7.1.2 全概率公式-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7.1.2全概率公式 白题 基础过关 限时：40min 题组1全概率公式 1.(多选)下列说法正确的是 4.(2024·河南商丘高二期中)已知P(A)=3 A.P(A)>0,P(A)>0,则P(B)=P(A)· r(EA=,P(B团=名则PE P(BIA)+P(A)P(BIA) 5.（2024·江苏常州高二月考)某保险公司把被 B.A1,A2,A3互斥且P(A1)>0,P(A2)>0, 保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失 P(A)>0,P(B)=P(A.)P(BIA.) 的”.统计资料表明，这3类人在一年内发生事 故的概率依次为0.05,0.15和0.30.如果“谨慎 C.若A1UA2UA3=2,且P(A1)>0,P(A2)>0, 的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占 P(A,)>0,则P(B)=宫P(A)P(B1A,) 50%,“冒失的”被保险人占30%，则一个被保 D.设A1,A2,A是一组两两互斥的事件， 险人在一年内出事故的概率是 A1UA,UA3=2,且P(A)>0,i=1,2,3,则6.(2024·辽宁沈阳高二月考)已知甲箱中有厚 P(B)=言P(A,)P(B1A,) 度相同的2本文学小说和3本散文集，乙箱中 有厚度相同的3本文学小说和2本散文集. 2.(2024·福建龙岩高二月考)某同学进行投篮 (1)若从甲箱中取出2本书，求在2本书中有 练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率 一本是文学小说的条件下，另一本是散文 为子：者他第1球投不进，则第2球投进的概 集的概率； (2)若从两箱中随机选择一箱，然后从中取出 率为好若他第1球投进的概率为子，则他第 1本书，求取到一本文学小说的概率 2球投进的概率为 A日 B. 2 c 0.3 3.(2024·江西新余高二期末)长时间玩手机可 能影响视力.据调查，某校学生大约30%的人 近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超 过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每 天玩手机不超过1小时的学生中任意调查 名学生，则他近视的概率为 品 8、9 40 第七章黑白题25 题组2贝叶斯公式（选学内容） 题组3 全概率公式和贝叶斯公式的综合应用 7.(2024·广西南宁高二期中)某一地区患有癌 (选学内容) 症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性 12.(2024·黑龙江大庆高二月考)某地举办了 的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性 一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手 的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是 参加除小明外的其他参赛选手中，一，二，三 阳性，则此人是癌症患者的概率约为( 类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一， A.0.16 B.0.32 二，三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6， C.0.42 D.0.84 0.5,0.4. 8.设某公路上经过的汽车不是货车就是客车，且 (1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明 货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停 比赛，求小明获胜的概率； 车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆 (2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为 汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为 一类棋手的概率 ( A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 9.某班级数学课上教师随机从学生甲、乙、丙、丁 中选择一名回答问题，据了解，甲、乙、丙、丁答 对该题的概率分别为0.8,0.6,0.4,0.2，则在此 题答错的情况下，由乙回答此题的概率是 13.(2024·江苏苏州高二期中)某工厂有三个 车间生产同一种通讯器材，第1个车间生产 ( A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 该通讯器材的优等品率为6%，第2和第3个 车间生产该通讯器材的优等品率均为5%，生 10.(2024·云南保山高二期末)某人从保山到 产出来的产品混放在同一个仓库里.已知第 昆明，可以乘坐高铁、客车、飞机三种交通工 1,2,3个车间生产的通讯器材数量分别占总 具，出行方式如下表： 数的25%，30%，45%. 交通工具 高铁 客车 飞机 (1)现从仓库中任取一个该通讯器材，试问 1 1 乘坐概率 它是优等品的概率是多少 2 3 6 (2)如果取到的通讯器材是优等品，计算它 迟到概率 0.1 0.3 0.3 是第i(i=1,2,3)个车间生产的概率. 某人已迟到，则他乘坐飞机迟到的概 率为 11.(2023·湖南益阳高二期末)8支步枪中有 5支已校准过，3支未校准.