曲线的切线与公切线课件-2026届高三数学二轮复习

　曲线的切线与公切线 高中数学 二轮复习 返回导航 曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，一般单独考查，难度较小，也可与函数的单调性、极值、最值综合考查，难度较大． 返回导航 内容索引 第一部分 真题演练　重温高考 第三部分 主干整合　核心提炼 第二部分 热点分类　考向探究 课时作业 第四部分 返回导航 主干整合　核心提炼 第 分 部 一 返回导航 1．导数的几何意义 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． (2)曲线在某点处的切线与曲线过某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 2．导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算核心素养． 返回导航 热点分类　考向探究 第 分 部 二 返回导航 考向 1 曲线的切线 D 返回导航 返回导航 C 返回导航 求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是切点)，应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程． 反思感悟 返回导航 B 返回导航 B 返回导航 考向 2 曲线的公切线 C 返回导航 返回导航 D 返回导航 返回导航 1．求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法． 2．根据曲线的公切线求参数，要利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数图象的交点问题，利用函数的性质或图象求解． 反思感悟 返回导航 C 返回导航 C 返回导航 真题演练　重温高考 第 分 部 三 返回导航 A 返回导航 4 返回导航 ln 2 返回导航 返回导航 课时作业5 第 分 部 四 返回导航 D 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 B 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 B 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 BCD 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 AC 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 ABC 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 x ln 3－y＋1＝0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 e－1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 谢谢观看！ 返回导航 例1　(1)(2025·湖南郴州三模)已知函数f(x)＝x2＋2a ln x，若函数f(x)在区间(1，2)的图象上存在两条斜率之积为－4的切线，则实数a的取值范围为(　 　) A．(－2，1) B．(－2，－1) C．(－2，0) D．(－3，－2) 解析：由f(x)＝x2＋2a ln x⇒f ′(x)＝2x＋(x>0)，不妨设这两条切线的切点分别为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，且f ′(x1)·f ′(x2)＝－4，若a≥0，则f ′(x)>0恒成立，不符合题意，所以a<0，此时y＝f ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，依题意需使解得a∈(－3，－2)．故选D． (2)已知过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)ex的切线有且仅有1条，则a的值为(　 　) A．－3 B．3 C．－3或1 D．3或1 解析：设切点为(x0，(1－x0)ex0)，由已知得y ′＝－xex，则切线斜率k＝－x0ex0，切线方程为y－(1－x0)ex0＝－x0ex0(x－x0)，直线过点A(a，0)，则－(1－x0)ex0＝－x0·ex0(a－x0)，化简得x－(a＋1)x0＋1＝0，切线有且仅有1条，即Δ＝(a＋1)2－4＝0，化简得a2＋2a－3＝0，即(a＋3)(a－1)＝0，解得a＝－3或a＝1．故选C． 跟踪训练 (1)(2025·广东湛江二模)已知函数f(x)＝ex＋2x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　 　) A．y＝2x＋1 B．y＝3x＋1 C．y＝2x D．y＝3x 解析：由f(x)＝ex＋2x，得f ′(x)＝ex＋2，则f(0)＝1，f ′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1．故选B． (2)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是(　 　) A．(－4，0) B．(－∞，－4)∪(0，＋∞) C．(0，4) D．(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析：设切点为A(x0，y0)，由已知可得y ′＝ex(x＋a＋1)．根据导数的几何意义可知，切线的斜率为k＝y ′＝ex0(x0＋a＋1)，所以切线方程为y－(x0＋a)ex0＝ex0(x0＋a＋1)(x－x0)．又切线经过原点，所以有0－(x0＋a)ex0＝ex0(x0＋a＋1)(0－x0)，整理可得x＋ax0－a＝0．