6.3 二项式定理 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

2-0可得宁宁 1 +分+，1，等号两边同时 1 1 乘2得a+女立，寸2瓷故答案为贺 1 111 12.1解折：设)=(a+）2-1)5,则各项系数和利为1)=(a+ 1)(2-1)5=a+1,则a+1=2,即a=1,故答案为1. 13,解：(1)由题意得，二项式2x+1）” 的展开式的通项为T+1= Cn (2x) (仕）厂-G2”-012,%第三项的系数 是C·2-2=n(n-1)·2-3,第二项的系数是C以·2-1=n·2-1, 又由第三项的系数是第二项的系数的倍，有(m-1)·23 之a2r),解得a=7 (2)对于二项式(2x+)厂'，令：=1，即得展开式中各项系数之和 为2+17=3，可得M=3,展开式(2：+）厂的二项式系数之和 为2=1，可得N=128,可得N7M=123可×3=128-27=10L (3)(2x+士）'展开式的通项为11-C(2)”(任）厂-2. C,N,则C≥2C整理得 27-rC5≥28-rC51, 7！ hm2o67g27号 7! 5 8 7! 7 (7-22-10108- 而reN,.r=2,所以系数最大的项为672x3 14.解：(1)令x=0,可得a0=2204,令x=1,得3204=a0+a1+a2+…+ a2m4①，令x=-1得1=a0-a1ta2-a3+…+a2024②， ①+②得2(ao+a2++a2024)=3204+1,所以a2+a4+a6++a224= 32024+1-2204, 2 (2)对(x+2)204=a0+a1x+a2x2+…+a24x204两边同时求导得 2024(x+2)2023=a1+2a2x+3a3x2+…+2024a2024x2023 令x=-1可得a1-2a2+3a3-4a4+-2024a224=2024, 15.（1)解：杨辉三角中第8行的各数之和为1+C+C?+…+C?+1=C+ Cg+Cg+…+Cg+C8=28=256. (n-1)! (n-1)！(n-1)！ (2)证明：C+C-1r-)1(-)tH(n-1-11(n-川 n！ n! [+(a-)]-1m-cg1m-cCg=0+c-1 (3)解：(1+x)2+(1+x)3++(1+x)+1的展开式中，含x2项的系数 为C+C3+C4+…+C2+1=C3+C3+C4+…+C2+1=C4+C4+C号+…+ C21=Cg+C号…+C2+1=C21+C21=C2+2 压轴挑战 A解析： 77..7】=7×85+7×84+7×83+7×82+7×81+7×80=7×(85+ 6个7 84+83+82+81+80)=7× 1-8 1-8 =86-1=(10-2)6-1=Cg×106+C6×103× (-2)1+…+C6×101×(-2)5+C%×10°×(-2)6-1=10×[C%×105+C6× 104×(-2)1+…+Cg×10°×(-2)5]+Cg×10°×(-2)6-1， 因为10×[C%×105+C6×104×(-2)1+…+C2×10°×(-2)3]是10的倍数， 所以换算后这个数的末位数字即为C×10°×(-2)6-1的末位数字，由 C6×10°×(-2)6-1=64-1=63，得末位数字为3，故选A. 6.3阶段综合 黑题 阶段强化 1.D解析：(5-y)4=x2y2(-万)4，只需求(-万)展开式中 选择性必修第三册·RJ 的含y项的系数， :(-5)的展开式的通项为T1=C4()(-)',令 4r2,得r=2,展开式中xy的系数为C好=6，故选D. r=2, 2.A解析：A-B=37-C×36+C2×35-C2×34+C1×33-C3×32+C9×3-1= (3-1)7=27=128.故选A. 3.B解析：二项式展开式通项公式为T+1=Cm(3x)'=3Cx',所以 二项式展开式的第6项和第7项分别为3Cx3和36Cx,所以由题 意可知a5=35C5,a6=36C5， 所以由a5=a6得35Cg=3c=31(-561(n-6)1m-52’ n! 3×n！ 所以n-5=2,即n=7.故选B. 4.B解析：由题意可知Cn=a,C2m+1=b,13a=7b,13Cm=7Cm+1, 即13x(2m=7X(2m+1)1 m!·m! m!·(m+1)化简得13=7x2m+1 m+,解得m=6.故 选B. 5.ACD解析：对于A,令x=1可得23+(-1)8=ao,所以ao=9,故A正 确；对于B,(x+1)3+(x-2)8=[(x-1)+2]3+[(x-1)-1]8,则43= Cg2°+C(-1)5=1-56=-55,故B错误；对于C,令x=2可得 33=27=ao+a1+a2+a3++ag,故C正确；对于D,x5项的系数只能来 自(x-2)8的展开式，含x6项的系数是C?(-2)2=28×4=112,故 D正确.故选ACD. 6.D解析：形如x3yz(m,n∈N)的所有项，即C(3x)3(y-2z)3展 开式中所有项，令x=y=z=1,得x3ymz(m,neN)的所有项的系数之 和是C×33×(-1)5=-1512,故选D. 7.B解析：因为(1+2x)(2-x)6=ao+a1x+a2x2+…+ax, 令x=1可得a+a1+a2+a3ta4+a5+a6ta,=3, 令x=-1可得a0-a1+a2-a3ta4-a5+a6-a,=-36=-729, 所以ao+a2ta4+a6 3-729=-363,a1+a3+a5+a 3-(-729）=36. 又(1+2x)(2-x)6=(2-x)6+2x(2-x)6,其中(2-x)6展开式的通项 为T+1=2rC6(-x)'=2-r×(-1)rC%x(0≤r≤6且reN),所以 a6=2Cg+2×2C8×(-1)5=-23,所以a0+a2+a4=-363-a6= -363+23=-340,所以o+a+a4=-340.170 01ttas+a,366183放选B. 12-r 8则将折：（停2）黄展开式通项-· 、12 x 3 (2厂令-6得-6（停）八(2”-c2思 展开式的中间一项为924.故答案为924. 9.2解析：因为E+a）的展开式的通项为T1=C5()5, (任广=Gg0号，令5”1，即=1时，的系数为5a,面二项式 系数的最大值为C=10,所以5a=10,即a=2. 10.15360x登解析：由题意可知之+1=6，解得n=10,故展开式的 通项为1=Co2学设第(r+1)项的系数最大，则 「21 22 (C0·2≥C8·21, 2≥2 3 ≤3 10-rr+1' 1eN,=7,展开式中的系数最大的项为I,=C3,2x0”= 15360.2.故答案为15360x兰. 11,(1)证明：若选①，令x=1,则所有项的系数和为3”，二项式系数之 和为2“.因为展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比 为729：64，所以=(2）广7-(3） 2n ,解得n=6,故T+1三 C422宁(0≤≤6，reZ).若1是常数项，则2子=0，得 3 2任N,故展开式没有常数项；若选②，因为前三项的二项式系数之 黑白题08 和为2，所以c+C以+C2=1+n+n(n,》=2,整理得n2+n-42=(n 2 6)(n+7)=0,解得n=6.故T,+1=C62-x23(0≤r≤6，r∈Z).若 T,是常数项，则2-子-0，得=子N,故展开式中被有告数现 (2)解：由(1)得，T+1=C2-x2字(0≤r≤6，r∈Z).当且仅当2- 3为整数时，T+1是有理项又因为0≤r≤6，r∈Z,所以r=0,3,6. 4 故展开式中有3个有理项，分别为T1=Cg×2x2=64x2,T4=C2× 22x-2=160x2,T2=C8×2°x6=x-6, 专题探究1“杨辉三角”的应用 黑题专题强化 1.C解析：结合题意可得入=3+3=6,4=4+6=10，故选C. 四方法总结 杨辉三角中的数的特点： (1)每一行有(n+1)个数字，每一行两端的数字均为1； (2)从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上） 的两个数字的和. 2品1013解析：第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 C212.2 C326611 第2024行有2025个数，中间的一个数最大，是第2024+1=1013.故 2 答案为品：1013 3.32解析：第n行从左到右第11个数为C0,第12个数为C1,依题 n 。101·(n-10)im-102,解得 。=1即101·（m-10)L-11！·(n-11)111 n！ 11！·(n-11) n=32.故答案为32. 4.B解析：由题意可知，从第2行开始，第n行的第3个数字为C2,故 从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为C子+C?+C经+…+ C324=Cg+C3+C+…+C324=C4+C+…+C吃24=…=C524+C吃24= C32s.故选B. 5.4084解析：根据题意，2为杨辉三角的第三行中去除1后的数，共 1个，3,3为杨辉三角的第四行去除1后的数，共2个，4,6,4为杨辉 三角第五行去除1后的数，共3个…故可设去除1后，杨辉三角从 第n(n≥3，neN*)行开始，共有(n-2)个数在数列{an}中，则前n行 共有1+2+3++(n-2)=n-2m-)(个)数，又当n=12时， 2 12-2)(12-D=55<56,n=13时，13-23-1=6>56，放5%中 包括了杨辉三角从第3行开始至第12行去除1后所有的数，以及第 13行去除1后的第一个数，故S6=C2+(C+C好)+(C4+C+C)+ (Cg+C2+C+C)+…+(C+C2+…+Cl0)+C12=(22-2)+(23-2)+ (24-2)+(23-2)+…+(211-2)+12=(22+23+…+211)-2×10+12= 4x(1-20)-8=22-12=4084.故答案为4084 1-2 6.951解析：由杨辉三角性质，得S(31)=C2+C号+C+C+…+C16+ C16+C,=(C2+C时+…+C6)+(C3+C3+…+C,)=(C经+C+Cg+…+ C16)+(C+C3+…+C)-1=C,+C8-1=951.故答案为951. 第六章章末检测 1.B解析：因为c经=A,所以22mx(2n-1)=5x4×3×2x1,即(2n+ 15)(n-8)=0,又n∈N",2n≥2，所以n=8.故选B. 2.D解析：因为每名同学都有4种选择，所以由分步乘法计数原理可 知不同选法的种数为4×4×4×4×4=45.故选D. 3.D解折：由题意知，(2.2)°展开式的通项为71=C5(). x 参考答案 (2厂=(-2rc,令r=3,得71=(-2)9c= -160x3,即第四项为-160x3.故选D. 4.C解析：从一排的6个位置选2个摆放残奥会吉祥物即可（剩下的 4个位置放奥运会吉祥物)，C2=15.故选C. 5,B解析：因为A在B的前面出场，且A,B都不在3号位置，则情况如 下：①A在1号位置，B有2,4,5三种位置选择，有3A3=18(种)次 序：②M在2号位置，B有4,5号两种选择，有2A=12(种)次序：③M 在4号位置，B有5号一种选择，有A号=6（种）次序.故共有18+12+ 6=36(种)次序.故选B. 6.A解析：因为3224=9102=(10-1)102=C902×10102-C02× 101o1+…+C188×102-C482×10'+C吲8船×10°，而C9012×101o2- Co2×10101++C188×102-C18船×10是10的倍数，所以3224的 个位数是C8×10°=1.故选A. 7.C解析：先对正方形ABCD涂色，共有5种颜色可供选择，然后涂 △ABE区域，有4种颜色可供选择，接下来涂△BCF区域，有3种颜 色可供选择，若△CDG区域与△ABE区域同色，则△ADH区域有3种 颜色可供选择；若△CDG区域与△ABE区域不同色，则△CDG区域 有2种颜色可供选择，△ADH区域有2种颜色可供选择.由计数原理 可知，不同的涂色方法种数为5×4×3×(1×3+2×2)=420.故选C. 8.C解析：最后一只次品正好在第四次测试时被发现的不同情形 有A4=24(种)，故A正确；最后一只次品正好在第五次测试时被发 现的不同情形有C6×C×A4=576(种)，故B正确；所有次品正好是 第六次测试时被全部查出的不同情形有C?×C×A+A= 7920(种)，故C错误：因为共有10只不同的实验产品，所以4只次 品全测出至多需要九次测试，故D正确.故选C. 9.BD解析：展开式共有7项，故A错误；展开式的各二项式系数的和 为26=64，故B正确：展开式的第6项是C×51(-x)5=-30x,其系 数为-30，故C错误：展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大 故D正确.故选BD. 10.BCD解析：对于A,参观券相同，只需从5人中选出3人，方法有 C3=10(种)，故A错误；对于B,将5封信投人3个邮筒，每封信都 有3种选择，故不同的投法有3种，故B正确；对于C,从6名男生 和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生， 包含的类别有1男3女，2男2女，3男1女，即C6×C+C×C+C× C4=194(种)，故C正确：对于D,现将5封信分成4组有C?种，再 将分好的4组全排列，对应4个信箱，有A4种，则不同的投法共有 C×A4种，故D正确故选BCD. 11.BD解析：由于x8=[-t+(x+t)]8,所以a1=Cg(-t)7=-8t7=8,所 以t=-1,a2=C?（-t)6=28t6=28,故A错误，B正确， x8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a8(x-1)8,令x=1,可 得a=1;令x=2,可得28=a0+a1+a2+a3+…+ag;令x=0,可得0= 28 a0-a1+a2ag+…+ag;由此可得a2+a4+a6+ag=2-a0=128-1= 127,故C错误，D正确，故选BD. 12.40解析：由题意小李借的书可分为3类，由分类加法原理得15+ 16+9=40,故答案为40. 13.2解析：x(a-x)6的展开式中含x2的项的系数为Cg·a5· （-1)=-192,解得a=2.故答案为2. 14.113003解析：依据给定条件我们发现第8条线为1,6,10,4，第 9条线为1,7,15,10,1，第10条线为1,8,21,20,5，第11条线为1， 9,28,35,15,1,第12条线为1,10,36,56,35,6，第13条线为1,11， 45,84,70,21,1,第14条线为1,12,55,120,126,56,7，第15条线为 1,13,66,165,210,126,28,1,第16条线为1,14,78,220,330,252 84,8,第17条线为1,15,91,286,495,462,210,36,1，第1条线和 第2条线有1个数，第3条线和第4条线有2个数，第5条线和第 6条线有3个数，第7条线和第8条线有4个数，所以线的条数每增 加2，其含有数字的个数增加1，所以第21条线上的数共有11个数， 我们发现第1条线只有数字1，所以它的最大数为1，第5条线有1， 3,1,所以最大数为3，第9条线有1,7,15,10,1，所以最大数为15 第13条线有1,11,45,84,70,21,1，所以最大数为84，第17条线有 1,15,91,286,495,462,210,36,1,所以最大数为495，若设线的条数 为4n+1,则第21条线中的最大数也满足第1,5,9,13,17条线上的 最大数的规律，而我们继续写杨辉三角，我们可以得到剩下的行，第 黑白题096.3 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：30min 1.(2024·河北石家庄高二期末)(x-yE)4 12 8.(2024·天津河东区高二期中) 的展开式中xy的系数为 ( A.-4 B.4 C.-6 D.6 展开式的中间一项为 2.设A=3+C2×35+C4×33+C×3,B=C×36+C3× 9二项式（医+）广的展开式中x的系数等于其 34+C3×32+1,则A-B的值为 项式系数的最大值，则a的值为 A.128 B.129 C.47 D.0 3.(2024·安徽六安高二期中)设(1+3x)”=a+ 10.(2024·山西大同高二月考)已知(+2)月 a1x+a2x2+…+anx,若a5=a6,n= ( 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大， A.6 B.7 C.8 D.9 则该展开式中系数最大的项为 4.设m为正整数，(x+y)m的展开式的二项式系 11.(2024·江苏南通高二期中)在以下两个条 数的最大值为a,(x+y)2m1的展开式的二项式 件中任选一个条件，补充在下面问题中的横 系数的最大值为b,若13a=7b,则m=( 线上，并完成解答。 A.5 B.6 C.7 D.8 ①所有项的系数之和与二项式系数之和的比 5.（多选)(2024·重庆九龙坡区高二期中)若 为729：64； (x+1)3+(x-2)8=ao+a(x-1)+a2(x-1)2+ ②前三项的二项式系数之和为22. a3（x-1)3++ag(x-1)8,则以下结论正确的是 问题：在(2左+)(n≥2，n∈N)的展开 A.a=9 式中， B.a3=55 (1)证明展开式中没有常数项； C.a0+a1+a2+a3+…+ag=27 (2)求展开式中所有的有理项. D.含x6项的系数是112 6.(2024·江西赣州高二期中)在(3x+y-2z)8的 展开式中，形如xy"z(m,n∈N)的所有项的 系数之和是 ( A.256 B.-256 C.1512 D.-1512 7.(2024·湖南益阳高二期末)已知(1+2x)· (2-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a,x7,那么 ao+a2+4的值为 a1+a3+a5+a7 4.170 C.21 121 D.- 183 B.、170 183 122 122 选择性必修第三册·RJ黑白题16 专题探究1“杨辉三角”的应用 黑题 专题强化 限时：30min 题组1 “杨辉三角”的简单应用 题组3 “杨辉三角”中的数列求和问题 1.(2023·湖南怀化高二期中)(a+b)”(n∈ 4.（2024·安徽芜湖高二期中）杨辉三角（如图 N*),当n=1,2,3,4,5,6时展开式的二项式 所示)是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角 系数表示形式： 中从第2行到第2024行，每行的第3个数字 (a+b1------- (a+b}2.-----. 之和为 2 ( (a+b)3----…13 3 (a+b)---14入41 第0行 (a+b5-…151051 第1行 (a+b)-1615201561 第2行 2 借助上面的表示形式，判断入与的值分别是 第3行 33 1 第4行 14641 ( 第5行 15101051 A.5,9 B.5,10 C.6,10 D.6,9 A.C24 B.C2o25 题组2“杨辉三角”中的比值问题 C.C24-1 D.C22s-1 2.(2024·河北张家口高二月考)在我国南宋数 5.（2024·陕西西安高二月考)我国 学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一 南宋数学家杨辉1261年所著的 书中展示了二项式系数表，即杨辉三角.数学 《详解九章算法》一书里出现了如图所示的 爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，第12行 表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成 中从左到右第2个数与第3个数之比 就.在杨辉三角中，若去除所有为1的项，依次 为 ,第2024行的第 个数 最大 构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，记作 第0行 数列{an},若数列{an}的前n项和为Sn, 第1行 第2行 则S56= 第3行 第4行 6 第5行 51010 3.(2024·山东菏泽高二期中)如图 121 133/1 1331 在由二项式系数所构成的杨辉三 1文4641 1 46/ 〔1文5101051 15i0/1051 角中，第 行中从左至右第11与第12 个数的比为1：2. (第5题)》 (第6题) 第0行 6.（2024·湖北武汉高二月考)如图所示，在杨辉 第1行 第2行 三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个 第3行 第4行 锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…记这个数列 第5行 前n项和为S(n),则S(31)= 第六章黑白题17