专项突破2 多项式和多个二项式乘积的展开式问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

心专项突破2 多项式和多个二项 1.（2024·重庆九龙坡区高二期中)在(x-y)· (x+y)的展开式中，含有x2y4项的系数为 A.-5 B.0 C.5 D.10 2.(2024·浙江温州高三二模)在(3-x)· (1-x)5展开式中，x的奇数次幂的项的系数 和为 ( ) A.-64 B.64 C.-32 D.32 3.(2024·浙江绍兴高二期中)已知(2x+1)· (x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a1+a4的值为 A.-5 B.-7 C.-9 D.-13 4.已知（2x-y)〔x+y)”的展开式中含有常数 x”y 项，则n的值及展开式中的常数项分别为 () A.3,-10 B.4,-10 C.3,-5 D.4,-5 5.（2024·江苏徐州高二期中)(x+2y-3z)5的展 开式中所有不含x的项的系数之和为( A.-32 B.-1 C.1 D.243 6.(多选)(2024·河南郑州高三月考)已知 (m+x)4=a+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,(x-1）· (m+x)4=b。+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b3x,其中 m∈R,m≠0.若a2=3b2,则 A.m=2 B.a0+a1+a2+a3+a4=81 C.b1+b2+b3+b4+b5=-16 D.b1+2b2+3b3+4b4+5b3=80 24 7.(2024·陕西安康高三月考)x2+x+ (x-3)8的展开式中x’的系数为 (用数字作答) 式乘积的展开式问题 8.(2024·广东汕头高三模拟)若m≠0，且 (x2-x+m)6=a1+a1x+a2x2+ax3+…+a12x2, 则m的值为 9求寸号)广的带数项 .8 10.(x2+x+1)=D8x2n+Dx2m-1+D2x2n-2+…+ D-x+D(neN*)的展开式中，把D D1,D2,…,Dn叫做三项式的n次系数列. (1)求D9+D+D4+D的值 (2)根据二项式定理，将等式(1+x)2n= (1+x)"(1+x)”的两边分别展开可得 左右两边的系数对应相等，如C2n= (C)2+(C1)2+(C2)2+…+(C%)2.理獬 上述思想方法，利用方程1-x3=(1- x)(1+x+x2),请化简：D924C224 D2024C224+D224C324-…+(-1)· D吃4C吃24+…+D8B4C2o4. 进阶突破·专项练03 心专项突破3 计数原理与排列组合的综合应用 题组代数中的排列组合问题 5.（(2024·山东菏泽高二月考)现有如下定 1.（2024·天津北辰区高二期中)从0,2,4中 义：除最高数位上的数字外，其余每一个数 选一个数字.从1,3,5中选两个数字，组成 字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福 无重复数字的三位数.其中奇数的个数为 数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）. () (1)求四位“幸福数”的个数； A.48 B.30 C.24 D.6 (2)如果把所有的四位“幸福数”按照从小 2.(2024·广东深圳高二月考)若从1,2,3， 到大的顺序排列，求第125个四位“幸 …,9这9个整数中取出4个不同的数排成 福数” 一排，依次记为a,b,c,d,则使得a×b×c+d 为偶数的不同排列方法有 A.1224种 B.1800种 C.984种 D.840种 3.(2024·安徽马鞍山高三模拟)数列{an}共 有9项，且a1=1,ag=9,lat1-an|=2,则这 样的数列{an}有 () A.28个 B.36个 C.45个 D.56个 4.(2024·江苏扬州高二期中)用数字0,1,2， 3,4,5组成没有重复数字的数 (1)可以组成多少个六位数？ (2)可以组成多少个至少有一个偶数数字 的三位数？ (3)可以组成多少个能被3整除的三位数？ 题组二排队问题 6.（2024·浙江湖州高二月考)植树节这天， 某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中 甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位， 则不同的浇水顺序的种数为 () A.30 B.36 C.40 D.42 04黑白题数学|选择性必修第三册·RJ进阶突破·专 专项突破1计数原理与概率的综合应用 1.C解析：设“在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等 于30”为事件A,不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29， 共10个，随机选取两个不同的数共有C=45(种)，其中和等于30 的有7+23,1+19,3+17，共3种情况，所以P(A-=5故选C 2.C解析：用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十 位用横式，共可以摆出9×9=81（个）两位数，其中个位和十位上的算 筹都为1的有1×1=1（种），个位和十位上的算筹都为2的有2×2= 4(种)，个位和十位上的算筹都为3的有2×2=4（种），个位和十位上 的算筹都为4的有2×2=4（种），个位和十位上的算筹都为5的 有2×2=4（种），共有4×4+1=17（种），所以个位和十位上的算筹 样多的既率为8品故选C 3.C解析：记“该人尝试两次但都拨不对电话号码”为事件A,则 P(A)二AO 4 冬，则该人尝试两次但都拔不对电话号码的概率 故选C. 4.C解析：若第三行选择猴，则前两行至少要选1个六畜中的生肖，则 有CC4+CC2=10(种)选法；若第三行不选择猴，则有CC4C4= 48(种)选法，放所求概率为CCC=罗放选C. 5.B解析：根据题意，先从除甲乙外的5个节目中选2个节目放在甲 乙之间，看成一个整体，再将这个整体和剩余的3个节目，进行全排 列，共有C?AA3A4=960(种)，所以节目甲与乙中间恰好间隔2个节 目的概率P=960.4 A2放选B. 6.B解析：从A处的方向看，行走方向有三个：左、前、上从A到B的 最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次所以 从A到B的最近的行走线路，总的方法有CCC=560(种).不连续 向上攀登的安排方法是先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进 行插空.故方法有CCC哈=200（种）.所以最近的行走路线中不连续 向上攀登的概率为P一测子放选B 7.B解析：不妨假设六位小朋友已经站好了位置，不同站位方法 为A?=720(种)，小孩找到各自的爸爸，则其为定序问题，爸爸的不 同站位方法为 A8A =20(种)，所以爸爸们不需要插队的概率P= AA 201 72036故选B. 8.BD解析：对于A选项，将10张没有奖的奖券按照1,3,3,3分成三 组，不同的分法种数为C品·CC·C,然后分配给4个人的分法 A 为A4,所以2张有奖券分给同一个人的概率是 C3o·C·C·C ·A4 C品·CCg·C斤，故A选项错误；对于B选项，由A可 A 2 得，2聚有奖券分给不同的人的概率是1子品，放B选项正确；对 于C选项和D选项，由A可知，2张有奖券都分给丙或丁的概率 是2x。·C.c·C.1 Xc2·C3·C·C2张有奖券给丙和丁-人一张时，将10 张没有奖的奖券按照2,2,3,3分成四组，不同的分法种数为 C。·C号·C子·C,然后分配给4个人的分法为A号·A号，所以2张有 A3·A2 奖券1张分给丙、1张分给丁的概率是 C3o·C号·C4·C A3·A3 2·A好·A经·A好 C32·C3·C2·C3 22,同理，2张有奖券分给甲和乙 选择性必修第三册·RJ 项练参考答案 3 各一张的概率为2，所以2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为 +2=故C选项错误，D选项正确故选BD。 3 9.120 8 :解析：由题意可知，上车后5人在这五个座位上随意坐，坐 法种数为A?=120(种)：假设A坐对自己的位置，其他4人没有坐对 与自己车票相符座位所包含的基本事件有：CBED,CEBD,CDEB, DBEC,DEBC,DECB,EBCD,EDBC,EDCB,共9种，因此，恰有一人坐 对与自己车票相符座位的概率P=】 。故酱米为120号 3 10.15解析：50张彩票中任取n张的方法有C,种，至少有一张中奖的 情况有(CC1+CCs2)种，若这n张彩票里至少有一张中奖的概 481 率大于0.5，则P= CC1C3Ca62、。 >0.55(n-D1(49-n)1+ C0 +C50 50! n!(50-n)！ 48! 200,宁所以20,0书，解得≥15 50！ 50×49 n！(50-n)！ 故答案为15. 1.子解折：①若三地分配人数分别为1,13时，共有6，A A 60(种)安排方法：其中小赵去北京的安排方法有C4A好+CA3 20(种)：②若三地分配人数分别为12,2时，共有6.A A子 90(种)安排方法；其中小赵去北京的安排方法有C?+CCA好= 30(种)放小赵不去北京的概率为1208子放管案为号 12.解：(1)设事件A:“2名女生的摄影作品最终获得特等奖”.则P )《。03,因为事件A的对立事件A为”至少有1名男生 的摄影作品最终获得特等奖”，则P(A)=1-P(A)=1-0.3=0.7,所 以至少有1名男生的摄影作品最终获得特等奖的概率为0.7. (2)设事件2：“5名同学依次进行创作陈述”，则n(2)=Aξ=120. 设事件C:“恰好有2名女生相邻进行创作陈述”，则n(C)= AA2A号=6×2×6=72. 所以决赛时，恰好有2名女生相邻进行创作陈述的概率P(C)= 72 1200.6 (3)设事件D:“在2名男生都陈述结束时，还有k名(k=0,1,2,3) 女生没有陈述”.则n(D)=C4kAA号=(4-k)×2×6=12(4-k).由已 知2(4二=0.2，解得k=2,所以k的值为2 120 专项突破2多项式和多个二项式乘积 的展开式问题 1.A解析：由题意，在(x-y)(x+y)5的展开式中，其中x2y项为x· Cx·y+(-y)·C3x2·y3=-5x2y4,所以x2y4项的系数为-5.故 选A. 2.A解析：设(3-x)(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x5, 令x=1可得ao+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0;令x=-1可得a0-a1+a2 +a4-a5+a6=128,所以a1+a3+a5=0)28与 2=-64,即在(3-x)(1-x)5 展开式中，x的奇数次幂的项的系数和为-64故选A. 3.C解析：显然(x-1)4=x4-4x3+6x2-4x+1,在(2x+1)(x-1)4的展开 式中，a1=2×1+1×(-4)=-2,a4=2×(-4)+1×1=-7,所以a1+a4= -9.故选C. 4.A解析：(x+y)5的展开式的通项为1=Cx少，因为 黑白题42 2x271=2Cx7.令7-k=k,得k=7,与keZ矛盾，舍去因为 -yT41=-C5x5-y1.令5-k=k+1,得k=2,此时-C5x5-ty1= -10x3y3,所以n=3,常数项为-10.故选A. 5.B解析：(x+2y-3z)5=[(2y-3z)+x]5展开式的通项公式为T,+1= C5(2y-3z)5-x,r∈N,r≤5，若展开式中的项不含x,则r=0,此时符 合条件的项为(2y-3z)5展开式中的所有项，令y=z=1,得这些项的 系数之和为(-1)5=-1.故选B. 6.AB解析：二项式(m+x)4展开式的通项为T+1=C4m4x(0≤r≤4 且reN),(x-1)(m+x)4=x(m+x)4-(m+x)4,所以a2=Cm2=6m2, b2=C4m3-Cm2=4m3-6m2,因为a2=3b2,所以6m2=3(4m3-6m2), 解得m=0(舍去)或m=2,故A正确；由(2+x)4=ao+a1x+a2x2+ a3x3+a4x,令x=1可得ao+a1+a2+a3+a4=34=81,故B正确；由(x 1)(2+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x3,令x=0可得b0=-24= -16,令x=1可得bo+b1+b2+b3+b4+bs=0,所以b1+b2+b3+b4+b5=16, 故C错误；将(x-1)(2+x)4=bo+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x3两边对x 求导可得(2+x)4+4(x-1)(2+x)3=b1+2b2x+3b3x2+4b4x3+5b5x4,令 x=1可得b1+2b2+3b3+4b4+5b5=(2+1)4+4×(1-1)×(2+1)3=81,故 D错误故选AB. 7.-23解析：第二个括号的通项为T+1=Cgx8(-3)',所以当前面括 号出x2时，后面为Cgx?(-3)=-24x?,当前面括号出x时，后面出 C=,当前面括号出4时，后面没有可出项，所以的系数 为-24+1=-23.故答案为-23. 8.-6解析：由题意得(x2-x+m)6的展开式中的常数项与一次项系数 相等，则m6=C6(-1)m3,解得m=-6或0（舍去）.故答案为-6. 9.解：要得到展开式中的常数项，需要分情况讨论 ①当2的指数为1时宁的带数必为2，此时污更（产+）°的展 1 、3 开式中出现y2项，即C(y4)2 2 =Cy2,故此时常数项为 2 1 C2y2=1680: ②当2的指数为2时，可的指数必为4，此时雷安（宁）广'的展 开式中出现y项，由完全平方公式展开可知不可能出现y项综上 所求常数项为1680. 10.解：(1)当n=3时，(x2+x+1)3=D9x6+D1x3+Dx4+…+D3x+D9, 令x=1,则D9+D+D+D3+Dg+D3+D9=33=27 令x=-1,则D9-D}+D3-D3+Dg-D3+D9=1, 两式相加得2(D9+D3+Dg+D9)=28,所以D9+D3+D+D9=14. (2)因为(x2+x+1)2024=D9024x4048+D24x4047+D号24x406+…+ D48x+D288,(1-x)204=C924-C20m4x+C号4x2-C24x3+… C3脱x2023+C号x224,所以(x2+x+1)2024(1-x)224展开式中，x4048 的系数为D吲m4C924-D224C224+D324C324-…+(-1)· D吃24C吃24++D0C号.因为(1-x3)2024展开式的通项公式为 T+1=C2m4(-x3)'=C224(-1)'x3,令3r=4048,r没有整数解，所 以(1-x2)2024的展开式中没有x4048项，由代数式恒成立得 Dom4C84-D224C224+D3m4C324-…+(-1)·D吃24C吃4+…+ D34C224=0. 专项突破3计数原理与排列组合的综合应用 1.B解析：依题意，这样的三位奇数分为三类： ①元素0被选中，则应放在十位，从1,3,5中选两个数字排在个位与 百位，共有A好=6（种）方法； ②元素2被选中，则可放在百位或十位，再从1,3,5中选两个数字排 在余下的两个数位，有C2A3=12(种)方法； ③元素4被选中，与②情况相同，有C2A3=12(种)方法， 由分类加法计数原理可得，奇数的个数为6+12×2=30（个）.故选B. 2.A解析：当d为偶数，则a×b×c为偶数，有C4(C3C号+C3C+C3)A= 1104(种)；当d为奇数，则a×b×c为奇数，四个数均为奇数，有A5= 120(种)，所以不同排列方法共有1104+120=1224（种）.故选A. 3.A解析：设an+1an=dn,因为1a1-an1=2,所以dn=2或-2可设d1,…, 参考答案 4,中有a个2和6个-2，则=01d+山++=1+2a-2必=9，解得 (a+b=8. a=6,b=2,即d1,…,d3中有6个2和2个-2，因此这样的数列{an}共有 CC3=28(个).故选A. 4.解：(1)先考虑首位，其他任意排：A5·A=5×120=600(个)，故可以 组成的六位数有600个 (2)由0,1,2,3,4,5可组成的三位数：先考虑首位，其他任排：CA?= 100(个)： 其中不含偶数数字的三位数为1,3,5任排，有A=6(个)， 所以至少有一个偶数数字的三位数有100-6=94（个）. (3)能被3整除的三位数，即各位数字之和能被3整除： 包含0的有12,15,24,45，不包含0的有123,135,234,345 所以可以组成能被3整除的三位数有4A2A3+4A号=4×4+4×6= 40(个). 5.解：(1)根据题意，四位“幸福数”中不能有0，故只需在数字1,2,3， ·9中任取4个，将其从小到大排列，即可得到一个四位“幸福数” 每种取法对应1个“幸福数”，则四位“幸福数”共有C=126(个). (2)对于所有的四位“幸福数”，1在最高数位上的有C=56个，2在 最高数位上的有C3=35个，3在最高数位上的有C2=20个，4在最高 数位上的有C=10个，5在最高数位上的有C=4个. 因为56+35+20+10+4=125，所以第125个四位“幸福数”是最高数位 为5的最大的四位“幸福数”，为5789 6.C解析：若丙在第一位或第五位，甲、乙进行捆绑，内部可以全排列， 甲、乙看作一个整体，和剩余的两名学生进行全排列，故不同的浇水 顺序有2A?A=24(种)，若丙在第二位或第四位，甲、乙进行捆绑，内 部可以全排列，且甲、乙只能有两个位置可以选择，再将剩余的两名 同学进行排列，则不同的浇水顺序有2×2AA子=16（种），则不同的浇 水顺序共有24+16=40（种）.故选C. 7.A解析：依题意，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到 AA3=240(种)，当“立春”和“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有2种 排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再用捆绑法， 将三者捆在一起，即2A4=48(种)，所以最终满足题意的排法为240 48=192(种).故选A. 四方法总结 解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素（或位置）的性质进行 分类；二是按事情发生的过程进行分步，具体地说，解排列组合问题常 以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元 素（或位置）， 8.解：(1)从7人中任选5人排列共有A;种不同排法，A,B,C3人全在 内有CA;种不同排法，由间接法可得A,B,C3人不全在内共有A CAξ=1800（种）排法 (2)因为A,B,C都在内，所以只需从余下4人中选2人，有C?种不 同结果，A,B必须相邻，有A?种不同排法，由于C与A,B都不相邻 先将选出的2人进行全排列，共有A?种不同排法，再将A,B这个整 体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中，有A?种不同排法 由乘法原理可得共有C2AA2A?=144(种)不同排法. (3)分四类：第一类：所选的5人无A,B,共有A=120(种)排法； 第二类：所选的5人有A、无B,共有C4CA4=360(种)排法； 第三类：所选的5人无A、有B,共有CC4A4=480(种)排法： 第四类：所选的5人有A,B,若A排中间时，有CA1=240(种)排法， 若A不排中间时，有C3C2CgA号=360（种）排法，共有240+360= 600(种)排法.综上，共有120+360+480+600=1560（种）不同排法. 四方法总结 排列中具有典型意义的两类问題是“排数”问题和“排队”问题，绝大 多数排列问题都可转化为这两种形式： (1)无限制条件的排列应用题，直接利用排列数公式计算. (2)有限制条件的排列应用题，采用直接法或间接法，必要时可画出 树状图帮助分析. ①有限制条件的排列问题，优先安排特殊元素或特殊位置； ②对从正面分类繁杂的排列问题，可考虑使用间接法； ③对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题，可使用“捆绑法”“插 空法” 黑白题43