5.2 导数的运算 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

黑题应用提优 1.B解析：由题意有y=12n(任分）-12a子，所以 y'=12× 4 sin- 41=3msin牙6，当t=28时，y= 3mn(牙x2)=3msin7-3m 121 2.A解析：f1)=0f'(x)= 子+x-1寸"(1)=3，所求切线方程 2x+1 为y=3x-3. 3.D解析：依题意，g(x)=e*(ax2+bx+c),求导得g'(x)= -e*(ax2+bx+c)+e*(2ax+b)=-e*[ax2-(2a-b)x+c-b], 察g'(x)的图象，得g'(0)=-(c-b)=0,即b=c,g'(x)的另 -个零点为202合>1，脚<1，所以有日1b=e 4.C解析：因为f(x2+1)=f2(x)+f2(1)+x2,且f(1)=1,令 x=1,得f(2)=f2(1)+f2(1)+1=3.对f(x2+1)=f2(x)+ ∫2(1)+x2两边同时求导，得2对'(x2+1)=2f'(x)f(x)+2x, 即xf"(x2+1)=f'(x)f(x)+x令x=1,得f'(2)=f'(1)· 1)+1=1令=2，得(5)=2n2)+2=2× 33 32=号故f(3)= 5.C解析：设直线与曲线y=ln(2x)的切点坐标为(x1, ln(2x1)且x1>0,与曲线y=-ln(-2x)的切点坐标为(x2, -a(-2,)且名<0，又y=(h(2✉)'=，y= [-h(-2)]'=子，则直线y=+6与曲线y=l(2x)的切 线方程为y-1h(2x)=(x-),即y=x+ln(2x)-1,直 线y=x+b与曲线y=-ln(-2x)的切线方程为y+ (-2x)=-（x-）,即y=1 x+1-ln(-2x2),则 (1=-1 12 x12’ 解得 e ln(2x1)-1=1-ln(-2x2),x2=-2, ln(2x1)-1=0. 6.6x-y-2=0解析：把x=1代入y=2x+1,解得y=3,即 g(1)=3,由y=2x+1的斜率为2，得到g(1)=2.:∫'(x)= 2g'(2x-1)+2x,f'(1)=2g'(1)+2=6,即所求切线的斜率 为6，又f(1)=g(1)+1=4,即所求直线与f(x)的切点坐标为 (1,4),则所求切线的方程为y-4=6(x-1),即6x-y-2=0. 7.解：由f(x)=3x+cos2x+sin2x, f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x, 则a时'（得）-2如子+2m号-1 由y=x3得y=3x2. 当点P为切点时，切线的斜率k=3a2=3×12=3, 又b=a3,.b=1,.切点P的坐标为(1,1)， 故过曲线y=x3上的点P的切线方程为y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0. 当点P不是切点时，设切点坐标为(。，x),此时切线的斜 率k'=3x6, .切线方程为y-x=3x(x-x). :P(a,b)在曲线y=x3上，且a=1,b=1,将点P(1,1)代 选择性必修第二册·RJ 入切线方程中得1-x=3x(1-xo), 六2d36+1=0,解得6=2或0=1（舍去）， “.切点坐标为 11) 2,-8 又：切线的斜率为3x(）广：。 13.1 ÷此时的切线方程为)+8子(+2)，即3x-4y+1=0.即 过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程为3x-y-2=0或 3x-4y+1=0. 压轴挑战 3x-y-2=0解析：由f(x)=x2+2可得，f(1)=1,函数求导得， f到eyr[e=e(2+2）)月 则k=∫'(1)=3，故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-1= 3(x-1),即3x-y-2=0. 5.2阶段综合 黑题■ 阶段强化 1.C解折：因为：=-4，所以=-54，食户- 4=0,解得t=1或t=4,所以速度为零的时刻是1秒末 与4秒末. 2.B解析：令f代x)=e2-six,则f'(x)=2e2-cosx∫"(x)= 4e24+sinx.