8.1～8.2 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

8.1~8.2 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：45min 1.设一组成对数据的相关系数为r,经验回归方5.（多选)(2024·广东东莞高二期末)变量x与 程为y=bx+a,则下列说法正确的为 ( y的成对数据的散点图如下图所示，由最小二 A.6越大，则r越大 乘法计算得到经验回归直线L,的方程为y= B.越大，则r越小 bx+a1,相关系数为T1,决定系数为R;经过残 C.若r大于零，则？一定大于零 差分析确定第二个点B为离群点（对应残差 D.若r大于零，则一定小于零 过大)，把点B对应的数据去掉后，用剩下的 2.(多选)(2024·河南焦作高二期末)下列有关 7组数据计算得到经验回归直线L,的方程为 回归分析的结论中，正确的有 ( y=i2x+a2,相关系数为r2,决定系数为R,则 A.对于经验回归方程y=-2x+2,变量x每增 以下结论正确的是 加1个单位，则y平均减少2个单位 B.两个变量x,y的相关系数r越小，x,y之间 80 70 的线性相关程度越弱 60 C.在残差图中，残差点分布的水平带状区域 40 越窄，说明模型的拟合效果越好 10 D.用最小二乘法求得一组成对数据的经验回 19 3 35455565元 归方程，若增加一个新的样本点，则新得到 A.I1<r2 B.R'>R2 的经验回归方程可能不变 C.B<B, D.aj<az 3.(2024·山东聊城高二月考)已知某种商品的 6.（2024·河南商丘高二期末)某科技公司随着 广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位： 技术的进步和管理的逐渐规范，生产成本逐年 万元)之间有如下对应数据： 降低.该公司对2011年至2023年的生产成本 y(万元)进行统计，根据统计数据作出如下散 4 5 6 8 点图： y 3040 50 60 70 ↑生产成本y/万元 3600 根据上表可得经验回归方程y=x+a,计算得 3500 3400 ?=7,则当投人10万元广告费时，销售额的预 3300 3200 测值为 ( 3100 3000 A.75万元 B.85万元 C.99万元 D.105万元 由此散点图，判断下列四个经验回归方程类型 4.(2024·江西鹰潭高二期末)关于(x,y)的 中最适合作为2011年至2023年该公司的生 组样本数据(1，-1)，(2，-3)，(3.5，-6)，(5， 产成本y与时间变量x(x的值依次为1,2，…， -9),…,(30.5,-60)的散点图中，所有样本点 13)的经验回归方程类型的是 ( 均在直线y=-2x+1上，则这组样本数据的样 A.y=ax2+b(a>0) B.y=ax+b(a>O) 本相关系数r为 C.y=aln x+b(a<0) D.y=4+b(a<0) A.-2 B.-1 C.1 D.2 第八章黑白题57 7.(2023·江苏南通高二期中)某工厂为研究某 y 种产品的产量x(单位：吨)与所需某种原材料 的质量y(单位：吨)的相关性，在生产过程中 10.15109.94 3.04 0.16 13.94 13 收集了4组对应数据(x,y),如下表所示.（残 -13·7 -1 差=观测值-预测值) -2.1 11.67 3 4 5 6 -13P 盏-137 2.5 3 4 m 0.21 21.22 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程 且(sy:)与(，y:)(i=1,2,3,…,13)的相关 为y=0.7x+a.据此计算出在样本(4,3)处的残 系数分别为71,12，且2=-0.9953. 差为-0.15，则表中m的值为 (1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的经 8.(2024·安微合肥高二月考)以模型y=es-2去 验回归方程更合适； (2)根据(1)的结果及表中数据，建立y关于x 拟合一组数据时，已知如下数据：三x=18, 的经验回归方程； y12yyy6=e24,则实数k的值为 (3)已知企业的利润z与x,y的关系为z= 104,求当x为何值时，：的响应值 91 9.(2024·山东枣庄高二月考)为了促进锂电产 业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费 最大 的投入和企业当年的销售收入的关系进行了 参考数据和公式：0.21×21.22=4.4562， 研究，他们收集了上一年不同企业销售收入 11.67×21.22=247.6374,√247.6374= y(单位：10万元)与一定范围内的研发经费 15.7365,对于一组数据(4，：)(i=1,2, 3,…,n),其经验回归方程ù=Bu+a的斜 x(单位：10万元)的数据，根据收集的13组观 率和截距的最小二乘估计分别为B= 测数据，得到如下的散点图： ↑销售收入10万元 含uni而 a=D-Bu,相关系数 112 111 含- 110 109 uw,-nu元 i=1 108 107 -n·-n 1 106 02 468101214161820 研发经费10万元 根据散点图，分别利用y=a+bx或y=c+4建 立y关于x的经验回归方程，令5=，=1得 2 到如下数据： 进阶突破拔高练P15 选择性必修第三册·RJ黑白题58四方法总结 相关系数和相关程度： ①当>0时，表明两个变量正相关：当r<0时，表明两个变量负相关； ②1rl≤1，且Ir越接近1，两个变量的线性相关程度越强：lr|越接近 0,两个变量的线性相关程度越弱，几乎不存在线性相关关系； ③如果Irl>0.75,那么两个变量有很强的线性相关关系，这时求线性 回归方程有必要也有意义，否则，在11≤0.75时，求到的回归直线就 没有多大意义. 