第三单元 圆柱与圆锥（易错专项讲义）数学人教版六年级下册

第三单元 圆柱与圆锥易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 1 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：对圆柱的展开图认识错误。 2 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 6 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 9 易错点4：圆锥的特征认识错误。 13 易错点5：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 16 易错点6：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 19 易错点7：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 22 模块一 易错知识点梳理 1、圆柱的底面是圆，不是椭圆。 2、圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 3、求通风管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 4、圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 5、圆柱的高不变，若底面半径、直径及周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍 6、瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 7、圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 8、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 9、半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 10、运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘以。 11、只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：对圆柱的展开图认识错误。 【典例1】判断:一个圆柱的侧面展开图一定是长方形。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】本题忽略了沿高展开这个条件。只有沿着圆柱的高展开，侧面展示图才是长方形(正方形是特殊的长方形)。如果不是沿高展开,而是沿着一条倾斜的直线展开,那么侧面展开图是一个平行四边形，如下图所示。 【正确答案】错误 【易错专练1】请在下边格子图中画出下面圆柱的侧面展开图。并标出对应的数量。 【答案】见详解 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高。已知圆柱底面直径d＝2cm，根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14），可得底面周长为3.14×2＝6.28cm，圆柱的高h＝3cm。所以侧面展开图长方形的长为6.28cm（对应底面周长），宽为3cm（对应圆柱的高）。在格子图中，以1cm为单位长度，画出一个长6.28cm、宽3cm的长方形，标注长为6.28cm（底面周长）、宽为3cm（圆柱的高）。 【解答】如图： 【易错专练2】乐乐和园园分别在纸上画了几个笔筒沿高剪开的侧面展开示意图，其中正确的是( )。（填序号） 【答案】②⑥ 【分析】圆柱体沿高剪开，侧面展开一定是长方形或者正方形，据此解答。 【解答】根据分析，正确的是②⑥ 【易错专练3】一块长方形铁皮（如下图），利用图中阴影部分刚好能做成一个圆柱形的带盖水桶（接头处和厚度均忽略不计）。按要求完成下面各题。 (1)这个水桶的底面直径是( )dm，高是( )dm。 (2)这个水桶的底面周长是( )dm。 【答案】(1) 4 8 (2)12.56 【分析】（1）看图可知，长方形的宽÷2＝底面直径，长方形的宽＝圆柱的高； （2）根据圆柱的底面周长＝圆周率×底面直径，列式计算即可。 【解答】（1）8÷2＝4（dm） 这个水桶的底面直径是4dm，高是8dm。 （2）3.14×4＝12.56（dm） 这个水桶的底面周长是12.56dm。 【易错专练4】用如图的长方形和圆形铁皮搭配，制作一个无盖的圆柱形桶，可搭配的是（    ）。（单位：dm） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】C 【分析】圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形（或正方形），这个长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高。所以要判断圆形和长方形能否搭配，需计算圆形的周长，看是否与长方形的长或宽相等。 圆的周长公式为C＝πd（C表示周长，d表示直径，π取3.14）。对于圆形①，直径d＝2（dm），其周长为3.14×2＝6.28（dm）。对于圆形②，直径d＝3dm，其周长为3.14×3＝9.42（dm）。 长方形③：长3dm，宽2dm，3dm和2dm与圆形①、圆形②的周长都不相等，无法匹配。长方形④：长6.28dm，宽4dm，长6.28dm与圆形①的周长6.28dm相等，可以匹配。 【解答】图①：3.14×2＝6.28（dm） 图②：3.14×3＝9.42（dm） 图①周长＝图④长 所以圆形①和长方形④可以搭配制作无盖圆柱形桶。 故答案为：C 【易错专练5】小丽想用卡纸制作一个无盖的圆柱形笔筒，并且笔筒的高大于或等于8厘米。