-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7.3~7.4 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：45min 1.(2024·河南驻马店高二期中)有20个零件， 3颗，记上珠的个数为X,下珠的个数比上珠的 其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件 个数多Y,则 中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率 是( 下珠 A. CleC2 CieCa B. C C30 APX1)=号 B.E()- icCi+Ci C C. D.1 C.E()=7 D.D(Y)=49 0 Co C30 2.(多选)(2024·河南周口高二期中)已知离散 6.(多选)(2024·广东肇庆高二月 型随机变量X的分布列如下表： 考)如图是一块高尔顿板示意图： 2 5 在一块木块上钉着若干排互相平 行但相互错开的圆柱形小木钉， 2a+0.2 a+0.2 2a 小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡 则下列说法正确的是 有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落 A.a=0.1 B.D(X)=1.84 过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或 C.E(X)=2 D.E(2X+6)=9 向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左 3.(2024·山东潍坊高二月考)一射手对靶射 到右分别编号为0,1,2,3,4,5，用X表示小球 击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为 落入格子的号码，则下面计算正确的是 0.6,现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目5 的期望为 A.2.44 B.3.376 A.P(X=0)=32 B.P() C.2.376 D.2.4 4.（2024·广东珠海高二月考)已知某种疾病的 cB(0- n.n0= 某种疗法的治愈率为90%.若有1000位该病 7.（2024·四川绵阳高三月考)已知某生产线生 患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相 产的某种零件的合格率是95%，该零件是合 互独立，设其中被治愈的人数为X,P(X=k)> 格品，则每件可获利10元，该零件不是合格 P(X=1000-k),则 ( 品，则每件亏损15元.若某销售商销售该零 A.k≤499 B.k≤500 件10000件，则该销售商获利的期望为 C.k≥500 D.k≥501 万元. 5.(多选)(2024·山东聊城高二期末)如图，我 8.(2023·天津西青区高二期末)已知随机变量 国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有 X服从两点分布，P(X=1)=2P(X=0),则 7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面 P(X=0)= ,若随机变量7~B(4, 5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选 P(X=0),则E(7)= 选择性必修第三册·RJ黑白题42 9.(2023·四川宜宾高二期中)将4瓶外观相同，11.(2024·广东东莞高二月考)某工厂的某种 品质不同的酒让品酒师品尝，要求按品质优劣 产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交 将4种酒排序，经过一段时间后，再让其品尝 付用户之前要对产品作检验，如检验出不合 这4瓶酒，并让他重新按品质优劣将4种酒排 格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产 序.根据测试中两次排序的偏离程度评估品酒 品中任取20件作检验，再根据检验结果决定 师的能力.a1,a2,a,a4表示第一次排序为 是否对余下的所有产品作检验，设每件产品 1,2,3,4的四种酒分别在第二次排序中的序 为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产 号，记X=11-a11+|2-a21+|3-a31+|4-a41为 品是否为不合格品相互独立. 其偏离程度，假设a1,a2,a3,a4为1,2,3,4的 (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率 等可能的各种排列.假设每轮测试之间互不影 为f代p),求f(p)的最大值点po 响，P1表示在1轮测试中X≤2的概率，P2表 (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有 示在前3轮测试中恰好有一轮X≤2的概率， 2件不合格品，以(1)中确定的P。作为p 则p2= 的值.已知每件产品的检验费用为2元， 10.(2024·江苏镇江高三期末)为不断改进劳 若有不合格品进入用户手中，则工厂要 动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单 对每件不合格品支付25元的赔偿费用. 位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已 (1)若不对该箱余下的产品作检验，这 知某单位有》名员工，其中号是男任，是 一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记 为X,求E(X) 女性 (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值 (1)当N=20时，求出抽取的3人中男性员 为决策依据，是否该对这箱余下的所有 工人数X的分布列和数学期望； 产品作检验？请说明理由， (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个 体数足够小时，超几何分布近似为二项 分布，现在全市范围内考虑.从N名员工 (男女比例不变)中随机抽取3人，在超 几何分布中男性员工恰有2人的概率记 作P1;在二项分布中（即男性员工的人数 X-B3,号)》男性员工恰有2人的概率 记作P,那么当N至少为多少时，我们可 以在误差不超过0.001（即P1-P2≤ 0.001)的前提下认为超几何分布近似为 二项分布？（参考数据：√578≈24.04) 第七章黑白题43了=6，若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率为p 1 Cg·C+C经 Cio 17 45,(x)=30×17-34,若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率 C吲·Cg+C号8 8 为p= C。 ,E(X)=30×6=16,若盒子中的有奖券有 C6·C4+C2 4张，则中奖的概率为p= 0=30x号-20，根据 题意，盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，故选B. 5.3解析：由题意，有30件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽 取10件产品，则抽出的次品数X服从超几何分布，设最可能抽到的 (CoC C30 次品数为k,则 CoCCC ≤t≤故=3， 整理得到89 C40 故最可能抽到的次品数是3.故答案为3. 6.解：(1)由题意得6+12 105,解得6=3. 由a+3+1+1+1+1+1+1=10,解得a=1. (2)所求的概率为P= 3C3+C39+11 C。 -120-12 (3)由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的 C31 可能取值为0,1,2,3.P(Y=0)= C%120P(Y=1)= CC321 C30120 40,P(Y=2)= 3Cg6321 C35_7 C30 12040P(Y=3)= 1.12024, 所以Y的分布列为 Y0123 P 17217 120404024 均值为E(Y)=0x120+1× 2 721 +3×2410’ 40 方差为D(Y)= 7.3~7.4阶段综合 黑题 阶段强化 1,D解折全容郑是二等品的棋率为受版至少有1个发一等品的限 率为1- 故选n C 2.AC解析：由分布列的基本性质知6a+0.4=1,解得a=0.1,故A正 确：故E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.3+5×0.2=2,D(X)=0.1×22+0.4× 12+0.3×02+0.2×32=2.6,故B错误，C正确；由离散型随机变量期望 的性质可得，E(2X+6)=2E(X)+6=10,故D错误.故选AC. 3.C解析：由题意知5=0,1,2,3，当专=0时，表示前三次都没射中 第四次还要射击，但结果不计，∴.P(5=0)=0.43;·当专=1时，表示 前两次都没射中，第三次射中，∴.P(专=1)=0.6×0.42；.·当专=2时， 表示第一次没射中，第二次射中，∴.P(5=2)=0.6×0.4;.当=3时， 表示第一次射中，.P(5=3)=0.6,.E(5)=2.376.故选C. 4.D解析：由题意知X~B(1000,0.9),故P(X=k)=Coo0.9× 0.1100-t,P(X=1000-k)=C吲88*0.9100-*×0.1，由P(X=k)>P(X= 1000-k)得C1o0.9×0.110->C809-*0.910-x0.1,即0.92k-100> 0.12-100,即92-100>1，则2k-1000>0,.k>500,由于k∈N°， 故k≥501，故选D. C9c310_2 5.BCD解析：由题意知，X=0,1,2.P(X=0)= C357，P(x= -智器÷等景号则以0 35 ，P(X≠1)=号故A错误，B正确：由题意知，Y=-1,13P(y 6 参考答案 -1)=P(X=2)=子，P(Y=1)=P(X=1)=号，P(Y=3)=P(x=0) (0=146-?0(0=7(19)°+号× 7 (-号广弓(-？）