲破了云霞，完全跳出了海面，颜色真红得可爱．”这段文字中的划线一句，给我们呈现了直线与圆的哪一种位置关系（　 　） A.相离 B.外离 C.相切 D.外切 【答案】A 【解析】理解直线和圆的位置关系的概念：直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离． 根据到了最后，它终于冲破了云霞，完全跳出了海面，颜色真红得可爱，可知直线和圆此时是相离的位置关系． 故选：A． 【强化训练2】如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（　　） A.相切 B.相交 C.平行 D.相离 【答案】D 【解析】根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相离， 故选：D． 【强化训练3】在“海上生明月”这幅图中，把月亮与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是　  　． 【答案】相离 【解析】根据相离的概念：一条直线和圆没有公共点称为直线和圆相离，由此即可作出判断． ∵月亮与地平线没有公共点， ∴该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是相离． 故答案为：相离． 【强化训练4】有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分看成半径为1.5米的圆形（如图所示）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套和四套的两种方案中选取一种，在右下方14×20方格网内划出设计示意图． 【答案】解：|AB|2＝（b﹣2）2+（5﹣2）2≥3.52（b﹣2）． 所以可以摆下4个桌子，中心为A（2，2），B（4，5），C（6，2），D（8，5）． 摆放三套与四套的设计方案参考示意图如下： 【强化训练5】某省海域附近突现一圆形漩涡，为了能了解详实的信息以便作出对策，政府特派两巡航轮船前往勘察，假使两船分别沿射线AB，AC行进（如图），P是航线AC上的点，此时恰与漩涡相切，已知两航线都与漩涡相切，求作漩涡的圆心及影响范围．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：漩涡的圆心为O点，影响范围为以O为圆心，OP为半径的圆． 【题型7】切线的判定 【典例】如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（　　） A.AB＝4，AT＝3，BT＝5 B.∠B＝45°，AB＝AT C.∠B＝55°，∠TAC＝55° D.∠ATC＝∠B 【答案】D 【解析】分别利用切线的判定进而得出∠BAT＝90°，得出答案即可． A、∵AB＝4，AT＝3，BT＝5， ∴AB2+AT2＝BT2， ∴△BAT是直角三角形， ∴∠BAT＝90°， ∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误； B、∵∠B＝45°，AB＝AT， ∴∠T＝45°， ∴∠BAT＝90°， ∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误； C、∵AB为直径， ∴∠BAC＝90°， ∵∠B＝55°， ∴∠BAC＝35°， ∵∠TAC＝55°， ∴∠BAT＝90°， ∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误； D、∠ATC＝∠B，无法得出直线AT是⊙O的切线，故此选项正确． 故选：D． 【强化训练1】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ 　） A.∠E＝∠CFE B.∠E＝∠ECF C.∠ECF＝∠EFC D.∠ECF＝60° 【答案】C 【解析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠B，推出∠OCB+∠ECF＝90°，于是得到结论． 连接OC，∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠B， ∵DE⊥AB， ∴∠BDF＝90°， ∴∠B+∠DFB＝90°， ∵∠EFC＝∠BFD， ∴∠B+∠EFC＝90°， ∵∠ECF＝∠EFC， ∴∠OCB+∠ECF＝90°， ∴CE是⊙O的切线． 故选：C． 【强化训练2】下列四个选项中的表述，正确的是（　　） A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 【答案】C 【解析】根据切线的判定对各个选项进行解析，从而得到答案． 由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线， 故A，B，D选项不正确，C选项正确， 故选：C． 【强化训练3】如图，已知⊙O的圆心在等腰三角形ABC的底边BC上，且⊙O经过点A，C，当添加条件 　   　时，BA就是⊙O的切线． 【答案】∠B＝30° 【解析】连接OA，证出∠OAB＝90°，由切线的判定可得出结论． 连接OA， 当∠B＝30°时，BA就是⊙O的切线． ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝30°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝30°， ∴∠AOB＝∠OAC+∠C＝60°， ∴∠OAB＝90°， ∴OA⊥AB， ∴BA就是⊙O的切线． 故答案为：∠B＝30°． 【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝　　cm时，BC与⊙A相切． 【答案】6 【解析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可． 如图，过点A作AD⊥BC于点D． ∵AB＝AC，∠B＝30°， ∴AD＝AB，即AB＝2AD． 又∵BC与⊙A相切， ∴AD就是圆A的半径， ∴AD＝3cm， 则AB＝2AD＝6cm． 故答案为：6． 【强化训练5】如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D＝∠BAC． （1）求证：AD是半圆O的切线； （2）若BC＝2，CE＝，求AD的长． 【答案】（1）证明：∵AB为半圆O的直径， ∴∠BCA＝90°． 又∵BC∥OD， ∴OE⊥AC． ∴∠D+∠DAE＝90°． ∵∠D＝∠BAC， ∴∠BAC+∠DAE＝90°． ∴AD是半圆O的切线． （2）解：∵BC∥OD， ∴△AOE∽△ABC， ∵BA＝2AO， ∴＝＝，又CE＝， ∴AC＝2CE＝． 在Rt△ABC中， AB＝＝， ∵∠D＝∠BAC，∠ACB＝∠DAO＝90°， ∴△DOA∽△ABC． ∴即． ∴． 【题型8】应用切线的性质求半（直）径 【典例】如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）与点C（0，16），则⊙M的直径是（　　） A.10 B.2 C.4 D.20 【答案】D 【解析】如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，进而解答即可． 如图连接AM，OM，作MH⊥BC于H． ∵⊙M与x轴相切于点A（8，0）， ∴AM⊥OA，OA＝8， ∴∠OAM＝∠MHO＝∠HOA＝90°， ∴四边形OAMH是矩形， ∴AM＝OH， ∵MH⊥BC， ∴HC＝HB＝6， ∴OH＝AM＝10， 则⊙M的直径是20， 故选：D． 【强化训练1】如图，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C，过点A作AD⊥CE于点D，连接AC，BC．若BC＝2AC，且AD＝2，则⊙O的半径为（　　） A.4 B. C.5 D. 【答案】C 【解析】由圆周角定理得到∠OCB+∠ACO＝90°，由切线的性质定理推出∠DCA+∠ACO＝90°，由余角的性质推出∠DCA＝∠OCB，由等腰三角形的性质推出∠B＝∠OCB，得到∠ACD＝∠B，由垂直的定义得到∠ADC＝∠ACB＝90°，判定△ACD∽△ABC，推出AD：CD＝AC：BC，AC：AB＝AD：AC，求出CD＝2AD＝4，由勾股定理得到AC＝＝2，即可求出AB＝10，得到⊙O的半径为5． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OCB+∠ACO＝90°， ∵CE切⊙O于点C， ∴∠DCA+∠ACO＝90°， ∴∠DCA＝∠OCB， ∵OC＝OB， ∴∠B＝∠OCB， ∴∠ACD＝∠B， ∵AD⊥CE， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ACD∽△ABC， ∴AD：CD＝AC：BC，AC：AB＝AD：AC， ∵BC＝2AC， ∴CD＝2AD＝2×2＝4， ∴AC＝＝2， ∴2：AB＝2：2， ∴AB＝10， ∴⊙O的半径为5． 故选：C． 【强化训练2】已知：如图，在△ABC中，CB＝3，AB＝4，AC＝5，以点B为圆心的圆与AC相切于点D，则⊙B的半径为　　． 