她用下面的长方形卡纸做圆柱的侧面和底面，她已经在方格纸上画出了笔筒的底面，请你画出侧面，并计算做这个无盖笔筒一共用了多少平方厘米卡纸？（画出一种即可，粘合处忽略不计，每个小正方形边长1厘米，取3） 【答案】侧面画法见详解；240平方厘米 【分析】观察方格纸中底面圆，直径占8个小方格，因为每个小方格边长1厘米，所以底面直径为8厘米，半径为8÷2＝4厘米。根据圆的周长公式C＝πd（π取3），底面周长为3×8＝24厘米。因为圆柱侧面展开长方形的长等于底面周长，所以侧面长方形的长是24厘米。又因为笔筒的高大于或等于8厘米，可以选择高为8厘米，即侧面长方形的宽为8厘米。然后在方格纸上画出长24厘米、宽8厘米的长方形作为侧面。 根据圆的面积公式S＝πr2（π取3，r＝4厘米），代入公式计算得3×42＝3×16＝48平方厘米。侧面是长方形，面积公式是长×宽，长24厘米，宽8厘米，所以侧面积为24×8＝192平方厘米。那么无盖笔筒总面积是底面积加侧面积。 【解答】3×8＝24（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3×42 ＝3×16 ＝48（平方厘米） 24×8＝192（平方厘米） 48＋192＝240（平方厘米） 答：侧面画法如下图，做这个无盖笔筒一共用了240平方厘米卡纸。 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 【典例2】判断:计算制作一个水桶或一根通风管需要的铁皮的面积都是求圆柱的表面积。 ( ) 【错误答案】正确 【错解分析】因为水桶没有上底面,通风管两个底面都没有,所以计算制作一个水桶或计算制作 一根通风管需要的铁皮的面积并不是直接计算圆柱的表面积,如下图。 【正确答案】错误 【易错专练1】一个圆柱形油漆桶，高是6dm，底面直径是高的。做这个油漆桶至少需要铁皮多少平方分米？（得数保留整数） 【答案】127平方分米 【分析】做一个圆柱形油漆桶，需要多少平方分米铁皮，只需要计算圆柱的表面积即可，先根据底面直径＝高×，计算出底面直径，底面半径＝底面直径÷2，最后根据圆柱的表面积公式：，计算即可解答。 【解答】底面直径：（dm） 底面半径：（dm） （平方分米） 答：做这个油漆桶至少需要铁皮127平方分米。 【易错专练2】一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长10米，横截面是半径为2米的半圆形，覆盖这个大棚至少需要塑料薄膜多少平方米？（π取3.14） 【答案】75.36平方米 【分析】塑料薄膜的面积包括圆柱侧面积的一半和一个完整的底面积，圆柱的侧面积的一半为，底面积为据此列式解答。 【解答】 （平方米） 答：这个大棚至少需要塑料薄膜75.36平方米。 【易错专练3】一种圆柱形无盖铁皮水桶的高2.5分米，底面直径是4分米。做这样的一只水桶至少要用铁皮多少平方分米？（得数保留整十平方分米） 【答案】 50平方分米 【分析】计算无盖圆柱形水桶所需铁皮的面积，即侧面积加上一个底面积。圆柱的侧面积公式为：S＝πdh，底面积公式为S＝πr2；已知圆柱形无盖铁皮水桶的高2.5分米，底面直径是4分米，计算出底面半径为4÷2＝2分米，将数据代入公式计算后，结果按实际情况（进一法）保留到整十平方分米。据此解答。 【解答】4÷2＝2（分米） 3.14×4×2.5＋3.14×22 ＝12.56×2.5＋3.14×4 ＝31.4＋12.56 ＝43.96（平方分米） 43.96≈50 答：做这样的一只水桶至少要用铁皮50平方分米。 【易错专练4】月饼象征着团圆，可以近似看作圆柱，切掉后，剩下的月饼表面积是多少？ 【答案】90.5平方厘米 【分析】先利用“”求出整个月饼的表面积，把整个月饼的表面积看作单位“1”，切掉后，表面积减少的同时又增加了2个以底面半径为长，以高为宽的长方形的面积，剩下月饼的表面积＝整个月饼的表面积×（1－）＋2个长方形的面积，据此解答。 【解答】3.14×6×2＋2×3.14×（6÷2）2 ＝3.14×6×2＋2×3.14×32 ＝3.14×6×2＋2×3.14×9 ＝3.14×（6×2＋2×9） ＝3.14×（12＋18） ＝3.14×30 ＝94.2（平方厘米） 94.2×（1－）＋（6÷2）×2×2 ＝94.2×＋3×2×2 ＝78.5＋6×2 ＝78.5＋12 ＝90.5（平方厘米） 答：剩下的月饼表面积是90.5平方厘米。 【易错专练5】灯笼厂接到一批订单，需要制作如图这种圆柱形灯笼，上、下底面的中间分别留出了78.5平方厘米的圆孔，做一个灯笼至少需要准备多少平方厘米的彩纸？ 【答案】2355平方厘米 【分析】已知圆柱形灯笼的底面直径是20厘米，高是30厘米，先计算出底面半径是20÷2＝10厘米，然后根据圆柱的表面积公式S＝πdh＋2πr2计算出圆柱的表面积； 已知上、下底面的中间分别留出了78.5平方厘米的圆孔，用一个圆孔的面积乘2计算出两个圆孔的面积； 最后用圆柱的表面积减去两个圆孔的面积即可。 【解答】20÷2＝10（厘米） 3.14×20×30＋2×3.14×102 ＝3.14×20×30＋2×3.14×100 ＝62.8×30＋6.28×100 ＝1884＋628 ＝2512（平方厘米） 78.5×2＝157（平方厘米） 2512－157＝2355（平方厘米） 答：做一个灯笼至少需要准备2355平方厘米的彩纸。 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 【典例3】判断：圆柱的高不变,底面直径扩大到原来的几倍,它的体积也扩大到原来的几倍。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】圆柱的底面直径扩大到原来的2倍，它的底面积就扩大到原来的4倍。圆柱的高不变,根据公式V=Sh ,圆柱的体积也扩大到原来的4倍。 圆柱的体积与圆柱的底面半径和高有关。