因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以方程有两个不相等的实数解，即有Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0．故选B． 角度1　求两曲线的公切线 例2　(2025·黑龙江牡丹江模拟)已知函数f(x)＝ex＋1，g(x)＝ln x＋3，直线l既与曲线f(x)相切又与曲线g(x)相切，则直线l的方程是(　 　) A．y＝x＋1 B．y＝－x＋2 C．y＝ex＋1或y＝x＋2 D．y＝x＋2或y＝x＋1 解析：设直线l与曲线f(x)相切于点A(x0，ex0＋1)，f ′(x)＝ex，则切线的斜率为ex0，切线方程为y－(ex0＋1)＝ex0(x－x0)，即y＝ex0x－ex0x0＋ex0＋1，设直线l与曲线g(x)相切于点B(x1，ln x1＋3)，g ′(x)＝，则切线的斜率为，切线方程为y－(ln x1＋3)＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1＋2，∴解得或则直线l的方程为y＝ex＋1或y＝x＋2．故选C． 角度2　根据公切线求参数的取值范围 例3　若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围为(　 　) A．(0，1) B． C． D． 解析：由y＝x2得y ′＝2x，曲线y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，由y＝(a>0)得y ′＝，曲线y＝(a>0)在点处的切线斜率为en，如果两条曲线存在公切线，那么2m＝en(m≠0)．又由斜率公式可得2m＝，由此得到m＝2n－2，则4n－4＝en有解，所以直线y＝4x－4与函数y＝ex的图象有交点即可．当直线y＝4x－4与函数y＝ex的图象相切时，设切点为(s，t)，则es＝4，且t＝4s－4＝es，得s＝2，t＝4，即有切点(2，4)，此时a＝，故实数a的取值范围为．故选D． 跟踪训练 (1)已知直线y＝kx＋b是曲线y＝ex的切线，也是曲线y＝－e－x的切线，则k＋b＝(　 　) A． B．1 C．e D．1＋e 解析：设直线y＝kx＋b与曲线y＝ex的切点为(x1，ex1)，与曲线y＝－e－x的切点为(x2，－e－x2)，对函数y＝ex求导得y ′＝(ex) ′＝ex，对函数y＝－e－x求导得y ′＝(－e－x) ′＝e－x，则曲线y＝ex在x＝x1处的切线方程为y－ex1＝ex1(x－x1)，即y＝ex1x＋ex1－x1ex1，曲线y＝－e－x在x＝x2处的切线方程为y＋e－x2＝e－x2(x－x2)，即y＝e－x2x－x2e－x2－e－x2，所以解得故k＝ex1＝e，b＝(1－1)e＝0，所以k＋b＝e．故选C． (2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则曲线f(x)与曲线g(x)的公切线有(　 　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析：根据题意，设直线l与曲线f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与曲线g(x)相切于点(n，ln n＋1)，对于f(x)＝ex－1，有f ′(x)＝ex，则直线l的斜率k＝em，则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)，即y＝emx＋(1－m)em－1，对于g(x)＝ln x＋1，有g ′(x)＝，则直线l的斜率k＝，则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)，即y＝x＋ln n，则可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝ex－1或y＝x，故曲线f(x)与曲线g(x)的公切线有2条．故选C． 1．(2024·全国甲卷理)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　 　) A． B． C． D． 解析：f ′(x)＝，所以f ′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝．故选A． 2．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝__． 解析：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y ′＝ex＋1，由直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，直线的斜率为2，令y ′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点的坐标为(0，5)．因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4． 3．(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝_____． 解析：由题意，令f(x)＝ex＋x，则f ′(x)＝ex＋1，所以f ′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1．令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g ′(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln ＋a，所以a＝ln 2． 4．