【答案】2.4 【解析】连接BD，由AC是⊙C的切线，即可得BD⊥AC，由勾股定理的逆定理可证明△ABC是直角三角形，然后由S△ABC＝AB•BC＝BD•AC，即可求得⊙B的半径长度． 连接BD， 在△ABC中， ∵CB＝3，AB＝4，AC＝5， ∴AB2+BC2＝32+42＝52＝AC2， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ∵AC是⊙C的切线， ∴BD⊥AC， ∵S△ABC＝AB•BC＝AC•BD， ∴AB•BC＝AC•BD， 即BD＝＝2.4， 故答案为：2.4． 【强化训练3】如图，BC为⊙O的直径，P为CB延长线上的一点，过P作⊙O的切线PA，A为切点，PA＝4，PB＝2，则⊙O的半径等于 　  　． 【答案】3 【解析】连接OA，因为PA是⊙O的切线，得∠PAO＝90°，结合已知在Rt△PAO中运用勾股定理即可求解． 连接OA， ∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAO＝90°，∵PA＝4，PB＝2， 在Rt△PAO中，PO2＝PA2+AO2， 即（BO+2）2＝42+AO2， ∴（AO+2）2＝42+AO2， 解得AO＝3， 故答案为：3． 【强化训练4】如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30cm．求直径AB的长． 【答案】解：∵∠A＝30°，OC＝OA， ∴∠ACO＝∠A＝30°， ∴∠COD＝60°， ∵DC切⊙O于C， ∴∠OCD＝90°， ∴∠D＝30°， ∵OD＝30cm， ∴OC＝OD＝15cm， ∴AB＝2OC＝30cm． 【题型9】应用切线的性质求角度 【典例】如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A＝30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（　　） A.30° B.35° C.40° D.45° 【答案】A 【解析】由于CD是切线，可知∠OCD＝90°，而∠A＝35°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D． 连接OC， ∵CD是切线， ∴∠OCD＝90°， ∵∠A＝30°， ∴∠COD＝2∠A＝60°， ∴∠D＝90°﹣60°＝30°． 故选：A． 【强化训练1】如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝62°，则∠BAC的度数为（　　） A.28° B.30° C.31° D.32° 【答案】A 【解析】连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD＝90°，利用互余计算出∠OCA＝28°，然后根据等腰三角形的性质得到∠BAC的度数． 连接OC，如图， ∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∵∠ACD＝62°， ∴∠OCA＝90°﹣62°＝28°， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠OCA＝28°． 故选：A． 【强化训练2】如图，在⊙O中，AB是⊙O的切线，连接OB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，连接AC，AD，＝，若∠B＝40°，则∠DAC的度数为（　　） A.40° B.35° C.30° D.25° 【答案】D 【解析】连接OA、OD，由切线的性质得∠OAB＝90°，继而得到∠AOB＝90°﹣∠B＝50°，根据等弧所对的圆心角相等得∠DOC＝∠AOB＝50°，再根据圆周角定理即可得解． 连接OA、OD， ∵AB是⊙O的切线， ∴∠OAB＝90°， ∵∠B＝40°， ∴∠AOB＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°， ∵， ∴∠DOC＝∠AOB＝50°， ∵圆心角∠DOC和圆周角∠DAC所对的弧是， ∴， 即∠DAC的度数为25°． 故选：D． 【强化训练3】如图，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C，交AB的延长线于点E，点D是⊙O上的点，连接BD、CD，若∠CDB＝25°，则∠E的度数是　   　． 【答案】40° 【解析】连接OC，在RT△COE中，求出∠COE即可解决问题． 如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA＝25°， ∵∠A＝∠D＝25°， ∴∠A＝∠ACO＝25°， ∴∠COE＝∠A+∠ACO＝50°， ∵CE是切线， ∴∠OCE＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠COE＝40°． 故答案为40°． 【强化训练4】已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， （Ⅰ）如图①，连接AC，AD，若∠ADC＝55°，求∠CAB的大小； （Ⅱ）如图②，C是半圆弧AB的中点，AD的延长线与过点B的切线相交于点P，若CD＝，求∠APB的大小． 【答案】解：（I）连接CB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠ABC＝90°， ∵∠ADC＝55°， ∴∠ABC＝∠ADC＝55°， ∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝35°； （II）连接AC，OC，DO， ∵CD＝AB＝OC＝OD， ∴△COD为等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠CAD＝∠COD＝30°， ∵C是半圆弧AB的中点， ∴＝， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵AO＝CO， ∴∠CAO＝∠ACO＝45°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝15°， ∵AD的延长线与过点B的切线相交于点P， ∴BP⊥AB， ∴∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°﹣∠BAP＝75°． 【强化训练5】已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F． （Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小； （Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小． 【答案】解：（Ⅰ）如图①，连接AD． ∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°． ∵∠ABC＝52°， ∴∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∴∠DAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°． ∵＝， ∴∠DFB＝∠DAB＝38°． （Ⅱ）如图②，连接OD． 在△BDE中，DB＝DE，∠B＝52°， ∴∠BED＝∠B＝52°， ∴∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°． 又在△BOD中，OB＝OD， ∴∠BDO＝∠B＝52°， ∴∠ODF＝76°﹣52°＝24°． ∵OD＝OF， ∴∠F＝∠ODF＝24°． 【题型10】应用切线的性质求面积 【典例】如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 B，连接 AO 与⊙O 交于点 C，BD 为⊙O 的直径，连接 CD，若∠A＝30°，OA＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】过O点作OE⊥CD于E，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB＝60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE，CD的长，再根据阴影部分的面积＝扇形OCD的面积﹣三角形OCD的面积，列式计算即可求解 如图，过O点作OE⊥CD于E， ∵AB为⊙O的切线， ∴∠ABO＝90°， ∵∠A＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°， ∵OA＝2， ∴⊙O的半径为1， ∴OE＝，CE＝DE＝， ∴CD＝2CE＝2×＝， ∴S阴影＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣××＝﹣， 故选：A． 【强化训练1】如图，AB是⊙O的切线，B为切点，若∠ABC＝120°，AB＝2，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C，则阴影部分的面积是（　　） A.2 B. C.4﹣ D.2﹣ 【答案】D 【解析】首先求出∠AOB，OB，然后利用S阴＝S△ABO﹣S扇形OBD计算即可． 