7.4.2 超几何分布-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

所以随机变量X的分布列为 4 567 1 428 32 P 9278181 4 所以E(X)=4 g+5x号+6x +7x3298 28 8181 压轴挑战 ABD解析：对于A,()=2P(传=)=1，所以A正确；对于B,因为 =0 三)=B()=2p,所以B正确；对于C,当=1-p=号时，三2)= 三2-1)=2，所以C错误；对于D,因为(2+1)p=12p,所以当1= 12时)最大，所以D正确证明如下：若专-B(,p),则PC=) "P(=k-1) Ckp*(1-p)-k C哈p-1(1-p)+ =n-+1)卫，若P(专=k)>P(传=k-1),则 k(1-p) -+1)卫L,解得k<(n+1)p,故当k<(n+1)p时，P(5=k)单调递增， k(1-p) 当k>(n+1)p时，P(5=k)单调递减，即当(n+1)p为整数时，k=(n+1)p 或k=(n+1)p-1时，P(5=k)取得最大值，当(n+1)p不为整数，k为(n+ 1)p的整数部分时，P(=k)取得最大值.故选ABD. 7.4.2超几何分布 白题基础过关 1.ACD解析：对于A中，将一枚硬币连抛3次，每次正面向上的概率 均为？，记正面向上的次数为X,服从二项分布；对于B中，从7名 男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，记选出 女生的人数为X,服从超几何分布；对于C中，某射手的命中率为 08,现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,服从二项分布：对于 D中，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回， 首次摸出黑球时的总次数X的取值为1,2,3,4,5，而超几何分布定 义为从N个物件中抽出个物件（不放回），成功抽出指定种类的物 件的次数，故不服从超几何分布故选ACD 2.C解析：X服从超几何分布，P(X=k)= C- C9,故k=4,故选C 3.4 5 解析：由题意可知X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2， C 所以P(X<2)=1-P(X=2)=1 .14 1 Cio 32 4.A解析：依题意，X服从超几何分布，则E(X)=2×5了故选A 5.BD解析：依题意，等差数列{an}的公差d=a3-a2=-4-(-8)=4, 则通项为an=a2+(n-2)·d=-8+(n-2)×4=4n-16,由an>0得n> 4,即等差数列{an}前10项中有6个正数，X的可能取值为0,1,2， 3,X=k(keN,k≤3)的事件表示取出的3个数中有k个正数，(3-k) 个非正数，因此，P(X=-CC -(k∈N,k≤3)，X不服从二项分布， 3 X服从超几句分布，A不正确，B正确，P(X=2)=C。=c错误；」 由照可知8()=3x品}，D正晚故法BD。 6.3.36解析：由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12. P(X=6)= 石 CC2 7 C%15P(X=12)= 石川 E(X)=6×15+9x+72x1 15 x578.00-5×(6-78)2+名×(9 78)2+(12-78)2=36放答案为336 重难聚焦 7.解：(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为专，则专的可能取值为 12.3.P(6-1)2)P(63) C 选择性必修第三册·RJ 子，所以的分布列为 5123 555 N9xE+之×z+÷×I=(3)aM (2)设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知-83，子）， (层）广 所以刀的分布列为 0 1 2 3 124 8 P 279927 2 所以E(m)=3×子=2则E()=E(n)=2,D()=(1-2)2×5+ 2-2)2x号+(3-2)2×132 r2号g-行n=2y9 4,820 所以E()=E(),D()<D(n),P(≥2)>P(n≥2)， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正 确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正 确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大因此甲的实验操 作能力较强， 黑题应用提优 1.C解析：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个的总数为 C。=210.A:盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个，恰有1个是 坏的，概率为 为放A错误B:盒子中有10个灯泡，现从盒子中随】 机吸4个4个金是好尚版率为弩行政B造误C,查于中有 10个内泡，现以盒子中随机拍取4个，恰有2个是坏的，概率为CC 正确，D:盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取 有2个是坏的概率为 gC9+CC吗+CC号_9故D错误故选C C10 n(n-1)(12-n) 2.B解析：依题意可得 2C-30,即 2 C3255 12×11x10= 程阳 6 n2-13n+36=0,解得n=4或9，因为2<n<7,所以n=4.故选B. 3.ACD解析：由题意知X,Y均服从于超几何分布，且X+Y=4,Z=2X+ Y,故P(X=k)= CC -(k=0,1,2,3,4),从而P(1Z-61≤1)=1- 24)-P(Z=8)=1-P(X=4)-P(X=0)=,故选项A正确 0号，B(n=4-B(x)=2,D(x)=D4-n=Dn. E(X)=4x4=8 故选项B错误，C正确； (2)=2xE(X)+B(门-9故选项D正确故法ACD 4.B解析：设中奖的概率为p,30天中奖的天数为X,则X~B(30,P), 若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率为p= 5a0 黑白题20 了=6，若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率为p 1 Cg·C+C经 Cio 17 45,(x)=30×17-34,若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率 C吲·Cg+C号8 8 为p= C。 ,E(X)=30×6=16,若盒子中的有奖券有 C6·C4+C2 4张，则中奖的概率为p= 0=30x号-20，根据 题意，盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，故选B. 5.3解析：由题意，有30件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽 取10件产品，则抽出的次品数X服从超几何分布，设最可能抽到的 (CoC C30 次品数为k,则 CoCCC ≤t≤故=3， 整理得到89 C40 故最可能抽到的次品数是3.故答案为3. 6.解：(1)由题意得6+12 105,解得6=3. 由a+3+1+1+1+1+1+1=10,解得a=1. (2)所求的概率为P= 3C3+C39+11 C。 -120-12 (3)由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的 C31 可能取值为0,1,2,3.P(Y=0)= C%120P(Y=1)= CC321 C30120 40,P(Y=2)= 3Cg6321 C35_7 C30 12040P(Y=3)= 1.12024, 所以Y的分布列为 Y0123 P 17217 120404024 均值为E(Y)=0x120+1× 2 721 +3×2410’ 40 方差为D(Y)= 7.3~7.4阶段综合 黑题 阶段强化 1,D解折全容郑是二等品的棋率为受版至少有1个发一等品的限 率为1- 故选n C 2.AC解析：由分布列的基本性质知6a+0.4=1,解得a=0.1,故A正 确：故E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.3+5×0.2=2,D(X)=0.1×22+0.4× 12+0.3×02+0.2×32=2.6,故B错误，C正确；由离散型随机变量期望 的性质可得，E(2X+6)=2E(X)+6=10,故D错误.故选AC. 3.C解析：由题意知5=0,1,2,3，当专=0时，表示前三次都没射中 第四次还要射击，但结果不计，∴.P(5=0)=0.43;·当专=1时，表示 前两次都没射中，第三次射中，∴.P(专=1)=0.6×0.42；.·当专=2时， 表示第一次没射中，第二次射中，∴.P(5=2)=0.6×0.4;.当=3时， 表示第一次射中，.P(5=3)=0.6,.E(5)=2.376.故选C. 4.D解析：由题意知X~B(1000,0.9),故P(X=k)=Coo0.9× 0.1100-t,P(X=1000-k)=C吲88*0.9100-*×0.1，由P(X=k)>P(X= 1000-k)得C1o0.9×0.110->C809-*0.910-x0.1,即0.92k-100> 0.12-100,即92-100>1，则2k-1000>0,.k>500,由于k∈N°， 故k≥501，故选D. C9c310_2 5.BCD解析：由题意知，X=0,1,2.P(X=0)= C357，P(x= -智器÷等景号则以0 35 ，P(X≠1)=号故A错误，B正确：由题意知，Y=-1,13P(y 6 参考答案 -1)=P(X=2)=子，P(Y=1)=P(X=1)=号，P(Y=3)=P(x=0) (0=146-?0(0=7(19)°+号× 7 (-号广弓(-？）广-罗故cD正确故选D 6.ACD解析：设A=“向右下落”，A=“向左下落”，则P(A)=P(A)= 子，因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小 球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以X~B(5,?),对于A, P=0)-(17)°=放A正确：对于B,P(X=5)= (合广可故B错误：对于C,B(0=5x分多放c正确：对 于D,0以0=5x分x(号）名放D正确放法A0D 7.8.75解析：由题意可得该销售商销售每件零件获利的期望是10× 95%-15×(1-95%)=8.75(元)，则该销售商销售该零件10000件 获利的期望为8.75×10000=87500（元），即8.75万元.故答案为 8.75. 1 4 8.33 解析：因为随机变量X服从两点分布，P(X=1)=2P(X= 0),放Pr(X=)+P(x=0)=1,即3P(x=0)=1,P(X=0)=号，则 随机变量-(4，号），故E队)4写专，故答案为写：号 1 353 25 解析：1,2,3,4等可能的各种排列共有A=24种，满足X≤2的 a1,2,a3,a4的排列有1,2,3,4；2,1,3,4；1,2,4,3；1,3,2,4，共4种， n名名内=C1n=。完-莞放答案为 41 72 10.解：(1)当N=20时，男性员工有8人，女性员工有12人 X服从超几何分布，X=0,1,2,3, P(X=0) C32_22011 C114057,P(X=1) CgC1_528_44 C201140951 CC1233628 g5614 P(X=2)= 114095，P(X=3)= 301140285 .X的分布列为 X0123 11442814 579595285 11 44 28 ,146 数学期塑为E(X)=0x7+1×95+2×95+3×285号 18 (2)P1= C 1NN-1)(N-2) 25`(N-10(N-2B= 6 g( 方公=Q28,由于B-P≤Q01,则)8 336 5 (后1 N-0(w-2-0288≤a01,即18 5 (N-1)(N-2) ≤0289=280，即 1000' (号- 28925289 (N1)(N-2≤100×18720，由题意易知(N-1)·(N-2)>0,从而 720N(子N-1≤289(N-DN-2),化简得NP-147N4578≥0，又0， 于是N,5 ≥14.由于函数y=x57在x=5丽≈2404处有极小值，从 而y产N5当N≥25时单调递增，又142+≈14607<14,143+7。 142 143 147.04>147,因此当N≥143时，符合题意 黑白题217.4.2 超几何分布 白题 基础过送 限时：25min 题组1超几何分布 5.(多选)(2024·江西抚州高二月考)在等差数 1.（多选)(2024·四川宜宾高二月考)下列随机 列{an}中，a2=-8,a,=-4.现从数列{an}的前 事件中的随机变量X不服从超几何分布的是 10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数 ( 为正数的个数为X则下列结论正确的是 A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X ( B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中 A.X服从二项分布 B.X服从超几何分布 选出5名优秀学生干部，选出女生的人数 CP(X=2)=3 n.0-号 为X C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次， 6.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有 记命中目标的次数为X 数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上 D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸 的数字和为X,则D(X)= 出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时 重难聚焦 的总次数 题组3 二项分布和超几何分布的综合应用 2.(2023·山西朔州高二期末)在15个村庄中有 7.(2024·湖南邵阳高三月考)某高校设计了 7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村 一个实验学科的考查方案：考生从6道备选 庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村 题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独 庄数，则下列概率中等于CC 立完成全部实验操作，规定至少正确完成其 的臭 中2题才可提交通过.已知6道备选题中考 A.P(X=2) B.P(X≤2) 生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成； C.P(X=4) D.P(X≤4) 3.(2024·陕西咸阳高二月考)某党支部有10名 考生乙每趣正确完成的概率都是子，且每 题正确完成与否互不影响， 党员，7男3女，从中选取2人做汇报演出，若 (1)求考生甲正确完成实验操作的题数的分 X表示选中的女党员数，则P(X<2)= 布列，并计算均值； (2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作 题组2超几何分布的均值与方差 的题数的均值、方差及至少正确完成 4.(2024·河南信阳高二期末)2024年5月中国 2题的概率方面比较两位考生的实验操 邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继 作能力. 《太湖》(5枚)、《鄱阳湖》(3枚)、《洞庭湖》 (4枚)后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖 现从这15枚特种邮票中随机抽取2枚，记抽取 邮票《巢湖》的枚数为X,则E(X)= ( 3 C.1 D. 2 选择性必修第三册·RJ黑白题40 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2024·辽宁沈阳高二月考)盒中有10个灯5.(2024·陕西咸阳高二月考)有30件产品，其 泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取 中有10件次品，从中不放回地抽取10件产 4个，那么概率是品的事件为 品，最可能抽到的次品数是 6.(2024·广东湛江高二月考)某大学的武术协 A.恰有1个是坏的 会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部 B.4个全是好的 分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机 C.恰有2个是坏的 抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率 D.至多有2个是坏的 2 为 2.(2024·广东江门高三二模)一箱苹果共有 5 12个苹果，其中有n(2<n<7)个是烂果，从这 性别 中文 数学 英语 体育 箱苹果中随机抽取3个.恰有2个烂果的概率 男 a b 为铝则a ( 女 1 A.3 B.4 C.5 D.6 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该 3.(多选)(2024·江苏南通高三月考)袋中有 市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相 10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球， 等) 现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球 (1)求a,b的值 的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取 (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的 出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随 男生的概率； 机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论 (3)设Y为选出的3名同学中是女生或专业 中正确的是 为数学的人数，求随机变量Y的分布列、 AP(1Z-61≤1)=97 均值及方差 105 B.E(X)>E(Y) C.D(X)=D(Y) D-答 4.(2024·黑龙江大庆高二期中)某商场推出一 种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共 10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中 1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖客户 甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天) 下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果， 估计盒子中的有奖券有 ( A.1张 B.2张 C.3张 D.4张 进阶突破拔高练P13 第七章黑白题41