因为f'(0)=1,f"(0)=4,所以曲线y=e2-sinx 在点(0,0)处的曲率为f“(0)1 4 =√2， (1+(f'(0)2)2(1+1)2 3.D解析：对于A,由f(x)=sinx+cosx,得f'(x)=cosx sinx,则f"(x)=-sinx-cosx=-(sinx+cosx),因为xe (0,7）,所以sno0,easo0f()=-(snx+msx)<0, 所以此函数是凸函数，故A不符合题意；对于B,由f(x)= a2,得f'=2,则f因为e(0,号)， 所以()=0，所以此雨数是凸函数，放B不符合题 意；对于C,由fx)=-x3+2x-1,得f'(x)=-3x2+2,则 了”()=-6，因为xe(0,受），所以f"()=-6<0,所以此 函数是凸函数，故C不符合题意；对于D,由f(x)=-xe, 得f'(x)=-e+xe,则f"(x)=e*+e-xe*=（2-x)e,因 为xe(0,受），所以(x)=(2-)e>0,所以此函数不是 凸函数 -43e -4√3 1 4.D解析：因为y (c*+1)2s e*41+2,由于e+。+2≥4， 当且仅当e=时取等号，所以y∈[-5,0)，根据导数的 e 几何意义可知，m9e[-5,0),所以0e[a） 5.ACD解析：因为f(x-1)为奇函数，所以f(x-1)=f(-x-1), 则f0)=f(-2),即f(0)+f(-2)=0,故A正确：f(x-1)= f(-x-1),即f(x+1)=-f(-x-3),又f(x+1)为偶函数，所 以f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-3),两边求导-f'(-x+1)= 黑白题30 -f'(x-3),即f'(-x+1)=f'(x-3),故B错误；又f(x+1)= f(x-3),即f(x+4)=-f(x),则f'(x+4)=-f'(x),即 f'(x+8)=f'(x+4)=f'(x),所以f'(6)=f'(-2),又 f'(-x+1)=f'(x-3),所以f'(0)=f'(-2)=2,即f'(6)=2, 故C正确；由f'(x+4)=-f'(x),f'(x+8)=∫'(x),所以 f'(2004)=f'(4)=-f'(0)=-2,故D正确. 6.-6解析：令g(x)=(x-2)(x-3)(x-4),则fx)=(x-1)g(x), 所以f'(x)=g(x)+(x-1)·g'(x),所以f'(1)=g(1)+ (1-1)·g'(1)=g(1)=(1-2)×(1-3)×(1-4)=-6. f(x) 7.%.f(x.) %(16）解折：由y)()( f(x1) 0),令y=0,解得，=。0，同理可得x,=1f'(x) 由此推理得r的(n+I)次近似值与r的n次近似值的关系 f(xn） 式为龙1=xf”(x)月 设f(x)=x2-3,3是f(x)=0的正根，且f'(x)=2x,x1= f代xn） 1 飞-31士3，当=2时，42动+ 3=1+ 37 1,317,3、497 4=4,,=2+2x,2x42x756 .b5 8.(1)解：由题意得，f'(x)=a+ b '(2)=a+44 解得 f2)=2a-2=2’ a=b=1,所以f(x)=x- 1 （2)证明：设0)为周线上任意一点，由y=1+号知， 曲线在友P(,)处的切线方程为y%=(1+号) ),当x=0时，得y三-，令y=x,得y==2x,所 P(xo,y)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面 积为S=}-2x12,1=2 2x0 9.解：（1)由函数f(x)=e+e*和g(x)=e-e,可得 f'(x)=e-e*和g'(x)=e+e,则k,=e-e“,k2=e+e“, 由LAPB是直角，则·k,=(e-e)·(e+e)=-1,即 14(e产e)0,解得e5则a宁h5引 (2)由(1)知k,=e-e,k,=e+e,由e>0,知k≠k2, 所以直线1与l2必相交，又由l1:y-(e+e)=（e-e)· (x-a),l2:y-(e°-ea)=(e+e4)(x-a)联立得 jy-(e+e)=(e-e)(x-a,解得x=a+1,y=2e,即 y-(e-e)=(e+e)(x-a), P(a+1,2e),故点P到直线x=a的距离为d=(a+1)-a=1. 