8.1 成对数据的统计相关性-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第七章 真题演练 黑题真题体验 1.BC解析：因为X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1) 因为P(X<1.8+0.1)≈0.8413，所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.8413= 0.1587<0.2.而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)<0.2 B正确，A错误：依题可知，x=2.1,s2=0.01,所以Y~N(2.1,0.12),故 P(>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.8413>0.5，C正确， D错误故选BC. 2.A解析：同时爱好两项的概率为0.5+0.6-0.7=0.4，记“该同学爱好 滑雪”为事件A,记“该同学爱好滑冰”为事件B,则P(A)=0.5, P(AB)=Q4,所以P(B1A)=PCAB）04 0.8.故选A. P(A)0.5 3.B解析：由题意知，X服从二项分布，即X~B(10,p),D(X)=10p· (1-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6.又因为P(X=4)=C4p4(1-p)6< P(X=6)=Cop（1-p)4,整理得(1-p)2<p2,解得p>0.5,即p=0.6. 故选B. 4.ABD解析：对于A,依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的事件是发 送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为(1-B)(1-a)(1-B)=（1-a)· (1-B)2,A正确； 对于B,三次传输，发送1，相当于依次发送1,1,1，则依次收到1,0,1 的事件是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的 积，它们相互独立，所以所求概率为(1-B)·B·(1-β)=B(1-)2, B正确； 对于C,三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1， 0,1、0,1,1和1,1,1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所求的概率为CB(1-B)2+(1-B)3= (1-B)2(1+2B),C错误； 对于D,由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P= (1-a)2(1+2a),单次传输发送0，则译码为0的概率P'=1-,而0< a<0.5,因此P-P'=(1-a)2(1+2a)-(1-)=a(1-)(1-2a)>0,即 P>P',D正确.故选ABD. 5.0.14解析：因为X~N(2,σ2)，所以P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)= P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.故答案为0.14. 31 6. 解析：设选到A为事件M,乙选到B为事件N,则甲选到A 52 的概率为P(M)= C了：乙选了A活动，他再选择B活动的概率 C43 Ca 为P(NIM)=P(MCE1 31 FPWC2故答案为了2 C3 7.号解析：设甲在四轮游戏中的得分分别为X,名，名，X,四轮的 总得分为X. 对于任意一轮，甲、乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使 得甲得1分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得1分的概率P(X,= 1)=63 4×4 所以(X)=(k=1,23,4 第八章 成对 8.1成对数据的统计相关性 8.1.1变量的相关关系+ 8.1.2样本相关系数 白题 基础过关 1.C解析：对于A选项，因为S=5。 a2,边长a与面积S是确定的函数 关系，故A错误：对于B选项，设匀速直线行驶的汽车的速度为，s= t,所以位移s与行驶时间t是确定的函数关系，故B错误：对于C 选项，杂交水稻植株的高度与土壤湿润度r具有相关关系，通常情 况下，土壤湿润度，会一定程度上影响杂交水稻植株的高度h的值， 选择性必修第三册·RJ 从面A0=(+瑞)宫()-客名号 记p=P(X=k)(k=0,1,2,3). 如果甲得0分，那么组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对 11 应乙出2,4,6,8，所以P0=A424 如果甲得3分，那么组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别 对应乙出8,2,4,6，所以P3 11 A424 而X的所有可能取值是0,1,2,3，故P0+p1+p2+p3=1,P1+2印2+3p3= B(0=子，所以：+日1，n+2日号，两式相孩即得+ 11 242故P2+P=),所以甲的总得分不小于2的概率为P2+P3 故答案为2 2 8.