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为_________， _________． y＝x y＝－x 解析：先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y ′＝，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以＝，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为，切线方程为y＝x．同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x．综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x． 1．(5分)(2025·山东聊城一模)曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　 　) A．4 B．3 C．1 D． 解析：对函数y＝x ln x求导得y ′＝ln x＋1，故所求切线斜率为k＝ln 1＋1＝1，切点坐标为(1，0)，所以曲线y＝x ln x在x＝1处的切线方程为y＝x－1，该切线交x轴于点(1，0)，交y轴于点(0，－1)，因此曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×12＝．故选D． 2．(5分)(2025·河北秦皇岛一模)已知曲线C：y＝ex＋x在点P(x0，y0)处的切线l与直线l ′：y＝2x－1平行，则l与l ′之间的距离为(　 　) A． B． C． D． 解析：由题意y ′＝ex＋1，切线l的斜率为2，则ex0＋1＝2，得x0＝0，故y0＝ex0＋x0＝1，故切线l的方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0，直线l ′：y＝2x－1，即2x－y－1＝0，故两直线的距离为d＝＝．故选B． 3．(5分)(2025·山东烟台一模)已知A为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，若过点A且与该抛物线相切的直线交x轴于点(－2，0)，则p的值为(　 　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：由抛物线的对称性，不妨令m>0，由y＝，得y ′＝＝，所以切点为A的切线斜率为k＝1，则切线方程为y＝x＋2，故m＝＋2，又m2＝2p×＝p2，即m＝p(负值舍去)，则＋2＝p⇒p＝4．故选C． 4．(5分)若曲线f(x)＝和g(x)＝ln x在公共点处的切线互相垂直，则k＝(　 　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 解析：由函数f(x)＝和g(x)＝ln x，可得f ′(x)＝－，g ′(x)＝，设两曲线公共点的横坐标为t，可得f ′(t)＝－，g ′(t)＝．因为公共点处的切线互相垂直，所以f ′(t)g ′(t)＝－1，即＝1，解得t＝1，又由f(1)＝g(1)，可得k＋1＝0，解得k＝－1．故选C． 5．(5分)(2025·湖北随州一模)曲线f(x)＝ln x－1与g(x)＝ln (x－1)的公切线的斜率为(　 　) A．1 B．－1 C．e D．－e 解析：因为f(x)＝ln x－1，则f ′(x)＝，设切点坐标为(a，ln a－1)，a>0，切线斜率为k1＝，可得切线方程为y－(ln a－1)＝(x－a)，即y＝x－2＋ln a．因为g(x)＝ln (x－1)，则g ′(x)＝，设切点坐标为(b，ln (b－1))，b>1，切线斜率为k2＝，可得切线方程为y－ln (b－1)＝(x－b)，即y＝x－＋ln (b－1)．由题意可得解得所以公切线的斜率为＝1．故选A． 6．(5分)(2025·重庆江北区一模)过原点且与曲线y＝x sin x相切的直线有(　 　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：设切点为(x0，x0sin x0)，因为曲线y＝x sin x，所以y ′＝sin x＋x·cos x，所以切线方程为y－x0sin x0＝(sin x0＋x0cos x0)(x－x0)．又切线过原点，所以把(0，0)代入得xcos x0＝0，所以x0＝0或cos x0＝0，当x0＝0时，切线斜率为0，所以切线方程为y－0＝0(x－0)，即y＝0；当x0＝＋2kπ，k∈Z时，切线斜率为1，所以切线方程为y－0＝1(x－0)，即y＝x；当x0＝－＋2kπ，k∈Z时，切线斜率为－1，所以切线方程为y－0＝－1(x－0)，即y＝－x．所以切线有3条．故选C． 7．(5分)曲线y＝3＋ln x与曲线y＝eex的公切线的斜率为(　 　) A．或 B．e或e2 C．1或e D．1或e2 解析：对于y＝3＋ln x，y ′＝，设切点为(x1，3＋ln x1)，则切线斜率k1＝，可得切线方程为y－(3＋ln x1)＝(x－x1)，即y＝x＋2＋ln x1；对于y＝eex，y ′＝e·eex＝eex＋1，设切点为(x2，eex2)，则切线斜率k2＝eex2＋1，可得切线方程为y－eex2＝eex2＋1(x－x2)，即y＝eex2＋1x＋eex2(1－ex2)．由题意可得＝eex2＋1，2＋ln x1＝eex2(1－ex2)，由＝eex2＋1可得eex2＝，－ex2＝1＋ln x1，则2＋ln x1＝(2＋ln x1)，整理可得(ex1－1)(2＋ln x1)＝0，解得x1＝e－1或x1＝e－2，所以公切线的斜率为e或e2．故选B． 8．(5分)若两曲线y＝ln x与y＝ax2＋1存在公切线，则正实数a的取值范围为(　 　) A． B．(0，2e] C． D．[2e，＋∞) 解析：设公切线与曲线y＝ln x和y＝ax2＋1的交点分别为(x1，ln x1)，(x2，ax＋1)，其中x1>0，对于y＝ln x，得y ′＝，则与曲线y＝ln x相切的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝·x＋ln x1－1；对于y＝ax2＋1，得y ′＝2ax，则与曲线y＝ax2＋1相切的切线方程为y－(ax＋1)＝2ax2(x－x2)，即y＝2ax2x－ax＋1．由公切线，得＝2ax2，ln x1－1＝－ax＋1，有－＝ln x1－2，即＝2x－xln x1(x1>0)，令g(x)＝2x2－x2ln x(x>0)，则g ′(x)＝3x－2x ln x＝x(3－2ln x)，令g ′(x)＝0，得x＝e，当x∈(0，e)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减．所以g(x)max＝g(e)＝e3，故≤e3，即a≥e－3．故选C． 9．(8分，多选)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　 　) A．lm的斜率的最小值为－2 B．lm的斜率的最小值为－3 C．l0的方程为y＝1 D．l－1的方程为y＝9x＋6 解析：因为f ′(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3≥－3，所以lm的斜率的最小值为－3．因为f ′(0)＝0，f(0)＝1，所以l0的方程为y＝1．因为f ′(－1)＝9，f(－1)＝－3，所以l－1的方程为y＋3＝9(x＋1)，即y＝9x＋6．故选BCD． 10．(8分，多选)已知函数f(x)＝ex，则下列结论正确的是(　 　) A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1 B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1 C．曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1 D．过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条 解析：因为函数f(x)＝ex，所以f ′(x)＝ex．对于A，令f ′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，故A正确；对于B，令f ′(x)＝ex＝－1，无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，故B错误；对于C，因为点(0，1)是切点，所以f ′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，故C正确；对于D，设切点为(x0，ex0)，则切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，因为点(0，0)在切线上，所以ex0＝x0ex0，解得x0＝1，所以过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故D错误．故选AC． 11．(8分，多选)(2025·黑龙江大庆二模)若两曲线y＝x2－1与y＝a ln x－1存在公切线，则正实数a的取值可能是(　 　) A．1 B．e C．2e D．6 解析：设两切点分别为A(x1，x－1)，B(x2，a ln x2－1)，对y＝x2－1与y＝a ln x－1分别求导得y ′＝2x，y ′＝，所以切线斜率分别为k1＝2x1，k2＝，故在点A处的切线方程为y－(x－1)＝2x1(x－x1)，整理得y＝2x1x－x－1，在点B处的切线方程为y－(a ln x2－1)＝(x－x2)，整理得y＝x－a＋a ln x2－1，所以解得a＝4x(1－ln x2)，构造函数f(x)＝4x2(1－ln x)，f ′(x)＝4x(1－2ln x)，令f ′(x)>0，解得0<x<，令f ′(x)<0，解得x>，故f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，故f(x)max＝f()＝2e，因为正实数a>0，所以a的取值范围是(0，2e]．故选ABC． 12．(5分)(2025·浙江杭州二模)曲线y＝3x在点(0，1)处的切线方程是______________________． 解析：由题意得y ′＝3x ln 3，则曲线y＝3x在点(0，1)处的切线斜率k＝ln 3，所以曲线y＝3x在点(0，1)处的切线方程是y－1＝ln 3·(x－0)，所以切线方程为x ln 3－y＋1＝0． 13．(5分)(2025·山东泰安二模)若曲线f(x)＝ex－ax与直线y＝x相切，则实数a的值为_______． 解析：设切点为(x0，ex0－ax0)，由f(x)＝ex－ax，得f ′(x)＝ex－a，故切线斜率1＝ex0－a，由直线y＝x可知切线过点(0，0)，故＝1，∴＝ex0－a，解得x0＝1，∴a＝e－1． 14．(6分)若曲线y＝kx－1(k<0)与曲线y＝ex有三条公切线，则k的取值范围是 ____________． 解析：设公切线为l，P(x1，y1)是l与曲线f(x)＝kx－1的切点，由f(x)＝kx－1，得f ′(x)＝，设Q(x2，y2)是l与曲线g(x)＝ex的切点，由g(x)＝ex，得g ′(x)＝ex，所以l的方程为y－y1＝(x－x1)，由y1＝，整理得y＝x＋．同理y－y2＝ex2(x－x2)，由y2＝ex2，整理得y＝ex2x＋ex2(1－x2)．依题意两条直线重合，可得 消去x1，得4k＝－ex2·(x2－1)2，由题意知此方程有三个不等实根，设h(x)＝－ex(x－1)2，即直线y＝4k与曲线h(x)有三个交点，因为h ′(x)＝ex(1－x2)，令h ′(x)＝0，则x＝±1，当x<－1或x>1时，h ′(x)<0，当－1<x<1时，h ′(x)>0，所以h(x)有极小值为h(－1)＝－4e－1，h(x)有极大值为h(1)＝0．因为h(x)＝－ex(x－1)2，ex>0，(x－1)2≥0，所以h(x)≤0，当x趋近于－∞时，h(x)趋近于0；当x趋近于＋∞时，h(x)趋近于－∞．故h(x)的图象如图，所以当－4e－1<4k<0，即－<k<0时，直线y＝4k与曲线h(x)有三个交点． $