连接OB． ∵AB是⊙O切线， ∴OB⊥AB， ∵OC＝OB，∠ABC＝30°， ∴∠C＝∠OBC＝30°， ∴∠AOB＝∠C+∠OBC＝60°， 在Rt△ABO中，∵∠ABO＝90°，AB＝2，∠A＝30°， ∴OB＝2， ∴S阴＝S△ABO﹣S扇形OBD＝×2×2﹣＝2﹣． 故选：D． 【强化训练2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝2，点O为AB的中点，以点O为圆心作半圆与边AC相切于点D．则图中阴影部分的面积为（　　） A.1﹣π B.﹣ C.2﹣ D.2﹣π 【答案】B 【解析】根据切线，可得∠ADO＝90°，根据AB的长，求出AO的长度；解直角三角形，求出半径OD的长度；根据阴影部分的面积＝2×（三角形的面积减扇形的面积），计算即可． 如图，连接OD， ∵AC与⊙O相切， ∴∠ADO＝90°， ∵∠C＝90°，CA＝CB， ∴∠A＝∠B＝45°， ∴∠AOD＝45°， ∵O是AB的中点，AB＝2， ∴OA＝， ∴OD＝cos45°•OA＝， ∴S阴影＝2（××﹣）＝﹣． 故选：B． 【强化训练3】如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线l与⊙P相切于点A，若点P的坐标是（0，﹣5），则阴影部分的面积为 　   　． 【答案】25﹣ 【解析】由点P的坐标可求得圆的半径，然后根据阴影部分的面积＝正方形的面积﹣扇形OPA的面积求解即可． 如图所示；连接PA． ∵l∥y轴， ∴∠B＝90°． ∵l与⊙P相切， ∴PA⊥BA． ∴∠PAB＝90°． ∴∠BOP＝∠PAB＝∠OBA＝90°． ∴四边形OBAP是矩形． ∵OP＝PA， ∴四边形OBAP为正方形． ∴∠OPA＝90°． ∴阴影部分的面积＝正方形OBAP的面积﹣扇形OPA的面积＝25﹣×π×52＝25﹣． 故答案为：25﹣． 【强化训练4】如图，AB是⊙O的直径，＝，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．若OA＝CD＝2，阴影部分的面积＝　  　． 【答案】4-π 【解析】连接OD，得等腰直角三角形ODC，可知扇形ODB的圆心角为45°，所以利用面积差可求得阴影部分的面积． 连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD， ∵OA＝OD，OA＝CD＝2， ∴△ODC是等腰直角三角形， ∴∠DOC＝45°， ∴S阴影＝S△ODC﹣S扇形ODB， ＝OD•DC﹣， ＝×2×﹣， ＝4﹣π， 故答案为：4﹣π． 【强化训练5】如图，OA为⊙O的半径，点C在⊙O上，AB与⊙O相切于点A，与OC延长线交于点B，过点B作BD⊥OB，交AC的延长线于点D． （1）求证：AB＝BD； （2）若BC＝5，，求弦AC与弧AC围成的图形（阴影部分）面积． 【答案】（1）证明：∵AE为⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°， ∵BD⊥OB， ∴∠DBC＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠OCA＝∠BCD， ∴∠OAC＝∠BCD， ∵∠OAC+∠BAD＝90°，∠D+∠BCD＝90°， ∴∠BAD＝∠D， ∴AB＝BD； （2）解：∵∠OAB＝90°，AB＝BD＝5，BC＝5， ∴AB2+AO2＝OB2， ∴（5）2+OA2＝（OA+5）2， ∴OA＝5， ∴OB＝10， ∴OA＝， ∴∠O＝60°， ∴弦AC与弧AC围成的图形（阴影部分）面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积＝﹣××5×5＝﹣． 【解析】 【难度】中档题 【强化训练6】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝4，连接OC，OE＝2EB，F为圆上一点，过点F作圆的切线交AB的延长线于点G，连接BF，BF＝BG． （1）求⊙O的半径； （2）求证：AF＝FG； （3）求阴影部分的面积． 【答案】（1）解：设⊙O的半径为r，则OE＝r， ∵CD⊥AB， ∴CE＝DE＝CD＝2， 在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，即r2＝（r）2+（2）2， 解得，r＝6， 答：⊙O的半径为6； （2）证明：连接OF， ∵FG是⊙O的切线， ∴∠OFG＝90°，即∠OFB+∠BFG＝90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°，即∠FAB+∠OBF＝90°， ∵OB＝OF， ∴∠OFB＝∠OBF， ∴∠FAB＝∠BFG， ∵BF＝BG， ∴∠G＝∠BFG， ∴∠G＝∠FAB， ∴AF＝FG； （3）解：∵OA＝OF， ∴∠OAF＝∠OFA， ∴∠OFA＝∠BFG， 在△AOF和△GBF中， ， ∴△AOF≌△GBF（ASA） ∴OF＝BF， ∴△OBF为等边三角形， ∴∠BOF＝60°，BF＝OB＝6， 由勾股定理得，AF＝＝＝6， ∴阴影部分的面积＝π×62﹣×6×6＝18π﹣18． 【题型11】应用切线的性质求弧长及线段长度 【典例】如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为（　　） A. B.1.5 C.1 D. 【答案】A 【解析】根据垂径定理得CD＝BD＝BC＝1，可证明∠DCO＝∠DOC＝45°，则OD＝CD＝1，求得OA＝OC＝，由AE是⊙O的切线，证明∠OAE＝90°，则∠E＝∠AOC＝45°，所以AE＝OA＝，于是得到问题的答案． ∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，且BC＝2，OA⊥BC于点D， ∴CD＝BD＝BC＝1，∠ODC＝90°， ∵∠AOC＝45°， ∴∠DCO＝∠DOC＝45°， ∴OD＝CD＝1， ∴OA＝OC＝＝＝， ∵AE是⊙O的切线， ∴AE⊥OA， ∴∠OAE＝90°， ∴∠E＝∠AOC＝45°， ∴AE＝OA＝， 故选：A． 【强化训练1】如图，AB是⊙O的切线，P为切点，连接OA，OB，分别与⊙O相交于点C，点D，若∠A＝30°，AP＝2，BP＝2，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】连接OP，根据切线的性质可得OP⊥AB，从而可得∠APO＝∠BPO＝90°，再在Rt△AOP中，利用锐角三角函数的定义求出OP的长，从而可得OP＝BP＝2，进而可得∠B＝∠BOP＝45°，然后利用三角形内角和定理可得∠AOB＝105°，从而利用弧长公式进行计算，即可解答． 连接OP， ∵AB是⊙O的切线，P为切点， ∴OP⊥AB， ∴∠APO＝∠BPO＝90°， 在Rt△AOP中，∠A＝30°，AP＝2， ∴OP＝AP•tan30°＝2×＝2， ∵BP＝2， ∴OP＝BP＝2， ∴∠B＝∠BOP＝45°， ∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°， ∴的长＝＝π， 故选：C． 【强化训练2】如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF＝（　　） A.3 B.2 C.3 D. 【答案】B 【解析】根据垂径定理求出CF＝2CE，根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COE的度数，解直角三角形求出CE即可． 连接OC， ∵点B是的中点，AB为⊙O的直径， ∴CE＝EF，CF⊥AB， ∴∠CEO＝90°， ∵DC切⊙O于C， ∴∠OCD＝90°， ∵OB＝BD＝OC＝2， ∴∠D＝30°， ∴∠COE＝60°， ∴CE＝OC×sin60°＝2×＝， ∴CF＝2CE＝2， 故选：B． 【强化训练3】如图，在⊙O中，直径AB＝6，点C是⊙O外的一点，直线BC与⊙O相切于点B，连接AC交⊙O于点D．若DC＝2，则AD的长为 　　． 【答案】 【解析】连接BD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，再根据切线的性质证明∠ABC＝90°，则＝＝cosA，所以AD•（AD+2）＝62，求得AD＝，于是得到问题的答案． 连接BD， ∵AB是⊙O的直径，AB＝6，CD＝2， ∴∠ADB＝90°， ∵直线BC与⊙O相切于点B， ∴BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴＝＝cosA， ∴AD•（AD+2）＝62， 解得AD＝或AD＝（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【强化训练4】如图，⊙O中，BC为直径，AB切⊙O于B点，连AC交⊙O于D，若CD＝2，AB＝，则BC＝　　． 【答案】 【解析】连接BD，易证△ABD∽△ACB，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出AD的长，进而AC的长可知，再利用勾股定理即可求出BC的长． 