解：(1)设事件A为“随机抽取一单，索赔不少于2次”，由题设中的 统计数据可得P(A)=60+30+10-1 100010 (2)(i)设专为赔付金额，则可取0,0.8,1.6,2.4,3，由题设中的统 100o5,P(5=0.8)=100=1 计数据可得P(专=0)=800=4 100010,P(5= 603 303 101 1.6)=100050P(5=2.4)=1000100P(5=3)=10100故 EE=0x等08xL6 0+2.4x 3 700+3×100=0.278,故E(X)日 0.4-0.278=0.122(万元). (i)由题设，保费的变化为04x号×96%+04x×12=04032, 故E(Y)=0.122+0.4032-0.4=0.1252(万元)， 从而E(X)<E(Y). 9.解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投 中1次，乙第二阶段也至少投中1次，.比赛成绩不少于5分的概率 P=(1-0.63)×(1-0.53)=0.686. (2)(1)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为 15分的概率为P甲=[1-(1-p)3]g3,若乙先参加第一阶段比赛，则 甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙=[1-(1-g)3]·p3. 0<p<q,∴.P甲-Pz=q3-(q-p9)3-p3+(p-pq)3=(q-p)(g2+p9+ p2)+(p-9）·[(p-p9)2+(9p9)2+(p-p9)(q-p9)]=(p-q)(3p2g2- 3p2q-3pq)=3pq(p-q)(p9-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]> 0,.P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛 (ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5， 10,15,P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-9)3,P(X=5)=[1- (1-p)3]·C3q(1-q)2,P(X=10)=[1-（1-p)3]C3q2(1-q),P(X= 15)=[1-(1-p)3]g,.E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p-3p+3p)g. 若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10， 15,同理E(Y)=15(g3-3g2+3q)P,.E(X)-E(Y)=15[p9(p+q)(p q)-3pg(p-g)]=15(p-q)p9(p+q-3).:0<p<g,p-q<0,p+q-3<1+ 1-3<0,(p-q)pg(p+q-3)>0,应该由甲参加第一阶段比赛 数据的统计分析 故C正确；对于D选项，因为班级某次数学考试的平均分x等于班级 总分除以学生人数，所以当班级总分确定的情况下，某班的学生人 数n与该班某次数学考试的平均分x是一种确定关系，故D错误.故 选C. 2.BCD解析：对于题图①中的散点杂乱，无规律，所以y和x相关程 度极弱，所以A错误；对于题图②中，散点分布在某条直线的附近， 且呈上升趋势，所以y和x成正相关关系，所以B正确；对于题图③ 中，散点分布在某条直线的附近，且呈下降趋势，所以y和x成负相 关关系，所以C正确；对于题图④中，散点分布在某条曲线附近，所 以y和x成非线性相关关系，所以D正确.故选BCD. 3.A解析：线性相关系数的绝对值越接近1，线性相关性越强，则线性 相关性最强的是-0.87.故选A. 黑白题26 四方法总结 相关系数和相关程度： ①当>0时，表明两个变量正相关：当r<0时，表明两个变量负相关； ②1rl≤1，且Ir越接近1，两个变量的线性相关程度越强：lr|越接近 0,两个变量的线性相关程度越弱，几乎不存在线性相关关系； ③如果Irl>0.75,那么两个变量有很强的线性相关关系，这时求线性 回归方程有必要也有意义，否则，在11≤0.75时，求到的回归直线就 没有多大意义. 4.C解析：由散点图可知第1幅题图表示的是正相关，故r1>0;第2,3 幅题图表示的是负相关，且第2幅题图中的点比第3幅题图中的点 分布更为集中，故r2,r3<0,且1r21>|r3I,故2<r3<0,综合可得T2< r3<1,即r1>3>r2故选C. 5.0.99解析：由题意，知云=1+2+3+45+6+7：40，万 7 290+3:.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90=4.30,2(x-)2=(1-4)2+ (2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28. 14.00 所以r= 28x7.08198.24i4100.9,所以y与x的相关系数 14.0014.00 近似为0.99.故答案为0.99 8.2一元线性回归模型及其应用 8.2.1一元线性回归模型+ 8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计 白题基础过关 1,B解析：由题图易知，①③两个散点图中的样本点都在一条直线附 近，因此适合用线性回归模型拟合故选B. 2.D解析：由题意得22=9×10+a,得a=-68.故选D. 3.B解析：题图中，变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集 故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直 线斜率小于1.