当底面半径不变时,高扩大到原来的n倍,体积也扩大到原来的n倍;当高不变时,底面半径扩大到原来的n倍,体积就扩大到原来的n2倍。 【正确答案】错误 【易错专练1】一块正方体木材的棱长是4分米，这块木材的表面积是( )平方分米，把它切成一个最大的圆柱，圆柱的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】96 75.36 50.24 【分析】第①空：正方体表面积：正方体有6个完全相同的正方形面，每个面的面积是“棱长×棱长”，因此表面积公式为6×棱长×棱长。代入棱长4分米，可得6×4×4＝96平方分米。 第②空：要切出最大的圆柱，需让圆柱的底面直径和高都等于正方体4分米长的棱长，先利用“”代入直径和高计算出侧面积；再利用“”代入r计算出2个底面积，最后由“侧面积＋2个底面积”求出圆柱的表面积。 第③空：依据体积公式为“”，代入半径和高计算出圆柱体积。 【解答】第①空：6×4×4＝24×4＝96（平方分米） 第②空：d＝4分米，r＝4÷2＝2（分米），h＝4分米 3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（平方分米） ＝ ＝12.56×2 ＝25.12（平方分米） 50.24＋25.12＝75.36（平方分米） 第③空： ＝ ＝12.56×4 ＝50.24（立方分米） 【易错专练2】在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】20 251.2 【分析】已知圆钢半径为2厘米，根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），求出圆钢底面积。当圆钢露出水面6厘米时，露出部分的体积等于水桶底面积乘水下降的高度，求出露出部分体积。水下降3厘米，用露出部分体积除以水下降的高度，求出水桶底面积。当圆钢完全放入水中时，水上升10厘米，圆钢体积等于水桶底面积乘水上升的高度，求出圆钢的体积。圆钢的高等于体积除以底面积，求出圆钢的高。 【解答】圆钢的底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 露出水面的圆钢体积：12.56×6＝75.36（cm3） 水桶底面积：75.36÷3＝25.12（cm2） 圆钢的体积：25.12×10＝251.2（cm3） 圆钢的高：251.2÷12.56＝20（cm） 所以这根圆钢的高是20cm，体积是251.2cm3。 【点睛】本题关键在于利用“圆钢露出水面的体积＝水桶中下降的水的体积”这一关系，先求出水桶的底面积，再结合“圆钢完全放入时水上升的体积＝圆钢的体积”，最终算出圆钢的高和体积。 【易错专练3】一个圆柱形大花坛的底面内直径为20m，高为0.8m。如果花坛里面填入沙土的高度为0.5m，那么花坛中填入沙土多少立方米？ 【答案】157立方米 【分析】先根据花坛的底面直径依次求出底面半径和底面积，再根据圆柱的体积公式：底面积×高，把数代入求出需要填的土的体积。 【解答】 （立方米） 答：花坛中填入沙土157立方米。 【易错专练4】在一次科学实验课上，老师准备了一个高25厘米，底面积是50平方厘米的圆柱形容器，里面装了一部分水，水面高度为8厘米（见图1）。同学们为了模拟物体排开液体的实验，往容器里放入了体积相等的小玻璃球，水面上升到了22厘米（见图2）。之后，同学们又从容器中取出了一些小玻璃球，水面下降到了16厘米（见图3）。 (1)放入容器的小玻璃球的体积一共是多少立方厘米？ (2)取出的小玻璃球的体积相当于多少毫升水？ 【答案】(1)700立方厘米 (2)300毫升 【分析】（1）先计算出放入小玻璃球后水面上升的高度；再根据“圆柱的体积＝底面积×高”用底面积乘水面上升的高度计算即可； （2）先计算出取出小玻璃球后水面下降的高度；再根据“圆柱的体积＝底面积×高”用底面积乘水面下降的高度计算出体积；最后将体积单位换算成容积单位即可。 【解答】（1） （立方厘米） 答：放入容器的小玻璃球的体积一共是700立方厘米。 （2） （立方厘米） 300立方厘米＝300毫升 答：取出的小玻璃球的体积相当于300毫升水。 【易错专练5】一个底面周长为28.26厘米的圆柱，斜着截去这个圆柱的一半（如图），剩余部分的体积是多少立方厘米？ 【答案】381.51立方厘米 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr（C是周长，π取3.14，r是半径），则r＝C÷2÷π，已知底面周长为28.26厘米，则半径为28.26÷2÷3.14＝4.5厘米。观察图形可知，剩余部分的体积相当于一个底面半径为4.5厘米，高为（5＋7）厘米的圆柱体积的一半。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r是半径，h为高），把数据代入先计算完整圆柱的体积，再除以2即可。 【解答】28.26÷2÷3.14＝4.5（厘米） 5＋7＝12（厘米） 3.14×4.52×12 ＝3.14×20.25×12 ＝763.02（立方厘米） 763.02÷2＝381.51（立方厘米） 答：剩余部分的体积是381.51立方厘米。 易错点4：圆锥的特征认识错误。 【典例4】判断:任意一个圆锥都有无数条高。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】圆锥的高是从圆锥的顶点到底面圆心的距离,因为圆锥只有一个顶点和一个底面圆心，所以圆锥只有1条高。本题理解错误。 【正确答案】错误 【易错专练1】按照图（    ）的截法，截出的截面如图所示。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】截面的形状与被截几何体有关，根据被截几何体的形状分析截面的形状进行解答。 【解答】A．截出的图形是长方形，不符合题意； B．截出的图形是三角形，不符合题意； C．截出的图形是半圆，不符合题意；      D. 