5.2.1 基本初等函数的导数&5.2.2 导数的四则运算法则-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

(3)正确.根据导函数的定义知正确 越快，故函数图象在点(x,f(x)(∈(0，十c∞)处的切 (4)错误.若广(）=0说明曲线在x=x处的切线平行于 线的斜率越来越大，又因为2)二山=，所以了)< x轴，不能说不存在 2-1 答系(1)√(2)×(3)√(4)× a<∫(2).故选B项. 关键能力·素养提升 (2)因为函数y=f(x)的图象在x=5处的切线方程是y= [例题1门解析(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,所以切 -x+8,所以f(5)=一1，又f(5)=-5+8=3,所以 f(5)+(5)=3-1=2.故选C项. 点P1.所以1==-+42 答多(1)B(2)C im[3+3△x十（△x)门]=3，所以k=y'1=1=3.所以曲线在 随堂检测·学以致用 点P1,1)处的切线方程为y-1=3(x一1)，即3x一y一2=0. 1.C解韬由切线方程可知切线的斜率为k=一2，所以 (2)设切，点为Q(xn%),则y1=4=1im (xn十△x)3- 了(x)=-2<0.故选C项. △x 8,由题老可知加=儿脚岩号月3又=， 2B霸由题意得y=四公：-四之2 △x △x 以。3，即26--1=0，解得6=1或 所以一1」 lim- 0(4+△x+2)△x ,所以南线在点P4,2》处的切线 ①当=1时，切点坐标为(1，D,相应的切线方程为 1 方程为y一2=红一4)，即工一叶4=0，故选B项 3证-y-2=0:②当西=-2时，切点垒标为(-之， 3D圆霸由题意得Ay=号（红+Ar2+2x+Ar)-之r 日）相应的切线方程为y计言=是(x十)），即3x 2=r·4+△+2A,所以=x+2△r+2,所以 4y+1-0. 广一四公十2花切点坐标为(，则了=和十 [变式1]服玩由海意得△y(4r+2一交-(a+2一1 4 4 2.由已知得xo十2=4，所以x=2.故选D项. 》,所以是=奇所以=四芒 4.A服ǖ由已知条件可得了(1)=ima1+△)-aX1型 △ △x 二清=-1又当x=2时y厂是-=1，所以切 4 lim2a△r+a△r=im(2a十aAr)=2a,所以2a=2,所以 m(a+2)=4 △x a=1(经检验，正确).故选A项. 线方程为y一1=一(x一2)，即x十y-3=0. [例题2]解析设y=fx),则了(x)=mx+△)-f 5.2导数的运算 广* imr+△)2-工=im(2x+△r)=2x,设P(,)是满 5.2.1基本初等函数的导数 △x 足条件的点 (1)因为点P处的切线与直线y=4.x一5平行，所以2x%= 5.2.2导数的四则运算法则 4,解得x=2,所以为=4，即P(2,4). 必备知识·基础落实 (2)因为点P处的切线与直线2x一6y十5=0垂直，且直线 要点二 2红一6十5=0的斜率为号，所以2·号=-1，解得五 0 ax cos x-sinx a'ln a e 1 昌所以=是，即P(-是，号) 要点三 (3)因为点P处的切线的领斜角为135°，所以切线的斜率为 (1)f(x)土g(x)(2)①f(x)g(x)+fx)g'(x) am135°=-1，脚2=-1，解得=-2，所以=} 1 ②cf(.x) (3)gx)-g g(x) 即P(-,}) [辨析]解析(1)正确.常数函数的导数等于0. (2)错误.[f(x)g(x)]了=f(x)g(x)+fx)g(x). [变式2]C解析由题意得△y=(1十△x)3+11一13一11= (3)错说当)=hx时f)=是，所以f@=是1. 3ar)+3ax+(ar八，所以会=3+3Ar+(△r,当△ (4)正确.由f(x)=x2+2x,得f(x)=3x2+2,当x=0时， 趋于0时，3+3△x+(△x)2趋于3，所以曲线在点(1,12)处 k=f(.x)m=2. 的切线斜率为3，故切线方程为3x一y十9=0，令x=0,得 答案(1)√(2)×(3)×(4)/ y=9.故选C项. 