连接BD， ∵BC为直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠C+∠CBD＝90°， ∵AB切⊙O于B点， ∴AB⊥BC， ∴∠CBD+∠ABD＝90°， ∴∠C＝∠ABD， ∴△ABD∽△ACB， ∴AB：AC＝AD：AB， ∵CD＝2，AB＝， ∴：（AD+2）＝AD：， 解得：AD＝1， ∴AC＝3， ∴BC＝＝， 故答案为：． 【强化训练5】如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC． （1）求证：OC⊥OB； （2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长． 【答案】（1）证明：∵AB＝BP， ∴∠BAP＝∠BPA， ∵AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥BA， ∴∠BAO＝90°，即∠BAP+∠PAO＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠PAO＝∠C， ∵∠BPA＝∠CPO， ∴∠C+∠CPO＝90°， ∴∠COP＝90°， 即CO⊥BO； （2）解：如图，作BD⊥AP于点D， 在Rt△ABO中，AB＝3，OA＝4， 则BO＝5，OP＝2， 在Rt△CPO中，PO＝2，CO＝4， 则CP＝2， ∵BA＝BP， ∴AD＝PD， 由（1）知∠COP＝90°， ∵∠BDP＝90°，∠BPD＝∠CPO， ∴△BPD∽△CPO， ∴，即， ∴PD＝， ∴AP＝2PD＝． 【强化训练6】如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝10，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC＝4，求⊙O的半径和线段PB的长． 【答案】解：（1）AB＝AC，理由如下： 如图1，连接OB． ∵AB切⊙O于B，OA⊥l， ∴∠OBA＝∠OAC＝90°， ∴∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠APC＝90°， ∵OP＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB， ∵∠OPB＝∠APC， ∴∠ACP＝∠ABC， ∴AB＝AC； （2）如图2，延长AP交⊙O于E，连接BE， 设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝10﹣r， 则AB2＝OA2﹣OB2＝102﹣r2， ∵AC2+PA2＝PC2， ∴， 解得：r＝6， ∴AB＝AC＝8，PA＝OA﹣OP＝4， ∵PE是⊙O的直径， ∴∠PBE＝90°＝∠PAC， 又∵∠EPB＝∠CPA， ∴△EPB∽△CPA， ∴， ∴， ∴． 【题型12】应用切线的性质证明 【典例】如图，AB是⊙D的直径，AD切⊙D于点A，EC＝CB．则下列结论：①BA⊥DA； ②OC∥AE；③∠COE＝2∠CAE；④OD⊥AC．一定正确的个数有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【解析】①根据切线的性质得出AD⊥AB； ②由弦相等可知所对的弧相等，则＝，所以∠COB＝∠EAB，OC∥AE； ③在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍； ④因为E不是弧AC的中点，所以OD与AC不垂直． ①∵AB是⊙D的直径，AD切⊙D于点A， ∴AD⊥AB； 故①正确； ②∵EC＝CB， ∴＝， ∴＝， ∴∠COB＝∠EAB， ∴OC∥AE； 故②正确； ③∵O是圆心， ∴∠COE＝2∠CAE； 故③正确； ④∵点E不一定是AC的中点， ∴OE与AC不一定垂直， 故④不正确； 正确的有①②③， 故选：B． 【强化训练1】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2…，半径为n+1的圆与1n在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为（　　）（n为正整数） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，由勾股定理得出A1P1＝＝，同理：A2P2＝，A3P3＝，……，得出P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……，得出规律，即可得出结果． 连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示： 在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2， ∴A1P1＝＝＝， 同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……， ∴P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……， …按照此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，） 故选：B． 【强化训练2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°．下列结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC．其中正确结论的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】连接OD，CD是⊙O的切线，可得CD⊥OD，由∠A＝30°，可以得出∠ABD＝60°，△ODB是等边三角形，∠C＝∠BDC＝30°，再结合在直角三角形中300所对的直角边等于斜边的一半，继而得到结论①②③成立． 如图，连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴CD⊥OD， ∴∠ODC＝90°， 又∵∠A＝30°， ∴∠ABD＝60°， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠DOB＝∠ABD＝60°，AB＝2OB＝2OD＝2BD． ∴∠C＝∠BDC＝30°， ∴BD＝BC，②成立； ∴AB＝2BC，③成立； ∴∠A＝∠C， ∴DA＝DC，①成立； 综上所述，①②③均成立， 故选：D． 【强化训练3】如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论成立的是 　   　（将正确序号填入） ①OC∥AE ②EC＝BC ③∠DAE＝∠ABE ④AC⊥OE． 【答案】①②③ 【解析】由C为弧EB中点，利用垂径定理的逆定理得到OC垂直于BE，根据等弧对等弦得到BC＝EC，再由AB为直角，利用圆周角定理得到AE垂直于BE，进而得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC与AE平行，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到AB与DA垂直，利用同角的余角相等得到∠DAE＝∠ABE，根据E不一定为弧AC中点，可得出AC与OE不一定垂直，即可确定出结论成立的序号． ∵C为的中点，即＝， ∴OC⊥BE，BC＝EC，选项②正确； ∴∠BFO＝90°， ∵AB为圆O的直径， ∴AE⊥BE，即∠BEA＝90°， ∴∠BFO＝∠BEA， ∴OC∥AE，选项①正确； ∵AD为圆的切线， ∴∠DAB＝90°，即∠DAE+∠EAB＝90°， ∵∠EAB+∠ABE＝90°， ∴∠DAE＝∠ABE，选项③正确； 点E不一定为中点，选项④错误， 则结论成立的是①②③， 故答案为：①②③ 【强化训练4】如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②AD＝CB；③点P是△ACQ的外心；④GP＝GD；⑤CB∥GD．其中正确结论的序号是　　．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】③④ 【解析】根据切线的性质、垂径定理、圆周角定理、弧与弦的关系、三角形的外心的定义、等腰三角形的判定方法．平行线的判定方法一一判断即可． ∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点， ∴＝≠， ∴∠BAD≠∠ABC，故①错误； ∵≠， ∴+≠+， 即 ≠， ∴AD≠BC，故②错误； ∵弦CE⊥AB于点F， ∴A为 的中点，即 ＝， 又∵C为 的中点， ∴＝， ∴＝， ∴∠CAP＝∠ACP， ∴AP＝CP． ∵AB为圆O的直径， ∴∠ACQ＝90°， ∴∠PCQ＝∠PQC， ∴PC＝PQ， ∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点， ∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确； 连接OD， 则OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA， ∵∠ODA+∠GDP＝90°，∠EPA+∠FAP＝∠FAP+∠GPD＝90°， ∴∠GPD＝∠GDP； ∴GP＝GD，故④正确； ∵CE⊥AB， ∴＝， ∵≠， ∴≠， ∴∠GDA≠∠BCE， 又∵∠BCE＝∠PQC， ∴∠GDA≠∠PQC， ∴CB与GD不平行，故⑤错误． 