截出的图形是圆形，符合题意； 【易错专练2】将一个圆锥沿着它的高平均切成两半（如下图），截面是一个（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．等腰三角形 【答案】C 【分析】圆锥沿着高切开时，切面会经过圆锥的顶点和底面直径。切面的两条腰是圆锥的母线，长度相等。底边是圆锥的底面直径。因此，这个截面是一个等腰三角形。 【解答】将一个圆锥沿着它的高平均切成两半（如下图），截面是一个等腰三角形。 故答案为：C 【易错专练3】下面各图中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为直角三角形绕一条直角边旋转时，另一条直角边形成圆锥底面圆，斜边形成圆锥侧面；所以圆锥是由一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的立体图形。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【解答】A.  该图形绕斜边进行旋转，绕直线旋转一周不能得到圆锥。 B. 该图形是梯形，绕直线旋转一周得到的是圆台，不是圆锥。 C. 该图形是半圆，绕直线旋转一周得到的是球，不是圆锥。 D. 该图形是直角三角形，绕着一条直角边旋转一周可以得到一个圆锥。 故答案为：D。 【易错专练4】如下图所示的是一个圆锥，这个圆锥的高是( )cm，底面半径是( )cm，底面周长是( )cm，底面积是( )。 【答案】13 3 18.84 28.26 【分析】根据圆锥的特征，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，底面圆的半径、周长和面积的计算公式分别为（d为直径），，，据此求解。 【解答】高：13cm 底面半径：（cm） 底面周长：（cm） 底面积：（cm²） 所以，这个圆锥的高是13cm，底面半径是3cm，底面周长是18.84cm，底面积是28.26cm²。 【易错专练5】如图，一个圆锥的高是3cm，沿着它的高平均切成两部分，表面积就增加12cm2，原来圆锥的底面直径( )cm。 【答案】4 【分析】根据题意，把一个圆锥沿着它的高平均切成两部分，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形； 先用增加的表面积除以2，求出一个面的面积；再根据三角形的面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，据此求出圆锥的底面直径。 【解答】一个面的面积：12÷2＝6（cm2） 三角形的底（底面直径）：6×2÷3＝4（cm） 所以，原来圆锥的底面直径4cm。 易错点5：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 【典例5】判断:圆锥的体积是圆柱体积的,圆柱的体积是圆锥体积的3倍。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】只有等底、等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积才是圆柱体积的，否则,它 们之间的关系是不确定的。 【正确答案】错误 【易错专练1】一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 【答案】11.7 3.9 【分析】圆柱的体积等于与它等底等高的圆锥的3倍，则圆柱的体积比与它等底等高的圆锥多2倍，即多7.8立方米，则圆锥的体积是立方米，圆柱的体积是立方米。 【解答】由分析可得： 一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是11.7，圆锥的体积是3.9。 【易错专练2】把一个圆柱削成最大的圆锥后，圆锥体积比圆柱体积少24π立方分米。如果圆锥的底面半径是3分米，圆柱的高是( )分米。 【答案】4 【分析】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。24π立方分米相当于圆锥体积的2倍，算出圆锥的体积。根据圆锥的体积V＝，用圆锥的体积乘3除以π除以半径的平方即可算出圆锥的高，也是圆柱的高。 【解答】24π÷2＝12π（立方分米） 12π×3÷π÷32 ＝12π×3÷π÷9 ＝36π÷π÷9 ＝4（分米） 所以，圆柱的高是4分米。 【点睛】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。24π立方分米相当于圆锥体积的2倍。 【易错专练3】一个正方体一个面的面积是36平方厘米，把这个正方体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米，和它等底等高的圆柱体积是( )立方厘米。 【答案】 56.52 169.56 【分析】正方体一个面是正方形，正方形面积公式为“面积＝边长×边长”。已知一个面的面积是36平方厘米，因为6×6＝36，所以正方体的棱长是6厘米。把正方体削成“最大的圆锥”，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长（这样能保证圆锥体积最大），圆锥的底面直径为6厘米，因此底面半径为6÷2＝3厘米；圆锥的高为6厘米。根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高）。把数据代入计算即可得出圆锥的体积，因为“等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍”，所以用圆锥体积乘3即可得出和它等底等高的圆柱体积。 【解答】36＝6×6 把正方体削成“最大的圆锥”，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。 