4.C解析：由散点图可知第1幅题图表示的是正相关，故r1>0;第2,3 幅题图表示的是负相关，且第2幅题图中的点比第3幅题图中的点 分布更为集中，故r2,r3<0,且1r21>|r3I,故2<r3<0,综合可得T2< r3<1,即r1>3>r2故选C. 5.0.99解析：由题意，知云=1+2+3+45+6+7：40，万 7 290+3:.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90=4.30,2(x-)2=(1-4)2+ (2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28. 14.00 所以r= 28x7.08198.24i4100.9,所以y与x的相关系数 14.0014.00 近似为0.99.故答案为0.99 8.2一元线性回归模型及其应用 8.2.1一元线性回归模型+ 8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计 白题基础过关 1,B解析：由题图易知，①③两个散点图中的样本点都在一条直线附 近，因此适合用线性回归模型拟合故选B. 2.D解析：由题意得22=9×10+a,得a=-68.故选D. 3.B解析：题图中，变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集 故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直 线斜率小于1.故选B. 4.AD解析：少=-24x+27,6=-24<0,放A正确元=m+19, 15,经验回归方程经过样本中心点（玉，），.27-2.4×m+19 5 =15,m= 6,故B错误；把x=2代人经验回归方程得y=27-2.4×2=22.2<25 点(2,25)落在经验回归直线上方，故C错误；当x=15时，y=27 2.4×15=-9,故D正确.故选AD. 5.y=0.7x-2.39解析：设y关于x的经验回归方程为y=x+a,且经 验回归直线过样本中心点（玉，），由题表数据得玉=6+8+10+1-=9， 4 万-2+3+5+6-4，交x=6x2+8x3+10x5+12x6=158,号=62+82+ 4 4 A 102+122=344,故根据最小二乘原理知)= 含-4 158-4×9x4=0.7,所以a=-6x=4-07×9=-2.3,即经验回归方程为 344-4×92 y=0.7x-2.3.将y=4代入方程，得x=9,即可预测判断力为4的同学 的记忆力为9.故答案为y=0.7x-2.3:9. 6.ABD解析：经验回归直线一定过样本中心(x,),A正确；两个模型 中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，B正确：甲、乙两个模型 的R2分别约为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好，C错误；残差 图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比 较合适，D正确.故选ABD. 7.B解析：=1+2+3+4+5+6+7 4,万=2+3+2+5+7+7+9=5，所以à 7 7 y-bx=5-1.214×4=0.144,y=1.214x+0.144.当x=7时，y=1.214×7+ 0.144=8.642,因此残差为9-8.642=0.358.故选B. 8.A解析：根据残差图，模型(2)残差点比较均匀地落在水平的带状 区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以R<贬，故选A. 参考答案 )2 是()2 9.0.96 解析：因为2=1- =1- =1- 含8-9明 265-9x3=0.96.散答案为0.96. 1.60 10.3解析：由残差的定义可得1-(3+a)=4-(2b+a),化简得3=3.