综上可知，正确的结论是③④，一共2个． 故答案为：③④． 【强化训练5】如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上不同于A，B的一动点，在弧BC上取点D，使∠DBC＝∠ABC，DE为半圆O的切线，过点B作BF⊥DE于点F． （1）求证：∠DBF＝2∠CAD； （2）连接OC，CD．探究：当∠CAB等于多少度时，四边形COBD为菱形，并且写出证明过程． 【答案】（1）证明：连接OD， ∵DE为半圆O的切线，BF⊥DE， ∴∠ODF＝∠BFD＝90°， ∴OD∥BF， ∴∠DBF＝∠ODB， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵∠DBC＝∠ABC， ∴∠OBD＝2∠CBD， ∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠DBF＝2∠CAD； （2）当∠CAB＝60°时，四边形COBD为菱形， 证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵∠CAB＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∵∠DBC＝∠ABC， ∴∠ABD＝2∠ABC＝60°， ∴∠DAB＝30°， ∵∠DAB＝∠DCB， ∴∠DCB＝30°， ∴∠DCB＝∠ABC， ∴CD∥AB， ∵∠COA＝2∠ABC， ∴∠COA＝∠ABD， ∴OC∥BD， ∴四边形COBD是平行四边形， 又∵OC＝OB， ∴四边形COBD是菱形． 【强化训练6】如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，且 DE＝2OE，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC． （1）求证：∠COD＝∠BAC． （2）求证：∠OCB＝∠F． 【答案】（1）证明：∵AG是⊙O的切线， AD是⊙O的直径， ∴∠GAF＝90°， ∵AG∥BC， ∴AE⊥BC， ∴CE＝BE， ∴∠BAC＝2∠EAC， ∵∠COE＝2∠CAE， ∴∠COD＝∠BAC； （2）证明：∵DF＝2OD，DE＝2OE， ∴OF＝3OD＝3OC， OD＝3OE＝OC， ∴， ∵∠COE＝∠FOC， ∴△COE∽△FOC， ∴∠OCB＝∠F． 【题型13】切线的性质的实际应用 【典例】一根截面是圆形的钢管放在V形架内，其横截面如图所示，V形架的两边与⊙O相切，钢管的半径是12cm，若∠ACB＝60°，则的长为（　　） A.8πcm B.12πcm C.6πcm D.4πcm 【答案】A 【解析】先根据切线的性质得到∠OAC＝∠OBC＝90°，再利用四边形的内角和为360°可计算出∠AOB＝120°，然后根据弧长公式求解． ∵V形架的两边与⊙O相切， ∴OA⊥CA，OB⊥CB， ∴∠OAC＝∠OBC＝90°， ∴∠AOB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∴的长度＝＝8π（cm）． 故选：A． 【强化训练1】如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边BC与半圆O相切于点C，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、19重合，则三角板直角边AC的长为（　　） A. B. C.5 D.6 【答案】D 【解析】连接OC、DC、EC，由切线的性质得BC⊥OC，而DE是⊙O的直径，所以∠OCB＝∠DCE＝90°，推导出∠BCD＝∠E，再证明△DBC∽△CBE，得＝，因为BD＝8，BE＝18，所以BC＝＝12，则AC＝BC＝6，于是得到问题的答案． 如图：连接OC、DC、EC，则OC＝OD， ∵BC与⊙O相切于点C， ∴BC⊥OC， ∵DE是⊙O的直径， ∴∠OCB＝∠DCE＝90°， ∴∠BCD+∠OCD＝90°，∠E+∠ODC＝90°， ∵∠OCD＝∠ODC， ∴∠BCD＝∠E， ∴∠DBC＝∠CBE， ∴△DBC∽△CBE， ∴＝， 由题意得BD＝9﹣1＝8，BE＝19﹣1＝18，∠A＝90°，∠ABC＝30°， ∵BC＝＝＝12， ∴AC＝BC＝6， 故选：D． 【强化训练2】如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为（　　） A.3 B.2 C. D. 【答案】B 【解析】设钟表的中心为点O，连接BC，OD，根据题意可得：点O在BC上，∠DOC＝60°，然后利用圆周角定理可得∠DBC＝30°，再利用切线的性质可得∠BCP＝90°，最后在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 设钟表的中心为点O，连接BC，OD， 由题意得：点O在BC上，∠DOC＝2×30°＝60°， ∴， ∵PC与⊙O相切于点C， ∴∠BCP＝90°， ∵， ∴， 故选：B． 【强化训练3】如图1是某品牌手工蛋卷的外包装盒，其截面图如图2所示，盒子上方是一段圆弧（弧MN）．D，E为手提带的固定点，DE与弧MN所在的圆相切，DE＝2．手提带自然下垂时，最低点为C，且呈抛物线形，抛物线与弧MN交于点F，G．若△CDE是等腰直角三角形，且点C，F到盒子底部AB的距离分别为1和，则弧MN所在的圆的半径为 　　． 【答案】 【解析】以DE的垂直平分线为y轴，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的表达式为y＝ax2+1，因为△CDE是等腰直角三角形，DE＝2，得点E的坐标为（1，2），可得抛物线的表达式为y＝x2+1，把当y＝代入抛物线表达式，求得FH的长，再在Rt△PHF中，用勾股定理建立方程，求得所在的圆的半径． 如图，以DE的垂直平分线为y轴，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系， 设所在的圆的圆心为P，半径为r，连接FG交y轴于点H， 设抛物线的表达式为y＝ax2+1， ∵△CDE是等腰直角三角形，DE＝2， ∴点E的坐标为（1，2）， 代入抛物线的表达式，得2＝a+1，a＝1， ∴抛物线的表达式为y＝x2+1， 当y＝时，即，解得x＝， ∴FH＝， ∵∠PHF＝90°，DE与所在的圆相切，OK＝2， ∴， 解得r＝， ∴所在的圆的半径为． 故答案为：． 【强化训练4】如图1是一种简易三分角器的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E．点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．请证明这一方法的正确性．（写出已知、求证、证明） 【答案】已知：EB⊥AC，AB＝OB，EF切半圆O于点F， 求证：∠1＝∠2＝∠3． 证明：如图，连接OF． ∵EN切半圆O于点F， ∴OF⊥EF， ∵EB⊥AC且 OF＝OB， ∴EO平分∠BEF， ∴∠3＝∠2， ∵EB⊥AC， ∴∠ABE＝∠OBE＝90°， ∵AB＝OB，EB＝EB， ∴△ABE≌△OBE（SAS）， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠2＝∠3． 【题型14】切线的判定和性质的综合应用 【典例】下列说法中正确的是（　　） A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.圆的切线垂直于半径 C.经过半径的外端的直线是圆的切线 D.圆的切线垂直于过切点的半径 【答案】D 【解析】根据圆的切线的性质定理和判定定理可得． 根据圆的切线的性质定理得：圆的切线垂直于经过切点的半径； 切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线． 故选：D． 【强化训练1】如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下列说法不正确的是（　　） A.若DE＝DO，则DE是⊙O的切线 B.若AB＝AC，则DE是⊙O的切线 C.若CD＝DB，则DE是⊙O的切线 D.若DE是⊙O的切线，则AB＝AC 【答案】A 【解析】根据AB＝AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE＝90°，可以证明DE是⊙O的切线．根据CD＝BD，AO＝BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．根据切线的性质得出AC∥OD，由等腰三角形的判定与性质得出结论． 当AB＝AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD＝BD， ∵AO＝BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． 所以B正确． 当CD＝BD时，AO＝BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． 所以C正确． ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD． ∵DE⊥AC， ∴AC∥OD， ∴∠ODB＝∠C， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠C＝∠OBD， ∴AC＝AB， 所以D正确． 若DE＝DO，不能判断DE是⊙O的切线． 故选：A． 【强化训练2】如图，已知∠APB＝30°，O是线段PB上的一点，OP＝5cm，若以点O为圆心，1.5cm为半径的⊙O沿BP方向以1cm/s的速度移动，则⊙O移动　　s后与PA相切． 【答案】2 【解析】首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP＝90°，又由∠APB＝30°，O′C＝1cm，即可求得O′P的长，继而求得答案． 如图，当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，且切点为C， 连接O′C，则O′C⊥PA， 即∠O′CP＝90°， ∵∠APB＝30°，O′C＝1.5cm， ∴O′P＝2O′C＝3cm， ∵OP＝5cm， ∴OO′＝OP﹣O′P＝2（cm）， ∴⊙O移动的时间为2÷1＝2（s） 故答案为：2． 【强化训练3】如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 　 　s后⊙P与直线CD相切． 【答案】4 【解析】分⊙P移动到⊙P1位置、⊙P移动到⊙P2位置两种情况，根据等腰直角三角形的性质、切线的性质计算即可． 【强化训练4】如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接OD， ∵⊙O与边AB相切于点D， ∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°， 在△ACO和△ADO中， ， ∴△ACO≌△ADO（SSS）， ∴∠ADO＝∠ACO＝90°， ∴OD⊥AB， 又∵OC是半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵tanB＝＝， ∴设AC＝4x，BC＝3x， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴16x2+9x2＝100， ∴x＝2， ∴BC＝6， ∵AC＝AD＝8，AB＝10， ∴BD＝2， ∵OB2＝OD2+BD2， ∴（6﹣OC）2＝OC2+4， ∴OC＝， 故⊙O的半径为． 【强化训练5】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为点E，AB与CD相交于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线． （2）当⊙O的半径为5，时，求AE的长． 【答案】（1）证明：∵CO平分∠BCD， ∴∠OCD＝∠OCB， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠AOC＝∠OBC+∠OCB＝2∠B，∠DAB＝∠DCB＝2∠OCB＝2∠B， ∴∠AOC＝∠DAB， ∴OC∥DE， ∵CE⊥AD， ∴CE⊥OC， ∵OC是半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：∵OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°， 即∠OCA+∠ACE＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠OCA， ∴∠ACE＝∠B， ∵∠E＝∠ACB＝90°， ∴△ACE∽△ABC， ∴＝＝sinB＝， ∵AB＝5×2＝10， ∴AC＝6，AE＝． 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版（2024）九年级下册 2.1 直线与圆的位置关系 题型专练 【题型1】判断直线与圆的位置关系 【典例】已知平面内有⊙O与直线AB，⊙O的半径为3cm，点O到直线AB的距离为3cm，则直线AB与⊙O的位置关系是（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.不能判断 【强化训练1】在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（5，6），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是（　　） A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 【强化训练2】圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是d，那么（　　） A.若d＝4.5cm时；则直线与圆相离 B.若d＝5cm时；则直线与圆相切 C.若d＝8时；则直线与圆相交 D.若d＝10cm时；则直线与圆相切 【强化训练3】在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（3，5），半径是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是 　 　，⊙A与y轴的位置关系是 　  　． 【强化训练4】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，BO＝m，⊙O的半径r＝，问m在什么范围内取值时，BC与⊙O： （1）相离； （2）相切； （3）相交． 【强化训练5】在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定⊙A与直线BC的位置关系．（1）6；（2）8；（3）12． 【题型2】根据直线与圆的位置关系求半径 【典例】如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【强化训练1】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（ 　） A.5≤r≤12或 B.5＜r＜12 C. D. 【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若⊙C与直线AB相交，则⊙C半径r的值或取值范围为（　　） A.0＜r＜2.4 B.r＝2.4 C.r＞2.4 D.2.4＜r＜4 【强化训练3】矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，联结AC，若以B为圆心，r为半径的圆与线段AC，AD，CD都有公共点，则r的取值是　 　． 【强化训练4】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，以C为圆心作⊙C． （1）若⊙C与AB相切，求⊙C的半径； （2）若⊙C与直线AB相交，求⊙C半径r的取值范围； （3）若⊙C与线段AB有两个交点，求⊙C半径r的取值范围． 【强化训练5】已知点A的坐标为（3，1），⊙A与坐标轴有三个公共点．在如图所示的平面直角坐标系中画出⊙A，并求⊙A的半径． 【题型3】根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 【典例】已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　） A.4 B.5 C.6 D.10 【强化训练1】已知⊙O的直径为15cm，若直线l与⊙O只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（　　） A.7cm B.7.5cm C.8cm D.10cm 【强化训练2】已知⊙O的半径为5cm，直线l和点O的距离为dcm，若直线l与⊙O有公共点，则（　　） A.d＞5 B.d＝5 C.d＜5 D.0≤d≤5 【强化训练3】已知⊙O的弦AB＝1.6，优弧上的点到AB的最大距离为1.6，直线l⊥AB，若⊙O上有4个不同的点到l的距离等于0.4，则点O到l的距离d的范围为 　   　． 【强化训练4】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，5个单位为半径画圆．直线MN经过x轴上一动点P（m，0）且垂直于x轴，当P点在x轴上移动时，直线MN也随着平行移动．按下面条件求m的值或范围． （1）如果⊙O上任何一点到直线MN的距离都不等于3； （2）如果⊙O上有且只有一点到直线MN的距离等于3； （3）如果⊙O上有且只有二点到直线MN的距离等于3； （4）随着m的变化，⊙O上到直线MN距离等于3的点的个数还有哪些变化？请说明所有各种情形及对应的m值或范围． 【强化训练5】已知⊙O的半径是5，圆心O到直线AB的距离为2，则⊙O上有且只有几 个点到直线AB的距离为3． 【题型4】直线与圆的公共点个数问题 【典例】在△ABC中∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心以2.4cm长为半径作⊙C，则⊙C与△ABC的三边的交点个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【强化训练1】已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.