6÷2＝3（厘米） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3×3.14×6 ＝9.42×6 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3＝169.56（立方厘米） 圆锥的体积是56.52立方厘米，和它等底等高的圆柱体积是169.56立方厘米。 【易错专练4】在一个高是3dm，底面半径是2dm的圆锥形容器里装满水，再将这些水全部倒入一个圆柱形容器中，刚好装了圆柱形容器的。这个圆柱形容器的容积是多少立方分米？ 【答案】78.5立方分米 【分析】先根据圆锥体积＝底面积×高×，求出水的体积，再除以其占圆柱形容器容积的比例，得到圆柱形容器的容积，据此解答。 【解答】圆锥体积： （立方分米） （立方分米） 答：这个圆柱形容器的容积是78.5立方分米。 【易错专练5】科学组的同学们在做实验，先将两个大小相同的烧杯中，都盛有480毫升的水，再将等底等高的圆柱与圆锥实心零件（材质相同）分别放入两个烧杯中，则甲烧杯水面刻度如图所示。乙烧杯水面刻度显示应是多少毫升？ 【答案】520毫升 【分析】甲烧杯的圆柱形零件排掉水的体积是600毫升与480毫升的差。因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以用圆柱零件的体积除以3就是圆锥形零件排掉水的体积，据此就能求出乙烧杯中水面的刻度。 【解答】 （毫升） （毫升） 答：乙烧杯水面刻度显示应是520毫升。 【点睛】此题考查排水法求体积以及等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系，解题需要灵活运用等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。 易错点6：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 【典例6】一根圆柱形钢材，底面半径是2厘米，长1.5米。它的体积是多少立方厘米？ 【错误答案】 3.14×2²×1.5=3.14×4×1.5 = 18.84（立方厘米） 【错解分析】计算前没有统一单位。公式中的半径单位是“厘米”，而高（长）的单位是“米”，直接相乘会导致结果错误。 【正确解答】1.5米 = 150厘米 体积 V=πr²h =3.14×2²×150=3.14×4× 150 = 1884（立方厘米） 【易错专练1】一根2m长的圆柱形钢管，其外直径为30cm，内直径为20cm。要制造这根钢管需要多少立方米的钢材？ 【答案】0.0785立方米 【分析】先根据1米＝100厘米，把单位统一，再利用圆柱的体积＝底面积×高，分别求出以外部直径为30厘米，长2米的圆柱形钢管的体积和以内部直径为20厘米，长2米的圆柱形钢管的体积，再把两个体积相减，可得到这个钢管需要钢材的体积，据此解答。 【解答】30厘米＝0.3米 20厘米＝0.2米 （立方米） 答：要制造这根钢管需要0.0785立方米的钢材。 【点睛】本题考查圆柱形体积的应用，要理解圆柱形钢管是空心的圆柱形，用外部圆柱形的体积减去内部圆柱形的体积，进而得到圆柱形钢管的体积，是解题的关键。 【易错专练2】如下图，一个破损的圆柱形木桶从里面量得底面直径是4dm，高是6dm。这个木桶正常放置时最多能盛多少升水？ 【答案】56.52L 【分析】根据题意，要计算这个木桶正常放置时最多能盛多少升水，需要先将单位统一成分米，因木桶破损了0.5分米，并且缺口的上面还有1分米，所以，桶的高度破损的高度实际盛水高度，然后用底面积乘实际能盛水的高度来计算木桶最多能装多少升水，据此解答。 【解答】 答：这个木桶正常放置时最多能盛56.52升水。 【易错专练3】一个圆柱形铁皮水桶（有底无盖）桶身出现破损，师傅从桶身破损处平行于底面截去一个高为10厘米的圆柱（如图所示），剩余部分的水桶容积比原来减少了。往这个水桶中倒入3.14升的水，水深1分米。现在水桶的容积是多少升？ 【答案】6.28升 【分析】先将3.14升换算成3.14立方分米，再除以水深1分米，求出水桶的底面积；然后把10厘米转化为1分米，用1分米除以，求出原水桶的高；再用水桶的底面积乘高，求出原水桶的容积，再乘（1－），即可求出现在水桶的容积，据此解答。 【解答】3.14升＝3.14立方分米 3.14÷1＝3.14（平方分米） 10厘米＝1分米 1÷＝3（分米） 3.14×3×（1－） ＝3.14×3× ＝9.42× ＝6.28（立方分米） 6.28立方分米＝6.28升 答：现在水桶的容积是6.28升。 【易错专练4】一堆圆锥形黄沙，底面周长是25.12米，高是1.5米，将这些沙子铺在一条宽4米厚2.5厘米的小路上，大约能铺几米长？ 【答案】251.2米 【分析】已知圆锥的底面周长，根据r＝C÷π÷2，求出圆锥形沙堆的底面半径；然后根据V锥＝πr2h，求出沙堆的体积；又已知将这堆沙子铺在小路上，那么沙子的体积不变，求能铺的长度，就是求长方体的长，根据长方体的长a＝V÷b÷h，即可得解。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【解答】2.5厘米＝0.025米 底面半径：25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 圆锥形沙堆的体积：3.14×42×1.5× ＝3.14×16×1.5× ＝50.24×1.5× ＝75.36× ＝25.12（立方米） 25.12÷4÷0.025 ＝6.28÷0.025 ＝251.2（米） 答：大约能铺251.2米长。 【易错专练5】有一堆小麦，其形状近似于一个圆锥，底面直径为4米，高为18分米，将这些小麦装入一个底面半径为4米，高为5米的圆柱形粮仓中，小麦的高为多少米？ 【答案】0.15米 【分析】首先将圆锥的底面直径转换为半径，并将所有单位统一为米。根据圆锥的体积＝计算出圆锥体积后，根据体积不变原理，用圆锥的体积除以圆柱的底面积求出粮仓内小麦的高度。 