压轴挑战 解：(1)因为y=n,所以y=os,则：号=m(受）=0， 13=m()=0,所以函数在A(7-1）,(贺-1)处 的切线方程均为=-1，因此经过A(受，1)，B(-1）两 点的直线AB:y=-1恰好为y=sinx的一条切线，又sinx≥-l 参考答案 对∈【受]板成立，所以两数=如g是以4，B两点为 “桥墩”的“桥函数” (2)函数f(x)=1-x2不是“桥函数”，g(x)=x+sinx是“桥函 数”，理由如下：对于函数f(x)=1-x2,则f'(x)=-2x,显然 f'(x)=-2x在定义域上单调递减，所以在函数f代x)=1-x2上 任意两点的切线的斜率均不相同，故不满足“直线AB恰好是曲 线y=f(x)的一条切线”，所以f(x)=1-x2不是“桥函数”；对 于g(x)=x+sinx,则g'(x)=1+cosx,设A(x1,x1+sinx1), B(x2,x2+sinx2)(x,≠x2),所以A,B点处的切线方程为y=(1+ c0sx1)x+sinx1-x1c0s名1和y=(1+cosx2)x+sinx2-x2cosx2,所 以/1+cos名=1+cos2, 所以c08x1=cosx2,不妨取 sin cos x=sin x2xCos x2 x2=x1+2km,k∈Z且x1≠x2,代入(x2-x1)cosx1=sinx2-sinx1, 可得2ms=0→cs名=0，即名=m+,keZ,所以 如名=1，不妨取n=-1,则A(受，号-1），B(贸。 要）所以。 2 =1,又g(x)=x+sinx 在A,B点处的切线的斜率g(牙）=1，g(】 =1,所以 过4(g(受)），(g()）两点的直线B恰好 是曲线g(x)=x+sinx的一条切线，此时切线AB的方程为y= -1,再说明当-受≤≤时，函数g()=+的图象不在 y=x-1的下方，即需要说明x+sinx≥x-1对-)≤x≤气 恒成立，因为对任意的实数x,sinx≥-1恒成立，即x+sinx≥x- 1恒成立，所以g(x)=x+sinx是“桥函数” 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性 白题 基础过关 1.D解析：由函数y=f代x)的导函数y=f'(x)的图象可知，当 x<0时，f'(x)<0,所以y=f(x)在(-0,0)上单调递减，可排 除AC;当0<x<2时，f'(x)>0,所以y=f(x)在(0,2)上单调 递增，可排除B;当x>2时f'(x)<0,所以y=fx)在(2，+∞)上 单调递减，D均符合，故D正确。 2.A解析：由已知可得函数y=f(x)在(-∞，-1]上单调递增， 在(-1,1]上单调递减，在(1,2]上单调递增，在(2，+∞)上 单调递减，所以f'(-2)>0,∫'(1)=0，∫'(3)<0，所以 f'(-2)>f'(1)>f'(3),故选A 3.A解析：由题图可知y=f'(x)在(-1,0)上单调递减，在 (0,1)上单调递增，则y=f(x)的切线斜率在(-1,0)上递 减，在(0,1)上递增，选项A符合题意；选项B,y=f(x)的切 线斜率在(-1,0)上递增，在(0,1)上递减，不符合题意； 选项C,y=f(x)的切线斜率在(-1,1)上递减，不符合题意； 选项D,y=f(x)的切线斜率在(-1,1)上递增，不符合题意. 4.(-1,2),(4,+∞)解析：根据导函数的图象可知，函数 fx)在(-1,2)，(4，+o)上时，导数f'(x)>0,所以f(x)的 单调递增区间为(-1,2)，（4，+0). 5.B解析：由题意，f'(x)=e+(x-3)e=(x-2)e,令f'(x)> 0,得x>2,故函数f(x)=(x-3)e的单调递增区间是(2，+∞). 黑白题315.2 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：50min 1.*(2025·吉林长春高二月考)一质点做直 倾斜角，则0的取值范围是 线运动，经过秒后的位移为5=-+4， 3 A.(. 写) 则速度为零的时刻是 ( (T2π1 A.1秒末 B.4秒末 c.23 D. C.1秒与4秒末 D.0秒与4秒末 5.(多选)(2025·河北承德高二期末)已知 2.