故选B. 4.AD解析：少=-24x+27,6=-24<0,放A正确元=m+19, 15,经验回归方程经过样本中心点（玉，），.27-2.4×m+19 5 =15,m= 6,故B错误；把x=2代人经验回归方程得y=27-2.4×2=22.2<25 点(2,25)落在经验回归直线上方，故C错误；当x=15时，y=27 2.4×15=-9,故D正确.故选AD. 5.y=0.7x-2.39解析：设y关于x的经验回归方程为y=x+a,且经 验回归直线过样本中心点（玉，），由题表数据得玉=6+8+10+1-=9， 4 万-2+3+5+6-4，交x=6x2+8x3+10x5+12x6=158,号=62+82+ 4 4 A 102+122=344,故根据最小二乘原理知)= 含-4 158-4×9x4=0.7,所以a=-6x=4-07×9=-2.3,即经验回归方程为 344-4×92 y=0.7x-2.3.将y=4代入方程，得x=9,即可预测判断力为4的同学 的记忆力为9.故答案为y=0.7x-2.3:9. 6.ABD解析：经验回归直线一定过样本中心(x,),A正确；两个模型 中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，B正确：甲、乙两个模型 的R2分别约为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好，C错误；残差 图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比 较合适，D正确.故选ABD. 7.B解析：=1+2+3+4+5+6+7 4,万=2+3+2+5+7+7+9=5，所以à 7 7 y-bx=5-1.214×4=0.144,y=1.214x+0.144.当x=7时，y=1.214×7+ 0.144=8.642,因此残差为9-8.642=0.358.故选B. 8.A解析：根据残差图，模型(2)残差点比较均匀地落在水平的带状 区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以R<贬，故选A. 参考答案 )2 是()2 9.0.96 解析：因为2=1- =1- =1- 含8-9明 265-9x3=0.96.散答案为0.96. 1.60 10.3解析：由残差的定义可得1-(3+a)=4-(2b+a),化简得3=3.故 答案为3 重难聚焦 1熊，0令k因为品2总=5,2=18 10台 所以名= 2-102 60-10x5.5×1.28=-0.13,a=z-6i=1.28+ 385-10×5.52 1 0.13×5.5≈2.00 因此=2-0.13i,即y=e2-013,所以所求经验回归方程为y=e2-0.135 (2)由(1)知，产=e20<008,即2-Q13ha08≈-253，解得>2*253 0.13 因为i取整数，所以i=35,即在新房装修完第35天开始达到此标准 四方法总结 解决非线性回归分析问题的一般方法和步骤： (1)确定变量：确定解释变量为x,响应变量为y; (2)画散点图：通过观察散点图并与已学过的函数（幂函数、指数函 数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型； (3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题； (4)分析拟合效果：通过计算决定系数或相关系数等来判断拟合效果； (5)写出非线性回归方程， 8.1~8.2阶段综合 黑题阶段强化 1.C解析：影响的是经验回归直线的斜率，r影响的是两个变量之间 的相关性，所以？与之间数值大小没有关系，但符号有影响，故 选项AB错误；若r大于零，则说明两个变量之间呈现正相关，故？一 定大于零，故选项C正确，D错误故选C 2.ACD解析：对于A:对于经验回归方程y=-2x+2,变量x每增加1个 单位，则y平均减少2个单位，故A正确； 对于B:Ir越接近于1，则x,y之间的线性相关程度越强，Ir越接近 于0，则x,y之间的线性相关程度越弱，故B错误； 对于C:在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越 小，即模型的拟合精度越高，拟合效果越好，故C正确； 对于D:若增加的样本点恰好为原经验回归直线的样本中心点时，则 增加该样本点后，经验回归方程不会发生改变，故D正确.故选ACD. 1 3.B解析：由题意得元=5×(2+4+5+6+8)=5，了=5×(30+40+50+ 60+70)=50,∴.样本中心为(5,50).：经验回归直线y=7x+ā过样本 中心(5,50)，.50=7×5+a,解得a=15,.经验回归方程为y=7x+ 15.当x=10时，y=7×10+15=85,故当投入10万元广告费时，销售额 的预测值为85万元.故选B. 4.B解析：因为所有样本点都在直线y=-2x+1上，所以经验回归方程是 y=-2x+1,可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为 负值，且所有样本点都在直线上，则有1rl=1,∴.相关系数r=-1故选B. 5.AC解析：因为共8个点且离群点B的横坐标较小而纵坐标相对过 大，去掉离群点后经验回归方程的斜率更大，而截距变小，所以C正 确，D错误；去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且是正相 关，所以T1<T2,R<R3,故B错误，A正确.故选AC. 6.C解析：根据题图可知，散点大致分布在一条“对数型”函数曲线的 周围，而A选项是“抛物线型”的拟合函数，且是增加的：B选项是 “直线型”的拟合函数，且是增加的；D选项是“幂函数型”的拟合函 数，且是增加的，只有C选项的拟合函数符合题意故选C. 