【解答】18分米＝1.8米 4÷2＝2（米） ×3.14××1.8÷（3.14×） ＝×3.14×4×1.8÷（3.14×16） ＝×1.8×3.14×4÷3.14÷16 ＝0.6×（3.14÷3.14）×4÷16 ＝2.4÷16 ＝0.15（米） 答：小麦的高为0.15米。 易错点7：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 【典例7】把一个底面直径为4厘米，高为5厘米的圆柱沿底面直径切成两个半圆柱，表面积增加了多少平方厘米？ 【错误解答】 增加了一个长方形的面积：4×5 = 20 (平方厘米) 答：表面积增加了20平方厘米。 【错解分析】沿底面直径纵切，会将圆柱分成两半，会增加两个完全一样的长方形切面，每个切面的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径。错误解答只算了一个切面的面积。 【正确解答】 增加的面积是两个长方形的面积。 每个长方形的面积：4×5 = 20 (平方厘米) 增加的总面积： 20 × 2 = 40 (平方厘米) 答：表面积增加了40平方厘米。 【易错专练1】如下图，把这根圆柱形木料截成三段，表面积增加了942cm2。若原来这根圆柱形木料的体积是0.1413m3，则这根圆柱形木料原来长多少米？ 【答案】6 米 【分析】每截一次就增加2个圆柱的底面，截成3段需要截次，那么就增加了个底面，由此可求得圆柱的底面积，然后利用即可解决问题。注意单位的换算。 【解答】（个） （平方厘米） （米） 答：这根圆柱形木料原来长6米。 【易错专练2】如图，把一个直径是20厘米的圆柱从上底面的一条直径开始，沿着圆柱的高向下切，直到把这个圆柱纵向切开，它的表面积就增加了1600平方厘米。原来的这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】12560立方厘米 【分析】增加的表面积等于长为圆柱的高，宽为圆柱的底面直径的2个长方形的面积，用增加的面积除以2求出一个长方形的面积，再用长方形的面积除以圆柱的底面直径求出圆柱的高，再根据圆柱的体积＝解答即可。 【解答】1600÷2＝800（平方厘米） 800÷20＝40（厘米） 20÷2＝10（厘米） 3.14××40 ＝3.14×100×40 ＝314×40 ＝12560（立方厘米） 答：原来的这个圆柱的体积是12560立方厘米。 【易错专练3】一个圆柱高10厘米，截成3段后，表面积增加了50.24平方厘米，求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】125.6立方厘米 【分析】根据题意可知，圆柱截成3段后，增加4个底面的面积，用增加的面积÷4，求出底面的面积，再根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】50.24÷4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是125.6立方厘米。 【易错专练4】将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 【答案】130平方厘米 【分析】要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着回锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。 【解答】26×5÷2×2 ＝130÷2×2 ＝65×2 ＝130（平方厘米） 答：表面积比原来增加了130平方厘米。 【易错专练5】把一个高15厘米的圆锥，沿着底面直径垂直切开，将圆锥平均分为两份，跟原来比表面积增加了300平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？ 【答案】1570立方厘米 【分析】由于圆锥体是由三角形旋转得到的，把一个圆锥沿底面直径和高切开，剖面是三角形，表面积比原来增加了300平方厘米，即是两个三角形的面积之和；由此可以求出剖面三角形的面积，这个三角形的底就是圆锥底面直径，根据已知三角形的面积和高求底的方法，即可求出圆锥的底面直径，再利用圆锥的体积公式解答。 【解答】一个三角形的面积：300÷2＝150（平方厘米） 圆锥的底面直径：150×2÷15＝20（厘米） ×3.14×（20÷2）2×15 ＝314×5 ＝1570（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是1570立方厘米。 【点睛】本题考查圆锥的体积，明确沿着底面直径垂直切开，表面积增加即增加了两个三角形的面积是解题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 圆柱与圆锥易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 1 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：对圆柱的展开图认识错误。 2 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 4 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 6 易错点4：圆锥的特征认识错误。 8 易错点5：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 10 易错点6：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 11 易错点7：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 13 模块一 易错知识点梳理 1、圆柱的底面是圆，不是椭圆。 