关键能力·素养提升 [例题3]解标(1)由导数的几何意义可知，f(a),f(b),了(c) 分别是函数f(x)在x=a,x=b,x=c处切线的斜率，由图 [例题1门研（①）周为y=0s吾-，所以y=0, 象可知f(a)<0<f(b)<f(c).故选A项. (2)从函数图象上看，要求图象在[0，T门上越来越陡峭，在 (2)因为y= 7=x,所以y-5r5 各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输 效率（单位时间内的运输量）逐步提高.故选B项。 (3)因为y= =，所以=. 答室(1)A(2)B [变式3]解析(1)由图象可知，函数在[0，十©)上的增长越来 (4)因为y=lg,所以y=n10 ·146· (5)因为y=5,所以y=51n5. 4.解析当x=0时，y=sin0+e=1,即点(0,1)在函数y (6)因为y=cos(交-x）=inx,所以y=c0sz sinx十e的曲线上，又y=sinx十e的导数y'=cosx十e, 所以在点(0,1)处的切线斜率为k=cos0十e'=2,即在，点(0， [变式1门解析(1)因为y=x行=x,所以y=(x青)' 1)处的切线方程为2x一y十1=0， 音=号近 答率2x-y+1=0 (2)因为y-是-=(x>0,所以y=《=。1(x>0). 5.2.3简单复合函数的导数 x 2元 (3)因为y=sin(π-x)=sinr,所以y=cosx. 必备知识·基础落实 [例题2]解析(1)y=(x+simx)'=(.x2)/十(sinx)'=3x2+ 要点一 cos x. y=f(g(x)) (2)y=(3x2+xeos x)'=(3.x2)'+(xcox)'=3×2r+ [思考]提示函数y=log(.x+1)是由y=log2u及M=x十1两 x'cos x+r(cos r)'=6x++cos a-rsin r. 个函数复合而成的. 8/=()-》+1-业 要点二 (x-1) y。·y对u的导数与u对x的导数的乘积 2 (x-1) [辨析]解析(1)正确.由复合函数的概念知该命题正确。 [变式2]解扬)国为y=一sim受(-c0s受）=2imx,所 (2错误.由复合画载的水导法则可得了)一 (3)错误.由复合函数的求导法则可得f(x)=2xcos2.x 以y=(分snr)/=7osx 2x sin 2x. (2y'-e+1)'(e-1)-(e+1D(e-1D 答系(1)√(2)×(3)X (c-1)2 关键能力·素养提升 =e(e-l)-(e+1)e= 2e [例题1门解析(1)函数y=e+1可看作函数y=e和u=2.x十1 (e-1) (e-1)F 的复合函数，所以y,=y。·=(e)(2x十1)= 3y=gx+ga=bgr+r‘h3b®r+h 1 2e=2e2rt1. (④)周为y=rn=合n,所以y=(分hx (2)函数y=(2x-1D可看作函数y=M和u=2x一1的复 nx+号rh=}nx+2 合函数，所以y=y·=(u3)'(2.x-1)'=-6u= -6(2x-1)4=- 6 [例题3]照析(1)由已知条件可得f(x)=a:十3)一2aE (2.x-1) (x十3)2 (3)函数y=5log(1一x)可看作函数y=5logu和u=1一x 兽干品周为了④D=号所以=受解得a=4故 的复合函数，所以y=y·=(5ogu)'·(1-x)'= 2 -5 5 选B项. uln 2 (-1)In 2 (2)由题意和图象得了(x)=3a.x2+2bx+c,了(1)=0， 3a+2h+c=0, a=2, (④因为n3a/=hw·i=3/=子所以y= f(2)=0,f(1D=5,所以<12a十4h+c=0,解得b=-9,故 a+b十c=5, c=12. hn化-地ne心_士hu1上由 函数f(x)的解析式是f(.x)=2.x2一9x2十12x. (e)2 e re 答系(1)B(2)f八x)=2.2-9.x2+12.x [变式1]解粉(1)令u=3x一2，则y=10.所以y4=y。