无法确定 【强化训练2】已知⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，直线l与⊙O的公共点个数为（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.以上都不对 【强化训练3】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，1），若⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为　  　． 【强化训练4】在△ABC中，∠A＝90，AB＝2，AC＝4，O是AC的中点且当⊙O与边BC只有一个公共点时，求⊙O的半径R的取值范围． 【题型5】切线的定义及证明 【典例】下列说法中，正确的是（　　） A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.经过半径外端的直线是圆的切线 C.经过切点的直线是圆的切线 D.圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 【强化训练1】如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，延长OD，与直线BC相交于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系是（　　） A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 【强化训练2】如图，CD为等边三角形ABC的高，点O在DC的延长线上，且OD＝11，CD＝6，⊙O的半径为1，若将⊙O绕点C按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A.3次 B.4次 C.5次 D.6次 【强化训练3】如图，△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B＝∠EAC，根据弦AB的位置变化，试探究直线EF与⊙O的位置关系． 甲：如图（1），当弦AB过点O时，EF与⊙O相切； 乙：如图（2），当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切． 你认为 　   　的判断正确． 【强化训练4】如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t＝0（s）时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm． （1）当t＝0（s）时，点A在半圆O　　，当t＝8（s）时，点A在半圆O　　； （2）当t为何值时，△ABC的边AC与半圆O相切？ （3）当t为何值时，△ABC的边AB与半圆O相切？ 【强化训练5】如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠ABC＝∠CAD． （1）若∠ABC＝40°，则∠OCA的度数为　　°； （2）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由． 【题型6】直线与圆的位置关系的实际应用 【典例】“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.平行 【强化训练1】巴金的《海上日出》中，有这样一段描写“果然，过了一会儿，那里出现了太阳的小半边脸，红是红得很，却没有亮光．太阳像负着什么重担似的，慢慢儿，一纵一纵地，使劲儿向上升．到了最后，它终于冲破了云霞，完全跳出了海面，颜色真红得可爱．”这段文字中的划线一句，给我们呈现了直线与圆的哪一种位置关系（　 　） A.相离 B.外离 C.相切 D.外切 【强化训练2】如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（　　） A.相切 B.相交 C.平行 D.相离 【强化训练3】在“海上生明月”这幅图中，把月亮与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是　  　． 【强化训练4】有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分看成半径为1.5米的圆形（如图所示）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套和四套的两种方案中选取一种，在右下方14×20方格网内划出设计示意图． 【强化训练5】某省海域附近突现一圆形漩涡，为了能了解详实的信息以便作出对策，政府特派两巡航轮船前往勘察，假使两船分别沿射线AB，AC行进（如图），P是航线AC上的点，此时恰与漩涡相切，已知两航线都与漩涡相切，求作漩涡的圆心及影响范围．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【题型7】切线的判定 【典例】如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（　　） A.AB＝4，AT＝3，BT＝5 B.∠B＝45°，AB＝AT C.∠B＝55°，∠TAC＝55° D.∠ATC＝∠B 【强化训练1】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ 　） A.∠E＝∠CFE B.∠E＝∠ECF C.∠ECF＝∠EFC D.∠ECF＝60° 【强化训练2】下列四个选项中的表述，正确的是（　　） A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 【强化训练3】如图，已知⊙O的圆心在等腰三角形ABC的底边BC上，且⊙O经过点A，C，当添加条件 　   　时，BA就是⊙O的切线． 【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝　　cm时，BC与⊙A相切． 【强化训练5】如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D＝∠BAC． （1）求证：AD是半圆O的切线； （2）若BC＝2，CE＝，求AD的长． 【题型8】应用切线的性质求半（直）径 【典例】如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）与点C（0，16），则⊙M的直径是（　　） A.10 B.2 C.4 D.20 【强化训练1】如图，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C，过点A作AD⊥CE于点D，连接AC，BC．若BC＝2AC，且AD＝2，则⊙O的半径为（　　） A.4 B. C.5 D. 【强化训练2】已知：如图，在△ABC中，CB＝3，AB＝4，AC＝5，以点B为圆心的圆与AC相切于点D，则⊙B的半径为　　． 【强化训练3】如图，BC为⊙O的直径，P为CB延长线上的一点，过P作⊙O的切线PA，A为切点，PA＝4，PB＝2，则⊙O的半径等于 　  　． 【强化训练4】如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30cm．求直径AB的长． 【题型9】应用切线的性质求角度 【典例】如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A＝30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（　　） A.30° B.35° C.40° D.45° 【强化训练1】如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝62°，则∠BAC的度数为（　　） A.28° B.30° C.31° D.32° 【强化训练2】如图，在⊙O中，AB是⊙O的切线，连接OB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，连接AC，AD，＝，若∠B＝40°，则∠DAC的度数为（　　） A.40° B.35° C.30° D.25° 【强化训练3】如图，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C，交AB的延长线于点E，点D是⊙O上的点，连接BD、CD，若∠CDB＝25°，则∠E的度数是　   　． 【强化训练4】已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， （Ⅰ）如图①，连接AC，AD，若∠ADC＝55°，求∠CAB的大小； （Ⅱ）如图②，C是半圆弧AB的中点，AD的延长线与过点B的切线相交于点P，若CD＝，求∠APB的大小． 【强化训练5】已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F． （Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小； （Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小． 