7.4.5解析：因为在样本(4,3)处的残差为-0.15，即y-y=3-(0.7×4+ a)=-0.15,所以a=0.35,所以经验回归方程为y=0.7x+0.35. 黑白题27第八章 成对数据的统计分析 8.1 成对数据的统计相关性 8.1.1 变量的相关关系④8.1.2 样本相关系数 白题 基础过关 限时：25min 题组1变量间相关关系的判断 线性相关性最强的是 ) 1.（2024·安徽淮南高二期末)下列两个变量之 A.-0.87B.0.72 C.-0.78 D.0.85 间的关系是相关关系的是 ( 4.(2024·河南三门峡高二期末)对两个变量的 A.等边三角形的边长a与其面积S 三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两 B.匀速直线行驶的汽车的位移s与行驶时间t 个变量相关系数的比较，正确的是 C.杂交水稻植株的高度h与土壤湿润度r D.某班的学生人数n与该班某次数学考试的 平均分x 可相关系数，无 可相关系数，元 可相关系数 2.（多选)(2024·福建南平高二期中)下列选项 A.T1>r2>r3 B.T2>T3>r1 中关于以下4幅散点图的说法正确的有 C.T1>r3>r2 D.T3>r2>r1 ( 5.某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用 功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把使 6 4 用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为 8。。。 “失效费”某种机械设备的使用年限x与失效 01234567 01234567元 费y的统计数据如下表所示： ① ②@ 使用年限x/年 失效费y/万元 1 2.90 6 4 2 3.30 3 3 3.60 01234567元 01234567 4 4.40 ③ ④ J 4.80 A.图①中的y和x相关程度很强 6 5.20 B.图②中的y和x成正相关关系 个 5.90 C.图③中的y和x成负相关关系 由上表数据可知，y与x的相关系数为 D.图④中的y和x成非线性相关关系 (精确到0.01，参考公式和数据：r 题组2样本相关系数 3.(2024·江苏南京高二期末)对于x,y两个变 含(-0( 各(x-)(y:-y)= 量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相 含(-)2含()2 关系数r(如下)：-0.87,0.72，-0.78,0.85，则 14.00,(y:-y)2=7.08,√198.24≈14.10) 选择性必修第三册·RJ黑白题54 8.2一元线性回归模型及其应用 8.2.1一元线性回归模型+8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 白题 基础过关 限时：40min 题组1线性回归分析 A.y与x具有负的线性相关关系 1.如图所示的四个散点图中，适合用线性回归模 B.m=6.25 型拟合其中两个变量的是 C.点(2,25)落在经验回归直线下方 D.x=15时，y的值为-9 5.（2024·黑龙江绥化高二期中)某研究机构对 高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分 析，获得的数据如下表， A.①②B.①③ C.②③ D.③④ 2.(2024·湖北十堰高二期末)已知一系列样本 5 8 10 12 点(x,y:)(i=1,2,3…)的一个经验回归方 2 3 6 程为y=9x+a.若x=10,y=22,则a=( 请根据上表提供的数据，求出y关于x的经验 A.67 B.68 C.-67D.-68 回归方程为 据此可预测判断 3.为研究学生的语文成绩和英语成绩之间是否 力为4的同学的记忆力为 具有线性相关关系，统计某班两科成绩得到 (经验回归方程是y=x+a,其中b= 如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相 含n 同)，用经验回归直线y=x+a近似地刻画其 ,a=y-Bx) Exi-nx 相关关系，根据散点图，下列结论最有可能成 i= 题组2 回归效果的刻画方式 立的是 ( 6.（多选)(2024·浙江绍兴高二期中)下列关于 A.线性相关关系较强，b的 y(英语成绩) 回归分析的说法中正确的是 ( ) 值为1.25 A.经验回归直线一定过样本中心(x,y) B.线性相关关系较强，b的 2 B.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的 值为0.83 0 x(语文成绩) 效果越好 C.线性相关关系较强，b的值为-0.87 C.若甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和 D.线性相关关系太弱，无研究价值 0.80,则模型乙的拟合效果更好 4.(多选)(2024·福建漳州高二期末)已知在某 D.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带 次试验中获得数据如下， 状区域中，说明选用的模型比较合适 2 10 7.（2024·安徽毫州高二期末)某市旅游局对全 2 3 4 市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同 25 19 1512 4 数额的经费x(单位：千万元)，得到各旅游景 y与x线性相关，且经验回归方程为y= 区收益的增加值y(单位：万元)，对应数据如 -2.4x+27,则下列正确的是 下表所示 第八章黑白题55