·= [变式3]B解析f(x)=x2+2a.x+a2-1=[x+(a+1)]· 10ln10·(3.x-2)=3×10-2n10. [.x十(a一1)]，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都 (②)令u=e十x,则y=nu所以y,=·山= 是y轴，此时4=0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函 数f八x)的导函数的图象，由图(3)知f(0)=0,由根与系数 (e+x2)'=e+2a e+r -(a+1)-(a-1)>0:解得a=-1.故fr)= 的关系得{(a+1)(a-1)=0, (3)y=(x√1+F)y'=/1+7+x(1+F)'=1+7+ 号-+1，所以-D=3截选B项 -1+2x2)1+ 1+7 1+x 随堂检测·学以致用 [例题2]解损(1)因为y-os号(sm艺-cos艺)=c0s兰· 1.D解析函数f(x)的导数为了(x)=1十C.故选D项. 2.A解析若f(x)=e,则(x)=e=f(x),故A项符合题 2 意：若f(x)=cosx,则f(x)=一sinx≠f(x),故B项不符 合题意：若f(x)=sinx,则f(x)=cosx≠f(x),故C项不 cos ) 特合题意：若x)=ln,则f)=是≠，故D项不符 I)'= 合题意.故选A项 3.D解枥因为f(x)=x,所以∫(x)=a-1,所以(1) (2)因为=+热兰所以=()+()=2红 cos r a=子，故选D项 cos'r-sin (-sin cOSI ·147数学选择性必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P L.若曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的切线方 D.x-4y+12=0 程为2x十y+1=0,则 3已知曲线)y一十2z的一条切线斜率是4， A.f(x)>0 则切点的横坐标为 () B.f()=0 A.-2 B.-1 C.f(.x)<0 C.1 D.2 D.f(x)不存在 4.设曲线f(x)=ax2在点(1，a)处的切线与直线 2.曲线y=x在点P(4,2)处的切线方程为 2.x一y一6=0平行，则a= () A.1 B分 A.x+4y+4=0 B.x-4y+4=0 c号 D.-1 C.x+4y+12=0 提示完成P课时作业（十三） 5.2导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数 5.2.2导数的四则运算法则 [学习目标]1.能根据导数定义求函数y=C,y=x,y=x,y=x3,y= ,y=√元的导数，发展数学运算的核心素 养.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法則，求简单函数的导数，增强数学运算的核 心素养（重点、易混点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点一·几个常用函数的导数 要点二基本初等函数的导数公式 (1)f(x)=c(常数)，则f(x)=0: 原函数 导函数 (2)f(x)=x,则f(x)=1: f(x)=c(c为常数) f(x)= (3)f(x)=x2,则f(x)=2x: fx)=x(a∈R,且a≠0) f(x)= f(x)=sin r f(r)= (4)f(x)=x2,则f(.x)=3x2: f(x)=cos x f(.x)= 6)fx)=则了x)=-之 f(x)= fx)=d(a>0,且a≠1) (a>0,且a≠1) (6)f(x)=,则(.x)= f(z)=e f(x)= 2 ·46· 第五章 一元函数的导数及其应用 (续表) (8)商的导数[密引 原函数 导函数 f(x)=log.r(a0, f(x)= (g(x)≠0). 