(2025·辽宁辽阳高二期末)衡量曲线弯 函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R, 曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义 且f(x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数， 如下：若f'(x)是f(x)的导函数，f"(x)是 f'(0)=2,则 f'(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点 A.f(0)+f(-2)=0 B.f'(-x+1)=-f'(x-3) (x,f(x))处的曲率K= If"(x)I 曲 (1+(f'(x)2) C.f'(6)=2 线y=e2a-sinx在点(0，f(0)处的曲率为 D.f'(2004)=-2 6.*(2025·安徽合肥高二月考)已知函数 A.4⑤ f(x)=（x-1)(x-2)(x-3)(x-4),则f'(1)= B.√2 5 D.2 25 3.*(2025·山东济南高二月考)丹麦数学家 7.整（2025·北京东城1 y=fx) 琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨 区高二期中)如图，设 人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留 是方程f(x)=0的根，选 下了很多宝贵的成果，设函数f(x)在(a,b)上 取x。作为r初始近似 fx) 的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数 值.过点(xf(xo)作曲 为f"(x),若在(a,b)上f"(x)<0恒成立，则 线y=f代x)的切线，切线方程为l1,当∫'(x)≠ 称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”，以下四 0时，称l,与x轴的交点的横坐标为r的1次 个函数在(0，？)上不是凸函数的是 ( 近似值；过点(x1f(x))作曲线y=f(x)的切 线，切线方程为2，当f'(x1)≠0时，称2与x A.f(x)=sin x+cos x 轴的交点的横坐标为r的2次近似值；重复以 B.f(x)=In x-2x 上过程，得到r的近似值序列{x}.当 C.fx)=-x3+2x-1 f'(xn)≠0，n∈N*时，r的(n+1)次近似值 D.f(x)=-xe* 4.*(2025·山东济宁高二月考)已知点P在 x+1与n次近似值xn的关系为x+1= 若取x。=2作为r的初始近似值，根据上述方 曲线y=43 e*+1 上，0为曲线在点P处的切线的 法，√3的2次近似值为 (用分数表示) 第五章黑白题45 8.*（2025·江苏无锡高二期中)设函数 压轴挑战∥ )=a名若曲线y=)在点(2,2)处 b 禁(2025·江西抚州高二月考)已知函数y= F(x)的定义域为I,区间[a,b]是I的子集，若 的切线方程为5x-4y-4=0. y=F(x)的图象上存在两点A(a,F(a)), (1)求f(x)的解析式； B(b,F(b)),使直线AB恰好是曲线y=F(x)的 (2)求证：在曲线y=f(x)上任意一点处的切 一条切线，且A,B为切点，记直线AB的方程为 线与直线x=0和y=x所围成的三角形面 y=G(x),如果Hx∈[a,b]都有F(x)≥G(x), 积为定值，并求出此定值， 则称函数y=F(x)是“桥函数”，称A,B两点为 “桥墩” (①)若A(-牙，-1)，B(-1),试说明函数 y=sinx能否是以A,B两点为“桥墩”的“桥 函数”？ (2)判断函数f(x)=1-x2与g(x)=x+sinx是 不是“桥函数”？并说明你的理由 9.转(2025·湖北恩施高二期末)已知曲线 C:f(x)=e+e,曲线C2:g(x)=e*-e,直线 x=a与曲线C1,C2分别交于A,B两点，曲线 C1在点A处的切线为L1,曲线C2在点B处的 切线为l2,设直线1与U2的交点为P. (1)若∠APB为直角，求实数a的值； (2)求点P到直线x=a的距离 选择性必修第二册·RJ黑白题46