2、圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 3、求通风管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 4、圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 5、圆柱的高不变，若底面半径、直径及周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍 6、瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 7、圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 8、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 9、半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 10、运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘以。 11、只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：对圆柱的展开图认识错误。 【典例1】判断:一个圆柱的侧面展开图一定是长方形。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】本题忽略了沿高展开这个条件。只有沿着圆柱的高展开，侧面展示图才是长方形(正方形是特殊的长方形)。如果不是沿高展开,而是沿着一条倾斜的直线展开,那么侧面展开图是一个平行四边形，如下图所示。 【正确答案】错误 【易错专练1】请在下边格子图中画出下面圆柱的侧面展开图。并标出对应的数量。 【易错专练2】乐乐和园园分别在纸上画了几个笔筒沿高剪开的侧面展开示意图，其中正确的是( )。（填序号） 【易错专练3】一块长方形铁皮（如下图），利用图中阴影部分刚好能做成一个圆柱形的带盖水桶（接头处和厚度均忽略不计）。按要求完成下面各题。 (1)这个水桶的底面直径是( )dm，高是( )dm。 (2)这个水桶的底面周长是( )dm。 【易错专练4】用如图的长方形和圆形铁皮搭配，制作一个无盖的圆柱形桶，可搭配的是（    ）。（单位：dm） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【易错专练5】小丽想用卡纸制作一个无盖的圆柱形笔筒，并且笔筒的高大于或等于8厘米。她用下面的长方形卡纸做圆柱的侧面和底面，她已经在方格纸上画出了笔筒的底面，请你画出侧面，并计算做这个无盖笔筒一共用了多少平方厘米卡纸？（画出一种即可，粘合处忽略不计，每个小正方形边长1厘米，取3） 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 【典例2】判断:计算制作一个水桶或一根通风管需要的铁皮的面积都是求圆柱的表面积。 ( ) 【错误答案】正确 【错解分析】因为水桶没有上底面,通风管两个底面都没有,所以计算制作一个水桶或计算制作 一根通风管需要的铁皮的面积并不是直接计算圆柱的表面积,如下图。 【正确答案】错误 【易错专练1】一个圆柱形油漆桶，高是6dm，底面直径是高的。做这个油漆桶至少需要铁皮多少平方分米？（得数保留整数） 【易错专练2】一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长10米，横截面是半径为2米的半圆形，覆盖这个大棚至少需要塑料薄膜多少平方米？（π取3.14） 【易错专练3】一种圆柱形无盖铁皮水桶的高2.5分米，底面直径是4分米。做这样的一只水桶至少要用铁皮多少平方分米？（得数保留整十平方分米） 【易错专练4】月饼象征着团圆，可以近似看作圆柱，切掉后，剩下的月饼表面积是多少？ 【易错专练5】灯笼厂接到一批订单，需要制作如图这种圆柱形灯笼，上、下底面的中间分别留出了78.5平方厘米的圆孔，做一个灯笼至少需要准备多少平方厘米的彩纸？ 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 【典例3】判断：圆柱的高不变,底面直径扩大到原来的几倍,它的体积也扩大到原来的几倍。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】圆柱的底面直径扩大到原来的2倍，它的底面积就扩大到原来的4倍。圆柱的高不变,根据公式V=Sh ,圆柱的体积也扩大到原来的4倍。 圆柱的体积与圆柱的底面半径和高有关。当底面半径不变时,高扩大到原来的n倍,体积也扩大到原来的n倍;当高不变时,底面半径扩大到原来的n倍,体积就扩大到原来的n2倍。 【正确答案】错误 【易错专练1】一块正方体木材的棱长是4分米，这块木材的表面积是( )平方分米，把它切成一个最大的圆柱，圆柱的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【易错专练2】在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 【易错专练3】一个圆柱形大花坛的底面内直径为20m，高为0.8m。如果花坛里面填入沙土的高度为0.5m，那么花坛中填入沙土多少立方米？ 【易错专练4】在一次科学实验课上，老师准备了一个高25厘米，底面积是50平方厘米的圆柱形容器，里面装了一部分水，水面高度为8厘米（见图1）。同学们为了模拟物体排开液体的实验，往容器里放入了体积相等的小玻璃球，水面上升到了22厘米（见图2）。之后，同学们又从容器中取出了一些小玻璃球，水面下降到了16厘米（见图3）。 (1)放入容器的小玻璃球的体积一共是多少立方厘米？ (2)取出的小玻璃球的体积相当于多少毫升水？ 【易错专练5】一个底面周长为28.26厘米的圆柱，斜着截去这个圆柱的一半（如图），剩余部分的体积是多少立方厘米？ 易错点4：圆锥的特征认识错误。 【典例4】判断:任意一个圆锥都有无数条高。