且a≠1) (a>0,且a≠1) 辨析 f(r)-Inr f了(x) 判断正误，正确的画“J”,错误的画“×” 要点三导数的运算法则 (1)若f(x)=0,则f(x)=0. () 一般地，对于两个函数f(x)和g(x)的导数有 (2)若F(x)=f(x)g(x),则F(x)=f(x)· 如下法则： g'(x) () (1)和差的导数[f(x)士g(x)] (3)若f(x)=lnx,则f(e)=l. () (2)积的导数 (4)若f(x)=x3+2x,那么f(x)在处的切 ①[f(x)g(x)]'= ②[cf.x)]'= 线斜率最小时x=0. () 关键能力素养提升 答案见P6 探究一利用导数公式求函数的导数 【变式1】求下列函数的导数. (1)y=x:(2)y=工(x>0): 规律总结 (3)y=sin(-x). (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公 式求解」 (2)对于不能直接利用公式的类型，一般遵循 “先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的 运算失误。 (3》要特别注意“1与nx”…d与log.x”“sinz 与cosx”的导数区别 【例题1】求下列函数的导数 (3)y= 探究二 利用导数的运算法则求导数 (4)y=lg:(5)y=5;(6)y=cos(受-x: 规律总结 (1)理解并掌提求导法则和公式的结构规律， 熟记常见基本初等函数的导数公式是进行求 导运算的前提. (2)进行求导运算时，要善于分析函数解析式 的结构特点，必要时应先对解析式进行恒等 变形，化简解析式，再求导 47 数学选择性必修第二册课堂学案 【例题2】求下列函数的导数. 探究三导数计算的综合应用 (1)y=x+sinx: (2)y=3x2+xcosx; 规律总结 (3)y= x-1 三次函数求导问题 由于三次函数的导数是二次函数，因此将导 数的计算与二次函数的图象和性质结合起来 比较容易理解.解题时应回顾二次函数的单 调性、最值、图象的对称轴、二次项系数对图 象的影响等 【例题3】1已知函数)-纤3若了1) 2则实数：的值为 A.2 B.4 C.6 D.8 (2)已知函数f(x)=a.x3+ b2+cx的图象过点(1， 【变式2】求下列函数的导数 5),其导函数y=f(x)的 (4)y=-sin1-2cos2): 图象如图所示，则函数f(x) 的解析式为 (2)y=C+1 e-1i (3)y=rlogs.x; (4)y=xln√x. 【变式3】如图中有一个图象是函数∫(x)= 言女+ar+(a-1r+1a≠0)的导函数的 图象，则f(一1)= 7分 1 . C. D-号或号 444444444444444444444+44444 48 第五章一元函数的导数及其应用 随堂检测学以致用 答案见P 1.函数f(x)=x+e的导数是 3已知fx)=r(a∈R,且a≠0)，若f)= A.e B1+号 则a= () C.1+re-1 D.1+e A号 B号 2.下列函数满足(x)=f(x)的是 A.f(x)=e Cg D B.f(r)=cos r 4.函数y=sinx十e在点(0,1)处的切线方程为 C.f(r)=sin D.f(x)=In x 是示完成Ps课时作业（十四） 5.2.3简单复合函数的导数 [学习目标]1.了解复合函数的概念，培养数学抽象的核心素养（易混点）.2，理解复合函数的求导法则，并能求 简单的复合函数（限于形如f(ax十b)的导数，发展数学运算的核心素养（重点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点一复合函数的概念 要点二复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 复合函数y=f(g(x)的导数与函数y= 如果通过中间变量，y可以表示成x的函数， f(u),u=g(x)的导数间的关系为y= 那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x) ,即y对x的导数等于 的复合函数，记作 →思考：函数y=log2(x十1)是由哪些函数复合 而成的？ 辨析 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” (1)函数y=sin(xx)的复合过程是y=sinu, u三πx. () (2f)=lh(3.x+1),则fx)=3x+ () (3)f(x)=x cos 2x,f(x)=2xcos 2x+ 2xsin 2.x. ·49·