一名射手用校准 过的枪射击时，中的概率为0.8；用未校 准的枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支 枪中任取一支用于射击，结果中靶，则该射 手用的枪校准过的概率为 选择性必修第三册·RJ黑白题26 黑题 应用提优 限时：30min 1.设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产 B,=“第一天去凤凰古城”；B,=“第二天去凤 5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其 凰古城”，则 () 中甲、乙生产的芯片分别为12块、8块，且乙 A.P(A2IA)=0.7 B.P(A21B1)=0.3 生产该芯片的次品率为0现从这20块芯片 C.P(A2)=0.63 D.P(B2)=0.37 6.(2024·山西大同高二期中)小李经常参加健 中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为 0.08,则甲生产该芯片的次品率为 身运动，他周一去健身的概率为子，周二去健 身的概率为，且小李周一不去健身的条件下 2.（2024·山东聊城高二期中)小明去参加攀岩 周二去的概率是周一去健身的条件下周二去 比赛，有五条线路可供选择，其中三条小明有 的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的 百分之五十的可能成功，另两条有百分之二十 概率为 五的可能成功若从这五条线路里任意选择两 7.（选做)(2024·福建泉州高二期末)有一个邮 条攀登，则小明都成功的概率为 ( 件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人 4.3 7 等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标 6 B D. 4 32 记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试 3.已知事件A,B,P(B)= 3 3,P(B1A)= 具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的 P(BIM)=,则P(A)= 概率为；邮件在被标记为垃圾邮件的条件 ( A. R c 下，它是正常邮件的概率为0：郎件在被标记 为正常邮件的条件下，它是垃圾邮件的概率为 4.（2024·江苏徐州高二期末)从数字1,2,3,4 中随机取一个数字，记为n,再从数字1,2，…， 0则垃圾邮件被该系统成功过滤（印丝规虾 n中随机取一个数字，则第二次取到的数字 件被标记为垃圾邮件)的概率等于 为2的概率是 ( ) 8.（选做)(2024·河北保定高二期中)在一个抽 83 D.17 奖游戏中，主持人从编号为1,2,3且外观相同 48 16 48 的空箱子中随机选择一个，放人一件奖品，再 5.(多选)(2024·湖南益阳高二期末)李先生和 将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱 张先生预选张家界景区的玻璃栈道和凤凰古 子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打 城游玩.李先生和张先生第一天去玻璃栈道和 开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的 凤凰古城游玩的概率分别为0.3和0.7，如果 箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择，现在已 他们第一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈 知甲选择了1号箱，若用A:表示i号箱有奖品 道的概率为0.7；如果第一天去凤凰古城，那么 (i=1,2,3),用B:表示主持人打开i号箱子 第二天去玻璃栈道的概率为0.6.设A1=“第 (i=2,3),则P(A2IB3)= 天去玻璃栈道”；A2=“第二天去玻璃栈道”； 进阶突破拔高练P07 第七章黑白题27为“取出的两瓶中另一瓶是红色”，事件C为“取出的两瓶中另一瓶 是黑色”，事件D为“取出的两瓶中另一瓶是红色或黑色”，则D= CC+CZ 7 BUC,且B与C互斥.由题意得，P(A)= C2 10,P(AB)= CC 1 C2 5,P(AC)= CC 2 C =5,所以P(D1A)=P(BUC1A)= 12 P(BIA)+P(CIA)=P(AB),P(AC)_55 6 P(A)P(4=7+7=7,故取出的两瓶中 1010 至少有一瓶是蓝色，另一瓶是红色或黑色的概率为号放答案为？ 9.4311 5043 解析：设事件A为他准点到达天津，事件B为他乘坐高铁 到达天津，事件C为他乘坐大巴到达天津，若他乘坐高铁，且正点到 达天津的概率为P(AB)=0.6×0.9=0.54: 若他乘坐大巴，且正点到达天津的概率为P(AC)=0.4×0.8=0.32. 则P(A)=0.54+0.32=0.86= 0,且P(B1AM)=P4B-05427 43 P(A)0.86431 P(CIA)= 货智-器治所以乘华高供准点到达比乘华大巴准 点到达的概率高2716=故答案为8： 434343 950343 7.1.2全概率公式 白题基础过关 1.AD解析：应用全概率公式P(B)=高P(A,)·P(B1A,)要求清足 3个条件：①A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件：②A1UA2U UAn=2;③BC2.只有选项AD满足.故选AD. 2.A解析：设A,B分别代表事件“第1球投进”和“第2球投进”，则由 已知条件知P(B1A)=3 ,P(B1A=1 P4=号所以P=1 P(A)=1-2=1 3 -子=3故P(B)=P(B1A)P(A)+P(BIA)P(A=子X 3.B解析：令A1=“每天玩手机超过1小时的学生”，A2=“每天玩手 机不超过1小时的学生”，B=“任意调查一人，此人近视”，则 2=A1UA2,且A1,A2互斥，P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(B1A1)=0.6, P(B)=0.3.依题意，P(B)=P(A1)P(BIA1)+P(A2)P(BIA2)=0.2× 06+08xP(Bh)=Q3,解得P(BA,)=0,所以所求近视的概率 为0故选B 4高解折：P(A)=号，P(8A)子P(i)=名故P(不=1 专子，PA=1-PCa0=I-名石，P(a=BAPA)+ 12 PB团P(团=子+号-故答案为号 5.0.175解析：设B1=“他是谨慎的”，B2=“他是一般的”，B3=“他是 冒失的”，则B1,B2,B3构成了2的一个划分.设事件A=“一年内出 事故，由全概率公式得，P(A)=喜P(B,)P(A1B,)(i=1,2,3)= 0.05×20%+0.15×50%+0.30x30%=0.175.故答案为0.175. 6.解：(1)设A=“两本书中至少有一本是文学小说”，B=“两本书中有 一本是散文集”，P(B1A)=n(4B)CCg=6 n(A)C+CC 7' (2)设C=“取到的书来自甲箱”，D=“取到一本文学小说”， P(D)=P(C)P(DIC)+P(C)P(DIC)=252*52 12131 7.A解析：此人是癌症患者的概率为0.004×0.95+(1-0.004)×0.02 0.004×0.95 0.16.故选A 参考答案 8.C解析：设A1表示该汽车是货车，A2表示该汽车是客车，则 2 P(A1)=了，P(A2)=3设B1表示货车中途停车修理，B,表示客车 中途停车修理，B表示汽车中途停车修理，则P(B1)=0.02,P(B2)= 0.01.由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B1IA1)+P(A2)P(B2IA2)= 子x00+号×001=0，则所求概率P(41B)= 2 P(A B) P(B) 2×0.02 3 0.05=5=0.8故选C. 4 3 9.B解析：从学生甲、乙、丙、丁中选择一名回答问题，每人被选到的 概率都为0.25，甲、乙、丙、丁答对该题的概率分别为0.8,0.6,0.4， 0.2,则答错该题的概率分别为0.2,0.4,0.6,0.8， 设事件A:此题答错，事件B:由乙回答此题，所以P(B1A)= P(AB) P(A) 0.25×0.4 0.25x0.2+0.25x0.4+0.25x0.6+0.25x0.80.2,故选B. 6*0.3 10.0.25解析：由题意知，所求概率P= 01+308 0.25.故答案为0.25 18 解析：设B,=“使用的枪校准过”，B2=“使用的枪未校 准，A=射击时中靶，则P(B)=名，P(B)=令，P(A1B)= 3 0.8,P(A|B2)=0.3.由贝叶斯公式，得P(B11A)= P(AIB)P(B) 0.8×8 40 P(AIB)P(B)+P(AIB2)P(B2) 3 .x 50. 49,所以射 8 手用的枪枚准过的概率为8放答案为智 12.解：(1)记事件B:“小明获胜”，记事件A:“小明与第i(i=1,2,3) 类棋手相海，由题可得，P(4)=品=025，P()7=035。 8 P(A✉)=20=0.4，P(B1A1)=0.6,P(B1A2)=0.5,P(B1A)=0.4 由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(BIA1)+P(A2)P(BIA2)+ P(A3)P(B1A3)=0.25×0.6+0.35×0.5+0.4×0.4=0.485. (2)由条件概率公式可得P(A11B)= P(AiB)P(A)P(BIA) P(B) P(B) Q码，号即个明联鞋，对手为一-类棋手份概半为号 ,30 13.解：(1)设事件B1,B2,B2分别表示取出的通讯器材是第1,2,3个 车间生产的，A表示“取到的是优等品”.易知B1,B2,B3两两互斥， 根据全概率公式，可得P(A)=P(B1)P(AIB1)+P(B2)P(AIB2)+ P(B3)P(A|B3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525. 所以从仓库中任取一个该通讯器材，取到优等品的概率是0.0525. (2)P(B,IA)=P(A) 1P（B1)P(A1B1）_0.25×0.06_2,如果取 P(A) 0.0525 .2 到的通讯器材是优等品，它是第1个车间生产的概率为气： P(B2IA)= M,（62)P（41B,）0.3x0.05_2,如果取到的 P(A) P(A) 通讯器材是优等品，它是第2个车间生产的概率为气 P(BIA)= =P（AB3)P(B)P(A1B）_0.45x0.05-3,如果取到 P(A) P(A) 0.0525 的通讯器材是优等品，它是第3个车间生产的概率为， .3 黑题应用提优 1.B解析：设A1,A2分别表示取得的这块芯片是由甲、乙生产的，B表 黑白题13 示取得的芯片为次品，甲生产该芯片的次品率为p,则P(A,)= 20 ，P)归哥号P代B4),P(BA)=动则由全藏率公式 3 ,2×1=0.08 得P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(B1A)号p+写X20 解得P=石放选B 2.B解析：记抽到两条有百分之五十的可能成功的路线为事件A,抽 到两条有百分之二十五的可能成功的路线为事件B,抽到一条有百 分之五十的可能成功的路线、一条有百分之二十五的可能成功的路 C?3 线为事件C,小明两条路线都成功为事件D,所以P(A)= cg10, =管--un-(传 41 P(DIB)= (）广60o=×g所uPo=高 121 3 1,11,315 410*16了×82故选B. 3.C解桥：因为P(B)三是-8，P(BADP（B所以 2P(A) ，P(BIA=号，所以P(B)=P(A)P(B1A)+P团 P(BIA)=1 1 P(BI团=P)X+(I-P)x写，所以P氏A)=子放选C 4.B解析：记事件An为“第一次取到数字n”,n=1,2,3,4,事件B为 “第二次取到的数字为2” 由题意知A1,A2,A3,A4是两两互斥的事件，且A1UA2UA3UA4=2 (样本空间)， P(B)=P(BA UBA UBAUBA)=P(BA+P(BA2)+P(BA3)+ P(BA4)=P(A)P(BIA)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BIA3)+ P4P(B=子0r子x+×兮子8故选B 5.ACD解析：由题干可知P(A2A1)=0.7,P(A21B1)=0.6,A正确， B错误；因为P(A1)=0.3,P(B1)=0.7,所以P(A2)=P(A142)+ P(B1A2)=P(A1)P(A2IA1)+P(B1)P(A2IB1)=0.3×0.7+07×0.6= 0.63,P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2IA1)+P(B1)P(B2I B1)=0.3×0.3+0.7×0.4=0.37,C,D正确；故选ACD. 63 解析：设“小李周一去健身”为事件A,设“小李周二去健身”为 事件B,则“小李周一、周二都去健身”为事件AB,由题意可知P(A)= P(B)=子，且P(B团)=2P(B1M),由全概率公式可知P(B) 2 P(Bi团P(国+P(B1AP(,即号号P(Ba)+号P(Ba),解得 Pr8IW-品所以P()=P(8IA)PA)=品号品故答案 为品 ,解析：设事件A表示“正常邮件”，事件B表示“标记为正常邮 作，则P(=子，P(41=0P(a1B)=0P(B)=1 P=号Pa=1-PAB=0放P()=P(aB)P(B)+ ra=×号品号-品贸P(国 39 P(B)P(AIB)_510_27 .27 P(A) 29 =29故答案为29 50 ,解析：奖品在1号箱里，主持人可打开2,3号箱，故P(B3IA1)= 选择性必修第三册·RJ 之关品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，放P(A4,)= 1;奖品在3号箱里，主持人只能打开2号箱，故P(B3IA3)=0,由全 概率公式可得P(B,)=含P(4)P氏品，M)=子×（分+1+0）分 =1 ×1 P(A2)P(B3IA2）3 P(A2IB3)= P(B3) 1 号故答案为号 3 7.2离散型随机变量及其分布列 白题 基础过关 1.ABD解析：根据概率性质可得专取每一个可能值的概率都是非负 数，所以A正确：专取所有可能值的概率之和是1，所以B正确：的 取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确.故选ABD. 2.ABC解析：由随机变量的定义可知选项ABC都符合随机变量的定 义，故ABC都正确；方程x2-2x-3=0的实根个数是2，是确定的，不 是随机变量，故D错误故选ABC. 四易错提醒 (1)一般地，对于随机试验样本空间2中的每个样本点ω，都有唯一 的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量 (2)随机变量与函数的异同点： 随机变量 函数 都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域， 相同点 随机变量的取值范围相当于函数的值域 把试验结果映射为实数， 把实数映射为实数，即函数 不同点 即随机变量的自变量的 的自变量是实数 试验结果是实数 3.C解析：A选项，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出 来，不是离散型随机变量，A错误：B选项，等出租车的时间是随机变 量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；C选项，一小时 内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，C正确： D选项，测量误差不能一一列举出来，不是离散型随机变量，D错误 故选C. 4.BC解析：由已知得3=0+0+3=1+1+1，故{=3}表示的可能结果 为甲赢一局输两局或甲、乙平局三次故选BC. 5.B解析：根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽 取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到 黑球，第5次取到了红球，故事件“放回4个球”可表示为{X=5}.故 选B. 6.-300,-100,100,300解析：若答对0个问题得-300分；若答对1个 问题得-100分；若答对2个问题得100分；若问题全答对得300分. 故答案为-300，-100,100,300. 7.D解析：A中0.5+0.3+0.4>1，B中-0.3<0，C中0.2+0.3+0.4<1，均 不符合题意故选D. 8.A解析：根据题意，随机变量X的分布列为P(X=)=2ai=1,2, -=1,解得a=3.故选A. 9.B解析：依题意可得P(传=)=L（i=1,23,,n)(neN),所以 P(5)=P(5=1)+P(=2)+P(53)+P(5=4)=3=—,解得n月 12.故选B. a+b+- 1.1 =1 10.AD解析：依题意得 66 1 1-1 所以a=，6=号故 6+ 6 =2’ 选AD. 11.0.7解析：由分布列的性质可得，0.1+m+0.3+2m=1,可得m=0.2, 所以P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=0.3+2×0.2=0.7.故答案为0.7. 黑白题14