故 答案为3 重难聚焦 1熊，0令k因为品2总=5,2=18 10台 所以名= 2-102 60-10x5.5×1.28=-0.13,a=z-6i=1.28+ 385-10×5.52 1 0.13×5.5≈2.00 因此=2-0.13i,即y=e2-013,所以所求经验回归方程为y=e2-0.135 (2)由(1)知，产=e20<008,即2-Q13ha08≈-253，解得>2*253 0.13 因为i取整数，所以i=35,即在新房装修完第35天开始达到此标准 四方法总结 解决非线性回归分析问题的一般方法和步骤： (1)确定变量：确定解释变量为x,响应变量为y; (2)画散点图：通过观察散点图并与已学过的函数（幂函数、指数函 数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型； (3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题； (4)分析拟合效果：通过计算决定系数或相关系数等来判断拟合效果； (5)写出非线性回归方程， 8.1~8.2阶段综合 黑题阶段强化 1.C解析：影响的是经验回归直线的斜率，r影响的是两个变量之间 的相关性，所以？与之间数值大小没有关系，但符号有影响，故 选项AB错误；若r大于零，则说明两个变量之间呈现正相关，故？一 定大于零，故选项C正确，D错误故选C 2.ACD解析：对于A:对于经验回归方程y=-2x+2,变量x每增加1个 单位，则y平均减少2个单位，故A正确； 对于B:Ir越接近于1，则x,y之间的线性相关程度越强，Ir越接近 于0，则x,y之间的线性相关程度越弱，故B错误； 对于C:在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越 小，即模型的拟合精度越高，拟合效果越好，故C正确； 对于D:若增加的样本点恰好为原经验回归直线的样本中心点时，则 增加该样本点后，经验回归方程不会发生改变，故D正确.故选ACD. 1 3.B解析：由题意得元=5×(2+4+5+6+8)=5，了=5×(30+40+50+ 60+70)=50,∴.样本中心为(5,50).：经验回归直线y=7x+ā过样本 中心(5,50)，.50=7×5+a,解得a=15,.经验回归方程为y=7x+ 15.当x=10时，y=7×10+15=85,故当投入10万元广告费时，销售额 的预测值为85万元.故选B. 4.B解析：因为所有样本点都在直线y=-2x+1上，所以经验回归方程是 y=-2x+1,可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为 负值，且所有样本点都在直线上，则有1rl=1,∴.相关系数r=-1故选B. 5.AC解析：因为共8个点且离群点B的横坐标较小而纵坐标相对过 大，去掉离群点后经验回归方程的斜率更大，而截距变小，所以C正 确，D错误；去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且是正相 关，所以T1<T2,R<R3,故B错误，A正确.故选AC. 6.C解析：根据题图可知，散点大致分布在一条“对数型”函数曲线的 周围，而A选项是“抛物线型”的拟合函数，且是增加的：B选项是 “直线型”的拟合函数，且是增加的；D选项是“幂函数型”的拟合函 数，且是增加的，只有C选项的拟合函数符合题意故选C. 7.4.5解析：因为在样本(4,3)处的残差为-0.15，即y-y=3-(0.7×4+ a)=-0.15,所以a=0.35,所以经验回归方程为y=0.7x+0.35. 黑白题27 因为-3+4+56=45,7-25+34+m_95+m,样本中心点（玉，)在 4 4 4 经验回归直线上，所以2.5+m=0,7x4.5+0.35,解得m=45.放答案为 4 4.5. 8.2解析：由y=e-2两边取自然对数，可得lny=hes-2=kx-2.令t= hy=k-2,因为：关于：的经验回白直线经过（医，），面=行名 3,所以=3k-2.又i= 6(a方+n方+ln为+ln4+ln⅓+ln%)= 6(123a%)=名ne24=4=3k-2,解得k=2故答案为2 6 13.94 13.94 9.解：(1)由题意知r2=-0.9953,71= √11.67×w√21.22√247.6374 0.858.因为，1<121<1，所以用y=c+模型建立y与x的经验回 归方程更合适 (2)令1=经验回归方程为=a+6,因为2-13·方 -13r 0.21-10,c=-a1=109.94+10x0.16=11.54,所以y关于2的经验 -2.1」 回归方程为y=+c=111.54-10,即y关于x的经验回归方程y= 11.54、10 ()由题意知：品品(L40） -4x=100.386- 91 七4，即 x=6时取等号， 所以z=100.386- （9+ （￥+4*)≤10,386-3=97.386，所以：≤ 97.386,当且仅当x=6时等号成立，所以当研发经费投入为60万元 时企业生产的利润最大 8.3列联表与独立性检验 8.3.1分类变量与列联表+ 8.3.2独立性检验 白题基础过关 1.B解析：“吸烟”不是分类变量，“是否吸烟”才是分类变量.故选B. 2.B解析：由题表中的数据可得c=33-25=8,d=21+25=46,∴.a= 106-46=60,b=60-8=52.