【题型10】应用切线的性质求面积 【典例】如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 B，连接 AO 与⊙O 交于点 C，BD 为⊙O 的直径，连接 CD，若∠A＝30°，OA＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【强化训练1】如图，AB是⊙O的切线，B为切点，若∠ABC＝120°，AB＝2，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C，则阴影部分的面积是（　　） A.2 B. C.4﹣ D.2﹣ 【强化训练2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝2，点O为AB的中点，以点O为圆心作半圆与边AC相切于点D．则图中阴影部分的面积为（　　） A.1﹣π B.﹣ C.2﹣ D.2﹣π 【强化训练3】如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线l与⊙P相切于点A，若点P的坐标是（0，﹣5），则阴影部分的面积为 　   　． 【强化训练4】如图，AB是⊙O的直径，＝，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．若OA＝CD＝2，阴影部分的面积＝　  　． 【强化训练5】如图，OA为⊙O的半径，点C在⊙O上，AB与⊙O相切于点A，与OC延长线交于点B，过点B作BD⊥OB，交AC的延长线于点D． （1）求证：AB＝BD； （2）若BC＝5，，求弦AC与弧AC围成的图形（阴影部分）面积． 【强化训练6】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝4，连接OC，OE＝2EB，F为圆上一点，过点F作圆的切线交AB的延长线于点G，连接BF，BF＝BG． （1）求⊙O的半径； （2）求证：AF＝FG； （3）求阴影部分的面积． 【题型11】应用切线的性质求弧长及线段长度 【典例】如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为（　　） A. B.1.5 C.1 D. 【强化训练1】如图，AB是⊙O的切线，P为切点，连接OA，OB，分别与⊙O相交于点C，点D，若∠A＝30°，AP＝2，BP＝2，则的长为（　　） A. B. C. D. 【强化训练2】如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF＝（　　） A.3 B.2 C.3 D. 【强化训练3】如图，在⊙O中，直径AB＝6，点C是⊙O外的一点，直线BC与⊙O相切于点B，连接AC交⊙O于点D．若DC＝2，则AD的长为 　　． 【强化训练4】如图，⊙O中，BC为直径，AB切⊙O于B点，连AC交⊙O于D，若CD＝2，AB＝，则BC＝　　． 【强化训练5】如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC． （1）求证：OC⊥OB； （2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长． 【强化训练6】如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝10，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC＝4，求⊙O的半径和线段PB的长． 【题型12】应用切线的性质证明 【典例】如图，AB是⊙D的直径，AD切⊙D于点A，EC＝CB．则下列结论：①BA⊥DA； ②OC∥AE；③∠COE＝2∠CAE；④OD⊥AC．一定正确的个数有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【强化训练1】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2…，半径为n+1的圆与1n在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为（　　）（n为正整数） A. B. C. D. 【强化训练2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°．下列结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC．其中正确结论的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【强化训练3】如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论成立的是 　   　（将正确序号填入） ①OC∥AE ②EC＝BC ③∠DAE＝∠ABE ④AC⊥OE． 【强化训练4】如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②AD＝CB；③点P是△ACQ的外心；④GP＝GD；⑤CB∥GD．其中正确结论的序号是　　．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【强化训练5】如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上不同于A，B的一动点，在弧BC上取点D，使∠DBC＝∠ABC，DE为半圆O的切线，过点B作BF⊥DE于点F． （1）求证：∠DBF＝2∠CAD； （2）连接OC，CD．探究：当∠CAB等于多少度时，四边形COBD为菱形，并且写出证明过程． 【强化训练6】如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，且 DE＝2OE，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC． （1）求证：∠COD＝∠BAC． （2）求证：∠OCB＝∠F． 【题型13】切线的性质的实际应用 【典例】一根截面是圆形的钢管放在V形架内，其横截面如图所示，V形架的两边与⊙O相切，钢管的半径是12cm，若∠ACB＝60°，则的长为（　　） A.8πcm B.12πcm C.6πcm D.4πcm 【强化训练1】如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边BC与半圆O相切于点C，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、19重合，则三角板直角边AC的长为（　　） A. B. C.5 D.6 【强化训练2】如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为（　　） A.3 B.2 C. D. 【强化训练3】如图1是某品牌手工蛋卷的外包装盒，其截面图如图2所示，盒子上方是一段圆弧（弧MN）．D，E为手提带的固定点，DE与弧MN所在的圆相切，DE＝2．手提带自然下垂时，最低点为C，且呈抛物线形，抛物线与弧MN交于点F，G．若△CDE是等腰直角三角形，且点C，F到盒子底部AB的距离分别为1和，则弧MN所在的圆的半径为 　　． 【强化训练4】如图1是一种简易三分角器的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E．点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．请证明这一方法的正确性．（写出已知、求证、证明） 【题型14】切线的判定和性质的综合应用 【典例】下列说法中正确的是（　　） A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.圆的切线垂直于半径 C.经过半径的外端的直线是圆的切线 D.圆的切线垂直于过切点的半径 【强化训练1】如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下列说法不正确的是（　　） A.若DE＝DO，则DE是⊙O的切线 B.若AB＝AC，则DE是⊙O的切线 C.若CD＝DB，则DE是⊙O的切线 D.若DE是⊙O的切线，则AB＝AC 【强化训练2】如图，已知∠APB＝30°，O是线段PB上的一点，OP＝5cm，若以点O为圆心，1.5cm为半径的⊙O沿BP方向以1cm/s的速度移动，则⊙O移动　　s后与PA相切． 【强化训练3】如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 　 　s后⊙P与直线CD相切． 【强化训练4】如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径． 【强化训练5】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为点E，AB与CD相交于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线． （2）当⊙O的半径为5，时，求AE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $