7.3.2 离散型随机变量的方差-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7.3.2离散型 白题 基础过关 题组1离散型随机变量的方差与标准差 1.下列说法不正确的是 ( ) A.离散型随机变量的方差越大，随机变量越 稳定 B.若a是常数，则D(a)=0 C.离散型随机变量的方差反映了随机变量偏 离于均值的平均程度 D.随机变量的方差和标准差越小，则偏离变 量的平均程度越小 2.已知随机变量的分布列如表，则专的标准 差为 3 5 0.4 0.1 A.3.56 B.√3.2 C.3.2 D.√3.56 3.（2024·湖北武汉高二期末)已知离散型随机 变量专的分布列为 0 1 2 3 4 2 N 9 9 若E(5)=1,则D(5)= 题组2离散型随机变量的方差的性质 4.(2024·吉林长春高二期末)已知离散型随机 变量X的分布列为 0 且Y=2X+2,则D(Y)= A.1 D.id 5.（多选)(2024·河北邯郸高二期中)已知随机 变量X满足E(2X+1)=5,D(3X-1)=9,则下 选择性必修第三册·RJ 直机变量的方差 限时：25min 列说法正确的是 ( A.E(X)=2 B.E(X)=5 C.D(X)=1 D.D(X)=3 6.已知X的分布列为 X -1 0 1 2 3 设Y=aX+3,且E(Y)= 2,则D(2Y-10)的 值为 题组3离散型随机变量的方差的应用 7.在同样条件下，用甲、乙两种方法测量某零件的 长度（单位：mm)分别为专和n,分布列如下表： 48 49 50 51 52 0.1 0.1 0.60.1 0.1 7 48 49 50 51 52 P 0.20.20.20.20.2 则下列说法正确的是 ( ) A.甲方法测量的结果比乙方法测量的结果波动小 B.甲方法测量的结果比乙方法测量的结果波 动大 C.甲方法测量的结果与乙方法测量的结果波 动相当 D.无法比较甲、乙两种方法测量结果的波动 大小 8.学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其 规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜 利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利 的概率为4，设他参加一次答题活动得分为5， 则D()= 黑白题34 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2024·河北石家庄高二期中)已知某随机变5.若随机变量X的分布列为P(X=k)=P4,k= 量X的分布列如下表，则随机变量X的方差 14 D(X)= 1,2,3,且p1+2p+3p=2,p1+4p+9p3=3,则 ( D(X)= 0 20 40 6.已知某商业银行甲、乙两个风险理财项目的年 m 2m m 利润率分别为Y,和Y2,利润率为负表示亏损， A.120 B.160 C.200 D.260 根据往年的统计数据得到Y,和Y,的分布列： 2.(多选)(2024·山西长治高二月考)若随机变 10 -2 4 6 12 -2.5 量x服从两点分布，其中P(X=0)= 1 P 0.60.150.25 P 0.20.50.10.2 E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方 现有200万元资金准备投资到甲、乙两个风险 差，则下列结论正确的是 ( 理财项目一年 A.D(3X+2)=4 B.D(X)= (1)在甲、乙两个项目上各投资100万元，Y1 和Y,分别表示投资项目甲和乙所获得 C.P(X=1)=E(X) D.D(3X+2)=2 的年利润，求D(Y)和D(Y2). 2 3.(2024·湖北武汉高二月考)设0<a<行，随机 (2)项目甲投资x万元，项目乙投资(200- x)万元，其中0≤x≤200且x∈N,用f(x) 变量X的分布列是 表示投资甲项目的年利润方差与投资 0 乙项目的年利润方差之和，问该如何分配 这200万元资金，能使f(x)的数值最小？ 则当a在(o,子)内增大时 A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大 压轴挑战 4.将3个小球放人3个盒子中，盒子的容量不 (2024·淅江宁波高二期中)已知随机变量专满 限，且每个小球落入盒子的概率相等.记X为 足P(5=0)=1-p,P(5=1)=p,其中0<p<1.令随 分配后所剩空盒子的个数，Y为分配后不空 机变量？=15-E(5)1,则 盒子的个数，则 A.E(n)>E(5) A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y) B.E(n)<E(5) B.E(X)=E(Y),D(X)D(Y) C.D(n)>D() C.E(X)E(Y),D(X)=D(Y) D.D(n)<D() D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y) 进阶突破拔高练P10 第七章黑白题354x3x2-1 43=5 所以随机变量X的分布列如下表所示： 123456789 1 11111111 P 10101010101010105 1 1 27 所以E(X)=10×(1+2+3+4+5+6+7+8)+5×9= 59 由题意可知，随机变量Y可能取值为23,4,5，则P(Y=2)=1×5 y=3)=1×5P=41x4 1 11 3.11 5 4×3=万 4322 P(Y=5)=1×5×4×3=5' 所以随机变量Y的分布列如下表所示： Y2345 1112 P 5555 所以B(0=行2*34)+5专了 .219 则E(X)>E(Y),所以方案乙更好 压轴挑战 (0,2) 解析：由题意，可得P(X=1)=p,P(X=2)=（1-p)·p, P(X=3)=(1-p)2·p+(1-p)3=(1-p)2,所以E(X)=1×p+2(1- p)·p+3(1-p)2=p2-3p+3,令p2-3p+3>1.75,即4p2-12p+5>0,解 得p<2或p>,又由0p<1,可得pe(0,分) 5 ,即p的取值范围 为(o)故答案为(0，子）月 7.3.2离散型随机变量的方差 白题 基础过关 1.A解析：方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度，方差越大， 随机变量越不稳定，故A错误，C正确；常数的方差为0，故B正确： 标准差等于方差的算术平方根，故随机变量的方差和标准差越小，则 偏离变量的平均程度越小，故D正确.故选A. 2.D解析：由分布列的性质得0.4+0.1+x=1,解得x=0.5,∴.E()=1× 0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,∴.D(5)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+ (5-3.2)2×0.5=3.56,∴.专的标准差为√D(5)=3.56.故选D. 3子保折：曲题意知=1号号-号由8到=1得0+1以 3 4 2 1 8 8 9+2×9+3n=1,解得m=27,m=27,故D(5)=(0-1)2×27+ 1-1P×号(2-10号(g-1)分号放餐案为号 2731 1 4.D解析：由X的分布列得E(X)=(-1)×2+0x3+1×。 11 3 0(时)宁(g）广x对(g)g号四 5 为Y=x+2,则D(门=子0(X)=6故选D 5.AC解析：E(2X+1)=2E(X)+1=5,则E(X)=2,故A正确，B错误； D(3X-1)=9D(X)=9,则D(X)=1,故C正确，D错误.故选AC. 645折：由CD-0x+1写石，得B(门=8o 3)=a(0+3石+3=宁解得a=-15又0(0=(1-)X 名）广(-g)对-所以n=e3 参考答案 00=(-15x号-空所以D(2y10)=20(0=4 4 425.故答案为425. 7.A解析：由已知E()=48×0.1+49×0.1+50×0.6+51×0.1+52×0.1= 50,E(m)=48×0.2+49×0.2+50×0.2+51×0.2+52×0.2=50,所以 D(5)=(48-50)2×0.1+(49-50)2×0.1+(50-50)2×0.6+(51-50)2× 0.1+(52-50)2×0.1=1,D(7)=(48-50)2×0.2+(49-50)2×0.2+ (50-50)2×0.2+(51-50)2×0.2+(52-50)2×0.2=2,所以D(5)=1, D(7)=2,所以甲方法测量的结果比乙方法测量的结果波动小，故 选A. a.只解折5的可能取值为5,43,2，P(6=5)=×6P( 16 4=×14）6=3)=(（)6s=2 9 (1-4)x(14）6则(=5xG4x6+3x6+2x 共则0=(s)名(）广名(）名 黑题 应用提优 1.C解析：由题可知，m+2m+m=1,解得m=4,则E(X)=0×m+ 40m+40m=80m=20:故D(X)=×(0-20)2+×(20-20)2+ }×(40-20)2=100+100=20故选C 2.CD解析：由题意，随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=号 所以P代X=)=子，则E(X)=0x写+1x号=子 ,D(x)= (0号）广好(）广×号-号对于A.0(+2=. D()=9x号=2，所以A不正确，D正确；对于B,由于D()=号 2 所以B不正确；对于C,由P(X=1)=子，B(X)=子，所以P(X= 1)=E(X),所以C正确.故选CD. 3.A解析：根据随机变量的分布列得B()=(-1)a+0x(子：） 13 =号-，则()=[-(）]·a+ 1 (日]（层-小-（居]'x好… 多子-一(-名）厂，是尚于周版D心到的图象为关于的开口 方向向下的抛物线，且05<号，函数的对称轴为直线。=名，故当。 2 在(0，子)内增大时，D()增大故选A 4.C解析：因为一共有3个盒子，所以X+Y=3,因此E(X)=E(3-Y)= 3-E(Y),D(X)=D(3-Y)=(-1)2×D(Y)=D(Y), 由题意可知X0,12,P0X=0X=-名P(X=2x33 31 27=,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-。-。=2, x0g2+子×1=g,所以E(0=3-B()=3号 E(X)=9 19,故选C 9 5号解标：根据愿意，B()=2含n:-兰，所以D(X)=含n: 黑白题17 (0)2=兰4号 6.解：(1)E(Y1)=5×0.6+10×0.15+(-2)×0.25=4, E(Y2)=4×0.2+6×0.5+12×0.1+(-2.5)×0.2=4.5, 于是D(Y1)=(5-4)2×0.6+(10-4)2×0.15+(-2-4)2×0.25=15, D(Y2)=(4-4.5)2×0.2+(6-4.5)2×0.5+(12-4.5)2×0.1+(-2.5 4.5)2×0.2=16.6 (2)由题意可知=D(总)0（的），根据方差性质可 得f(x)= (偏i-s(信广6 (20）=31.6(0)-4x166x(0)+4166 200-x 由二次系数性质可得，当高-袋名即：号网05时九 8.3 取得最小值因此投资甲项目105万元，投资乙项目95万元时，f(x) 有最小值。 压轴挑战 D解析：随机变量专满足P(=0)=1-p,P(专=1)=p,其中0<p<1.则 随机变量专的分布列为 0 1-p 所以E()=p,D()=p(1-p) 因为随机变量η=1传-E()1, 所以当专=0时，n=15-E(5)1=p,当专=1时，n=1-E()1=1-P, 所以随机变量n=1-E()1的分布列如下表所示（当p=0.5时，7只有 一个情况，概率为1)： 7 p 1-p P 1-p 则E(n)=p(1-p)+(1-p)p=2p(1-p), D(n)=[p-2p(1-p)]2·(1-p)+[1-p-2p(1-p)]2·p=p(1-p)· (2-1)2,当E(5)=B(7),即p=2p(1-p)时，解得p=2所以A,B结误 D()-D(n)=p(1-p)-p(1-p)(2p-1)2=4p2(1-p)2>0恒成立.所以 C错误，D正确.故选D. 7.4二项分布与超几何分布 7.4.1二项分布 白题 基础过关 1.C解析：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努 利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试 验，故重伯努利试验应满足的条件：①各次试验之间是相互独立 的；②每次试验只有两种结果；③各次试验成功的概率是相同的.故 选C. 2.ACD解析：对于A:由于试验的条件不同（硬币质地不同），因此不 是n重伯努利试验.对于B:某人射击，击中目标的概率是稳定的，因 此是n重伯努利试验.对于C:每次抽取，每种颜色出现的可能性不 相等，因此不是n重伯努利试验.对于D:10道题难度不同，每道题做 对的概率也不同，因此不是n重伯努利试验.故选ACD. 3.B解析：有放回抽取，每次取到次品的概率都是0.05，相当于10次 独立重复的伯努利试验，所以服从二项分布X~B(10,0.05).故选B. 4B解折：因为x-B(,号）所以P(x=-1=cx×(任)广- 导收法B 5.A解析：电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8,1个灯泡 在使用1000小时内坏了的概率为1-0.8=0.2，则3个灯泡在使用 1000小时内恰好坏了一个的概率为C×0.2×0.82=0.384故选A. 6.B解析：因为随机变量~B(2,P),所以P(传≥1)=1-P(5=0)=1- (1-p)2=5 解得p=号，所以7-B(4,写)则P(≥2)=1 选择性必修第三册·RJ P=o0-r=-1-(号)广-cx(13)八×（兮）'-罗 故选B, 7 20 243 解析：由题意，可得6秒内向右移动4次，向上移动2次，则所 求概率为C (传)广（仔）器放案0 8.ABD 解析：对于A,因为XB(4,),所以P(X=1)=C× (}）八×（分）广=4，故A正确：对于B,因为X-84,子）所 以B()=42,故B正确：对于C,因为X-B(4,号)，所以 0(0=4x宁×（子）-1，放c错误：对于D,由c项得D( 1,则σ(X)=√D(X)=√T=1,故D正确.故选ABD 9.C 解析：一枚骰子，出现6点的概率为6，则在30次试验中成功的 次数x服队XB(30,石），故的值()=30 =5,故选C. 10.D解析：由题意得，从一个装有4个白球和3个红球的不透明袋子 取出一个球，是红球的概率为4，因为是有放回地取球，所 以Xa.）所以00=-5x马）号故选n 31 11.A解析：因为Y~B(4,0.5),所以E(=4×0.5=2,D(Y)=4×0.5× 0.5=1.又X+2Y=1,所以X=1-2Y,所以E(X)=E(1-2Y)= -2E(Y)+1=-3,D(X)=D(1-2Y)=(-2)2D(Y)=4.故选A. 1 12.A解析：由题意得 5解得/p 4’故选A p(1-p)=1 （n=5. 13,解：由已知得，每位参保人员选择A社区医院的概率为了，则X。 B(4,写)x的可能取值为0,123,4，所以P(X=0)=C× )32 87,P( 3 4)=C4× 1） 3/ 所以X的分布列为 0 1 2 3 16 32 24 8 1 81 81 8181 所以E(X)=4×3=3 14 14.解：(1)由题意得这位司机遇到红灯数X服从二项分布X~B5, 号)所(0=5xg-号0=5x3(1)号 1 (2)由题意得Y=30,由(1)得E(X)=子，D(Xx)=9所以 B(n=30E(0=0x号-50，D(n=30·D(x0=90x 9 1000. 重难聚焦 15.3 解析：由于P(X=)=C。· 1 P(X=k+1) C1· 10-k.3-10-k」 P(X=k) C。· 兮)()严 k+122k+2 2 黑白题18