故选B. 3.D解析：由题图可知“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发 心脏病”的频率不同，所以“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对 “诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把 握，所以选项D正确.故选D. 4.是解析：因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻 节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即 a+29'c中14两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目 b9d9 的观众与年龄是有关的， 5.A解析：对于①，独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证 法，命题正确：对于②，独立性检验就是选取一个假设H。条件下的 小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触 的“不合理”现象，则作出拒绝H,的推断，正确：对于③，独立性检验 与样本的选取有关，不一定正确，故命题错误综上，正确的命题是① ②.故选A. 6.A解析：X2≈5.389>3.841，X2≈5.389<6.635，故“两种药物的疗效 存在差异”犯错误的概率不超过5%.故选A. 7.BC解析：由列联表中数据可求得x2.92x(700x32-60x200)2 760×232×900×92 7.349>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝 病与嗜酒有关”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”，因 选择性必修第三册·RJ 此BC正确.故选BC. 8.6解析：由题意知x2≥6.635，则40x[a(20+a)-(10-a)(10-a)]2 10×30×10×30 2(4a-10)2 ≥6.635，解得a≥5.55或a≤-0.55（舍去）.又因为a>3 45 且10-a>3,所以a<7,a∈Z.综上得5.55≤a<7.因为a∈Z,所以a=6. 故答案为6. 9.解：(1)先把数据从小到大排序：7,8,8,9,9,9,9,10,10,10,11,11， 12,12,12,13,13,14,14,14,14,16,16,16,16,17,17,18,18,18,18 19,19,19,20,21,21,21,22,22,中位数m 14+14=14,然后把表格填 2 写完毕 实验时间 实验方法 合计 大于m不大于m 原方法 14 6 20 新方法 5 15 20 合计 9 1 40 (2)零假设H。:新方法的实验效率不比原方法高，即新方法跟实验效 率无关根据列联表得x2= 40×(14×15-6×5)2 20×20x19×21 =8.120>6.635=x0.01, 根据小概率值a=0.01的X2独立性检验，可推断H。不成立，即认为 新方法的实验效率比原方法高，即新方法跟实验效率有关 8.3 阶段综合 黑题阶段强化 1.D解析：依已知数据X2=56.632>6.635,得有1-0.01=99%的把握 认为“患肺癌与吸烟有关”，则选项D正确，其余都是错误的故选D. n(ad-bc)2 2B解折：因为x行=a+bc+a*e(6+d所以发= 2n(2a×2d-2bx2c)2 2n(ad-be)2 (2a+2b)(2c+2d)(2a+2c)(2b+2d)=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 2X2.故选B. 3.C解析：由题意可知，同一个样本中，1100b-200a|越小，说明两个 变量的关系越弱，1100b-200al越大，说明两个变量的关系越强.对 于A,当b=2a时，I100b-200al=0:对于B,当2c=3b时，可得b=2a, 则1100b-200al=0:对于C,当a=2b时，1100b-200a|=|150a1:对于 D,当e=2d时，200+b=200+2a,即b=2a,此时1100b-200al=0.由以 上分析可知，选项C能说明X与Y有关联故选C. 4.ABC解析：用频率估计概率可得，夜晚下雨的概率约为25+25 100 ?,所以A正确；未出现“日落云里走”时夜晚下雨的概率约为 25+454所以B正确：由X2≈19.05>10.828，可得据小概率值a= 25 5 0.001的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关， 所以C正确，D错误故选ABC, 5.170解析：由题意可得用户类型与购买的套餐类型2×2列联表 如下： A套餐 B套餐 总计 个人用户 2 3 10m 2 m 公司用户 10m 10m 2m 总计 10m 10m 2.4 m b品 X2= 1 1 3 7 >7.879,解得m>165.459. 2 2 mx 2 mx10mx10m 又因为m必须是10的倍数，所以m的最小值为170.故答案为170. 6.解：(1)由等高堆积条形图得2×2列联表： 黑白题28