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】圆锥的高是从圆锥的顶点到底面圆心的距离,因为圆锥只有一个顶点和一个底面圆心，所以圆锥只有1条高。本题理解错误。 【正确答案】错误 【易错专练1】按照图（    ）的截法，截出的截面如图所示。 A． B． C． D． 【易错专练2】将一个圆锥沿着它的高平均切成两半（如下图），截面是一个（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．等腰三角形 【易错专练3】下面各图中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练4】如下图所示的是一个圆锥，这个圆锥的高是( )cm，底面半径是( )cm，底面周长是( )cm，底面积是( )。 【易错专练5】如图，一个圆锥的高是3cm，沿着它的高平均切成两部分，表面积就增加12cm2，原来圆锥的底面直径( )cm。 易错点5：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 【典例5】判断:圆锥的体积是圆柱体积的,圆柱的体积是圆锥体积的3倍。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】只有等底、等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积才是圆柱体积的，否则,它 们之间的关系是不确定的。 【正确答案】错误 【易错专练1】一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 【易错专练2】把一个圆柱削成最大的圆锥后，圆锥体积比圆柱体积少24π立方分米。如果圆锥的底面半径是3分米，圆柱的高是( )分米。 【易错专练3】一个正方体一个面的面积是36平方厘米，把这个正方体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米，和它等底等高的圆柱体积是( )立方厘米。 【易错专练4】在一个高是3dm，底面半径是2dm的圆锥形容器里装满水，再将这些水全部倒入一个圆柱形容器中，刚好装了圆柱形容器的。这个圆柱形容器的容积是多少立方分米？ 【易错专练5】科学组的同学们在做实验，先将两个大小相同的烧杯中，都盛有480毫升的水，再将等底等高的圆柱与圆锥实心零件（材质相同）分别放入两个烧杯中，则甲烧杯水面刻度如图所示。乙烧杯水面刻度显示应是多少毫升？ 易错点6：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 【典例6】一根圆柱形钢材，底面半径是2厘米，长1.5米。它的体积是多少立方厘米？ 【错误答案】 3.14×2²×1.5=3.14×4×1.5 = 18.84（立方厘米） 【错解分析】计算前没有统一单位。公式中的半径单位是“厘米”，而高（长）的单位是“米”，直接相乘会导致结果错误。 【正确解答】1.5米 = 150厘米 体积 V=πr²h =3.14×2²×150=3.14×4× 150 = 1884（立方厘米） 【易错专练1】一根2m长的圆柱形钢管，其外直径为30cm，内直径为20cm。要制造这根钢管需要多少立方米的钢材？ 【易错专练2】如下图，一个破损的圆柱形木桶从里面量得底面直径是4dm，高是6dm。这个木桶正常放置时最多能盛多少升水？ 【易错专练3】一个圆柱形铁皮水桶（有底无盖）桶身出现破损，师傅从桶身破损处平行于底面截去一个高为10厘米的圆柱（如图所示），剩余部分的水桶容积比原来减少了。往这个水桶中倒入3.14升的水，水深1分米。现在水桶的容积是多少升？ 【易错专练4】一堆圆锥形黄沙，底面周长是25.12米，高是1.5米，将这些沙子铺在一条宽4米厚2.5厘米的小路上，大约能铺几米长？ 【易错专练5】有一堆小麦，其形状近似于一个圆锥，底面直径为4米，高为18分米，将这些小麦装入一个底面半径为4米，高为5米的圆柱形粮仓中，小麦的高为多少米？ 易错点7：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 【典例7】把一个底面直径为4厘米，高为5厘米的圆柱沿底面直径切成两个半圆柱，表面积增加了多少平方厘米？ 【错误解答】 增加了一个长方形的面积：4×5 = 20 (平方厘米) 答：表面积增加了20平方厘米。 【错解分析】沿底面直径纵切，会将圆柱分成两半，会增加两个完全一样的长方形切面，每个切面的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径。错误解答只算了一个切面的面积。 【正确解答】 增加的面积是两个长方形的面积。 每个长方形的面积：4×5 = 20 (平方厘米) 增加的总面积： 20 × 2 = 40 (平方厘米) 答：表面积增加了40平方厘米。 【易错专练1】如下图，把这根圆柱形木料截成三段，表面积增加了942cm2。若原来这根圆柱形木料的体积是0.1413m3，则这根圆柱形木料原来长多少米？ 【易错专练2】如图，把一个直径是20厘米的圆柱从上底面的一条直径开始，沿着圆柱的高向下切，直到把这个圆柱纵向切开，它的表面积就增加了1600平方厘米。原来的这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【易错专练3】一个圆柱高10厘米，截成3段后，表面积增加了50.24平方厘米，求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【易错专练4】将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 【易错专练5】把一个高15厘米的圆锥，沿着底面直径垂直切开，将圆锥平均分为两份，跟原来比表面积增加了300平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $