上分专题06 利用导数运算法则巧构函数解题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

.Sn=(n-1)·2+1. (3)解：由已知可得c.= (-1) -+1=1+(-1)m· n·2+1- (合)广，当n为奇数时6，=1（分）广八<1：数列1c.为递 增数列…当=1时，。取最小值6=分，此时分 f2sc.<1; 当n为偶数时，6=1+（分八>1：数列16，为递减数列， 当n=2时，6，取最大值=子，此时1<c.≤4， 5 5 1 2≤≤且6,1 2x-3<2 15 子因此， 解得5 入74 实数A的眼值范蹈为(？，子)】 7(1)解：因为8+ +2m,当n≥2时，S1=2(n-1)2+ a-10=+号-2.则=8-5=+2(a≥2，义 5 a1=S,=3,符合上式，所以an=n+2,n∈N. (2)证明：（1)令b,= ）广=（史）广>0则会 a]°导广导因 n≥1，则- 1.期o'…器 n (n+1)2] …t+30+3at2t>1,则62地 n+1(n+1)3 所以数列{（色，）广}为递带数列 (面)因数列{()广}为递增数列，则当n≥2时。 广=(）八（生）广=2，则()八>h2即 2h()则2+12++2() h(侵)+h()即(1+++)h2 a*1则1+分++g≥2 8.(1)解：因为an=(-1)“(2-7)(1≤n≤5)，所以a1=5,2= -3,a3=-1,a4=9,a5=-25,所以数列{an}的“低洼点”为2 和5. (2解：您超直，8-6(2-1)，因为数列 {S安}存在“低挂点”，所以存在(a≥2)，使得S* 1 6+6,所以6，(2-1)+万 0*326*即6(2-2 古·则时士起为{亡}单河递淡.所以当2 时，的最大值为子，所以所<写又因为b>0,所以06，< 2-1 参考答案 当0时，有88+所以数列{5号}存 在“低注点”所以6，的取值范菌为0，) (3)证明：①若cn≥c(n≥2)，则数列{cn}不存在“低注点”， 即s=0,由cm-c1≥0，得c1-cn≤0，所以c1-cn≤s; ②若存在c,使得cn<c1,下面证数列{cn}有“低注点”， 若c2<c1,则2是数列{cn}的“低注点”，若c2≥c1,因为存 在cn,使得cn<c1,所以设数列{cn}中第1个小于c1的项 为cn,则cn,<c1≤c,(2≤i≤n1-1),所以n1是数列{cn}的第 1个“低洼点”，综上，数列{cn}存在“低洼点”.不妨设数列 {c,}的“低注点”由小到大依次为n1,n2,…,几，则c1 是c,c1C2,…,cn11,1中第1个小于c,的项， 故c4c1≤c1r1-c因为c,≥c1-1(2≤n≤m),所 以ca1-c,≤1，所以c4rl-c1≤1，故c,-cn1≤1，所 以c1-cn≤c1-cn,=(c1-cn)+(c1cn2)t…+(cn1c,）≤ （cm-1-cm）+(cm2-1-cn2)++(c-1-cn,)≤1+1+1+…+1(s个 1),故c1-cm≤s. 上分专题06利用导数运算法则巧构函数解题 1.B解析：令g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x>0,所以 g(x)在R上单调递增.又f(2)=5,所以g(2)=f(2)-2=1, 不等式f(x)>x2+1,即fx)-x2>1,即g(x)>g(2),所以x>2, 即不等式f代x)>x2+1的解集为(2，+0). 2Ac解折：因为当0时")+宁>0，令g()到- 是，可得g()-'()+>0,所以g)在(0，+)上单调 递增.因为f(1)=1,可得g(1)=f(1)-1=0.对于A,因为 g)在(0，+)上单调递增，所以g(兮）g(),即 g(兮)-f(兮）十0，化简可得f(兮)<3，故A正确； 对于B,因为g()在(0，+)上单调递增，所以g(日) (1),即g(日)/(）<0，化简可得f(日)<m,放 B错误；对于C,因为g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以 g(log,e)>g(1),即g(lge)=f1og,e）1og,e 1 >0，化简可得 flog2e)>ln2,故C正确；对于D,因为g(x)在(0，+∞)上单 调通增，所以g（h3)>g(1),即g(血3)=n3)30,化 简可得fln3)>loge,故D错误 3.(3,+o)解析：设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=∫'(x)-1>0恒 成立，故函数在R上单调递增f(1+x)+f(1-x)=0,则f(2)+ f(0)=0,即f2)=2,故g(2)=f(2)-2=0.f(x-1)>x-1,即 g(x-1)>0,即g(x-1)>g(2),故x-1>2,解得x>3. 4.B解析：根据题意知f(x)<f'(x),即f'(x)-f(x)>0,构造函 数g(x)-八，可得g()=f'（),因为r“(> e 0,所以g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增，则2024) e2024 黑白题59 f2025),两边同乘e2,即2024)<f(2025). e2025 5.B解析：令g()-,则g(x)=寸()2)，因为在 (0,+∞)上，f'(x)-2f(x)>0恒成立，可知g(x)在(0，+∞) 上指西为）-：（台）百 当时，即1，可得（合）因为)在 (0,+0)上单调递增，所以0<x<2 6.D解析：因为(x2f(x))'=2xfx)+x2f'(x)=x(2f(x)+ xf'(x),又xf'(x)+2fx)=e,所以(x2fx)'=xe*,所以 当x>0时，(x2f(x))'=xe>0,所以函数x2fx)在(0，+∞) 上单调递增因为2<3，所以42)<9(3)，所以2)3) 9 4 B错误；因为2e,所以42)<e),所以2<g,D正 。2 确；因为(x2fx)'=[(x-1)e]',故x2fx)=(x-1)e+C, 又xe(0,+0),所以)=-)c+C,所以xx)= -1)e+e,故[x]'=e-(-1c-C,所以 x2 [x]-（任-+1)。-C,当c=0时，[f]'>0,所以 x2 函数xf代x)在(0，+∞)上单调递增.又e<e2,所以 e)<心e),所以gc),所以A不一定正确：因为 03 e --e+C,所以型--C所以]- x2 x2 x4 [-》ec]--2-4c,设g=-2e-4C, 则g'(x)=(x2-2x)e,所以当x>2时，g'(x)>0,函数g(x)= (x-2)2e*-4C在(2，+∞)上单调递增，所以若2<x≤3，则 g(x)≤g(3)=e3-4C,取C=10,可得当2<x≤3时，g(x)<0, 所u当6=10,23时g]小c0,两数9在(2， 上单两递减，所以9g,所以C不一定正确 e2 四方法总结 构造法求解f(x)与f'(x)共存问题的求解策略： 对于不给出具体函数的解析式，只给出函数f(x)和∫'(x)满足 的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构 造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：∫'(x)g(x)± f(x)g'(x)型；xf'(x)+nf八x)型；入f(x)f(x)(入为常数)型. 7.(1,+o）解析：Hx∈R,2f(x)+f'(x)<0,构造F(x)= fx)·e2-2,所以F'(x)=f'(x)·e2-2+f(x)·2e2-2= e2-2·[f'(x)+2f(x)]<0,所以F(x)在R上单调递减，且 =)。=3,不等式图是可化为)· e2-2<3,即F(x)<F(1),所以x>1,所以原不等式的解集为 (1,+∞). (） 解析：由题意，函数f(x)满足f'(x)cosx+ 选择性必修第二册·RJ 代)inx<0,令F()=到，则F'(x）= COS f'(x)os+x)sim:<0,函数F()=f是定义域 cosx COSx (受，受)内的单调递减函数，由于c>0,则关于x的 不等式(任)：可化为(】 ,即 cos 6 F(g),所以-<且>石得号所 以不等式)<2（君）x的解集为（日，号）】 9.[e,+o)解析：因为f(2-lnt)-2≥f(lnt)-2lnt,所以 2-h)-(2-h)≥fa)-h,即f2-h)-2(2- h=0n)-7（识设g(e到=到-，g(e f'(x)-x,当x∈(0，+0)时，恒有f'(x)<x,故x>0时， g'(x)<0,所以g(x)在(0，+∞)上单调递减，g(-x)= -(-=到-2=g(),则g)是偶函数， 则2-lntl≤IIn tl,解得lnt≥l,即t≥e. 10.[-1,+o)解析：设g(x)=f(x)-3x2+x,定义域为R,因 对于任意实数x,都有fx)=6x2-f(-x),由g(-x)+g(x)= f(-x)-3x2-x+f八x)-3x2+x=f(-x)+f(x)-6x2=0,可得 g(-x)=-g(x),即函数g(x)为奇函数.又因当x∈ (-∞，0)时，g'(x)=f'(x)-6x+1<0,可得g(x)在(-∞，0) 上单调递减.又函数g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递 减.由f(m+2)≤f-m)+10m+10可得f(m+2)-3(m+2)2+ (m+2)≤f-m)-3(-m)2+(-m),即g(m+2)≤g(-m), 由函数单调性可得m+2≥-m,解得m≥-1. 11.（-∞，-1)U(1,+)解析：令g(x)=efx),则 g'(x)=e[f(x)+f'(x)],当x≤0时，f'(x)+f(x)>0, 且e>0,.当x≤0时，g'(x)>0,即g(x)在(-∞，0]上单调 递增.由e2f代x)+e2f'(x)+f(-x)+f'(-x)=0,得e[f(x)+ f'(x)]+e[f(-x)+f'(-x)]=0,则g'(x)+g'(-x)=0, 即g(-x)=-g'(x),则g(x)是奇函数，设c(x)=g(-x) g(x),则c(0)=g(0)-g(0)=0,c'(x)= -g'(-x)-g(x)=-[-g'(x)]-g'(x)=g'(x)-g'(x)=0, c(x)是常数，得c(x)=c(0)=0,因此g(-x)-g(x)=0, 即g(-x)=g(x),故g(x)是偶函数.：g(x)在(-∞，0]上 单调递增，∴g(x)在(0，+∞)上单调递减.：f(1)=0, ∴g(1)=e1)=0,g(-1)=g(1)=0.当x<-1时，g(x)< 0;当-1<x<1时，g(x)>0;当x>1时，g(x)<0.又e>0, ∴f(x)<0,即g(x)<0,则x<-1或x>1,所以不等式f(x)<0 的解集为(-∞，-1)U(1,+0). 上分专题07利用导数证明不等式 1.解：(1)设x-y+m=0与函数f(x)=lnx的图象相切于点 Prw),因为（到=所以f"()=1因为%>0， 解得x=1,所以yo=lnxo=0,所以点P到直线y=x+1的最 小距离为d=11-0+11 =√2. √12+(-1)7 黑白题60上分专题06 利用导数运算法则巧构函数解题 命题密钥 导数与不等式都是高考中的重点与难点，以导数为背景的抽象函数与不等式交汇问题是 热点问题，求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数，再利用导数的运算 法则确定所构造函数的单调性，最后由单调性研究不等式问题， 导数问题由于其蕴含着丰富多彩的思想方法、题目综合性强、对学生数学思维要求高的 特点，导致很多学生对于导数题目望而却步，利用导数运算法则构造函数正是其中的一个难 点.构造函数是一种富有创造性的方法，它很好地体现了数学中函数与方程、转化与化归的思 想，渗透着猜想、试验、探索、概括、特殊化的数学研究手段，能有效培养逻辑推理、数学抽象、 数学运算、直观想象等数学核心素养 这类题目的条件具有相似之处，题干中大多会出现同时有f(x)和f'(x)的代数式，根据 这一特征，可以准确地识别这类问题.想解决这一类问题，需要我们熟练掌握一些常见的函数 结构模型，尤其是利用导数的积商求导法则构造函数模型，基于这些模型，我们能更好地理解 问题、解决问题 考点觉醒 ·利用导数运算法则进行构造(C为常数) 和差运算法则 遇到f'(x)±g'(x) 构造y=g(e)±fx)+C 加法构造y=fx)gx)+C 积商运算法则 遇到f'(x)g(x)±fx)g'(x) 减法构造)=细+C g(x) ●利用函数积商求导法则的常见构造(C为常数) 求导法则 条件形式 构造形式 遇到f(x)+f'(x) 构造g(x)=ef(x)+C 两个函数积的求导法则 遇到nf(x)f'(x) 构造g(x)=ef(x)+C 遇到n时f(x)+对f'(x) 构造g(x)=xf(x)+C 遇到f'(x)-f(x) 构造g(x)=f -+C 两个函数商的求导法则 遇到f'(x)-时f(x) 内6- 遇到xf'(x)-nf(x) 构造g(x)=)+C 遇到条件含有三角函数时，就尝试构造g(x)=代x)sx+C,g(x)=f】+C等形式 sin x 数学1选择性必修第二册·RJ 实战演练 题组1利用函数和差求导法则构造函数 6.禁(2025·江苏扬州高二期中)设f'(x) 1.*(2025·江西宜春高二月考)已知f'(x) 是函数f(x)定义在(0，+∞)上的导函数，满 是函数f(x)(x∈R)的导数，且Hx∈R, 足f'(x)+2f(x)=e*,则下列不等式一定成 f'(x)>2x,f(2)=5,则不等式f(x)>x2+1的 立的是 ( 解集为 ( A.Re)fe) B.f2)3) A.（-∞，2) B.(2,+∞) e2 e 9 4 C.(-∞，V2) D.(2,+o) 2.整（多选）(2025·湖南郴州高二月考)已 cM 9 D.R2)fe) e21 4 知定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导数为 7.禁(2025·四川达州高二期末)定义在R 上的函数fx),且f1)=3,对Vx∈R,2fx)+ f'(x),若f(1)=1,且f'(x)+2>0,则下列 f'(x)<0则不等式<3的解集 式子中一定成立的是 e2 Af(号)k3 B.()>m 是 8.#(2025·湖南邵阳高二期末)已知函数 C.f(logze)>In 2 D.f(In 3)<logse 3.*(2025·福建莆田高二月考)已知函数 )的定义域为（日，），其学函数是 f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为 f'(x).有f'(x)cosx+f(x)sinx<0,则关于x f'(x).若对任意x∈R有f'(x)>1,f(1+x)+ 的不等式f(x)<2f( cosx的解集 f(1-x)=0,且f(0)=-2,则不等式f(x-1)> x-1的解集为 为 题组2利用函数积商求导法则构造函数 题组3 结合奇偶性构造函数 4.*(2025·山东威海高二月考)已知f(x) 9.*(2025·山东济南高二期中)已知定义 为定义在R上的可导函数，f'(x)为其导函 在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),且 数，且f(x)<f'(x)恒成立，e是自然对数的 当x∈(0，+0)时，恒有f'(x)<x.若有 底数，则 f(2-lnt)-2≥f(lnt)-2lnt,则实数t的取值 A.f(2024)<ef(2025) 范围为 B.ef(2024)<f(2025) 10.整(2025·重庆九龙坡区高二期中)设函 C.ef(2024)=f(2025) 数f(x)在R上存在导函数f'(x),对于任 D.ef(2024)>f(2025) 意实数x,都有f(x)=6x2-f(-x),当x∈ 5.**(2025·江西萍乡高二期末)已知函数 (-∞，0)时，f'(x)-6x+1<0.若f(m+2)≤ fx)的定义域为(0，+∞)，f'(x)为其导函数， f(-m)+10m+10,则m的取值范围 若对)-2f)>0恒成立，且f(分)=4 为 11.禁(2025·山东德州高二期末)已知定义 则不等式fx)<x2的解集为 在R上的函数y=f(x),其导函数为f'(x), A.(0,1) 当x≤0时，f'(x)+f(x)>0,若e2f(x)+ e2f'(x)+f(-x)+f'(-x)=0,且f(1)=0, c.(2,+0 D.(1,+o) 则不等式f(x)<0的解集为 黑白题·上分秘籍15