广-罗故cD正确故选D 6.ACD解析：设A=“向右下落”，A=“向左下落”，则P(A)=P(A)= 子，因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小 球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以X~B(5,?),对于A, P=0)-(17)°=放A正确：对于B,P(X=5)= (合广可故B错误：对于C,B(0=5x分多放c正确：对 于D,0以0=5x分x(号）名放D正确放法A0D 7.8.75解析：由题意可得该销售商销售每件零件获利的期望是10× 95%-15×(1-95%)=8.75(元)，则该销售商销售该零件10000件 获利的期望为8.75×10000=87500（元），即8.75万元.故答案为 8.75. 1 4 8.33 解析：因为随机变量X服从两点分布，P(X=1)=2P(X= 0),放Pr(X=)+P(x=0)=1,即3P(x=0)=1,P(X=0)=号，则 随机变量-(4，号），故E队)4写专，故答案为写：号 1 353 25 解析：1,2,3,4等可能的各种排列共有A=24种，满足X≤2的 a1,2,a3,a4的排列有1,2,3,4；2,1,3,4；1,2,4,3；1,3,2,4，共4种， n名名内=C1n=。完-莞放答案为 41 72 10.解：(1)当N=20时，男性员工有8人，女性员工有12人 X服从超几何分布，X=0,1,2,3, P(X=0) C32_22011 C114057,P(X=1) CgC1_528_44 C201140951 CC1233628 g5614 P(X=2)= 114095，P(X=3)= 301140285 .X的分布列为 X0123 11442814 579595285 11 44 28 ,146 数学期塑为E(X)=0x7+1×95+2×95+3×285号 18 (2)P1= C 1NN-1)(N-2) 25`(N-10(N-2B= 6 g( 方公=Q28,由于B-P≤Q01,则)8 336 5 (后1 N-0(w-2-0288≤a01,即18 5 (N-1)(N-2) ≤0289=280，即 1000' (号- 28925289 (N1)(N-2≤100×18720，由题意易知(N-1)·(N-2)>0,从而 720N(子N-1≤289(N-DN-2),化简得NP-147N4578≥0，又0， 于是N,5 ≥14.由于函数y=x57在x=5丽≈2404处有极小值，从 而y产N5当N≥25时单调递增，又142+≈14607<14,143+7。 142 143 147.04>147,因此当N≥143时，符合题意 黑白题21 而又考虑到子N和子N都是整数，则N一定是5的整数倍，于 是N=145.即当N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即 P1-P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 11.解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)= C3p2(1-p)18.因此f'(p)=C2[2p(1-p)18-18p2(1-p)7]= 2Cp(1-p)17(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时， ∫'(p)>0(p)单调递增；当pe(0.1,1)时，∫'(p)<0,f(p)单调递 减.所以f(p)的最大值点为po=0.1. (2)由(1)知，p=0.1.()令Y表示余下的180件产品中的不合格 品件数，依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,且 E(Y)=180x0.1=18,以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490. (ⅱ)应该对这箱余下的所有产品作检验.理由：如果对余下的产品 作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400, 故应该对这箱余下的所有产品作检验. 7.5正态分布 白题基础过关 1.ABD解析：由正态分布密度曲线的几何特点可知：曲线在x轴上 方，且与x轴不相交，故A正确；曲线关于直线x=μ对称，当x=4时， 曲线处于最高点，当向左、右远离时，曲线不断降低，呈现出“中间 高、两边低”的钟形曲线，故D正确；当x<u时，曲线上升，当x>μ时， 曲线下降，并且当曲线向左、向右无限延伸时，以x轴为渐近线，向 x轴无限靠近，故B正确；当4一定时，曲线的形状由σ确定，σ越 小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中，σ越大，曲线越“倭胖”，总体分 布越分散，故C错误.故选ABD. 2.D解析：由正态分布密度函数解析式知u=-3,=√2.故选D. 3.D解折：设z-g则B(2)=s(行）=0，(2)D0 2 D(=1.Z=-N(0,1),故选D. 4.C解析：因为X-N(2,4),YN3,g ,所以C2的对称轴为直线x= 3,C1的对称轴为直线x=2,又4>1 ,所以C,的形状偏瘦高一些故选C 四方法总结 1.正态分布的图象特征： (1)要确定一个正态变量的概率密度函数的解析式，关键是求解析式 中的两个参数，σ的值，其中4决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲 线的形状和最大值有关，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越 集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散 (2)正态曲线的左右平移只改变其均值的大小，不改变方差的大小」 也就是平移变换不改变随机变量的方差，只有沿x轴方向的伸缩变换 才改变其方差， 2.正态曲线的性质： (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=4对称； (3)曲线在xμ处达到蜂值1 0②m (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)曲线与x轴之间的面积为1； (6)当σ一定时，曲线随着4的变化而沿x轴平移，如图①所示： =0.5 ty 4=0 r=0.5 L=0 o=I g=2 3-2-10123 -3-2-10123 ①D (7)当4一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示 总体的分布越集中：口越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散， 如图②所示. 选择性必修第三册·RJ 5.CD解析：由随机变量X服从正态分布N(12,σ2)，且P(X≥9)= 0.7,可得P(X<9)=0.3,根据正态分布曲线的对称性，可得P(X> 15)=P(X<9)=0.3,所以A错误，C正确：由正态分布曲线的对称 性，可得P(9≤X≤15)=1-2P(X<9)=0.4,所以B错误，D正确.故 选CD. 6.-2解析：.P(X>0)+P(X≥-4)=1，又P(X<-4)+P(X≥-4)= 1,.P(X>0)=P(X<-4).又0与-4关于x=-2对称，故曲线关于直 线x=-2对称，即u=-2.故答案为-2. 1 x-802 7.B解析：，密度函数f(x)= e20,.该市这次考试的数 10√2 学平均成绩为80分，该市这次考试的数学标准差为10，故A,D正 确；从图象上看，曲线关于直线x=80对称，且50与110也关于直线 x=80对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数 相同，故C正确.故选B. 05080110 8.500解析：因为成绩X服从正态分布N(150,σ2)，即正态曲线关于 直线=150对称，因为成绩小于130的有300人，所以P(X<130)= P10)=10G所以P(150<170)=分6G人数约 为 6×1600=500.故答案为500. 9.3解析：因为产品质量指标服从正态分布N(171,o2),P(u-3σ≤ X≤u+3σ)≈0.9973，且质量指标介于162至180之间的产品为良 品，良品率达到99.73%，所以171-3w≥162,171+30≤180，解得σ≤ 3,所以σ至多为3，故答案为3. 黑题 应用提优 1.ABC解析：依题意，X~N(80,σ2)（σ>0），所以u=80,所以P(X> 80)=0.5,A选项正确：σ越大，正态分布的最高点越矮，远离=80 的数据越多，P(70<X<90)越小，B选项正确：根据正态分布的对称性 可知P(X>60)=P(X<100),C选项正确；P(60<X<70)=P(90<X< 100),D选项错误.故选ABC 2.B解析：由题知曲线C为正态分布N(0,1),所以4=0，σ=1，所以 P(u-0≤X≤u+σ)=P(-1≤X≤1)≈0.6827，所以阴影部分的概率 P(0≤X≤1)≈0.6827 2 =0.34135，设落入阴影部分的点的个数为x, 根据频率估计概率，有200000.34135，解得x=6827.故选B, 3.ABD解析：对于A,因为u=4,P(X>6)=a,P(4<X<6)=b,所以 P(X>4)=P(4<X<6)+P(X>6)=a+b=0.5,故A正确：对于B,因为 4=4,P(X<2)=P(X>6)=a,故B正确：对于C,因为E(X)=4,所以 E(2X+1)=2E(X)+1=9,故C错误：对于D,因为D(X)=2,所以 D(2X+1)=4D(X)=8,故D正确.故选ABD 4.C解析：A选项：X~N(u1,o)、Y~N(u2,σ3)的密度曲线分别关于 直线x=u1、x=2对称，因此结合所给图象可得1<μ2，所以P(Y≥ 凸2)<P(Y≥1)，故A错误；B选项：又X~N(w1,o)的密度曲线较 Y-N(h2,o)的密度曲线“瘦高”，所以0<o1<o2,所以P(X≤o2)> P(X≤σ1)，故B错误；C,D选项：由密度曲线与横轴所围成的图形 的面积的意义可知：对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),P(X≥t)≤ P(Y≥t),故C正确，D错误故选C. 5.B解析：因为质量M(单位：g)服从正态分布N(30,o2),且 P(M<28)=0.2,所以P(28<M<32)=2×(0.5-0.2)=0.6,若从该果园 的刺梨中随机选取100个单果，则质量在28g~32g的单果的个数 X~B(100,0.6),所以E(X)=100×0.6=60.故选B. 6.C解析：因为随机变量X,Y满足X~N(3,σ2)，Y~N(1,σ2)，则随 机变量X和Y所对的正态密度曲线的形状相同，它们的对称轴分别 为x=3和x=1,因此，P(>2)=P(X>4)=0.1,而Z=Y-1,则P(Z> 1)=P(Y-1>1)=P(Y>2)=0.1,于是得P(Z2<1)=P(-1<Z<1)=1- 0.1×2=0.8,所以P(Z2<1)的值为0.8.故选C. 7.A解析：设乘坐线路A所需时间为X分钟，则到家所需时间为(X+ 10)分钟，其中X~N(44,4);设乘坐线路B所需时间Y分钟，则到家 黑白题22